1

Kontrak PerkuliahanKontrak Perkuliahan Kehadiran : > 80%Kehadiran : > 80% Evaluasi: Setiap materi ada Evaluasi: Setiap materi ada

penilaianpenilaian

Design and Analysis Design and Analysis AlgorithmAlgorithm

2

Materi I : Pertemuan 1 – 4Materi I : Pertemuan 1 – 4

1.1. ReviewReview landasan matematika landasan matematika

2.2. Kriteria kebaikan suatu Kriteria kebaikan suatu algoritmealgoritme

3.3. NotasiNotasi asimtotik dan laju asimtotik dan laju pertumbuhan fungsipertumbuhan fungsi

4.4. Fungsi-fungsi rekursif dan Fungsi-fungsi rekursif dan metode penyelesaiannyametode penyelesaiannya

3

Materi II (tentative) : Materi II (tentative) : Pertemuan 5 - 9Pertemuan 5 - 9

Teknik perancangan algoritme : Teknik perancangan algoritme : Divide and conquer, dynamic Divide and conquer, dynamic

programmingprogramming

Materi III (tentative) : Materi III (tentative) : Pertemuan 10 - 14Pertemuan 10 - 14 Teknik perancangan Teknik perancangan algoritme : algoritme : greedy, greedy,

backtracking, graphbacktracking, graph

Teori NP-Teori NP-completecomplete dan algoritme- dan algoritme-algoritme pendekatanalgoritme pendekatan

4

Analisis Analisis AlgoritmeAlgoritme

TIU :TIU :Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat merancang suatu mahasiswa dapat merancang suatu algoritme yang efisien serta mampu algoritme yang efisien serta mampu membuat hasil analisisnyamembuat hasil analisisnya..

TIK :TIK :

1.1. Mahasiswa dapat menjelaskan Mahasiswa dapat menjelaskan konsep2 dasar dalam konsep2 dasar dalam menganalisis suatu algoritmemenganalisis suatu algoritme (Minggu I)(Minggu I)

5

2.2. Mahasiswa dapat menjelaskan Mahasiswa dapat menjelaskan kriteria kebaikan suatu kriteria kebaikan suatu algoritme dan menganalisis algoritme dan menganalisis suatu algoritme sederhana suatu algoritme sederhana (Minggu II)(Minggu II)

3.3. MahasiswaMahasiswa dapat menjelaskan dapat menjelaskan notasi asimtotik dan notasi asimtotik dan menggolongkan fungsi berdasar menggolongkan fungsi berdasar laju pertumbuhannya (Minggu laju pertumbuhannya (Minggu III)III)

4.4. Mahasiswa memahami teknik Mahasiswa memahami teknik rekursif serta mampu rekursif serta mampu menggunakan teknik tersebut menggunakan teknik tersebut untuk menganalisis suatu untuk menganalisis suatu algoritme (Minggu IV)algoritme (Minggu IV)

6

6.6. Mahasiswa dapat menjelaskan Mahasiswa dapat menjelaskan karakteristik algoritme karakteristik algoritme divide and divide and conquerconquer serta menggunakannya serta menggunakannya untuk jenis masalah yang sesuaiuntuk jenis masalah yang sesuai (Minggu V-VI)(Minggu V-VI)

7.7. MahasiswaMahasiswa dapat menjelaskan dapat menjelaskan karakteristik algoritme karakteristik algoritme pemrograman dinamis serta pemrograman dinamis serta menggunakannya untuk jenis menggunakannya untuk jenis masalah yang sesuaimasalah yang sesuai (Minggu VI- (Minggu VI-VII)VII)

8.8. Review paperReview paper (Minggu VIII) (Minggu VIII)9.9. Mahasiswa dapat menjelaskan Mahasiswa dapat menjelaskan

karakteristik algoritme karakteristik algoritme greedygreedy serta menggunakannya untuk serta menggunakannya untuk jenis masalah yang sesuaijenis masalah yang sesuai (Minggu (Minggu IX-X)IX-X)

