1

KONSEP DASAR KONSEP DASAR PROBABILITASPROBABILITAS

2

Definisi: Probabilitas adalah peluang suatu kejadian. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Manfaat: Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu

pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.

Contoh:• pembelian harga saham berdasarkan analisis harga

saham• peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses

atau tidak), dll.

PENDAHULUAN

3

Percobaan (experiment): Pengamatan terhadap beberapa kegiatan.

Hasil (outcome): Suatu hasil dari sebuah percobaan/ kegiatan.

Peristiwa (event): Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

PENDAHULUAN

4

PENGERTIAN PROBABILITAS

Percobaan/Kegiatan

Pertandingan sepak bola Persita VS PSIS di Stadion Tangerang, 5 Maret 2003.

Hasil Persita menangPersita kalahSeri -- Persita tidak kalah dan tidak menang

Peristiwa Persita Menang

Contoh:

5

PENDEKATAN PROBABILITAS

1. Pendekatan Klasik

2. Pendekatan Relatif

3. Pendekatan Subjektif

6

PENDEKATAN KLASIK

Definisi:Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi.

Rumus:

Probabilitas = jumlah kemungkinan hasil suatu peristiwa jumlah total kemungkinan hasil

7

PENDEKATAN KLASIK

Percobaan Hasil Probabi-litas

Kegiatan melempar uang

1. Muncul gambar2.   Muncul angka

2 ½

Kegiatan perdagangan saham

1. Menjual saham2. Membeli saham

2 ½

Perubahan harga 1.   Inflasi (harga naik)2.   Deflasi (harga turun)

2 ½

Mahasiswa belajar

1.   Lulus memuaskan2. Lulus sangat memuaskan3.   Lulus terpuji

3 1/3

8

Definisi:Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi.

Rumus:

PENDEKATAN RELATIF

Probabilitas = jumlah peristiwa yang terjadi suatu peristiwa jumlah total percobaan

Contoh:

9

PENDEKATAN SUBJEKTIF

Definisi:

Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan.

Contoh:

Sejak Januari 2008 hingga Juli 2008 BI Rate berkisar 8%-8.5%. Inflasi cenderung konstan di kisaran 3%- 4%. Berdasarkan informasi tersebut, diperkirakan tingkat bunga KPR pada akhir tahun 2008 paling tinggi sebesar 13% per-tahun.

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS

Nilai Probabilitas suatu peristiwa A : 0 < P(A) < 1

Prob Complementer : P(A) + P(A’) = 1

Hukum Penjumlahan

Hukum Perkalian

10

Jika A dan B merupakan peristiwa saling lepas (mutually exclusive) , maka :

11

Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Maka P(A U C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60

P(A U B) = P(A) + P(B)

Hukum Penjumlahan

A B

Hukum Penjumlahan

12

Contoh Soal 1

Perusahaan pembungkusan makanan beku, menjual 3 jenis makanan setengah matang beku yg dibungkus, chicken nugget, ayam goreng tepung, dan kentang goreng. Sebagian besar berat setiap kantong adalah tepat, namun karena ukuran ketiga jenis makan tersebut berbeda, terdapat bungkus yang kurang atau lebih dari yang seharusnya. 200 bungkus mempunyai berat yang kurang, 3000 bungkus mempunyai berat yang tepat dan 300 bungkus mempunyai berat yang lebih. Jika diambil sebuah bungkus, berapa probabilita bungkusan tsb akan mempunyai berat yg kurang atau lebih?

Hukum Penjumlahan

Jawaban soal 1

Total keseluruhan terdapat 3500 bungkus, yang tepat ada 3000 bungkus.

