KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMP SE-MANADO … · Banyaknya pemetaan yang terjadi adalah J( \...

$: KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMP SE-MANADO … · Banyaknya pemetaan yang terjadi adalah J( \ )=6 8=1296 10. (Jika pasangan berurutan (2017, L) terletak pada grafik fungsi T)=20−17$
KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMP SE-MANADO

SOLUSI BABAK SEMI FINAL

Rabu, 22 Februari 2017

1 KOMPETISI MATEMATIKA SMP SE-MANADO

FMIPA UNSRAT

1. Jika A = 2 + 22 + 222 + … + 222…22, maka tiga angka terakhir adalah …

2017 suku

a. 350

b. 352

c. 354

d. 356

Penyelesaian:

A = 2(1) + 2(11) + … + 2(111…11) (2017 suku)

A = 2(1 + 11 + 111 + … + 111…11) (2017 suku)

A = 2(1.102016 + 2.102015 + 3.102014 + … + 2014.103 + 2015.102 + 2016.10 + 2017)

Untuk melihat tiga angka terakhir maka menggunakan modulo 1000

Ingat bahwa 1000 mod 1000 ≡ 0 karena 1000 habis dibagi 1000 demikian untuk

103+n mod 1000 ≡ 0 mod 1000, untuk n bilangan asli sehingga

Tiga angka A ≡ 2(0 + 0 + 0 + … + 201500 + 20160 + 2017) mod 1000

A ≡ 2(0 + 0 + 0 + … + 201500 + 20160 + 2017) mod 1000

A ≡ 2(223677) mod 1000 ≡ 2(223.103 + 677) mod 1000 ≡ 2(0 + 677) mod 1000 ≡ 1354 mod 1000

≡ 354 mod 1000

Sehingga tiga angka terakhir adalah 354

2. Manakah FPB dari bilangan-bilangan

𝐴𝑛 = 23𝑛 + 36𝑛+2 + 56𝑛+2

Ketika 𝑛 = 0, 1, … , 2017.

a. 2

b. 3

c. 5

d. 7

Penyelesaian:

Kita mempunyai

𝐴0 = 1 + 9 + 25 = 35 = 5 ∙ 7.

Dengan menggunakan kongruensi mod 5, maka

𝐴𝑛 ≡ 23𝑛 + 36𝑛+2 ≡ 23𝑛 + 93𝑛+1 ≡ 23𝑛 + (−1)3𝑛+1 (mod 5).


FMIPA UNSRAT

Untuk 𝑛 = 1, 𝐴1 ≡ 9 ≠ 0 (mod 5), oleh karena itu 5 bukanlah faktornya.

Di lain sisi,

𝐴𝑛 ≡ 8𝑛 + 9 ∙ 93𝑛 + 25 ∙ 253𝑛

≡ 1 + 2 ∙ 23𝑛 + 4 ∙ 43𝑛

≡ 1 + 2 ∙ 8𝑛 + 4 ∙ 64𝑛

≡ 1 + 2 ∙ 1𝑛 + 4 ∙ 1𝑛

≡ 0 (mod 7),

oleh karena itu 7 membagi 𝐴𝑛, untuk semua bilangan bulat 𝑛 ≥ 0.

Jadi, FPB dari bilangan-bilangan 𝐴0, 𝐴1, …, 𝐴2017 sama dengan 7.

3. Diketahui 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0; 𝑥

3=

𝑦

4=

𝑧

5 dan 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 200. Berapa nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧?

a. 12

b. 24

c. 30

d. 40

Penyelesaian:

𝑥

3=

𝑦

4=

𝑧

5 maka

𝑥2

9=

𝑦2

16=

𝑧2

25, atau dapat ditulis 𝑥2 ∶ 𝑦2 ∶ 𝑧2 = 9 ∶ 16 ∶ 25

𝑥2 =9

50× 200 = 36 ⟹ 𝑥 = √36 = 6

𝑦2 =16

50× 200 = 64 ⟹ 𝑦 = √64 = 8

𝑧2 =25

50× 200 = 100 ⟹ 𝑧 = √100 = 10

∴ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 + 8 + 10 = 24

4. Untuk bilangan real positif 𝑥, jika 𝑥 − 12 =1

𝑥 maka nilai dari 𝑥4 − 10𝑥3 − 15𝑥2 − 122𝑥 + 2017 =

⋯

a. 2022

b. 2025

c. 2027

d. 1027


FMIPA UNSRAT

Penyelesaian:

𝑥 − 12 =1

𝑥

𝑥2 − 12𝑥 = 1

𝑥2 − 12𝑥 − 1 = 0

Untuk bilangan real positif 𝑥

𝑥 =12 + √144 + 4

2

𝑥 =12 + 2√37

2

𝑥 = 6 + √37

𝑥4 = (6 + √37)4

= 1296 + 4.216. √37 + 6.36.37 + 4.6.37√37 + 1396

= 1296 + 7992 + 1396 + 864√37 + 888√37

= 10657 + 1752√37

𝑥3 = (6 + √37)3

= 216 + 3.36. √37 + 3.6.37 + 37√37

𝑥3 = 216 + 666 + 145√37

−10𝑥3 = −8820 − 1450√37

𝑥2 = (6 + √37)2

= 36 + 2.6. √37 + 37

−15𝑥2 = −15(73 + 12√37)

−15𝑥2 = −1095 − 180√37

−122𝑥 = −122(6 + √37) = −732 − 122√37

Sehingga,

𝑥4 − 10𝑥3 − 15𝑥2 − 122𝑥 + 2017

= 10657 + 1752√37 − 8820 − 1450√37 − 1095 − 180√37 − 732 − 122√37 + 2017

= 2027

5. Dari tumpukan 2 set kartu bridge, diambil sebuah kartu. Peluang terambil kartu bersimbol hati atau

bernomor 7 adalah …

a. 4

13

b. 7

26

c. 17

52

d. 23

104

Penyelesaian:

P(Hati) = Peluang terambil kartu hati =26

104=

13

52

P(7) = Peluang terambil kartu bernomor 7 =8

104=

4

52

P(Hati dan 7) = Peluang terambil kartu hati dan bernomor 7 =2

104=

1

52

Jadi, P(Hati atau 7) = P(Hati) + P(7) − P(Hati dan 7) =13

52+

4

52−

1

52=

16

52=

4

13


FMIPA UNSRAT

6. Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi mempunyai keliling yang sama. Jika luas

segitiga adalah √3, maka luas segienam adalah …

a. 1

2

b. 1

2√3

c. √3

d. 3

2√3

Penyelesaian:

Karena keliling segienam beraturan sama dengan keliling segitiga sama sisi maka panjang sisi segitiga

beraturan dua kali panjang sisi segienam beraturan. Misalkan panjang sisi segienam beraturan adalah 𝑎,

maka panjang sisi segitiga sama sisi adalah 2𝑎.

Luas segitiga sama sisi =1

2𝑠2 sin 60° → √3 =

1

2(2𝑎)2

1

2√3 → 𝑎 = 1

Pada segienam beraturan, jari-jari lingkaran luar segienam beraturan sama dengan panjang sisinya.

Luas segienam beraturan = 6 ∙1

2∙ 𝑠2 ∙ sin 60° = 3 ∙ 12 ∙

1

2√3 =

3

2√3

7. Diketahui 𝐻 = {𝑘|𝑥2 − 1 < 𝑥2 + 𝑘 < 2(𝑥 + 1), 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡}. Banyaknya

himpunan bagian dari himpunan 𝐻 adalah…

a. 1

b. 2

c. 4

d. 8

Penyelesaian:

𝐻 = {𝑘|𝑥2 − 1 < 𝑥2 + 𝑘 < 2(𝑥 + 1), 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡}.

Sehingga :

𝑥2 − 1 < 𝑥2 + 𝑘 < 2(𝑥 + 1)

𝑥2 − 1 < 𝑥2 + 𝑘 < 2𝑥 + 2

𝑥2 − 1 − 𝑥2 < 𝑘 < 2𝑥 + 2 − 𝑥2

−1 < 𝑘 < −𝑥2 + 2𝑥 + 2

Untuk :

𝑥 = 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 − 1 < 𝑘 < −02 + 2(0) + 2 → −1 < 𝑘 < 2 → 𝑘 = {0,1} 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖

𝑥 = 1 𝑚𝑎𝑘𝑎 − 1 < 𝑘 < −(1)2 + 2(1) + 2 → −1 < 𝑘 < 3 → 𝑘 = {0, 1, 2} 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖


FMIPA UNSRAT

𝑥 = 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 − 1 < 𝑘 < −(2)2 + 2(2) + 2 → −1 < 𝑘 < 2 → 𝑘 = {0, 1} 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖

𝑥 = 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 − 1 < 𝑘 < −(3)2 + 2(3) + 2 → −1 < 𝑘 < −1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖

Jadi 𝐻 = {0, 1, 2} maka 𝑛(𝐻) = 3

Banyak himpunan bagian dari 𝐻 adalah 2𝑛(𝐻) = 8

8. Jika 𝐴 = {1, 2, 3, … … . , 50}, 𝑆 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐)|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑏 < 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 < 𝑐} dan 𝑇 =