7

9.9. Mahasiswa dapat menjelaskan Mahasiswa dapat menjelaskan karakteristik algoritme karakteristik algoritme backtrackingbacktracking serta serta menggunakannya untuk jenis menggunakannya untuk jenis masalah yang sesuaimasalah yang sesuai (Minggu X-XI) (Minggu X-XI)

10.10. Review paper (Minggu XII)Review paper (Minggu XII)

11.11. Mahasiswa dapat menjelaskan Mahasiswa dapat menjelaskan konsep konsep NP-Complete problemNP-Complete problem dalam menganalisis suatu dalam menganalisis suatu algoritme algoritme (Minggu XIII)(Minggu XIII)

12.12. MahasiswaMahasiswa dapat menggunakan dapat menggunakan algoritme pendekatan dalam algoritme pendekatan dalam menyelesaikan masalah menyelesaikan masalah NP-NP-completecomplete (Minggu XIV)(Minggu XIV)

8

Tujuan yang ingin dicapai:Tujuan yang ingin dicapai:

1.1. Mengukur kompleksitas suatu Mengukur kompleksitas suatu algoritmealgoritme

2.2. Mempelajari teknik-teknik dasar Mempelajari teknik-teknik dasar algoritme untuk menyelesaikan algoritme untuk menyelesaikan masalah-masalah real.masalah-masalah real.

3.3. Membiasakan diri untuk selalu Membiasakan diri untuk selalu merespon setiap algoritme baru merespon setiap algoritme baru dengan pertanyaan:dengan pertanyaan:

Seberapa baik algoritme ini?Seberapa baik algoritme ini? Apakah ada yang lebih baik?Apakah ada yang lebih baik?

9

Referensi:Referensi:1.1. Cormen, T. H, E.L. Charles & Cormen, T. H, E.L. Charles &

L.R. Roland. 2003. L.R. Roland. 2003. Introduction to Algorithms. Introduction to Algorithms. MIT Press, Cambridge.MIT Press, Cambridge.

2.2. Buku rujukan lain yang Buku rujukan lain yang relevanrelevan

10

Tujuan yang ingin dicapai:Tujuan yang ingin dicapai:

1.1. Mengukur kompleksitas suatu Mengukur kompleksitas suatu algoritmealgoritme

2.2. Mempelajari teknik-teknik dasar Mempelajari teknik-teknik dasar algoritme untuk menyelesaikan algoritme untuk menyelesaikan masalah-masalah real.masalah-masalah real.

3.3. Membiasakan diri untuk selalu Membiasakan diri untuk selalu merespon setiap algoritme baru merespon setiap algoritme baru dengan pertanyaan:dengan pertanyaan:

Seberapa baik algoritme ini?Seberapa baik algoritme ini? Apakah ada yang lebih baik?Apakah ada yang lebih baik?

11

Perbandingan kompleksitas Perbandingan kompleksitas algoritmealgoritme

12

Penjelasan besaranPenjelasan besaran

13

Beberapa istilah yang Beberapa istilah yang digunakan:digunakan:

Algoritme:Algoritme:Satu set aturan untuk menyelesaikan Satu set aturan untuk menyelesaikan masalah dalam jumlah langkah yang masalah dalam jumlah langkah yang terbatas.terbatas.

Program:Program:Implementasi algoritme pada komputer menggunakan bahasa pemrograman tertentu

Analisis:Analisis:Untuk mengetahui seberapa banyak Untuk mengetahui seberapa banyak sumber daya yang diperlukan oleh sumber daya yang diperlukan oleh algoritmealgoritme

14

Anggapan::Terdapat masalah yang diharapkan dapat Terdapat masalah yang diharapkan dapat diselesaikan menggunakan program komputerdiselesaikan menggunakan program komputer

Terhadap masalah ini, cari algoritme yang Terhadap masalah ini, cari algoritme yang sesuai serta efektif dan efisiensesuai serta efektif dan efisien

Catatan:Masalah yang secara teoritis dapat diselesaikan dengan komputer belum tentu dapat dikerjakan secara praktis (solvable algorithmically), artinya:Program dapat dituliskan serta menghasilkan output yang benar untuk setiap input yang diberikan, dengan asumsi, disediakan sumber daya yang tidak terbatas.

