KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli...

52
KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL MARDIYAH NIM. 13610120 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2018

Transcript of KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli...

Page 1: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

KONGRUENSI LATIS

SKRIPSI

OLEH

AMINATUL MARDIYAH

NIM. 13610120

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2018

Page 2: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

KONGRUENSI LATIS

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh

Aminatul Mardiyah

NIM. 13610120

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2018

Page 3: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur
Page 4: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur
Page 5: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur
Page 6: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

MOTO

ุฎูŠุฑ ุงู„ู†ุงุณ ุฃู†ูุนู‡ู… ู„ู„ู†ุงุณ โ€œSebaik-baik manusia adalah manusia yang bermanfaat bagi manusia yang lainโ€

Page 7: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk:

Ayahanda Muhammad Zainuri dan ibunda Luluk Halimah, kakak Muhammad

Shofi Fuadi dan Najla Muflihin, adik tersayang Muhammad Masruril Hamid dan

Nafi Atul Ummah, serta teman hidup Muhammad Nuris Fakhrurrozi yang selalu

memberikan dukungan, doa, dan motivasi bagi penulis.

Page 8: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

viii

KATA PENGANTAR

Assalamuโ€™alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Puji syukur ke hadirat Allah Swt yang telah menganugerahkan rahmat dan

hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan kegiatan dan menyusun

penelitian dengan baik dan lancar. Shalawat dan salam senantiasa dihaturkan

kepada nabi Muhammad Saw yang telah memberikan inspirasi kepada seluruh

umat manusia tidak terkecuali penulis, untuk berkarya dengan penuh semangat

berlandaskan keagungan moral dan spiritual. Ucapan terima kasihpun tidak luput

dihaturkan kepada semua pihak yang telah mendukung lancarnya penyusunan

penelitian ini. Dengan hormat penulis ucapkan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Abdul Haris, M.Ag, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana

Malik Ibrahim Malang.

2. Dr. Sri Harini, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas

Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

3. Dr. Usman Pagalay, M.Si, selaku ketua Jurusan Matematika, Fakultas Sains

dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

4. Evawati Alisah, M.Pd, selaku dosen pembimbing 1 yang senantiasa

mengarahkan penulis dalam melakukan penelitian.

5. Ari Kusumastuti, M.Pd., M.Si, selaku dosen pembimbing 2 yang senantiasa

mengarahkan penulis dalam melakukan penelitian.

6. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Page 9: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

ix

terutama seluruh dosen yang telah memberikan bimbingan dalam

perkuliahan.

7. Kedua orang tua dan seluruh keluarga yang memberikan dukungan berupa

motivasi dan doa sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.

8. Seluruh teman-teman โ€œsubsetโ€ angkatan 2013 dan keluarga besar โ€œPPTQ

Nurul-Furqonโ€ yang selalu ada di kala senang dan sedih dalam rangka proses

penyelesaikan penelitian ini.

9. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang turut

membantu dalam penyelesaian penelitian ini.

Akhirnya penulis berharap, di balik penelitian ini dapat ditemukan sesuatu

yang dapat memberikan manfaat dan wawasan yang lebih luas atau bahkan

hikmah bagi penulis dan pembaca.

Wassalamuโ€™alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Malang, September 2018

Penulis

Page 10: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

HALAMAN MOTO

HALAMAN PERSEMBAHAN

KATA PENGANTAR ....................................................................................... viii

DAFTAR ISI ...................................................................................................... x

DAFTAR TABEL .............................................................................................. xii

ABSTRAK .......................................................................................................... xiii

ABSTRACT ....................................................................................................... xiv

xv .................................................................................................................... ู…ู„ุฎุต

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ................................................................................. 4

1.3 Tujuan Penelitian .................................................................................. 4

1.4 Batasan Masalah ................................................................................... 4

1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................ 5

1.6 Metode Penelitian ................................................................................. 5

1.7 Sistematika Penulisan ........................................................................... 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Sistem Bilangan Asli ............................................................................ 7

2.2 Operasi Biner ........................................................................................ 8

2.3 Kongruensi ........................................................................................... 9

2.3.1 Keterbagian ............................................................................... 9

2.4 Latis .................................................................................................... 13

2.5 Kongruensi Latis ................................................................................. 18

2.6 Menuntut Ilmu dalam Islam ................................................................ 19

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Definisi Kongruensi Latis (Garg) ....................................................... 21

Page 11: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

xi

3.2 Definisi Kongruensi Latis (Gratzer) ................................................... 23

3.3 Analisis Kesamaan dan Perbedaan dari Definisi Kongruensi Latis ... 26

3.4 Sifat-sifat Kongruensi Latis ................................................................ 27

3.5 Keutamaan Orang-orang yang Menuntut Ilmu dalam Islam .............. 31

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan .......................................................................................... 34

4.2 Saran ................................................................................................... 34

DAFTAR RUJUKAN ........................................................................................ 35

RIWAYAT HIDUP

Page 12: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Tabel Cayley untuk ๐‘Ž ร— ๐‘ ................................................................. 14

Tabel 2.2 Tabel Cayley untuk ๐‘Ž + ๐‘ ................................................................. 14

Tabel 2.3 Tabel Cayley Sifat Asosiatif untuk Operasi ร— .................................. 15

Tabel 2.4 Tabel Cayley Sifat Asosiatif untuk Operasi + .................................. 15

Tabel 2.5 Tabel Cayley Sifat Absorbsi untuk Operasi ร— .................................. 15

Tabel 2.6 Tabel Cayley Sifat Absorbsi untuk Operasi + .................................. 15

Page 13: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

xiii

ABSTRAK

Mardiyah, Aminatul. 2017. Kongruensi Latis. Skripsi. Jurusan Matematika,

Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik

Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Evawati Alisah, M.Pd. (II) Ari

Kusumastuti, M.Pd., M.Si.

Kata Kunci: Kongruensi, Relasi Ekuivalen, Latis, Kongruensi Latis.

Kongruensi Latis adalah apabila terdapat suatu relasi ekuivalen ๐›ผ pada

suatu Latis ๐ฟ disebut kongruen jika dan hanya jika ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ฮฑ) yang berarti

bahwa, โˆ€๐‘ง; ๐‘ง + ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง + ๐‘ฆ (mod ฮฑ) dan โˆ€๐‘ง; ๐‘ง ร— ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘ฆ (mod ฮฑ). Misalkan

unsur-unsur dari bilangan asli ๐ด yang didefinisikan sebagai ๐ด = {1, 3, 6} adalah

suatu latis. Selanjutnya dibuktikan bahwa latis tersebut memenuhi sifat-sifat pada

relasi ekuivalen dan mengikuti sifat kongruensi pada definisi kongruensi latis.

Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai bagaimanakah sifat dari

kongruensi latis beserta buktinya. Metode yang digunakan adalah dengan menarik

kesimpulan dari dua contoh definisi kongruensi latis, kemudian di analisis

kesamaan dan perbedaan dari contoh tersebut. Selanjutnya akan dibuktikan sifat-

sifat dari kongruensi latis yang telah ada.

Kesimpulan dari tulisan ini adalah, bahwasanya terdapat kongruensi latis

yang memiliki sifat reflektif yaitu ๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘Ž, ๐‘Ž)) dan sifat simetris yaitu ๐‘Ž โ‰ก

๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) jika dan hanya jika ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)). Bagi peneliti selanjutnya,

dapat dikembangkan lebih lanjut kajian tentang kongruensi latis sehingga dapat

menemukan sifat-sifat kongruensi latis yang baru.

Page 14: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

xiv

ABSTRACT

Mardiyah, Aminatul. 2017. Lattice Congruence. Thesis. Department of

Mathematics, Faculty of Science and Technology, Universitas Islam

Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Advisors: (I) Evawati Alisah,

M.Pd. (II) Ari Kusumastuti, M.Pd., M.Si.

Keywords: Congruence, Equivalence Relation, Lattice, Lattice Congruence.

Lattice Congruence is an equivalence relation ฮฑ on a lattice ๐ฟ is a

congruence iff ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ๐›ผ) implies that, โˆ€๐‘ง; ๐‘ง + ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ + ๐‘ง (mod ๐›ผ) and

โˆ€๐‘ง; ๐‘ง ร— ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ ร— ๐‘ง (mod ๐›ผ). Suppose the elements of natural numbers ๐ด

defined as ๐ด = {1, 3, 6} is a lattice. Furthermore, it is proven that the lattice

satisfies the properties of the equivalence relation and follows the congruence

character of the lattice congruence definition.

This paper discussed about how the nature of lattice congruence and the

proof. The method used is to draw conclusions from two examples of the

definition of lattice congruence, then the similarities and differences of the

example will be analyzed. Furthermore, the properties of the existing lattice

congruence will be proven.

The conclusion of this paper is that there exists a lattice congruence having

the reflective property of ๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘Ž, ๐‘Ž)) and the symmetrical property of

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) iff ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)). For further research, further studies

on lattice congruence can produce new properties of lattice congruence.

Page 15: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

xv

ู…ู„ุฎุต

ูƒู„ูŠุฉ ุงู„ุนู„ูˆู… ุŒุงู„ุฑูŠุงุถูŠุงุช . ุจุญุซ ุฌุงู…ุนูŠ. ุดุนุจุฉLattice Congruence. 7102. ุฃู…ูŠู†ุฉุŒ ุงู„ู…ุฑุถูŠุฉ( 0: )ู†ุง ู…ุงู„ูƒ ุฅุจุฑุงู‡ูŠู… ู…ุงู„ุงู†ุฌ. ุงู„ู…ุดุฑูŠูู…ูˆู„ุง ุงู„ุญูƒูˆู…ูŠุฉ ุณู„ุงู…ูŠุฉุงู„ุฅ ุงู„ุฌุงู…ุนุฉูˆุงู„ุชูƒู†ูˆู„ูˆุฌูŠุงุŒ

.ุฃุฑู‰ ูƒุณู…ุงุณุชุชู‰ ุงู„ู…ุงุฌุณุชูŠุฑ( 7ุงู„ู…ุงุฌุณุชูŠุฑ )ุญ ุงูŠูุงูˆุงุชูŠ ุฃู„ูŠุณุง

.Lattice ุŒLattice Congruence ุงู„ุนู„ุงู‚ุฉ ุงู„ู…ูƒุงูุฆุฉุŒุŒ Congruence ูƒู„ู…ุงุช ุงู„ุฑุฆูŠุณูŠุฉ:ุงู„

Lattice Congruence ู‡ู†ุงูƒ ุนู„ุงู‚ุฉ ู…ูƒุงูุฆุฉ ุฅู„ู‰ ู‡ูˆ ุนู†ุฏู…ุง(๐›ผ) ู…ู† ๐ฟ lattice ูŠุฏุนู‰congruence ุฅุฐุง ูˆูู‚ุท ุฅุฐุง๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ๐›ผ) ูŠุนู†ูŠ ุฃู† โˆ€๐‘ง; ๐‘ง + ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ + ๐‘ง (mod ๐›ผ) ูˆ

โˆ€๐‘ง; ๐‘ง ร— ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ ร— ๐‘ง (mod ๐›ผ). ุงู„ุทุจูŠุนูŠุฉ ู…ุนุฑู ุจุฃู†ู‡ุง ุฃู† ุนู†ุงุตุฑ ุงู„ุฃุฑู‚ุงู… ู„ู†ูุชุฑุถ ๐ด = {1, 3, ูŠุฑุถู‰ ุฎุตุงุฆุต ุนู„ุงู‚ุฉ latticeูˆุนู„ุงูˆุฉ ุนู„ู‰ ุฐู„ูƒุŒ ูู‚ุฏ ุซุจุช ุฃู† . latticeู‡ูˆ {6 .lattice congruenceู„ู„ุชุนุฑูŠู congruenceุงู„ุทุงุจุน ู…ูƒุงูุฆุฉ ูˆ ูŠุชุจุน

ูˆุงู„ุฃุฏู„ุชู‡ุง ูˆุงู„ุทุฑูŠู‚ุฉ lattice congruenceููŠ ู‡ุฐุง ุงู„ุจุญุซ ุณูˆู ุชู†ุงู‚ุด ุญูˆู„ ูƒูŠููŠุฉ ุทุจูŠุนุฉ ุŒ ุซู… ููŠ ุชุญู„ูŠู„ lattice congruenceุงู„ู…ุณุชุฎุฏู…ุฉ ู‡ูŠ ุงุณุชุฎู„ุงุต ุงุณุชู†ุชุงุฌุงุช ู…ู† ู…ุซุงู„ูŠู† ู„ุชุนุฑูŠู

lattice congruenceุซุจุงุช ุฎุตุงุฆุต ุงู„ุชุดุงุจู‡ ูˆ ุงู„ุงุฎุชู„ุงู ูู‰ ุงู„ู…ุซุงู„. ูˆุนู„ุงูˆุฉ ุนู„ู‰ ุฐู„ูƒุŒ ุณูŠุชู… ุฅ ุงู„ู…ูˆุฌูˆุฏ.

ู„ู‡ ุทุจูŠุนุฉ ุนุงูƒุณุฉ ูˆ ู‡ูˆ lattice congruenceูˆุฎู„ุงุตุฉ ู‡ุฐุง ุงู„ุจุญุซ ู‡ูŠ ุงู† ู‡ู†ุงูƒ ๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘Ž, ๐‘Ž)) ูˆู…ุชู†ุงุธุฑุฉ ู‡ูˆ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) ุฅุฐุง ูˆูู‚ุท ุฅุฐุง ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž))ุฏ ู…ู† ุงู„ุฏุฑุงุณุงุช ุญูˆู„ . ู„ู…ุฒูŠุฏ ู…ู† ุงู„ุจุญุซุŒ ูŠู…ูƒู† ุงู„ุงุทู„ุงุน ุนู„ู‰ ู…ุฒูŠlattice

congruence ุฎุตุงุฆุต ุฌุฏูŠุฏุฉ ู…ู† ูˆุฐู„ูƒ ู„ุงูƒุชุดุงูlattice congruence.

Page 16: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Allah berfirman dalam al-Quran surat an-Nisaโ€™ ayat 176 yang berbunyi:

ู…ุซู„ ุงู„ุฐูŠู† ุงุชุฐ ูˆุง ู…ู† ุฏ ูˆู† ุงู„ู„ู‡ ุฃูˆู„ูŠุงุก ูƒู…ุซู„ ุงู„ุนู†ูƒุจ ูˆุช ุงุชุฐุช ุจ ูŠุชุงุง ุตู„ู‰ ูˆุฅู† ุฃูˆู‡ู† ุงู„ุจ ูŠ ูˆุช ู„ุจ ูŠุช

ุงู„ุนู†ูƒุจ ูˆุช ุตู„ู‰ ู„ูˆ ูƒุงู† ูˆุง ูŠ ุนู„ู… ูˆู† )10( ุฅู† ุงู„ู„ู‡ ูŠ ุนู„ู… ู…ุงูŠุฏุน ูˆู† ู…ู† ุฏ ูˆู†ู‡ ู…ู† ุดูŠุก ุฌ ูˆ ู‡ ูˆ ุงู„ุนุฒูŠ ุฒ

ุงู„ุญูƒูŠู… )17( ูˆุชู„ูƒ ุงู„ุฃู…ุซุงู„ ู†ุถุฑุจ ู‡ุง ู„ู„ู†ุงุณ ุตู„ู‰ ูˆู…ุง ูŠ ุนู‚ู„ ู‡ุง ุฅู„ุง ุงู„ุนุงู„ู… ูˆู† )14(

โ€œPerumpamaan orang-orang yang mengambil pelindung selain Allah adalah seperti

laba-laba yang membuat rumah dan sesungguhnya rumah yang paling lemah ialah

rumah laba-laba, sekiranya mereka mengetahui. Sungguh, Allah mengetahui apa saja

yang mereka sembah selain Allah dan Allah Mahaperkasa lagi Mahabijaksana.

Perumpamaan-perumpamaan ini dibuat untuk manusia dan tidak ada yang akan

memahaminya kecuali mereka yang berilmuโ€ (QS. Al-Ankabutโ€™:41-43).

Berdasarkan tafsir ibnu katsir, ayat diatas merupakan perumpamaan yang

dibuat oleh Allah bagi orang-orang musyrik yang menjadikannya Tuhan selain

Allah, dimana mereka (orang-orang musyrik) mengharapkan pertolongannya,

meminta rizki dan berpegang kepadanya dalam keadaan sempit. Keadaan mereka

itu seperti sarang laba-laba dalam kelemahan dan kerapuhannya. Tidak ada di

tangan-tangan Tuhan mereka itu kecuali seperti orang yang berpegangan dengan

sarang laba-laba yang tidak dapat merubah apa-apa. Seandainya mereka

mengetahui hal tersebut, niscaya mereka tidak akan mengambil selain Allah

sebagai penolong. Ini tentu saja berbeda dengan orang islam yang hatinya beriman

kepada Allah, dan di samping itu dia berbuat amal baik dengan mengikuti syariโ€™at.

Dia berpegang teguh kepada tali yang kuat yang tidak akan terputus karena

kekuatan dan kekokohnya. Kemudian Allah Taโ€™ala berfirman mengancam orang

yang menyembah selain Allah dan menyekutukan-Nya, Allah Mahamengetahui

Page 17: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

2

perbuatan-perbuatan yang mereka lakukan serta mengetahui tandingan-tandingan

yang mereka persekutukan serta akan membalas mereka. Sesungguhnya Allah

Mahabijaksana lagi Mahamengetahui. Kemudian Allah Taโ€™ala berfirman di dalam

surat al-Ankabut ayat 43 yaitu, tidak ada yang dapat memahami dan

merenungkannya kecuali orang-orang yang kokoh dalam ilmunya serta

menguasainya (Ghoffar, 2004).

Ayat di atas menjelaskan tentang pentingnya menuntut ilmu sedalam-

dalamnya agar dapat memahami dan menguasai ilmu yang dipelajari. Menuntut

ilmu itu tidak hanya dalam bidang keagamaan saja, melainkan dalam bidang-

bidang yang lain seperti; ilmu matematika, ilmu fisika, ilmu kimia dan lain-lain.

Dalam ilmu matematika terdapat berbagai macam pembahasan, salah satunya

adalah bilangan.

Bilangan yang digunakan dalam pencacahan dan pengukuran adalah

bilangan asli. Bilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif,

dan terdapat unsur identitas perkalian. Sifat-sifat tersebut berlaku pada bilangan

asli, terkait ketika dikenai operasi penjumlahan dan perkalian. Sedangkan sistem

yang terdapat pada bilangan asli terdiri dari himpunan, relasi, operasi + dan ร—,

serta sifat-sifat yang telah disebutkan pada kalimat sebelumnya (Abdussakir,

2009).

Selanjutnya, operasi yang melibatkan operator + dan ร— ini melibatkan

masukan (input) bilangan bulat dan menghasilkan bilangan bulat sebagai keluaran

(output). Operasi yang sering digunakan dalam bilangan adalah operasi biner.

Operasi biner adalah apabila setiap dua elemen ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐‘† maka ๐‘Ž โˆ— ๐‘ โˆˆ ๐‘†. Atau

dapat dikatakan pula bahwa operasi โˆ— merupakan pemetaan dari ๐‘† ร— ๐‘† ke ๐‘†.

Page 18: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

3

Operasi โˆ— pada ๐‘† merupakan operasi biner dan dapat dikatakan bahwa operasi โˆ—

pada ๐‘† bersifat tertutup (Sukirman, 2005:35).

Latis melibatkan dua operasi biner dengan operasi tertentu. Suatu Latis

dapat dilihat dari sudut pandang yang berbeda, yaitu dari sudut pandang aljabar

atau dari sudut pandang teori bilangan. Suatu Latis ๐ฟ adalah suatu aljabar yang

dikenai dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan ร— dan memenuhi

sifat-sifat idempotent, asosiatif, dan komutatif terhadap kedua operasi, serta kedua

operasi tersebut saling absorbsi (Gratzer, 2011:12).

Selanjutnya, kongruensi dapat dipandang dari berbagai sudut yang berbeda

pula, baik dari sudut pandang geometri maupun sudut pandang struktur aljabar.

Dalam struktur aljabar, kongruensi didefinisikan sebagai dua bilangan bulat ๐‘ฅ dan

๐‘ฆ yang mempunyai hasil sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan bulat positif

๐‘›, maka ๐‘ฅ dan ๐‘ฆ dapat disebut juga kongruen pada modulo ๐‘› yang dilambangkan

sebagai ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ๐‘›) (Khusnah, 2016:16).

Keterkaitan antara latis dengan kongruensi akan membentuk suatu definisi

baru, yaitu kongruensi latis. Suatu relasi ekuivalen ๐›ผ pada latis ๐ฟ disebut

kongruensi latis jika dan hanya jika ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ฮฑ) yang berarti bahwa, โˆ€๐‘ง; ๐‘ง +

๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง + ๐‘ฆ (mod ฮฑ) dan โˆ€๐‘ง; ๐‘ง ร— ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘ฆ (mod ฮฑ) (Garg, 2007:63).