{(𝑎, 𝑏, 𝑐)|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 𝑐} maka anggota dari 𝑆 ∩ 𝑇 ada sebanyak…

a. 2500

b. 1275

c. 1225

d. 50

Penyelesaian:

𝐴 = {1, 2, 3, . . . , 50}

𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑏 < 𝑎, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 < 𝑐}

𝑇 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐)|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 𝑐}

𝑆 ∩ 𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑏 < 𝑎, 𝑏 < 𝑐, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 𝑐}

= {(2, 1, 2), (3, 1, 3), (4, 1, 4), … … (50, 1, 50)} → 49

= {(3, 2, 3), (4, 2, 4), (5, 2, 5), … … (50, 2, 50)} → 48

↓

= {(49, 48, 49), (50, 48, 50)} → 2

= {(50, 49, 50)} → 1

𝑛(𝑆 ∩ 𝑇) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 49 =49(49 + 1)

2= 1225

9. Banyaknya pemetaan yang terjadi dari himpunan 𝑆 = {𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑜} ke himpunan 𝑇 = {𝑥| − 5 ≥ 𝑥 ≥

7, 𝑥 ∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝} adalah…

a. 1296

b. 144

c. 36


FMIPA UNSRAT

d. 24

Penyelesaian:

𝑆 = {𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑜} maka 𝑛(𝑆) = 4

𝑇 = {−4, −2, 0, 2, 4, 6} maka 𝑛(𝑇) = 6

Banyaknya pemetaan yang terjadi adalah 𝑛(𝑆 → 𝑇) = 64 = 1296

10. Jika pasangan berurutan (2017, 𝑝) terletak pada grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 20 − 17𝑥, maka nilai 𝑝

adalah…

a. −34.309

b. −34.289

c. −34.269

d. −34.249

Penyelesaian:

(2017, 𝑝) maka 𝑥 = 2017 dan 𝑦 = 𝑝 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 20 − 17(2017)

𝑦 = 20 − 34.289

𝑦 = −34.269 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑝 = −34.269

11. Bentuk sederhana dari

∑ (−1)(𝑖! 𝑖) = ⋯

2017

𝑖=1

a. 1 − 2017!

b. 1 − 2018!

c. 2017! − 1

d. 2018! + 1

Penyelesaian:

∑ (−1)(𝑖! 𝑖)

2017

𝑖=1


FMIPA UNSRAT

= (−1) ∑ (𝑖! 𝑖)

2017

𝑖=1

= (−1)[(1! 1) + (2! 2) + (3! 3) + (4! 4) + ⋯ + (2016! 2016) + (2017! 2017)]

= (−1)[((2 − 1)! 1) + ((3 − 1)! 2) + ((4 − 1)! 3) + ((5 − 1)! 4) + ⋯ + ((2017 − 1)! 2016)

+ ((2018 − 1)! 2017)]

= (−1)[(2! − 1!) + (3! − 2!) + (4! − 3!) + (5! − 4!) + ⋯ + (2017! − 2016!) + (2018! − 2017!)]

= (−1)(−1! + 2018!)

= 1! − 2018!

= 1 − 2018!

12. Perhatikan persamaan-persamaan dibawah ini. Nilai a yang memenuhi adalah …

a + b + c + d = 0

a + b + c + e = 10

a + b + d + e = 1

a + c + d + e = 8

b + c + d + e = 25

a. -14

b. -10

c. -3

d. -1

Penyelesaian.

a + b + c + d = 0

a + b + c + e = 10

a + b + d + e = 1

a + c + d + e = 8

b + c + d + e = 25 +

4(a + b + c + d + e) = 44

4(a + b + c + d + e) = 44

a + b + c + d + e = 11

0 + e = 11

e = 11

Maka,


FMIPA UNSRAT

10 + d = 11 ⇒ d = 1

1 + c = 11 ⇒ c = 10

8 + b = 11 ⇒ b = 3

25 a = 11 ⇒ a = -14

13. Jumlah tiga bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua masing-masing dikurangi 1,

maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 1 : 3. Jika bilangan kedua dan ketiga masing-masing

ditambah 3, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan terkecil

adalah ...

a. 4

b. 5

c. 6

d. 7

Penyelesaian:

Misalkan :

𝑎 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎

𝑏 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎

𝑐 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎

Diketahui I :

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 19 … (1)

Diketahui II :

𝑎 − 1

𝑏 − 1=

1

3 → 3(𝑎 − 1) = (𝑏 − 1)

3𝑎 − 3 = 𝑏 − 1

3𝑎 − 𝑏 = 2 … (2)

Diketahui III :

𝑏 + 3

𝑐 + 3=

5

6 → 6(𝑏 + 3) = 5(𝑐 + 3)

6𝑏 + 18 = 5𝑐 + 15

6𝑏 − 5𝑐 = −3 … (3)

Eliminasi (1) dan (2)

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 19 → 3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐 = 57

3𝑎 − 𝑏 = 2 → 3𝑎 − 𝑏 = 2 −

4𝑏 + 3𝑐 = 55 … (4)

Eliminasi (3) dan (4)

6𝑏 − 5𝑐 = −3 → 12𝑏 − 10𝑐 = −6

4𝑏 + 3𝑐 = 55 → 12𝑏 + 9𝑐 = 165 –


FMIPA UNSRAT

−19𝑐 = −171

𝑐 = 9

Subtitusikan 𝑐 = 9 ke (3)

6𝑏 − 5(9) = −3

6𝑏 − 45 = −3

6𝑏 = 42

𝑏 = 7

Subtitusikan 𝑏 = 7 ke (2)

3𝑎 − 𝑏 = 2

3𝑎 − 7 = 2

3𝑎 = 9

𝑎 = 3

Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 𝑐 − 𝑎 = 9 − 3 = 6

14. Diketahui bilangan real positif 𝑎 dan 𝑏 memenuhi persamaan

𝑎4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏4 = 6 dan 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 4

Nilai 𝑎 + 𝑏 adalah ...

a. 1

2

b. √21

c. 2√21

d. √21

2

Penyelesaian:

𝑎4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏4 = 6

𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 4

𝑎4 + 𝑏4 + 𝑎2𝑏2 + 2𝑎2𝑏2 + 2𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2) = 42

2𝑎2𝑏2 + 2𝑎𝑏(4 − 𝑎𝑏) = 10

2𝑦2 + 2𝑦(4 − 𝑦) = 10

2𝑦2 + 8𝑦 − 2𝑦2 = 10

8𝑦 = 10

𝑦 =10

8

𝑦 =5

4

Misalkan 𝑦 = 𝑎𝑏 > 0

𝑎𝑏 =5

4


FMIPA UNSRAT

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 4 +5

4=

21

4

𝑎 + 𝑏 =√21

2

15. Diketahui log𝑎 𝑏 =3

2, dan log𝑐 𝑑 =

5

4 ; 𝑎 > 1, 𝑏 > 1, 𝑐 > 1, 𝑑 > 1 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bilangan bulat. Jika

𝑎 − 𝑐 = 9, maka nilai maksimal dari 𝑎 + 𝑏 + c + 𝑑 adalah…

a. 145

b. 157

c. 167

d. 198

Penyelesaian:

Dik:

o log𝑎 𝑏 =3

2

o log𝑐 𝑑 =5

4

o 𝑎 − 𝑐 = 9

log𝑎 𝑏 =3

2→ 𝑎

3

2 = 𝑏

log𝑐 𝑑 =5

4→ 𝑐

5

4 = 𝑑

𝑎 − 𝑐 = 9

25 − 16 = 9

52 − 24 = 9

𝑎 = 25

𝑏 = 𝑎32 = 53 = 125

𝑐 = 16

𝑑 = 𝑐54 = 25 = 32

Nilai maksimal 𝑎 + 𝑏 + c + 𝑑 = 25 + 125 + 16 + 32 = 198


FMIPA UNSRAT

Essay

1. Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶, sudut A adalah dua kalinya sudut B. Buktikan bahwa 𝑎2 = 𝑏(𝑏 + 𝑐).

Penyelesaian:

Diketahui ∠𝐴 = 2∠𝐵.

Perpanjang 𝐶𝐴 ke 𝐷 sehingga 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵, lalu hubungkan 𝐵𝐷.

∆𝐴𝐵𝐷 adalah sebuah segitiga sama kaki, karena ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐷. Tetapi ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐵 +

∠𝐴𝐵𝐷.

Dengan demikian ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐷 =1

2∠𝐴 = ∠𝐵

Perhatikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dan 𝐵𝐷𝐶

∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐷𝐶

∠𝐶 = ∠𝐶

Dengan demikian ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐵𝐷𝐶, akibatnya 𝐴𝐶

𝐵𝐶=

𝐵𝐶

𝐷𝐶→ 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐷𝐶 atau 𝑎2 = 𝑏(𝑏 + 𝑐)

KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMP SE-MANADO … · Banyaknya pemetaan yang terjadi adalah J( \...

Documents

Transcript of KOMPETISI MATEMATIKA 2017 TINGKAT SMP SE-MANADO … · Banyaknya pemetaan yang terjadi adalah J( \...