15

Metode matematika secara efektif dapat Metode matematika secara efektif dapat digunakan untuk memprediksi digunakan untuk memprediksi banyaknya ruang dan waktu yang banyaknya ruang dan waktu yang diperlukan oleh suatu algoritme tanpa diperlukan oleh suatu algoritme tanpa harus mengimplementasikan-nya dalam harus mengimplementasikan-nya dalam bahasa pemrograman tertentu.bahasa pemrograman tertentu.

Konsep matematika yang diperlukan, al:Konsep matematika yang diperlukan, al:

Logika matematika, aljabar, kalkulus: fungsi, Logika matematika, aljabar, kalkulus: fungsi, limit, turunan, integral, sekuens, deret, limit, turunan, integral, sekuens, deret, prinsip2 pembuktian, modular aritmatika, prinsip2 pembuktian, modular aritmatika, peluang, graf, tree, dsb.peluang, graf, tree, dsb.

16

Logika matematika:Logika matematika: ProposisiProposisi Perangkai dasarPerangkai dasar Tabel kebenaranTabel kebenaran Kesetaraan proposisi kompleksKesetaraan proposisi kompleks Dalil-dalil kesetaraanDalil-dalil kesetaraan ArgumenArgumen Kaidah inferensia : modus ponen, Kaidah inferensia : modus ponen,

modus tolens, kaidah silogismamodus tolens, kaidah silogisma

17

Aljabar, mis: eksponen, Aljabar, mis: eksponen, logaritmalogaritma1.1. xxaaxxbb = x = xa+ba+b

2.2. xxaa/x/xbb = x = xa-ba-b

3.3. (x(xaa))bb = x = xabab

4.4. xxaa+x+xaa = 2 x = 2 xaa ≠ x≠ x2a2a

5.5. log (ab) = log a + log blog (ab) = log a + log b

6.6. loglogaab = logb = logkkb/logb/logkkaa

7.7. log alog ann= n log a= n log a

18

Kalkulus:Kalkulus: Fungsi : TentukanFungsi : Tentukan

Df dan Wf dari fungsiDf dan Wf dari fungsi

Limit: Tentukan Limit: Tentukan

Turunan:Turunan:Tentukan turunan Tentukan turunan fungsifungsi

Integral: Tentukan Integral: Tentukan integral fungsiintegral fungsi

12

22

)( .4)3ln()( .3

4)( .232)( .1

xexfxxf

xxfxxxf

2

4Lim .4

1

2Lim .3

4Lim.2143Lim .1

2

221

2

2

2

2

x

x

x

x

xxx

xx

xx

12

22

)( .4)3ln()( .3

4)( .232)( .1

xexfxxf

xxfxxxf

1

02

1

2

1 .2

)(ln 1. dx

x

xdx

x

xe

19

Sekuens dan Sekuens dan KekonvergenannyaKekonvergenannya

Konvergen ke 1

konvergen ke 1

divergen

20

Deret: Deret: ∑ a∑ ann 1.1. ∑ ∑ aaii = 1/(1-a) jika 0 < a < = 1/(1-a) jika 0 < a <

1 1 dan n dan n → ∞→ ∞

2.2. ∑ ∑ i = n(n+1)/2 ≈ ½ ni = n(n+1)/2 ≈ ½ n22

3.3. ∑ ∑ ii22 = n(n+1)(2n+1)/6 ≈ = n(n+1)(2n+1)/6 ≈ 1/3 n1/3 n33

4.4. ∑ ∑ iikk ≈ ( n ≈ ( nk+1k+1)/|k+1|, k ≠ -)/|k+1|, k ≠ -11

21

Metode pembuktian:Metode pembuktian:

Counter exampleCounter example KontradiksiKontradiksi Induksi matematikaInduksi matematika

Counter exampleCounter example::

Membuktikan bahwa suatu Membuktikan bahwa suatu pernyataan salah cukup dengan pernyataan salah cukup dengan mengambil salah satu contoh yang mengambil salah satu contoh yang mendukung pernyataan tersebut.mendukung pernyataan tersebut.