Jadi probabilita jika diambil satu bungkus dan terpilih bungkus dengan berat kurang atau lebih (berat tidak tepat)

1- (3000/3500) = 1-(6/7) = 1/7

atau

200/3500 + 300/3500 = 500/3500=1/7 atau 14,29%

13

Hukum Penjumlahan

Jika A dan B merupakan peristiwa yang tidak saling lepas (ada peristiwa bersama atau Joint Event)

14

A BAB

Apabila P(A ∩ B) = 0,2, maka ,P(A U B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55

P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Hukum Penjumlahan

15

Contoh Soal

Dari 200 orang yang menghadiri acara Launching product diketahui 125 orang adalah wanita (W), 75 orang adalah sarjana (S), dan 25 orang adalah wanita dan sarjana. Jika seorang yang hadir akan terpilih mendapat hadiah, berapa probabilitas bahwa orang yang terpilih tersebut adalah :

a. Wanitab. Sarjanac. Wanita atau sarjanad. Wanita dan bukan sarjana

e. Bukan wanita dan bukan sarjana

16

Jawaban soal

a. P (W) = 125/200 = 0,625

b. P (S) = 75/200 = 0,375

c. P (W U S) = 125/200 + 75/200 – 25/200 = 0,875

d. P (W ∩ S) = 100/200= 0.5

e. P(W ∩ S) = 25/200= 0.125

WS 25

W 100

S 50

200

25

Hukum Perkalian

Probabilitas Peristiwa Bebas (Independent Probability)P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Contoh :Pada pelemparan 2 kali sebuah dadu :Berapa Probabilitas munculnya muka 6 pada lemparan I dan

ke II ?

A = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan IB = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan II

P(A ∩ B) = 1/6 x 1/6 = 1/36

17

Hukum Perkalian

Probabilitas Peristiwa Bersyarat (Conditional Probability)

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) = P(A/B) x P(B)

A/B = peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu

Contoh :Pada permainan kartu remi (tanpa pemulihan)Berapa probabilita kartu As muncul pada pengambilan I

dan IIA = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan IB = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan IIP(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) = 4/52 x 3/51 = 0,0045

18

CONTOH

Sebuah himpunan terdiri dari 100 orang mahasiswa FEUI. Diketahui 50% adalah perempuan. 20% dari mahasiswa putri adalah penerima beasiswa dan 60% dari mahasiswa putra penerima beasiswa. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak untuk diwawancara, berapa probabilitas yang terpilih adalah :a. Mahasiswa penerima beasiswab. Mahasiswa putri dan penerima beasiswac. Mahasiswa putri atau penerima beasiswad. Mahasiswa putri dari penerima beasiswa

19

Jawaban soal (menggunakan tabel)

Anggap jumlah seluruh mahasiswa ada 100 orang, kemudian isilah sel-sel berdasarkan informasi yang ada di dalam soal.Misalkan A: putri, A‘ bkn putri, B penerima beasiswa, B’ bukan penerima beasiswaa. Prob mahasiswa penerima beasiswa, P(B) = 40/100

b. Prob mahasiswa putri dan penerima beasiswa, P(AB) = 10/100c. Prob mahasiswa putri atau penerima beasiswa, P (A U B) =

P(A) + P(B) – P(A B) = 50/100 + 40/100 – 10/100 = 80/100d. Prob mahasiswa putri dari penerima beasiswa, P(A/B) = 10/40 = 0,25

20

A A’

B 10 30 40

B’ 40 20 60

50 50 100

Jawaban soal (menggunakan rumus)

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

atau P(B ∩ A) = P(A/B) x P(B)

Catatan P(A ∩ B) = P(B ∩ A)

Hitunglah : P (A/B)

Ingat P (A/B) = P(A ∩ B)/P(B)

P (A/B) = 0,1 / 0,4 = 0,25

Jawaban soal (diagram pohon) P(B/A) B P(AB)=P(A)xP(B/A) = 0,5x0,2 = 0,1 0,2

A 0,8

P(A) P(B’/A) B’ P(AB’)=P(A)xP(B‘/A) = 0,5x0,8 = 0,4 0,5 P(B/A’) B P(A’B)=P(A’)xP(B/A’) = 0,5x0,6 = 0,3 P(A’) 0,6 0,5 A’ 0,4

P(B’/A’) B’ P(A’B’)=P(A’)xP(B’/A’) = 0,5x0,4 = 0,2

Jumlah probabilitas = 1

P(B)

P(B’)

23

TEOREMA BAYES

Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada.