Kajian tentang kongruensi latis menjadi penelitian yang dikembangkan

oleh beberapa peneliti, salah satunya adalah Mayasari (2005). Dalam

penelitiannya, himpunan dengan operasi biner โˆจ dan โˆง adalah dasar dalam

mengerjakan kongruensi latis. Masalah yang dibahas adalah mengenai

karakteristik dari operasi biner โˆจ dan โˆง, sehingga menghasilkan suatu latis serta

membentuk sifat-sifat kongruensi latis pada semigrup.

Page 19: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

4

Berdasarkan penelitian di atas, dasar dalam mengerjakan kongruensi latis

adalah menggunakan himpunan dengan operasi biner โˆจ dan โˆง, sehingga bilangan

bulat positif dengan operasi biner + dan ร— sebagai dasar dalam mengerjakan

kongruensi latis yang belum pernah diteliti sebelumnya. Oleh karena itu, penulis

ingin mengembangkannya dengan menggunakan bilangan bulat positif dengan

operasi biner + dan ร— yang didefinisikan sebagai ๐‘Ž + ๐‘ = KPK (๐‘Ž, ๐‘) dan ๐‘Ž ร—

๐‘ = FPB (๐‘Ž, ๐‘) sebagai dasar dalam mengerjakan kongruensi latis. Sehingga

penulis mengangkat penelitian dengan judul โ€œKongruensi Latisโ€.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, maka rumusan masalah

dalam skripsi ini adalah bagaimanakah sifat dari kongruensi latis beserta

buktinya?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan permasalahan di atas, maka tujuan penelitian ini

adalah mengetahui bagaimana sifat dari kongruensi latis beserta buktinya.

1.4 Batasan Masalah

Adapun yang dibahas dalam tugas akhir ini hanya dibatasi sampai teorema

dan bukti dari kongruensi latis pada bilangan asli dengan operasi biner + dan ร—

yang didefinisikan sebagai ๐‘Ž + ๐‘ = KPK (๐‘Ž, ๐‘) dan ๐‘Ž ร— ๐‘ = FPB (๐‘Ž, ๐‘).

Page 20: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

5

1.5 Manfaat Penelitian

Berdasarkan tujuan dari penelitian di atas, maka manfaatnya adalah dapat

memahami sifat kongruensi latis beserta buktinya sehingga dapat menambah

penguasaan dalam mengkaji konsep dari kongruensi latis, serta dapat digunakan

sebagai bahan referensi bagi peneliti selanjutnya.

1.6 Metode Penelitian

Dalam penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode penelitian

kepustakaan (library research) atau kajian pustaka. Adapun langkah-langkah yang

digunakan dalam membahas penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Membuat contoh dari dua definisi kongruensi latis.

2. Analisis kesamaan dan perbedaan dari definisi kongruensi latis.

3. Menarik kesimpulan dari contoh kongruensi latis.

4. Mendapatkan teorema dari kesimpulan contoh kongruensi latis.

5. Membutikan teorema yang telah didapat.

1.7 Sistematika Penulisan

Secara garis besar, sistematika penulisan pada tugas akhir ini adalah

sebagai berikut:

Bab I Pendahuluan

Pada bab ini membahas latar belakang, rumusan masalah, tujuan

penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, metode penelitian, dan

sistematika penulisan.

Page 21: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

6

Bab II Kajian Pustaka

Pada bab ini menyajikan konsep-konsep yang mendukung bagian

pembahasan. Konsep-konsep tersebut antara lain membahas tentang

sistem bilangan asli, operasi biner, kongruensi, latis, definisi kongruensi

latis dan pembagian dalam kajian Islam.

Bab III Pembahasan

Pada bab ini membahas tentang definisi kongruensi latis berdasarkan

Garg dan Gratzer, analisis kesamaan dan perbedaan dari definisi

kongruensi latis, sifat-sifat kongruensi latis dan kajian Islam.

Bab IV Penutup

Bab ini berisi kesimpulan dan saran yang berkaitan dengan hasil

penelitian.

Page 22: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

7

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Sistem Bilangan Asli

Secara sederhana, sistem bilangan asli terdiri dari himpunan

โ„• = {1, 2, 3, 4, โ€ฆ , ๐‘›}, relasi = dan >, operasi + dan ร—, serta delapan sifat yang

akan dijelaskan pada sub bab di bawah ini.

Definisi

Bilangan asli adalah himpunan dari bilangan bulat positif yang tidak memuat nol.

Himpunan bilangan asli disimbolkan dengan huruf โ„•, sehingga โ„• =

{1, 2, 3, 4, โ€ฆ , ๐‘›}. Apabila bilangan asli diberikan operasi biner berupa

penjumlahan, maka hasilnya adalah bilangan asli juga. Misal 1 + 1 = 2, 2 + 1 =

3, 3 + 1 = 4, dan seterusnya. Secara umum, apabila terdapat tulisan ๐‘Ž โˆˆ โ„•, maka

tulisan tersebut mempunyai arti bahwa ๐‘Ž adalah himpunan dari bilangan asli

(Abdussakir, 2009:86-87).

Pernyataan 2 + 2 merupakan suatu operasi pada himpunan bilangan asli.

Sedangkan pernyataan 2 + 3 = 5 dan 2 + 3 > 4 merupakan relasi, pernyataan ini

merupakan relasi antara hasil suatu operasi dengan bilangan 5 dan 4, dan

pernyataan ini akan selalu bernilai benar (Abdussakir, 2009:87).

Beberapa sifat yang berlaku pada himpunan bilangan asli โ„• terhadap

operasi + dan ร— adalah sebagai berikut:

1. Sifat tertutup terhadap operasi +

Untuk semua unsur ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ โ„•, maka ๐‘Ž + ๐‘ โˆˆ โ„•.

2. Sifat tertutup terhadap operasi ร—

Page 23: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

8

Untuk semua unsur ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ โ„•, maka ๐‘Ž ร— ๐‘ โˆˆ โ„•.

3. Sifat komutatif terhadap operasi +

Untuk semua unsur ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ โ„•, maka ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ + ๐‘Ž.

4. Sifat komutatif terhadap ร—

Untuk semua unsur ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ โ„•, maka ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘ ร— ๐‘Ž.

5. Sifat asosiatif terhadap +

Untuk semua unsur ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘ โˆˆ โ„•, maka ๐‘Ž + (๐‘ + ๐‘) = (๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘.

6. Sifat asosiatif terhadap ร—

Untuk semua unsur ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘ โˆˆ โ„•, maka ๐‘Ž ร— (๐‘ ร— ๐‘) = (๐‘Ž ร— ๐‘) ร— ๐‘.

7. Sifat distributif ร— atas +

Untuk semua unsur ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘ โˆˆ โ„•, maka (๐‘Ž + ๐‘) ร— ๐‘ = (๐‘Ž ร— ๐‘) + (๐‘ ร— ๐‘).

8. Terdapat unsur identitas ร—

Untuk semua unsur ๐‘Ž โˆˆ โ„•, ada 1 โˆˆ โ„• sehingga ๐‘Ž ร— 1 = 1 ร— ๐‘Ž = ๐‘Ž.

1 disebut unsur satuan (identitas) dari ร—.

(Abdussakir, 2009:87-88).

2.2 Operasi Biner

Definisi

Misalkan ๐‘† merupakan suatu himpunan yang tidak kosong. Kemudian operasi โˆ—

pada elemen-elemen ๐‘† disebut operasi biner, apabila setiap dua elemen ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐‘†

maka ๐‘Ž โˆ— ๐‘ โˆˆ ๐‘†. Atau dapat dikatakan pula bahwa operasi โˆ— merupakan pemetaan

dari ๐‘† ร— ๐‘† ke ๐‘† dan operasi tersebut bersifat tertutup (Sukirman, 2005:35).

Contoh

Misalkan ๐‘† adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Kemudian,

didefinisikan + sebagai operasi pada ๐‘† yang merupakan operasi biner, karena

Page 24: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

9

operasi + merupakan pemetaan dari ๐‘† ร— ๐‘† โ†’ ๐‘†, yaitu untuk setiap unsur (๐‘Ž, ๐‘) โˆˆ

๐‘† ร— ๐‘† maka ๐‘Ž + ๐‘ โˆˆ ๐‘†. Ingat bahwa hasil dari operasi penjumlahan dua bilangan

bulat positif adalah suatu bilangan bulat positif juga. Akan tetapi, berbeda dengan

operasi pembagian, karena operasi รท pada ๐‘† bukan merupakan operasi biner pada

๐‘†. Hal ini terjadi karena ada (๐‘Ž, ๐‘) โˆˆ ๐‘† ร— ๐‘† sedemikian sehingga ๐‘Ž รท ๐‘ โˆ‰ ๐‘†. Misal

(3, 4) โˆˆ ๐‘† ร— ๐‘†, akan tetapi 3 รท 4 โˆ‰ ๐‘†.

2.3 Kongruensi

Sebelum membahas tentang kongruensi, terlebih dahulu akan dibahas

mengenai definisi keterbagian beserta teoremanya.

2.3.1 Keterbagian

Definisi

Misalkan ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ โ„ค, dengan ๐‘Ž โ‰  0. ๐‘Ž dikatakan membagi ๐‘ (ditulis โ€œ๐‘Ž | ๐‘โ€) jika

๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ, untuk setiap ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (Abdussakir, 2009:114).

Berdasarkan definisi keterbagian, ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ adalah jika terdapat suatu

bilangan bulat ๐‘ฅ dimana bilangan bulat ๐‘Ž dengan ๐‘Ž โ‰  0 membagi bilangan bulat

๐‘. Notasi ๐‘Ž | ๐‘ dapat dibaca dengan โ€œ๐‘Ž habis membagi ๐‘โ€, โ€œ๐‘ habis dibagi ๐‘Žโ€, โ€œ๐‘Ž

pembagi ๐‘โ€, โ€œ๐‘Ž faktor dari ๐‘โ€, atau โ€œ๐‘ kelipatan dari ๐‘Žโ€. Tetapi jika ๐‘Ž tidak

membagi ๐‘, maka ditulis ๐‘Ž โˆค ๐‘ (Abdussakir, 2009:114).

Contoh

1. 5 | 30, karena ada 5 โˆˆ โ„ค sehingga 30 = 5 ร— 6.

2. 3 | 21, karena ada 3 โˆˆ โ„ค sehingga 21 = 3 ร— 7.

