Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

KOMPOSISI FUNGSI

DAN

FUNGSI INVERS

http://meetabied.wordpress.com

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan:•fungsi komposisi•salah satu fungsi

jika fungsi komposisidan fungsi yang lain

diketahui


FungsiSuatu relasi dari A ke B

yang memasangkan setiap anggota A ke tepat satu anggota B

disebut fungsi atau pemetaandari A ke B


Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaan

umumnya dinotasikan denganhuruf kecil.

Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B

A disebut domainB disebut kodomain


Range atau Daerah Hasil

Jika f memetakanx A ke y B

dikatakan y adalah peta dari xditulis f: x → y atau y = f(x).

Himpunan y B yang merupakan peta dari x Adisebut range atau daerah hasil


contoh 1Perhatikan gambar pemetaan

f : A → B a

b

c

d

1

2

3

4

5

f

AB

domain adalah

A = {a, b, c, d}

kodomain adalah

B = {1, 2, 3, 4, 5}


Perhatikan gambar pemetaan f : A → B

a

b

c

d

1

2

3

4

5

f

AB

f(a) = 1, f(b) = 2

f(c) = 3, f(d) = 4

range adalah

R = {1, 2, 3, 4}


contoh 2

Misal f: R → R

dengan f(x) = √1 - x2

Tentukan domain dari fungsi f.


JawabSupaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2

maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau

(x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.Jadi, domain fungsi tersebut

adalah -1 ≤ x ≤ 1.


contoh 3

Misal f: R → R

dengan f(x – 1) = x2 + 5x

Tentukan : a. f(x)

b. f(-3)


Jawab

a.Misal y = x – 1 maka x = y + 1 karena f(x – 1) = x2 + 5x maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 f(y) = y2 + 7y + 6


f(y) = y2 + 7y + 6

a. f(x) = x2 + 7x + 6

b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6

= 9 – 21 + 6

= -6


Komposisi FungsiPenggabungan operasi dua fungsi

secara berurutan akanmenghasilkan sebuah fungsi baru.Penggabungan tersebut disebutkomposisi fungsi dan hasilnya

disebut fungsi komposisi.


x A dipetakan oleh f ke y Bditulis f : x → y atau y = f(x)

y B dipetakan oleh g ke z Cditulis g : y → z atau z = g(y)

atau z = g(f(x))

A

x

C

z

B

yf g


maka fungsi yang memetakanx A ke z C

adalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))

A B C

x zyf g

g o f


contoh 1

f : A → B dan g: B → Cdidefinisikan seperti pada gambar

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)

A B Ca

b

p

q

123

f g


Jawab:

A B Ca

b

p

q

123

f g

f(a) = 1 dan g(1) = q

Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

(g o f)(a) = ?


A B Ca

b

p

q

123

f g

f(b) = 3 dan g(3) = p

Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

(g o f)(b) = ?


contoh 2

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).

Jika f(x) = 2x + p dan

g(x) = 3x + 120

maka nilai p = … .


Jawab:f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p

3p – p = 360 – 120

2p = 240 p = 120http://meetabied.wordpress.com

Sifat Komposisi Fungsi1.Tidak komutatif:

f o g ≠ g o f2. Bersifat assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x

f o I = I o f = f


contoh 1f : R → R dan g : R → R

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

Tentukan: a. (g o f)(x)

b. (f o g)(x)


Jawab:f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)

= 2(3x – 1)2 + 5

= 2(9x2 – 6x + 1) + 5

= 18x2 – 12x + 2 + 5

= 18x2 – 12x + 7


f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)

= 3(2x2 + 5) – 1

= 6x2 + 15 – 1

(f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x)

tidak bersifat komutatif


contoh 2f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan

h(x) = 1/x

Tentukan: a. (f o g) o h

b. f o (g o h)


Jawab:f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1

dan h(x) = 1/x((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))

(f o g)(x) = (x2 – 1) – 1 = x2 – 2

(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x) = (1/x)2 – 2


f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1dan h(x) = 1/x

(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))(g o h)(x)= g(1/x)

= (1/x)2 – 1 = 1/x2 - 1

f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1) = (1/x2 – 1) – 1

=(1/x)2 – 2 http://meetabied.wordpress.com

contoh 3I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1

Tentukan:

a.(f o I)(x) dan (g o I)

b.(I o f) dan (I o g)


Jawab:I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1

(f o I)(x) = x2

(g o I)(x) = x + 1(I o f)(x) = x2

(I o g)(x) = x + 1(I o f)(x) = (f o I) = f


MenentukanSuatu Fungsi

Jika Fungsi Komposisidan

Fungsi Yang Lain Diketahui


Contoh 1

Diketahui f(x) = 3x – 1

dan (f o g)(x) = x2 + 5

Tentukan g(x).