Rumus:

Soal 1

24

Peti A berisi 3 bola hijau dan 5 bola merah. Peti B berisi 2 bola hijau, 1 bola merah, dan 2 bola kuning. Bila kita memilih sebuah peti secara random dan kemudian memilih 1 bola dari dalamnya secara random pula, berapakah probabilitas kita akan memilih bola hijau?

Jawab

A Peti A0,5

Peti B

0,5 B

Hijau (3) = 3/8

Hijau (2) = 2/5

Merah (5) = 5/8

Merah (1) = 1/5

Kuning (1) =2/5

Hijau Peti A = 3/8 x ½ = 3/16

Hijau Peti B = 2/5 x ½ = 2/10

Merah Peti A = 5/8 x ½ = 5/16

Merah Peti B = 1/5 x ½ = 1/10

Kuning Peti B = 2/5 x ½ = 2/10

Lanjutan

26

P (memilih bola hijau) = p (hijau peti A) + p (hijau peti B)

= 3/16 + 2/10

= 31/80

Peristiwa bola hijau terpilih dapat terjadi dalam 2 cara yang saling lepas yaitu:1.Memilih peti A dan mengambil bola hijau2.Memilih peti B dan mengambil bola hijau

Peristiwa bola hijau terpilih merupakan gabungan dari kedua peristiwa yang saling lepas diatas

27

Soal 2

Lembaga penerbit FE UI memiliki 3 buah mesin stensil A, B, dan C. A menstensil 30%, B menstensil 25%, dan C menstensil 45% dari seluruh produksi lembaga. Secara hipotesis telah diketahui bahwa 1% dari hasil penstensilan A rusak, 1,2% dari hasil penstensilan B rusak, dan 2% dari hasil penstensilan C rusak. Setiap harinya ketiga mesin menstensil sebanyak 10.000 helai kertas stensil.Bila satu helai hasil penstensilan dipilih secara random dari jumlah penstensilan selama sehari dan ternyata helai tersebut rusak, berapakah probabilita bahwa helai yang rusak tersebut diprodusir oleh mesin A?

Jawab

28

p(A)= 0,30 , p(B)= 0,25 , p(C) = 0,45p(E l A)= 0,010 , p(E l B)= 0,012 , p(E l C)=

0,020Dengan sendirinya,p(A E) = p(A) p(E l A) = 0,003p(B E) = p(B) p(E l B) = 0,003p(C E) = p(C) p(E l C) = 0,009

Rumus Bayes: p(A l E) = p(A) x p(E l A)

p(A) x p(E l A) + p(B) x p(E l B) + p(C) x p(E l C)

Lanjutan

29

p(A l E) = (0,30) (0,010)

(0,30)(0,010) + (0,25)(0,012) +(0,45)(0,020)

p(A l E) = 0,20

Jadi probabilita helai yang rusak yang diproduksi oleh mesin A adalah 0,20

Expected Value

Akhir-akhir ini sering ditayangan di stasiun TV, ada program sms berhadiah dimana pemirsa diminta untuk mengirimkan sms sebanyak-banyaknya. Sms yang masuk akan diundi dan pemenangnya akan mendapat hadiah motor seharga Rp 10 jt. Biaya pulsa Rp 2000 /sms. (Diasumsikan jumlah peserta ada 10.000 sms dan hanya ada 1 buah motor)

Hitung apakah peserta undian akan untung atau rugi.

Expected Value

Jawaban:Biaya dari 10.000 sms (biaya per sms= Rp.