3. 4 โˆค 30, karena tidak ada ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค sehingga 30 = 4 ร— ๐‘ฅ.

4. 2 โˆค 21, karena tidak ada ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค sehingga 21 = 2 ร— ๐‘ฅ.

Page 25: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

10

Teorema Keterbagian

Untuk bilangan bulat ๐‘Ž, ๐‘, dan ๐‘ berlaku:

1. ๐‘Ž | ๐‘, maka ๐‘Ž | (๐‘ ร— ๐‘ฅ); โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค

2. ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘ | ๐‘, maka ๐‘Ž | ๐‘

3. ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘Ž | ๐‘, maka ๐‘Ž | ((๐‘ ร— ๐‘ฅ) + (๐‘ ร— ๐‘ฆ)); โˆ€๐‘ฅ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค

4. ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘ | ๐‘Ž, maka ๐‘Ž = ยฑ๐‘

5. ๐‘Ž | ๐‘, dengan ๐‘Ž > 0 dan ๐‘ > 0, maka ๐‘Ž โ‰ค ๐‘

6. โˆ€๐‘š โˆˆ โ„ค, ๐‘š โ‰  0, maka ๐‘Ž | ๐‘ jika dan hanya jika (๐‘š ร— ๐‘Ž) | (๐‘š ร— ๐‘)

(Abdussakir, 2009:115).

Bukti:

1. Jika ๐‘Ž | ๐‘, maka ๐‘Ž | (๐‘ ร— ๐‘ฅ); โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค

Jika ๐‘Ž | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฆ (definisi keterbagian)

๐‘ ร— ๐‘ฅ = (๐‘Ž ร— ๐‘ฆ) ร— ๐‘ฅ (ditambahkan ๐‘ฅ pada ruas

kanan dan kiri)

๐‘ ร— ๐‘ฅ = ๐‘Ž ร— (๐‘ฆ ร— ๐‘ฅ) (sifat asosiatif perkalian)

๐‘Ž | (๐‘ ร— ๐‘ฅ) (definisi keterbagian)

Jadi terbukti bahwa jika ๐‘Ž | ๐‘, maka ๐‘Ž | (๐‘ ร— ๐‘ฅ).

2. Jika ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘ | ๐‘, maka ๐‘Ž | ๐‘

Jika ๐‘Ž | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ

Jika ๐‘ | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘ ร— ๐‘ฆ

Jika ๐‘ = ๐‘ ร— ๐‘ฆ maka ๐‘ = (๐‘Ž ร— ๐‘ฅ) ร— ๐‘ฆ (subtitusikan ๐‘)

๐‘ = ๐‘Ž ร— (๐‘ฅ ร— ๐‘ฆ) (sifat asosiatif perkalian)

๐‘Ž | ๐‘ (definisi keterbagian)

Jadi terbukti bahwa jika ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘ | ๐‘, maka ๐‘Ž | ๐‘.

Page 26: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

11

3. Jika ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘Ž | ๐‘, maka ๐‘Ž | ((๐‘ ร— ๐‘ฅ) + (๐‘ ร— ๐‘ฆ)); โˆ€๐‘ฅ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค

Jika ๐‘Ž | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘˜1; ๐‘˜1 โˆˆ โ„ค (definisi keterbagian)

๐‘ ร— ๐‘ฅ = (๐‘Ž ร— ๐‘˜1) ร— ๐‘ฅ (ditambahkan ๐‘ฅ pada ruas

kanan dan kiri)

Jika ๐‘Ž | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘˜2; ๐‘˜2 โˆˆ โ„ค (definisi keterbagian)

๐‘ ร— ๐‘ฆ = (๐‘Ž ร— ๐‘˜2) ร— ๐‘ฆ (ditambahkan ๐‘ฆ pada ruas

kanan dan kiri)

(๐‘ ร— ๐‘ฅ) + (๐‘ ร— ๐‘ฆ) = (๐‘Ž ร— ๐‘˜1 ร— ๐‘ฅ) + (๐‘Ž ร— ๐‘˜2 ร— ๐‘ฆ)

(๐‘ ร— ๐‘ฅ) + (๐‘ ร— ๐‘ฆ) = ๐‘Ž ร— ((๐‘˜1 ร— ๐‘ฅ) + (๐‘˜2 ร— ๐‘ฆ)) (sifat distributif perkalian)

๐‘Ž | ((๐‘ ร— ๐‘ฅ) + (๐‘ ร— ๐‘ฆ)) (definisi keterbagian)

Jadi terbukti bahwa ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘Ž | ๐‘, maka ๐‘Ž | ((๐‘ ร— ๐‘ฅ) + (๐‘ ร— ๐‘ฆ)); โˆ€๐‘ฅ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค.

4. ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘ | ๐‘Ž, maka ๐‘Ž = ยฑ๐‘

Jika ๐‘Ž | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ (definisi keterbagian)

Jika ๐‘ | ๐‘Ž maka ๐‘Ž = ๐‘ ร— ๐‘ฆ (definisi keterbagian)

Jika ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ maka ๐‘ = (๐‘ ร— ๐‘ฆ) ร— ๐‘ฅ (subtitusi ๐‘Ž)

๐‘ = ๐‘ ร— (๐‘ฆ ร— ๐‘ฅ) (sifat asosiatif perkalian)

๐‘ โˆ’ (๐‘ ร— (๐‘ฆ ร— ๐‘ฅ)) = 0

๐‘ ร— (1 โˆ’ (๐‘ฆ ร— ๐‘ฅ)) = 0

Karena ๐‘ โ‰  0, maka 1 โˆ’ (๐‘ฆ ร— ๐‘ฅ) = 0, sehingga 1 = ๐‘ฆ ร— ๐‘ฅ.

Persamaan terakhir dipenuhi untuk ๐‘ฅ = ๐‘ฆ = 1 atau ๐‘ฅ = ๐‘ฆ = โˆ’1, sehingga

didapatkan ๐‘Ž = ยฑ๐‘.

Jadi terbukti bahwa jik ๐‘Ž | ๐‘ dan ๐‘ | ๐‘Ž, maka ๐‘Ž = ยฑ๐‘.

Page 27: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

12

5. ๐‘Ž | ๐‘, dengan ๐‘Ž > 0 dan ๐‘ > 0, maka ๐‘Ž โ‰ค ๐‘

Jika ๐‘Ž | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ (definisi keterbagian)

Karena ๐‘Ž > 0, ๐‘ > 0 dan ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ, maka ๐‘ฅ > 0.

Untuk ๐‘ฅ = 1, maka terbukti jika ๐‘Ž = ๐‘. Sedangkan untuk ๐‘ฅ > 1, maka ๐‘ >

๐‘Ž. Jadi terbukti bahwa jika ๐‘Ž | ๐‘, dengan ๐‘Ž > 0 dan ๐‘ > 0, maka ๐‘Ž โ‰ค ๐‘.

6. โˆ€๐‘š โ‰  0 โˆˆ โ„ค, maka ๐‘Ž | ๐‘ jika dan hanya jika (๐‘š ร— ๐‘Ž) | (๐‘š ร— ๐‘)

Jika ๐‘Ž | ๐‘ maka ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ untuk suatu ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค.

Akibatnya untuk ๐‘š โˆˆ โ„ค dan ๐‘š โ‰  0, maka berlaku ๐‘š ร— ๐‘ = ๐‘š ร— (๐‘Ž ร— ๐‘ฅ) =

(๐‘š ร— ๐‘Ž) ร— ๐‘ฅ. Berdasarkan definisi keterbagian, maka (๐‘š ร— ๐‘Ž) | (๐‘š ร— ๐‘).

Jika (๐‘š ร— ๐‘Ž) | (๐‘š ร— ๐‘) dan ๐‘š โ‰  0, maka ๐‘š ร— ๐‘ = (๐‘š ร— ๐‘Ž) ร— ๐‘ฅ untuk suatu

๐‘ฅ โˆˆ โ„ค.

๐‘š ร— ๐‘ = (๐‘š ร— ๐‘Ž) ร— ๐‘ฅ maka (๐‘š ร— ๐‘) โˆ’ ((๐‘š ร— ๐‘Ž) ร— ๐‘ฅ) = 0

(๐‘š ร— ๐‘) โˆ’ (๐‘š ร— (๐‘Ž ร— ๐‘ฅ)) = 0

๐‘š ร— (๐‘ โˆ’ (๐‘Ž ร— ๐‘ฅ)) = 0

Karena ๐‘š โ‰  0, maka ๐‘ โˆ’ (๐‘Ž ร— ๐‘ฅ) = 0, sehingga ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘ฅ. Berdasarkan

definisi keterbagian maka ๐‘Ž | ๐‘. Jadi terbukti bahwa โˆ€๐‘š โ‰  0 โˆˆ โ„ค, maka ๐‘Ž | ๐‘

jika dan hanya jika (๐‘š ร— ๐‘Ž) | (๐‘š ร— ๐‘).

Berdasarkan penjelasan dari enam teorema tersebut dan terbukti, maka

teorema keterbagian berlaku untuk bilangan bulat ๐‘Ž, ๐‘, dan ๐‘.

Definisi

Misal ๐‘› adalah bilangan bulat positif dengan ๐‘› > 1 kemudian ๐‘ฅ dan ๐‘ฆ adalah

bilangan bulat, maka ๐‘ฅ dan ๐‘ฆ adalah kongruen pada modulo ๐‘› jika ๐‘› habis

membagi ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ, dan dapat ditulis sebagai berikut:

Page 28: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

13

๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ๐‘›)

(Gilbert dan Gilbert, 2009:95).

Dikatakan pula bahwa ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ๐‘›) jika ๐‘› habis membagi ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ. Dalam hal

ini, ๐‘› habis membagi ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ ekuivalen dengan ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ = ๐‘› ร— ๐‘ž atau

๐‘ฅ = ๐‘ฆ + (๐‘› ร— ๐‘ž) (Gilbert dan Gilbert, 2009:96).

Contoh

1. 22 โ‰ก 2 (mod 5), karena 5 habis membagi 22 โˆ’ 2 atau 5 | 20. Dapat juga

ditulis dengan 22 โˆ’ 2 = 5 ร— ๐‘ž atau 22 = 2 + (5 ร— ๐‘ž).

2. 20 โ‰ก 2 (mod 3), karena 3 habis membagi 20 โˆ’ 2 atau 3 | 18. Dapat juga

ditulis dengan 20 โˆ’ 2 = 3 ร— ๐‘ž atau 20 = 2 + (3 ร— ๐‘ž).

2.4 Latis

Suatu latis dapat dilihat dari berbagai sudut pandang yang berbeda, yaitu

dari sudut pandang aljabar dan dari sudut pandang teori bilangan. Berikut adalah

definisi latis dilihat dari sudut pandang aljabar.

Definisi

Suatu Latis ๐ฟ adalah suatu aljabar dengan dua operasi biner yang dilambangkan

dengan perkalian dan penjumlahan yang memenuhi sifat-sifat berikut: untuk

semua ๐‘Ž, ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐ฟ

1. ๐‘Ž ร— ๐‘Ž = ๐‘Ž operasi ร— bersifat idempotent

2. ๐‘Ž + ๐‘Ž = ๐‘Ž operasi + bersifat idempotent

3. ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘ ร— ๐‘Ž operasi ร— bersifat komutatif

4. ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ + ๐‘Ž operasi + bersifat komutatif

5. ๐‘Ž ร— (๐‘ ร— ๐‘) = (๐‘Ž ร— ๐‘) ร— ๐‘ operasi ร— bersifat asosiatif

Page 29: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

14

6. ๐‘Ž + (๐‘ + ๐‘) = (๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ operasi + bersifat asosiatif

7. ๐‘Ž ร— (๐‘Ž + ๐‘) = ๐‘Ž absorpsi terhadap operasi +

8. ๐‘Ž + (๐‘Ž ร— ๐‘) = ๐‘Ž absorpsi terhadap operasi ร—

(Gratzer, 2011:12).

Contoh

Misalkan unsur-unsur dari latis ๐ฟ adalah himpunan dari bilangan asli ๐ด yang

didefinisikan sebagai ๐ด = {1, 3, 6}. Himpunan ini memuat FPB tunggal dan KPK

tunggal dari setiap dua anggota dari himpunan tersebut. Dengan demikian dapat

didefinisikan bahwa ๐‘Ž ร— ๐‘ = FPB (๐‘Ž, ๐‘) dan ๐‘Ž + ๐‘ = KPK (๐‘Ž, ๐‘).

Agar lebih mudah dalam menyelesaikannya, maka akan dibentuk beberapa tabel

Cayley sebagai berikut:

Tabel 2. 1 Tabel Cayley untuk ๐‘Ž ร— ๐‘

ร— 1 3 6

1 1 1 1

3 1 3 3

6 1 3 6

Tabel 2. 2 Tabel Cayley untuk ๐‘Ž + ๐‘

+ 1 3 6

1 1 3 6

3 3 3 6

6 6 6 6

Berdasarkan tabel Cayley di atas terlihat bahwa sifat idempotent dan

komutatif terhadap kedua operasi pada latis telah terselesaikan. Selanjutnya, untuk

sifat asosiatif dan absorbsi terhadap kedua operasi akan ditunjukkan pada tabel

Cayley di bawah ini

Page 30: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

15

Tabel 2. 3 Tabel Cayley Sifat Asosiatif untuk Operasi ร—

ร— 1 3 6 (1 ร— 1) (1 ร— 3) (1 ร— 6) (3 ร— 3) (3 ร— 6) (6 ร— 6)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 1 3 3 1 1 1 3 3 3

6 1 3 6 1 1 1 3 3 6

(1 ร— 1) 1 1 1

(1 ร— 3) 1 1 1

(1 ร— 6) 1 1 1

(3 ร— 3) 1 3 3

(3 ร— 6) 1 3 3

(6 ร— 6) 1 3 6

Tabel 2. 4 Tabel Cayley Sifat Asosiatif untuk Operasi +

+ 1 3 6 (1 + 1) (1 ร— 3) (1 + 6) (3 + 3) (3 + 6) (6 + 6)

1 1 3 6 1 3 6 3 6 6

3 3 3 6 3 3 6 3 6 6

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

(1 + 1) 1 3 6

(1 + 3) 3 3 6

(1 + 6) 6 6 6

(3 + 3) 3 3 6

(3 + 6) 6 6 6

(6 ร— 6) 6 6 6

Tabel 2. 5 Tabel Cayley Sifat Absorbsi untuk Operasi ร—

ร— (1 + 1) (1 + 3) (1 + 6) (3 + 1) (3 + 3) (3 + 6) (6 + 1) (6 + 3) (6 + 6)

1 1 1 1

2 3 3 3

4 6 6 6

Tabel 2. 6 Tabel Cayley Sifat Absorbsi untuk Operasi +

+ (1 ร— 1) (1 ร— 3) (1 ร— 6) (3 ร— 1) (3 ร— 3) (3 ร— 6) (6 ร— 1) (6 ร— 3) (6 ร— 6)

1 1 1 1

2 3 3 3

4 6 6 6

Karena dari delapan sifat latis terpenuhi, maka himpunan dari bilangan asli ๐ด

yang didefinisikan sebagai ๐ด = {1, 3, 6} adalah latis.

Teorema 2.1

Misal ๐ฟ adalah suatu latis dan ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐ฟ. Jika ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž, maka ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘

(Sukardjono, 2002:40).

Page 31: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

16

Bukti:

๐‘Ž + ๐‘ = (๐‘Ž ร— ๐‘) + ๐‘ (diketahui)

๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ + (๐‘Ž ร— ๐‘) (sifat asosiatif +)

๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ + (๐‘ ร— ๐‘Ž) (sifat komutatif ร—)

๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ (sifat absorbsi ร—)

Jadi, terbukti bahwa ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ jika ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž.

Teorema 2.2

Misal ๐ฟ adalah suatu latis dan ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐ฟ. Jika ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘, maka ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž

(Sukardjono, 2002:40).

Bukti:

๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž ร— (๐‘Ž + ๐‘) (diketahui)

๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž (sifat absorbsi +)

Jadi, terbukti bahwa ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž jika ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘.

Teorema 2.3

Misal ๐ฟ suatu latis dan ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ, maka berlaku ๐‘Ž ฮฑ ๐‘Ž (Sukardjono, 2002:40).

Bukti:

๐‘Ž ร— ๐‘Ž = ๐‘Ž (sifat idempotent latis)

๐‘Ž ฮฑ ๐‘Ž (definisi 2.2)

maka terbukti bahwa ๐‘Ž ฮฑ ๐‘Ž; โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ.

Teorema 2.4

Misal ๐ฟ suatu latis dan ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐ฟ, maka berlaku jika ๐‘Ž ฮฑ ๐‘ dan ๐‘ ฮฑ ๐‘Ž, maka ๐‘Ž = ๐‘

(Sukardjono, 2002:40).

Page 32: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

17

Bukti:

๐‘Ž = ๐‘Ž ร— ๐‘ (definisi 2.2)

= ๐‘ ร— ๐‘Ž (sifat komutatif ร—)

= ๐‘ (definisi 2.2)

Teorema 2.5

Misal ๐ฟ suatu latis dan ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐ฟ, maka berlaku jika ๐‘Ž ฮฑ ๐‘ dan ๐‘ ฮฑ ๐‘, maka ๐‘Ž ฮฑ ๐‘

(Sukardjono, 2002:40).

Bukti:

๐‘Ž ร— ๐‘ = (๐‘Ž ร— ๐‘) ร— ๐‘ (definisi 2.2)

= ๐‘Ž ร— (๐‘ ร— ๐‘) (sifat asosiatif ร—)

= ๐‘Ž ร— ๐‘ (definisi 2.2)

= ๐‘Ž (definisi 2.2)

Jadi terbukti bahwa jika ๐‘Ž ฮฑ ๐‘ dan ๐‘ ฮฑ ๐‘, maka ๐‘Ž ฮฑ ๐‘.

Relasi ฮฑ pada teorema 2.3-2.5 merupakan relasi terurut parsial karena

bersifat reflektif, antisimetris, dan transitif. Relasi terurut parsial juga bisa

dituliskan sebagai ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ untuk ๐‘Ž ฮฑ ๐‘ (Sukardjono, 2002:41).

Teorema 2.6

Suatu latis adalah poset dengan sifat ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ yang berarti ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž dan ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘

(Sukardjono, 2002:41).

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa jika ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ maka berlaku ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž dan ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘.

Karena ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ maka โˆ€๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐ฟ berlaku sifat refleksif, antisimetris dan transitif.

Pertama akan dibuktikan bahwa jika ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ maka ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž yaitu:

๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž ร— ๐‘Ž (karena berlaku sifat antisimetris)

Page 33: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

18

= ๐‘Ž (karena berlaku sifat refleksif)

Selanjutnya berdasarkan teorema 2.1 jika ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ maka ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ โˆˆ ๐ฟ,

sehingga terbukti jika ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ maka berlaku ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž dan ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘

2.5 Kongruensi Latis

Definisi (1)

Suatu relasi ekuivalen ฮฑ pada latis ๐ฟ adalah kongruen jika ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ฮฑ) yang

berakibat bahwa

1. โˆ€๐‘ง โˆถ ๐‘ง โŠ” ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง โŠ” ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

2. โˆ€๐‘ง โˆถ ๐‘ง โŠ“ ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง โŠ“ ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

(Garg, 2007:63).

Definisi (2)

Suatu relasi ekuivalen ฮฑ pada latis ๐ฟ disebut relasi kongruen jika mengikuti dua

sifat sebagai berikut:

a. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1(mod ฮฑ)

berakibat bahwa ๐‘Ž0 ร— ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘0 ร— ๐‘1 (mod ฮฑ)

b. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1(mod ฮฑ)

berakibat bahwa ๐‘Ž0 + ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘0 + ๐‘1(mod ฮฑ)

(Gratzer, 2011:36).

Berdasarkan dua definisi tersebut, terdapat lemma pada Garg (2007) yang

belum dibuktikan, maka penulis akan mengambil definisi tersebut untuk dikaji

lebih lanjut pada pembahasan bab 3.4.

Page 34: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

19

2.6 Menuntut Ilmu dalam Islam

Berdasarkan pembahasan pada bab ini, maka terdapat firman Allah yang

berbunyi:

(00ุงู„ู…ุฌุงุฏู„ุฉ:ุงู„ุนู„ู… ุฏุฑุฌุงุช ) ุงู„ุฐูŠู† ุฃ ูˆุช ูˆุง ูŠ ุฑูุน ุงู„ู„ู‡ ุงู„ุฐูŠู† ุขู…ู† ูˆุง ู…ู†ูƒ ู… ูˆ

โ€œAllah akan meninggikan orang-orang yang beriman diantaramu dan orang-orang yang

diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat (al-Mujadalah:11)โ€.

Meninggikan beberapa derajat adalah menunjukkan akan besarnya

keutamaan dan ia mencakup ketinggian maโ€™nawi di dunia dengan tingginya

kedudukan dan nama baik serta ketinggian secara kongkrit di kehidupan akhirat

kelak dengan kedudukan sangat mulia di surga (Nabil, 2009:3).

Ayat yang menunjukkan keutamaan ilmu dan kewajiban menambah ilmu

adalah firman Allah yang ditujukan kepada Rasul-Nya:

(001ูˆู‚ ู„ ุฑุจ ุฒุฏู† ุนู„ู…ุงุง )ุทู‡:

โ€œDan katakanlah: โ€˜Ya Tuhanku, tambahkanlah kepadaku ilmu pengetahuanโ€™ (Thaha:

114)โ€.

Allah tidak menyuruh Nabi-Nya tidak menambah sesuatu kecuali

menambah ilmu. Makna menambah ilmu di sisi Allah adalah ilmu syariโ€™at yang

bisa menambah pengetahuan seorang hamba tentang Allah dan cara-cara

beribadah serta bermuamalah yang benar menurut agama (Nabil, 2009:3-4).

Adapun kemuliaan ilmu itu didapatkan oleh semua orang, karena ilmu

merupakan pemberian Allah yang khusus diberikan kepada manusia. Dengan

ilmu, Allah memberi kemuliaan kepada nabi Adam mengungguli para malaikat,

sehingga Allah memerintahkan semua malaikat agar bersujud kepada nabi Adam

(Shiddiq, 2000:4).

Page 35: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

20

Sesungguhnya ilmu itu menjadi mulia, lantaran sebagai sarana untuk

menuju takwa kepada Allah. Sebagaimana syair yang dilantunkan syeikh

Muhammad bin Hasan bin Abdillah (Shiddiq, 2000:4-5):

ูˆุงู† ู„ูƒ ู„ ุงู„ู…ุญุง ู…ุฏ ุช ุนู„ู… ูุฅู† ุงู„ุนู„ู… ุฒูŠู† ู„ุฃู‡ู„ู‡ * ูˆูุถู„ ูˆุน ู†

โ€œBelajarlah ilmu pengetahuan, karena sesungguhnya ilmu pengetahuan itu merupakan

hiasan bagi yang memilikinya. Ilmu itu juga menjadi kelebihan dan tanda bagi setiap

sesuatu yang terpujiโ€.

ุง ูƒ ู„ ูŠ ูˆู… ุฒูŠุงุฏุฉุง * ู…ู† ุงู„ุนู„ู… ูˆุงุณุจ ุงู„ููˆุงุฆุฏ ุญ ููŠ ุจุญ ูˆุฑ ูˆูƒ ู† ู… ุณุชููŠุฏุง

โ€œCarilah ilmu setiap hari, agar ilmu itu semakin bertambah dan carilah faidah-

faidahnya meskipun harus berenang di lautan faidahโ€.

Maka berdasarkan penjelasan di atas, penulis akan menambah ilmu

pengetahuan dengan cara mencari sifat-sifat yang terdapat pada kongruensi latis

serta membuktikan lemma pada kongruensi latis agar lebih mudah untuk

dipahami. Seperti dalam hadits Rasulullah yang berbunyi:

ู† ูˆุง ูˆ ู„ุงุช ู† ูุฑ ูˆุงูŠุณุฑ ูˆุง ูˆู„ุงุช ุนุณุฑ ูˆุง ูˆุณูƒ

โ€œMudahkanlah setiap urusan dan janganlah kalian mempersulitnya, buatlah mereka

tenang dan jangan membuat mereka lari (HR. Bukhari)โ€.

Page 36: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

21

BAB III

PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas mengenai analisis kesamaan dan perbedaan

dari definisi kongruensi latis serta membuktikan sifat-sifat pada kongruensi latis.

3.1 Definisi Kongruensi Latis (Garg)

Suatu relasi ekuivalen ฮฑ pada latis ๐ฟ adalah kongruen jika ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

yang berakibat bahwa

1. โˆ€๐‘ง โˆถ ๐‘ง โŠ” ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง โŠ” ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

2. โˆ€๐‘ง โˆถ ๐‘ง โŠ“ ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง โŠ“ ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

(Garg, 2007:63).

Misalkan โŠ” adalah operasi + dan โŠ“ adalah operasi ร—. Maka, akibat dari definisi

tersebut dapat dijabarkan menjadi:

1. โˆ€๐‘ง โˆถ ๐‘ง + ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง + ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

2. โˆ€๐‘ง โˆถ ๐‘ง ร— ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

Contoh:

Misal himpunan dari bilangan asli yang didefinisikan sebagai ๐ด = {1, 3, 6}

adalah latis. Kemudian himpunan tersebut dikatakan relasi ekuivalen jika

memenuhi sifat refleksif, simetrik, dan transitif:

Refleksif = {(1, 1), (3, 3), (6, 6)}

Simetrik = {(1, 3), (3, 1), (1, 6), (6, 1), (3, 6), (6, 3)}

Transitif = {(1, 3), (1, 6), (3, 1), (3, 6), (6, 1), (6, 6)}

Maka akan menghasilkan relasi ekuivalen sebagai berikut:

ฮฑ: {(1,1), (1,3), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 6)}.

Page 37: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

22

Selanjutnya, jika ฮฑ adalah suatu relasi ekuivalen dan jika relasi (๐‘Ž, ๐‘) โˆˆ ฮฑ,

maka dapat dinotasikan sebagai ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) (Gratzer, 2011:2-3) dan

diperoleh:

1. 1 โ‰ก 1 (mod (1, 1))

2. 1 โ‰ก 3 (mod (1, 3))

3. 1 โ‰ก 6 (mod (1, 6))

4. 3 โ‰ก 1 (mod (3, 1))

5. 3 โ‰ก 3 (mod (3, 3))

6. 3 โ‰ก 6 (mod (3, 6))

7. 6 โ‰ก 1 (mod (6, 1))

8. 6 โ‰ก 3 (mod (6, 3))

9. 6 โ‰ก 6 (mod (6, 6))

Berdasarkan penjelasan di atas, maka suatu relasi ekuivalen ฮฑ pada latis ๐ฟ

sudah terbukti. Langkah selanjutnya adalah, bagaimana relasi ekuivalen pada latis

tersebut bisa disebut kongruensi. Merujuk pada definisi kongruensi latis menurut

Garg dan โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•, misal ๐‘ง = 2 serta didefinisikan bahwa ๐‘Ž ร— ๐‘ = FPB (๐‘Ž, ๐‘) dan

๐‘Ž + ๐‘ = KPK (๐‘Ž, ๐‘), maka diperoleh

1. 2 ร— 1 โ‰ก 2 ร— 1 (mod (1, 1)) 2 + 1 โ‰ก 2 + 1 (mod (1, 1))

1 โ‰ก 1 (mod (1, 1)) 2 โ‰ก 2 (mod (1, 1))

2. 2 ร— 1 โ‰ก 2 ร— 3 (mod (1, 3)) 2 + 1 โ‰ก 2 + 3 (mod (1, 3))

1 โ‰ก 2 (mod (1, 3)) 2 โ‰ก 3 (mod (1, 3))

3. 2 ร— 1 โ‰ก 2 ร— 6 (mod (1, 6)) 2 + 1 โ‰ก 2 + 6 (mod (1, 6))

1 โ‰ก 2 (mod (1, 6)) 2 โ‰ก 6 (mod (1, 6))

Page 38: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

23

4. 2 ร— 3 โ‰ก 2 ร— 1 (mod (3, 1)) 2 + 3 โ‰ก 2 + 1 (mod (3, 1))

2 โ‰ก 1 (mod (3, 1)) 3 โ‰ก 2 (mod (3, 1))

5. 2 ร— 3 โ‰ก 2 ร— 3 (mod (3, 3)) 2 + 3 โ‰ก 2 + 3 (mod (3, 3))

2 โ‰ก 2 (mod (3, 3)) 3 โ‰ก 3 (mod (3, 3))

6. 2 ร— 3 โ‰ก 2 ร— 6 (mod (3, 6)) 2 + 3 โ‰ก 2 + 6 (mod (3, 6))

2 โ‰ก 2 (mod (3, 6)) 3 โ‰ก 6 (mod (3, 6))

7. 2 ร— 6 โ‰ก 2 ร— 1 (mod (6, 1)) 2 + 6 โ‰ก 2 + 1 (mod (6, 1))

2 โ‰ก 1 (mod (6, 1)) 6 โ‰ก 2 (mod (6, 1))

8. 2 ร— 6 โ‰ก 2 ร— 3 (mod (6, 3)) 2 + 6 โ‰ก 2 + 3 (mod (6, 3))

2 โ‰ก 2 (mod (6, 3)) 6 โ‰ก 3 (mod (6, 3))

9. 2 ร— 6 โ‰ก 2 ร— 6 (mod (6, 6)) 2 + 6 โ‰ก 2 + 6 (mod (6, 6))

2 โ‰ก 2 (mod (6, 6)) 6 โ‰ก 6 (mod (6, 6))

Karena sembilan kondisi tersebut memenuhi sifat yang terdapat pada

definisi kongruensi latis, maka ๐ด = {1, 3, 6} adalah kongruensi latis.

3.2 Definisi Kongruensi Latis (Gratzer)

Suatu relasi ekuivalen ฮฑ pada latis ๐ฟ disebut relasi kongruen jika

mengikuti dua sifat sebagai berikut:

a. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1(mod ฮฑ)

berakibat bahwa ๐‘Ž0 ร— ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘0 ร— ๐‘1 (mod ฮฑ)

b. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1(mod ฮฑ)

berakibat bahwa ๐‘Ž0 + ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘0 + ๐‘1(mod ฮฑ)

(Gratzer, 2011:36).

Page 39: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

24

Contoh:

Misal himpunan dari bilangan asli yang didefinisikan sebagai ๐ด = {1, 3, 6}

adalah latis. Kemudian akan ditunjukkan relasi ekuivalen pada latis tersebut.

Dengan cara yang sama pada contoh kongruensi latis (Garg), maka diperoleh

1. 1 โ‰ก 1 (mod (1, 1))

2. 1 โ‰ก 3 (mod (1, 3))

3. 1 โ‰ก 6 (mod (1, 6))

4. 3 โ‰ก 1 (mod (3, 1))

5. 3 โ‰ก 3 (mod (3, 3))

6. 3 โ‰ก 6 (mod (3, 6))

7. 6 โ‰ก 1 (mod (6, 1))

8. 6 โ‰ก 3 (mod (6, 3))

9. 6 โ‰ก 6 (mod (6, 6))

Berdasarkan penjelasan di atas, maka suatu relasi ekuivalen ฮฑ pada latis ๐ฟ

sudah terbukti. Langkah selanjutnya adalah, bagaimana relasi ekuivalen pada

latis tersebut bisa disebut kongruensi. Merujuk pada definisi kongruensi latis

menurut Gratzer serta didefinisikan bahwa ๐‘Ž ร— ๐‘ = FPB (๐‘Ž, ๐‘) dan ๐‘Ž + ๐‘ =

KPK (๐‘Ž, ๐‘), maka diperoleh

1. 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

a. 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 ร— 1 โ‰ก 1 ร— 3 (mod ฮฑ)

1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

Page 40: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

25

b. 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 + 1 โ‰ก 1 + 3 (mod ฮฑ)

1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

Karena diperoleh hasil yang sama, maka persamaan 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan

1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) bisa disebut reflektif.

2. 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan 3 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

a. 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan 3 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 ร— 3 โ‰ก 1 ร— 3 (mod ฮฑ)

1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

b. 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan 3 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 + 3 โ‰ก 1 + 3 (mod ฮฑ)

3 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

Karena diperoleh hasil yang sama, maka persamaan 1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ) dan

3 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) bisa disebut reflektif.

Berdasarkan kedua contoh tersebut, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap

๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod ฮฑ) jika dipasangkan dengan kongruensi berbentuk apapun hasilnya

akan kembali ke dirinya sendiri (reflektif).

3. 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) dan 3 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

a. 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) dan 3 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 ร— 3 โ‰ก 3 ร— 1 (mod ฮฑ)

1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

b. 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) dan 3 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 + 3 โ‰ก 3 + 1 (mod ฮฑ)

3 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

Page 41: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

26

4. 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) dan 6 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

a. 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) dan 6 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 ร— 6 โ‰ก 3 ร— 1 (mod ฮฑ)

1 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

b. 1 โ‰ก 3 (mod ฮฑ) dan 6 โ‰ก 1 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa 1 + 6 โ‰ก 3 + 1 (mod ฮฑ)

6 โ‰ก 3 (mod ฮฑ)

3.3 Analisis Kesamaan dan Perbedaan dari Definisi Kongruensi Latis

Pada definisi kongruensi latis berdasarkan Gratzer terdapat dua sifat

sebagai berikut:

a. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa ๐‘Ž0 ร— ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘0 ร— ๐‘1 (mod ฮฑ)

b. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1 (mod ฮฑ)

berakibat bahwa ๐‘Ž0 + ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘0 + ๐‘1 (mod ฮฑ).

Kemudian, definisi tersebut akan dijabarkan menjadi

Misal ๐‘Ž0 = ๐‘0 = ๐‘ง; ๐‘Ž1 = ๐‘ฅ; ๐‘1 = ๐‘ฆ, maka dua sifat tersebut akan menjadi

a. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1 (mod ฮฑ)

๐‘ง โ‰ก ๐‘ง (mod ฮฑ) dan ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ฮฑ) yang berakibat

๐‘ง ร— ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘ฆ (mod ฮฑ)

b. ๐‘Ž0 โ‰ก ๐‘0 (mod ฮฑ) dan ๐‘Ž1 โ‰ก ๐‘1 (mod ฮฑ)

๐‘ง โ‰ก ๐‘ง (mod ฮฑ) dan ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ฆ (mod ฮฑ) yang berakibat

๐‘ง + ๐‘ฅ โ‰ก ๐‘ง + ๐‘ฆ (mod ฮฑ).

Page 42: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

27

Maka, terbukti bahwa dari definisi Gratzer bisa menjadi definisi Garg

dengan cara memisalkan ๐‘Ž0 dan ๐‘0 dengan ๐‘ง, ๐‘Ž1 dengan ๐‘ฅ, dan ๐‘1 dengan ๐‘ฆ.

3.4 Sifat-sifat Kongruensi Latis

Lemma

Misal ฮฑ adalah kongruensi pada latis ๐ฟ; maka

1. Jika ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) โˆง (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘) maka ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ)

2. ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) jika dan hanya jika ๐‘Ž ร— ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž + ๐‘ (mod ฮฑ)

(Garg, 2007:63).

Bukti:

1. Jika ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) โˆง (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘) maka ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ)

Sebelum membuktikannya, terlebih dahulu penulis akan mengupas satu

persatu modal yang ada pada lemma nomor 1 tersebut. Modal pertama adalah

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ๐‘Ž) yang berarti ๐‘Ž = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) berdasarkan definisi dari

kongruensi pada pembahasan sebelumnya. Modal kedua adalah (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘)

yang berarti bahwa:

- Untuk ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ berlaku ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž โ€ฆ (โˆ—) dan ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ โ€ฆ (โˆ—โˆ—)

- Untuk ๐‘ โ‰ค ๐‘ berlaku ๐‘ ร— ๐‘ = ๐‘ โ€ฆ (#) dan ๐‘ + ๐‘ = ๐‘ โ€ฆ (##)

- Untuk ๐‘Ž โ‰ค ๐‘ berlaku ๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž โ€ฆ (โˆ˜) dan ๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘ โ€ฆ (โˆ˜โˆ˜)

Selanjutnya, akan dibuktikan jika ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) dan (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘) maka

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ). Adapun langkah-langkah untuk membuktikannya adalah

sebagai berikut:

๐‘Ž = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal pertama)

๐‘Ž = (๐‘ + ๐‘) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (##))

Page 43: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

28

๐‘Ž = (๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘ + ๐‘) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (โˆ—โˆ—) dan (##))

๐‘Ž = ๐‘Ž + ๐‘ + ๐‘ + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž)

๐‘Ž = ๐‘Ž + ๐‘ + ๐‘ + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž)

๐‘Ž = ๐‘ + ๐‘ + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (โˆ˜โˆ˜))

๐‘Ž = ๐‘ + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat idempotent +)

๐‘Ž = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (mengikuti teorema 2.1)

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) (definisi kongruensi)

Maka, terbukti bahwa jika ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) dan (๐‘Ž โ‰ค ๐‘ โ‰ค ๐‘) maka

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ).

Karena lemma nomor 1 sudah terbukti, maka lemma tersebut dapat

digunakan dalam membuktikan lemma setelah ini.

2. ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) jika dan hanya jika ๐‘Ž ร— ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž + ๐‘ (mod ฮฑ)

Pada pembuktian ini, penulis menggunakan modal yang ada pada lemma

nomor 1, maka akan dibuktikan bahwa:

i) Jika ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) maka ๐‘Ž ร— ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž + ๐‘ (mod ฮฑ)

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) (modal utama)

๐‘Ž = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (definisi kongruensi)

๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (โˆ—))

(๐‘Ž ร— ๐‘) ร— (๐‘ ร— ๐‘) = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (โˆ—) dan (#))

๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat transitif)

๐‘Ž ร— ๐‘ = (๐‘ + ๐‘) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (##))

๐‘Ž ร— ๐‘ = (๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘ + ๐‘) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (โˆ—โˆ—) dan (##))

๐‘Ž ร— ๐‘ = ๐‘Ž + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat transitif)

๐‘Ž + ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž + ๐‘ (mod ฮฑ) (definisi kongruensi)

Page 44: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

29

ii) Jika ๐‘Ž + ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž + ๐‘ (mod ฮฑ) maka ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ)

๐‘Ž + ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž + ๐‘ (mod ฮฑ) (modal utama)

๐‘Ž + ๐‘ = ๐‘Ž + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (definisi kongruensi)

๐‘Ž ร— (๐‘ + ๐‘) = ๐‘Ž + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (##))

๐‘Ž ร— ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘ + ๐‘)) = ๐‘Ž + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž)(modal kedua (โˆ—โˆ—) dan (##))

๐‘Ž ร— (๐‘Ž + ๐‘) = ๐‘Ž + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat transitif)

๐‘Ž = ๐‘Ž + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat absorbsi +)

๐‘Ž = (๐‘Ž ร— ๐‘) + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (โˆ—))

๐‘Ž = ๐‘ + (๐‘Ž ร— ๐‘) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat komutatif +)

๐‘Ž = (๐‘ + ((๐‘Ž ร— ๐‘) ร— (๐‘ ร— ๐‘))) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (modal kedua (โˆ—) dan (#))

๐‘Ž = (๐‘ + (๐‘Ž ร— ๐‘)) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat transitif)

๐‘Ž = (๐‘ + (๐‘ ร— ๐‘Ž)) + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat komutatif ร—)

๐‘Ž = ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž) (sifat absorbsi ร—)

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) (definisi kongruensi)

Karena (i) dan (ii) sudah terbukti, maka benar bahwa

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod ฮฑ) jika dan hanya jika ๐‘Ž + ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž + ๐‘ (mod ฮฑ).

Berdasarkan pembuktian nomor 1 dan 2, maka lemma pada pembahasan

ini terbukti benar.

Teorema 1

ฮฑ adalah relasi ekuivalen. Misal ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ dan (๐‘Ž, ๐‘Ž) โˆˆ ฮฑ, maka

๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘Ž, ๐‘Ž)) adalah kongruensi latis yang bersifat reflektif jika ๐‘ž = 0.

Bukti:

๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘Ž, ๐‘Ž)) (modal utama)

Page 45: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

30

๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod ฮฑ) (diketahui)

i) โˆ€๐‘ง; ๐‘ง + ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ง + ๐‘Ž (mod ฮฑ)

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘Ž + (ฮฑ ร— ๐‘ž); ๐‘ž = 0 (definisi kongruensi latis)

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘Ž

ii) โˆ€๐‘ง; ๐‘ง + ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ง + ๐‘Ž (mod ฮฑ)

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘Ž + (ฮฑ ร— ๐‘ž); ๐‘ž = 0 (definisi kongruensi latis)

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘Ž

Maka terbukti bahwa ๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘Ž, ๐‘Ž)) adalah kongruensi latis yang bersifat

reflektif jika ๐‘ž = 0.

Teorema 2

ฮฑ adalah relasi ekuivalen. Misal ๐‘Ž, ๐‘ โˆˆ ๐ฟ dan (๐‘Ž, ๐‘), (๐‘, ๐‘Ž) โˆˆ ฮฑ, maka

๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) jika dan hanya jika ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)) adalah kongruensi

latis yang bersifat simetris jika ๐‘ž = 0.