22

Kontradiksi: Mula-mula Kontradiksi: Mula-mula diasumsikan salah. Biladiasumsikan salah. Bila ini ini berakibat pada suatu berakibat pada suatu kemustahilan,kemustahilan,berarti yang berlaku adalah berarti yang berlaku adalah sebaliknya (benar).sebaliknya (benar).Contoh:Contoh:

Buktikan bahwa bilangan prima itu Buktikan bahwa bilangan prima itu tidak terbatas.tidak terbatas.

Catatan:Catatan:

Setiap bilangan adalah prima atau Setiap bilangan adalah prima atau perkalian primaperkalian prima

23

Induksi Matematika:Induksi Matematika:

Buktikan bahwa :Buktikan bahwa :

1.1. Untuk n ≥ 1 berlaku:Untuk n ≥ 1 berlaku:∑ i∑ i22 = [n(n+1) = [n(n+1)

(2n+1)]/6(2n+1)]/6

2.2. Bilangan Fibonacci ke-i memenuhi Bilangan Fibonacci ke-i memenuhi sifatsifat Fi < (5/3) Fi < (5/3)ii untuk i ≥ 1 untuk i ≥ 1

Catatan : FCatatan : Fii = F = Fi-1i-1 + F + Fi-2i-2

24

Modular Aritmatika:Modular Aritmatika:

a = b mod n jjk n membagi (a-b) a = b mod n jjk n membagi (a-b)

Secara intuitif dapat dikatakan bahwa Secara intuitif dapat dikatakan bahwa akan diperoleh sisaan yang sama pada akan diperoleh sisaan yang sama pada pembagian: a dibagi n atau b dibagi npembagian: a dibagi n atau b dibagi n

Contoh : 5 = 1 mod 2, 11 = 2 mod 3Contoh : 5 = 1 mod 2, 11 = 2 mod 3

TeoremaTeoremaJika a = b mod n, maka a+c = b+c Jika a = b mod n, maka a+c = b+c mod nmod n

Jika a = b mod n, maka ad = bd mod nJika a = b mod n, maka ad = bd mod n

25

KombinatorikaKombinatorika Hukum penjumlahanHukum penjumlahan Hukum perkalianHukum perkalian KombinasiKombinasi PermutasiPermutasi

Setiap pengguna suatu sistem komputer Setiap pengguna suatu sistem komputer memiliki sebuah memiliki sebuah passwordpassword, yang terdiri , yang terdiri atas 6 sampai 8 karakter, dengan setiap atas 6 sampai 8 karakter, dengan setiap karakter adalah huruf kapital atau digit karakter adalah huruf kapital atau digit bilangan desimal. bilangan desimal. Jika setiap password Jika setiap password

harus memuat minimal satu digit harus memuat minimal satu digit bilangan desimalbilangan desimal, ada berapa banyak , ada berapa banyak

passwordpassword yang mungkin? yang mungkin?

26

Diagram PohonDiagram PohonAda berapa string biner dengan panjang empat Ada berapa string biner dengan panjang empat yang tidak memiliki dua 1 secara berurutan?yang tidak memiliki dua 1 secara berurutan?

bit ke-1bit ke-1 bit ke-2 bit ke-3 bit ke-4bit ke-2 bit ke-3 bit ke-4

00

0000

00

1111

0011 00 00

11

11 0000 00

1111

00

Jadi, terdapat 8 string.