2.000) = 10.000 x Rp. 2.000= Rp20.000.000

Probabilita untuk dapat motor = (1/10.000)E(X)= {(1/10.000) x 10 jt} - {(1-

1/10.000)x20jt} = - 19.999.700Peserta akan rugi

Teknik Menghitung Jumlah Kemungkinan

1. Faktorial berapa banyak cara yang mungkin dalam

mengatur sesuatu dalam kelompok contoh : Berapa jumlah susunan yang berbeda dari 3 buah buku A, B dan C ? n! = 3! = 6 Bukti : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

n!

Teknik Menghitung Jumlah Kemungkinan

2. Permutasi sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu

kelompok objek

Berapa jumlah kemungkinan susunan dari 3 orang

pelamar (A,B,C,) akan diterima 2 orang untuk 2 jabatan yang berbeda ?

Bukti : AB, AC, BA, BC, CA, CB

nPr = n! / (n-r)!

Contoh Permutasi Jika ada 4 orang buruh pabrik yang masing2

berinisial A, B, C, D. dan jika kita memilih secara random 3 orang buruh diatas untuk diinterview, dalam berapa cara pemilihan terhadap buruh yang akan diinterview dapat terjadi?

Jawab: Jumlah permutasi sebanyak 3 orang dari 4

orang buruh diatas akan menghasilkan 4P3 = 4! = 24 cara

(4-3)!

34

Lanjutan Jawaban

Pemilihan 3 buruh yang akan diinterview:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA

ACD ADC CAD CDA DAC DCA BCD BDC CBD CDB DBC DCB

35

Teknik Menghitung Jumlah Kemungkinan

3. Kombinasi Berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa

memperhatikan urutannya.

,

Kombinasi

Permutasi

ABACBC

AB, BAAC, CABC, CB

nCr = n! / (n-r)! r!Berapa jumlah kemungkinan dari 3 orang pelamar (A,B,C,) akan diterima 2 orang ?

3C2 = 3! / (3-2)! 2! = 3

Contoh Soal Kombinasi Sebuah sampel harus terdiri dari 5 orang

responden. Jika responden tsb harus dipilih dari suatu populasi yang terdiri dari 6 pria dan 3 wanita, dalam berapa cara sampel diatas dapat dipilih jika harus memiliki komposisi paling sedikit 3 orang responden pria?

Jawab:1. Sampel yang terdiri dari 3 responden pria

Pemilihan 3 responden pria dari 6 pria adalah: 6 = 6! = 20 cara 3 3! 3!

37

Pemilihan 2 responden wanita dari 3 wanita : 3 = 3! = 3 cara 2 1! 2!

Sesuai dengan kaidah penggandaan, komposisi sampel yang terdiri dari 5 responden dan harus terdiri dari 3 pria dapat terjadi dengan : 6 3

3 2

38

= 60 cara

2. Sampel yang terdiri dari 4 responden priapemilihan 4 responden pria dari 6 pria menghasilkan:

6 6! 4 2! 4! sedangkan pemilihan 1 responden wanita dari 3

wanita menghasilkan: 3 3! 1 2! 1!

Secara keseluruhan komposisi sampel yang terdiri dari 5 responden dan harus terdiri dari 4 responden pria dapat terjadi dalam 6 3 4 1

39

= = 15 cara

= = 3 cara

= 45 cara

3. Sampel yang terdiri dari 5 responden pria

Pemilihan 5 responden pria dari 6 pria menghasilkan

6 6!

5 1! 5!

sedangkan pemilihan terhadap responden wanita tidak usah dilakukan setelah 5 responden pria terpilih menjadi unsur sampel karena sampelnya harus terdiri dari 5 orang responden.

Akhirnya komposisi sampel dengan cara (1), (2) dan (3) adalah bersifat saling lepas dan sesuai dengan kaedah penjumlahan

6 3 6 3 6

3 2 4 1 540

= = 6 cara

+ + = 111 cara

41

TERIMA KASIH