Bukti:

Untuk membuktikan ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) jika dan hanya jika

๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)), maka dibutuhkan pembuktian melalui dua arah,

yaitu jika ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) maka ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)) dan jika

๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)) maka ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)). Dengan cara yang sama pada

pembuktian Teorema 1, maka

i) Jika ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) maka ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž))

โˆ€๐‘ง; ๐‘ง + ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ง + ๐‘ (mod ฮฑ)

๐‘ง ร— ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘ (mod ฮฑ)

maka untuk ๐‘ง + ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ง + ๐‘ (mod ฮฑ) berlaku,

Page 46: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

31

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž); ๐‘ž = 0 (definisi kongruensi)

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘

dan untuk ๐‘ง + ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ง + ๐‘ (mod ฮฑ) berlaku,

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘ + (ฮฑ ร— ๐‘ž); ๐‘ž = 0 (definisi kongruensi)

๐‘ง + ๐‘Ž = ๐‘ง + ๐‘

ii) Jika ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)) maka ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘))

โˆ€๐‘ง; ๐‘ง + ๐‘ โ‰ก ๐‘ง + ๐‘Ž (mod ฮฑ)

๐‘ง ร— ๐‘ โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘Ž (mod ฮฑ)

maka untuk ๐‘ง ร— ๐‘ โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘Ž (mod ฮฑ) berlaku,

๐‘ง ร— ๐‘ = ๐‘ง ร— ๐‘Ž + (ฮฑ ร— ๐‘ž); ๐‘ž = 0 (definisi kongruensi)

๐‘ง ร— ๐‘ = ๐‘ง ร— ๐‘Ž

dan untuk ๐‘ง ร— ๐‘ โ‰ก ๐‘ง ร— ๐‘Ž (mod ฮฑ) berlaku,

๐‘ง ร— ๐‘ = ๐‘ง ร— ๐‘Ž + (ฮฑ ร— ๐‘ž); ๐‘ž = 0 (definisi kongruensi)

๐‘ง ร— ๐‘ = ๐‘ง ร— ๐‘Ž

Maka terbukti bahwa ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘)) jika dan hanya jika ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž))

adalah kongruensi latis yang bersifat simetris jika ๐‘ž = 0.

3.5 Keutamaan Orang-orang yang Menuntut Ilmu dalam Islam

Berdasarkan pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan bahwa pada

bab ini akan membahas tentang menambah ilmu pengetahuan berupa sifat-sifat

yang terdapat pada kongruensi latis serta memudahkan urusan orang lain dengan

cara membuktikan lemma yang belum terbukti. Maka, terdapat hadits yang

menunjang firman Allah pada pembahasan sebelumnya yang berbunyi:

Page 47: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

32

ุงู„ุนู„ู… ูุฑูŠุถุฉ ุนู„ู‰ุณู„ู…: ุฃ ุทู„ ุจ ูˆุง ุงู„ุนู„ู… ูˆู„ูˆ ุจุงู„ุต ู‚ุงู„ ุฑุณ ูˆู„ ุงู„ู„ู‡ ุตู„ู‰ ุงู„ู„ู‡ ุนู„ูŠู‡ ูˆ ูƒ ู„ ูŠู† ูุฅู† ุทู„

ุงู„ุนู„ู… ุฑุถุงุง ุจุง ูŠุทู„ ู… ุณู„ู… ุฅู† ุงู„ู…ู„ุงุฆูƒุฉ ุชุถุน ุฃุฌู†ุญุช ู‡ุง ู„ุทุงู„

โ€œTuntutlah ilmu walaupun di negeri Cina, karena sesungguhnya menuntut ilmu itu wajib

bagi setiap muslim. Sesungguhnya para malaikat meletakkan sayap-sayap mereka

kepada para penuntut ilmu karena senang dengan yang ia tuntut (HR. Ibnu Abdil Bar)โ€.

Hadits tersebut menunjukkan bahwa menuntut ilmu itu wajib dan para

malaikat turut berbahagia. Agama islam sangat memperhatikan pendidikan untuk

mencari ilmu pengetahuan karena dengan ilmu pengetahuan manusia bisa

berkarya dan berprestasi serta dapat menjadikan ibadah seseorang menjadi

sempurna. Begitu pentingnya ilmu, Rasulullah mewajibkan umatnya agar

menuntut ilmu, baik laki-laki maupun perempuan.

Untuk memperoleh ilmu pengetahuan, perlu adanya usaha. Oleh karena

itu, Rasulullah pernah meminta umat Islam agar menuntut ilmu walaupun ke

negeri Cina. Dianjurkannya memilih negeri Cina pada saat itu, karena

kemungkinan peradaban Cina sudah maju.

Di lain hadits, Rasulullah juga menegaskan bahwa menuntut ilmu itu tidak

mengenal batas usia. Hal ini dijelaskan dalam hadits yang berbunyi:

ุฏ ุฃ ุทู„ ุจ ูˆุง ุงู„ุนู„ู… ู…ู† ุงู„ู…ู‡ุฏ ุฅ ู„ู‰ ุงู„ุญ

โ€œTuntutlah ilmu mulai dari buaian sampai liang lahatโ€.

Selanjutnya dijelaskan pula bahwa mempermudah urusan orang lain,

khususnya yang sedang mendapatkan kesulitan itu termasuk perbuatan baik. Hal

ini telah dijelaskan dalam firman Allah yang berbunyi:

ุฅู† ุฃุญุณู†ุช ู… ุฃุญุณู†ุช ู… ู„ุฃู† ู ุณูƒ ู… ูˆุฅู† ุฃุณุฃุช ู ู„ู‡ุง...

โ€œJika kamu berbuat baik berarti kamu berbuat baik bagi dirimu sendiri dan jika kamu

berbuat jahat maka kejahatan itu bagi dirimu sendiri... (QS. al-Israโ€™:7)โ€.

Page 48: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

33

Adapun manfaat memudahkan orang lain yang sedang kesulitan adalah

orang tersebut akan dimudahkan segala urusannya oleh Allah, baik urusan dunia

maupun akhirat. Hal ini telah dijelaskan dalam hadits Rasulullah yang berbunyi:

ุฎุฑุฉ ...ูˆู…ู† ูŠุณุฑ ุนู„ู‰ ู… ุนุณุฑ ูŠุณุฑ ุงู„ู„ู‡ ุนู„ูŠู‡ ููŠ ู† ูŠุง ูˆุง ... ุงู„ุฏู†

โ€œ...dan barangsiapa memudahkan orang yang tengah dilanda kesulitan, maka

Allah akan memudahkannya di dunia dan di akhirat..โ€.

Alangkah beruntungnya seseorang yang kesehariannya senantiasa

berusaha untuk memudahkan urusan orang-orang yang sedang kesulitan. Karena

manfaat yang akan diperolehnya adalah mendapatkan kemudahan dari Allah, baik

di dunia maupun di akhirat.

Page 49: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

34

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan pada bab sebelumnya, diperoleh beberapa

kesimpulan yaitu sebagai berikut:

1. Terdapat kongruensi latis yang bersifat reflektif yaitu ๐‘Ž โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘Ž, ๐‘Ž)).

2. Terdapat kongruensi latis yang bersifat simetris yaitu ๐‘Ž โ‰ก ๐‘ (mod (๐‘Ž, ๐‘))

jika dan hanya jika ๐‘ โ‰ก ๐‘Ž (mod (๐‘, ๐‘Ž)).

4.2 Saran

Dalam penelitian ini, penulis hanya membahas dua definisi kongruensi

latis beserta contoh yang berkaitan dengan kongruensi latis, kemudian definisi

dari kongruensi latis tersebut dianalisis kesamaan dan perbedaannya sehingga

membentuk sifat-sifat kongruensi latis, yaitu reflektif dan simetris. Kemudian

sifat-sifat tersebut dibuktikan kebenarannya. Bagi peneliti selanjutnya dapat

dikembangkan kajian tentang kongruensi latis dengan memberikan lebih banyak

contoh, sehingga membentuk sifat baru yang berkaitan dengan kongruensi latis.

Page 50: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

35

DAFTAR RUJUKAN

Abdussakir. 2009. Matematika 1: Kajian Integratif Matematika dan Al-Qurโ€™an.

Malang: UIN Malang Press.

Al-Albani, M.N. 2005. Ringkasan Shahih Muslim. Jakarta: Gema Insani Press.

Khusnah, A.A. 2016. Penentuan Selesaian Kongruensi Polinomial. Skripsi tidak

dipublikasikan. Malang: UIN Maulana Malik Ibrahim Malang.

Garg, V.K. 2007. Lattice Theory with Applications. Austin: University of Texas.

Ghoffar, M.A. 2004. Lubaabut Tafsir min Ibnu Katsiir. Bogor: Pustaka Imam

Asy-Syafiโ€™i.

Gilbert, L dan Gilbert, J. 2009. Elements of Modern Algebra Seventh Edition.

USA: Cengage Learning.

Gratzer, G. 2011. Lattice Theory Foundation. Canada: Springer Basel.

Mayasari, Z.M. 2005. Pembentukan dan Sifat-sifat Latis Kongruen pada

Semigrup. Jurnal Gradien, 1 (2): 87-89.

Nabil, A. 2009. Keutamaan Menuntut Ilmu Menurut Syariโ€™at. Jakarta: Restu

Agung.

Shiddiq, A.N. 2000. Pedoman Belajar Pelajar dan Santri. Surabaya: Al-Hidayah.

Sukardjono. 2002. Teori Latis. Yogyakarta: ANDI.

Sukirman. 2005. Pengantar Aljabar Abstrak. Malang: UM PRESS.

Page 51: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur

RIWAYAT HIDUP

Aminatul Mardiyah lahir di Malang pada tanggal 19

November 1993. Biasa dipanggil Dyah. Ia tinggal di Tempur-

Kemiri, Kecamatan Kepanjen, Kabupaten Malang. Ia

merupakan anak kedua dari pasangan Muhammad Zainuri

dan Luluk Halimah. Pendidikan dasarnya ditempuh di SDN

Kemiri 02 lulus 2003, melanjutkan ke MTS An-Nur Bululawang lulus pada tahun

2009 dan melanjutkan ke MA An-Nur Bululawang lulus pada tahun 2012.

Selanjutnya menempuh kuliah di Universitas Islam Negeri Maulana Malik

Ibrahim Malang pada tahun 2013.

Page 52: KONGRUENSI LATIS SKRIPSI OLEH AMINATUL ...etheses.uin-malang.ac.id/14005/1/13610120.pdfBilangan asli memiliki sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, dan terdapat unsur