27

Permutasi dan Permutasi dan kombinasi dengan kombinasi dengan

pengulanganpengulanganTipeTipe PengulangaPengulanga

n?n?RumusRumus

rr-permutasi-permutasi TidakTidak

rr--kombinasikombinasi

TidakTidak

rr-permutasi-permutasi YaYa

rr--kombinasikombinasi

YaYa

)!(

!

rn

n

)!1(!

)!1(

nr

rn

)!(!

!

rnr

n

rn

28

Peluang DiskritPeluang Diskrit

Abad 18: Laplace mempelajari perjudian dan mendefinisikan peluang suatu kejadian.

Pencacahan menjadi landasan bagi perhitungan peluang berlangsungnya suatu kejadian.

Abad 17: Pascal menentukan kemungkinan untuk memenangkan suatu taruhan yang didasarkan pada keluaran dari dua buah dadu yang dilemparkan berulang-ulang.

29

Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-turut. Carilahturut. Carilah

(a)(a) p(muncul tepat empat angka 1).p(muncul tepat empat angka 1).

(b) (b) p(tidak ada angka 6 yang p(tidak ada angka 6 yang muncul).muncul).

SoalSoal

30

(a) Ini adalah contoh dari suatu barisan dengan enam (a) Ini adalah contoh dari suatu barisan dengan enam percobaan Bernoulli yang saling bebas, di mana percobaan Bernoulli yang saling bebas, di mana peluang sukses adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6. peluang sukses adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6. Karena itu, peluang muncul tepat empat angka 1 Karena itu, peluang muncul tepat empat angka 1 pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalahpada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah

SolusiSolusi

008,06

5

6

1)4,6(

24

C

335,06

1

6

5)6,6(

06

C

(b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan angka selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan gagal adalah kemunculan angka 6, yang peluangnya 1/6. Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah

31

Graf Graf

Graf G = (V,E) denganGraf G = (V,E) dengan

V = himpunan V = himpunan vertexvertex/ simpul/ simpul

E = himpunan E = himpunan edgeedge/ sisi/ sisi

Contoh:Contoh:

1 2 3

654

V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}E = {(1, 2), (1, 5), (2, 5), (3, 6)}

32

Digraf Digraf

Graf G = (V,A) denganGraf G = (V,A) dengan

V = himpunan V = himpunan vertexvertex/ simpul/ simpul

A = himpunan A = himpunan archarch/ sisi berarah/ sisi berarah

Contoh:Contoh:

1 2 3

654

V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {(1, 2), (1, 5), (5,2), (3, 6)}

33

Suatu graf G disebut terhubungkan Suatu graf G disebut terhubungkan ((connectedconnected) jika setiap pasang ) jika setiap pasang vertexvertex terhubungkan oleh suat terhubungkan oleh suatu lintasan (path).

Lintasan :

Jalur :

Trayek :

A

B

C

A

B D

C B

E

A

B

C

B

D

34

TreeTree dan dan ForestForest

TreeTree : :

Adalah graf tak berarah, Adalah graf tak berarah, terhubungkan dan tanpa terhubungkan dan tanpa cyclecycle

Forest:Forest:

Adalah graf tak berarah, tanpa Adalah graf tak berarah, tanpa cycle cycle dan tak terhubungkandan tak terhubungkan

35

v4

v6

2

1031

7

6

4

1

5

4

2

8

v5v3

v7

v2v1

Contoh: tentukan MST dari graf berikut:

36

v4

v6

2

1

4

1

2

v5v3

v7

v2v1

Algoritme Prim:

4

6

MST: 16

37

v4

v6

2

1

4

1

2

v5v3

v7

v2v1

Algoritme Kruskal:

6

MST: 16

38

TugasTugas

1.1. Baca buku Cormen Baca buku Cormen bab : Sbab : Summationummation

2.2. ReviewReview landasan landasan matematika yang lainmatematika yang lain

39