Jawabf(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5

fg(x)] = x2 + 5

3.g(x) – 1 = x2 + 5

3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6

Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)


Contoh 2

Diketahui f(x) = 2x + 5

dan (f o g)(x) = 3x2 - 1

Tentukan g(x).


Jawabf(x) = 2x + 5 dan

(fog)(x) = 3x2 - 1

fg(x)] = 3x2 - 1

2.g(x) + 5 = 3x2 - 1

2.g(x) = 3x2 - 1 - 5 = 3x2 - 6

Jadi g(x) = (3x2 - 6)21


Contoh 3

Diketahui f(x) =

dan (f o g)(x) = 2x + 3

Tentukan g(x).

5

1

x

x


Jawab

f(x) =

(fog)(x) = 2x + 3

fg(x)] = 2x + 3

= 2x + 3

5

1

x

x

5)(

1)(

xg

xg


Jawabg(x)+1 = (2x + 3)(g(x) – 5)

g(x)+1 = 2xg(x) – 10x + 3g(x) - 15

g(x)-2xg(x)-3g(x) = -10x -15 - 1

-2g(x)-2xg(x) = -10x - 16

g(x)[-2-2x] = -10x - 16

Jadi g(x) = 1

85

22

1610

22

1610

x

x

x

x

x

x


Contoh 4

Diketahui f(x) =

dan (f o g)(x) = 3x - 4

Tentukan g(x).

13

32

x

x


Jawab

f(x) =

(fog)(x) = 3x - 4

fg(x)] = 3x - 4

= 3x - 4

13

32

x

x

1)(3

3)(2

xg

xg


Jawab2g(x)+3 = (3x - 4)(3g(x) – 1)

2g(x)+3 = 9xg(x) – 3x - 12g(x) + 4

2g(x)-9xg(x)+12g(x) = -3x - 3 - 4

-9xg(x)+14g(x) = -3x - 7

g(x)[-9x+14] = -3x - 7

Jadi g(x) = 149

73

149

73

x

x

x

x


Contoh 5

Diketahui f(x) =

dan (f o g)(x) =

Tentukan g(x).

54

3

x

x

2

1

x

x


Jawab

f(x) =

(fog)(x) =

f(g(x)) =

54

3

x

x

2

1

x

x

2

1

x

x


Jawab

(g(x)+3)(x-2) = (x+1)(4g(x)-5)

xg(x)-2g(x)+3x-6 = 4xg(x)-5x+4g(x)-5

xg(x)-4xg(x)-2g(x)-4g(x) = -5x-3x-6-5

-3xg(x)-6g(x) = -8x-11

2

1

5)(4

3)(

x

x

xg

xg


Jawab-3xg(x)-6g(x) = -8x-11

g(x)[-3x-6] = -8x-11

g(x) = 63

118

63

118

x

x

x

x


contoh 2

Diketahui g(x) = x + 9 dan

(f o g)(x) = ⅓x2 – 6

maka f(x) = … .


Latihan

Tentukan g(x), jika diketahui :1. f(x) = 3x – 1, (f.g)(x) = 4x + 62. f(x) = 2x + 3, (f.g)(x) = x2 +3x – 43. f(x) = 4x – 5, (f.g)(x) = 3x2 – 2x – 5

4. f(x) = , (f.g)(x) = 2x - 33

12

x

x


Jawab:g(x) = x + 9

(f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2 – 6

f(x + 9) = ⅓x2 – 6

Misal: x + 9 = y x = y – 9

f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6


f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6

= ⅓(y2 – 18y + 81) – 6

= ⅓y2 – 6y + 27 – 6

Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21


contoh 3

Diketahui f(x) = x – 3 dan

(g of)(x) = x2 + 6x + 9

maka g(x – 1) = … .


Jawab:f(x) = x – 3;

(g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9

g(x – 3) = x2 + 6x + 9

Misal: x – 3 = y x = y + 3

g(x) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9

= y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9http://meetabied.wordpress.com

g(x) = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9

= y2 + 12y + 36

g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36

= x2 – 2x + 1 + 12x – 12 + 36

= x2 + 10x + 25

Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25


Contoh 4

Diketahui f(x) = 2x + 1

dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1

Nilai g(-2) =….


Jawaban:f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1

f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1

f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1

2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 1

2g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2

g(x + 1) = -x2 – 2x – 1


g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1

g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1

= -1 – 2 – 1 = -4

Jadi g(2) = - 4


Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Documents

Transcript of Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers