KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP MATRIKS · PDF file3.2 Menentukan determinan dan invers matriks...

Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono 1

MODUL

MATEMATIKA

MATRIKS

( MAT 12.1.3 )

Disusun Oleh :

Drs. Pundjul Prijono

Nip. 19580117.198101.1.003

PEMERINTAH KOTA MALANG

DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang


STANDAR KOMPETENSI:

3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

masalah.

Kompetensi Dasar :

3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu

matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

3.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan

linear dua variabel

KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP MATRIKS

SUB

KOMPETENSI (J)

KRITERIA

KINERJA

LINGKUP

MATERI

BELAJAR

MATERI POKOK PEMBELAJARAN

SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN

1. Mendeskripsikan

macam-macam

matriks

Matriks dibedakan

menurut jenisnya

Macam-

macam

matriks

Teliti dan

cermat dalam

menerapkan

konsep matriks

Pengertian matriks,

notasi matriks, baris,

kolom, elemen dan

ordo matriks

Jenis-jenis matriks

Mengoperasikan

matriks

2. Menyelesaikan

operasi matriks

Operasi matriks

diselesaikan

dengan

menggunakan

aturan yang

berlaku

Operasi

matriks

Penyelesaian operasi

matriks:

Penjumlahan dan

pengurangan

Transpos matriks

Perkalian skalar

dengan matriks

Perkalian matriks

dengan matriks

3. Menentukan

determinan dan

invers matriks

Determinan dan

invers matriks

ditentukan dengan

aturan yang

berlaku

Determinan

dan invers

matriks

Determinan matriks

Minor, kofaktor dan

adjoin matriks

Invers matriks

Penyelesaian sistem

persamaan linear

dengan

menggunakan

matriks


A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari Pengertian matriks, notasi matriks, baris

kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks.

Anda juga mempelajari penyelesaian operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan,

perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks,

minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers matriks. Anda juga mempelajari penyelesaian

sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari

relasi dan fungsi, persamaan serta operasi pada bilangan real. Semua materi prasyarat

tersebut terdapat dalam modul Relasi dan Fungsi, persamaan dan pertidaksamaan dan

bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

a. Pelajari daftar isi serta skema kedudukan modul dengan cermat dan teliti karena dalam

skema modul akan nampak kedudukan modul yang sedang Anda pelajari ini antara

modul-modul yang lain.

b. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk

mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan, sehingga diperoleh hasil yang

optimal.

c. Pahami setiap teori dasar yang akan menunjang penguasaan materi dengan membaca

secara teliti. Bilamana terdapat evaluasi maka kerjakan evaluasi tersebut sebagai sarana

latihan.

d. Jawablah tes formatif dengan jawaban yang singkat dan jelas serta kerjakan sesuai

dengan kemampuan Anda setelah mempelajari modul ini.

e. Bila terdapat penugasan, kerjakan tugas tersebut dengan baik dan bilaperlu konsultasikan

hasil penugasan tersebut kepada guru/instruktur.

f. catatlah semua kesulitan Anda dalam mempelajari modul ini untuk ditanyakan pada

guru/instruktur pada saat tatap muka. Bacalah referensi lain yang ada hubungan dengan

materi modul ini agar Anda mendapatkan pengetahuan tambahan.


D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Memahami pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks,

jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks.

2. menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian skalar dengan

matriks, perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks, minor, kofaktor dan

adjoin matriks dan invers matriks.

3. Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

1. Kegiatan Belajar 1 ( Pengertian Matriks )

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari uraian kegiatan

belajar ini, anda diharapkan :

1) Memiliki pemahaman mengenai pengertian matriks

2) Dapat membedakan antara baris dan kolom matriks

3) Mengetahui elemen-elemen suatu matriks

4) Dapat menuliskan notasi-notasi matriks

5) Dapat menyebutkan ordo suatu matriks

b. Uraian Materi

NOTASI MATRIKS

Bentuk umum matriks: Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang diatur

berdasarkan baris dan kolom/lajur. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan

entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

1) Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika, berbagai keterangan seringkali

disajikan dalam bentuk matriks.

Contoh 1.


Keadaan Siswa Kelas 1 pada tanggal 1 Maret 2004

S = Sakit I = Ijin T = Tanpa Keterangan

Kelas I A

Kelas I B

Kelas I C

2

1

3

1

3

2

1

2

1

Contoh 2.

Daftar Campuran Bahan untuk Membuat Kue

Gula Mentega Tepung

Roti I

Roti II

Roti III

Roti IV

1

1

2

2

2

2

3

4

3

5

7

6

Apabila dari daftar tabel Contoh 1 dan 2 tersebut, kepala kolom dan baris

dihilangkan, kemudian susunan lambang bilangan itu diberi tanda kurung atau

kurung siku, maka susunan itu disebut matriks.

Matriks contoh 1 ialah

123

231

112

Matriks contoh 2 ialah

642

732

521

321

baris

k o l o m

baris

baris

baris

k o l o m

k o l o m

k o l o m


Jadi, matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-

bilangan yang diatur pada baris dan kolom (lajur) dan diletakkan di

dalam dua kurung biasa atau kurung siku.

2) Elemen Suatu Matriks

Pada matriks

1211109

8765

4321

, setiap bilangan dalam matriks diatas

dinamakan elemen matriks. Setiap elemen ditentukan dengan

menyatakan baris dan kolom yang memuat bilangan itu. Pada matriks di

atas bilangan 7 adalah elemen baris kedua kolom ketiga. Elemen-elemen

pada kolom kedua adalah bilangan-bilangan 2, 6 dan 10.

Bentuk umum sebuah matriks adalah :

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

amn adalah elemen atau unsur pada matriks yang terletak pada baris ke

m dan kolom ke n

3) Notasi Matriks

Suatu matriks dinyatakan dengan sebuah huruf kapital.

Misalnya A =

632

358, B =

12

45

4) Ordo Matriks

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti banyaknya

kolom.

Contoh :

A =

632

358, B =

12

45

Matriks A mempunyai 2 baris dan 2 kolom, maka dikatakan ordonya 23

(dibaca “2 kali 3”) dan ditulis A23 atau A(23).

Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom,

maka matriks itu disebut matriks bujur sangkar. Karena istilah bujur


sangkar disesuaikan menjadi persegi, maka dapat pula disebut dengan

matriks persegi. Matriks B adalah matriks persegi dengan ordo 2.

b. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1

Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-

bilangan-bilangan yang diatur pada baris dan kolom (lajur), serta

diletakkan di dalam dua kurung biasa atau kurung siku

Bentuk umum sebuah matriks adalah :

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

amn adalah elemen atau unsur pada matriks yang terletak pada baris ke

m dan kolom ke n

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti dengan

banyaknya kolom.

Matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom, maka dikatakan ordonya 2×3

(dibaca “2×3”) dan ditulis A2×3 atau A(2×3)

Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom,

maka matriks itu disebut matriks persegi.

Contoh :

B =

dc

ba adalah matriks persegi dengan ordo 2

B. Kegiatan Modul 12.1.3.1

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan

belajar 1. Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci

jawaban ) sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan

latihan hanya sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal

berikut ini.


1. Diketahui matriks

0915

6273

8421

a) Sebutkanlah banyaknya baris dan kolom

b) Sebutkanlah elemen-elemen baris kedua

c) Sebutkanlah elemen-elemen kolom ketiga

d) Tulislah elemen matriks yang seletak pada baris kedua dan kolom

keempat

e) Nyatakanlah baris dan lajur yang menentukan letak elemen 4, 7 dan 2

2. Hasil pertandingan sepak bola adalah sebagai berikut :

Kesebelasan Main Menang Seri Kalah Memasukkan

Gol

Kemasukan

Gol Nilai

Persija Jakarta 5 2 1 2 15 15 5

Persib

Bandung 5 2 1 2 12 11 5

PSMS Medan 5 2 2 1 13 12 6

Persebaya

Surabaya 5 2 0 3 13 16 4

PSM Makassar 5 3 0 2 16 11 6

PSS Sleman 5 2 0 3 12 16 4

Dari matriks yang diperoleh :

a) Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom ?

b) Pada baris atau kolom mana :

Semua elemennya sama

Semua elemennya lebih dari 11

Semua elemennya genap

3. Diketahui matriks P=

a. Berapakah ukuran matriks P?

b. Tentukan mana yang merupakan baris 1, baris 2, baris 3 kolom 4, kolom 5 baris 1

c. Tentukan P11, P31, P23, P15, P35

3 -2 9 7 11

11 5 0 -4 2

3 7 3 5 -1


Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci

jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai

kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 1

Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang pengertian

matriks, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami

konsep tentang pengertian matriks.

Jika nilai perolehan ≥ 75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul

berikut ini.

Kegiatan Belajar 2 ( Macam-macam Matriks)

1. Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini diharapkan anda :

1) Dapat menyebutkan macam-macam matriks (matriks baris, matriks kolom,

matriks persegi/bujursangkar, matriks segitiga)

2) Dapat mengidentifikasi dua matriks yang sama

3) Memiliki kemampuan untuk menunjukkan transpos suatu matriks

2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2

a. Macam-macam matriks

Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilanganpada

entrinya. Sehingga matriks dibedakan sebagai berikut:

Matriks Baris

Matriks yang hanya memiliki elemen satu baris

Contoh : 110 , 1523

Matriks Kolom (Lajur)

Matriks yang hanya memiliki elemen satu kolom


Contoh :

c

b

a

,

1

1

1

1

Matriks Persegi (Bujursangkar)

Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom

Contoh :

65

43,

ponm

lkji

hgfe

dcba

Matriks Segitiga

Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal, dengan elemen-elemen 0

pada separuh bagiannya

Contoh :

05

43, ( Matriks segitiga atas )

ponm

lkj

hg

d

0

00

000

(Matriks segitiga bawah )

Matriks Diagonal

Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks dibawah dan

diatas diagonal utama bernilai 0

Contoh : 2 0 00 3 00 0 4

Matriks Identitas/Matriks Satuan (I)

I =

10

01 I =

100

010

001


b. Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B disebut sama, jika

Ordonya sama, dan

Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama

Contoh :

2

61

2

4

3

12

31

24, tetapi

34

12

31

24 sebab walaupun elemen-elemen

kedua matriks itu sama, tetapi letak elemen-elemen itu berbeda, sehingga

elemen-elemen yang bersesuaian tidak sama.

c. Transpos suatu Matriks

Dari matriks A dapat di bentuk matriks baru dengan cara baris 1 matriks A

ditulis menjadi kolom 1 matriks baru, baris 2 matriks A dijadikan kolom 2 matriks

baru, dan seterusnya.

Matriks baru yang diperoleh disebut transpos dari matriks A dan dinyatakan

dengan AT (di baca “transpos A”). Baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom

matriks AT, dan kolom-kolom matriks A menjadi baris-baris matriks AT.

Contoh : Jika A =

63

52

41

, maka AT =

654

321

Dari matriks tranpose ini, muncul istilah matriks simetrik (setangkup). Hal ini

terjadi misalkan A suatu matriks, jika A = 𝐴𝑇 maka A disebut matriks

simetrik/setangkup.

3. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 2

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai elemen satu baris

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai elemen satu kolom

Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan

banyaknya kolom

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal

dengan elemen bilangan-bilangan nol pada separuh bagiannya

Dua matriks A dan B disebut sama, jika :


Ordonya sama, dan

Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama

Transpos suatu matriks adalah matriks baru yang baris-barisnya merupakan

kolom-kolom matriks semula

4. Kegiatan Modul 12.1.3.2

1. Matriks-matriks berikut ini manakah yang sama ?

A = 321 B = 123 C = 321 D =

43

21

E =

43

21 F =

42

31 G =

42

31

2. Tentukanlah x dan y berikut ini

a)

30

81

30

2yx

b)

1

5

2

3

y

x

c) 2123 yx

3. Tulislah transpose dari setiap matriks pada soal no. 1 dan sebutkan ordo setiap

matriks transpose itu

4. P =

y

x

3

5

dan Q =

25

34

Jika PT = Q, tentukanlah x dan y.

5. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut :

=

Carilah x1 , x2 , x3 , x4

4 5 3

2 x1 6

-1 2 x2+3

x3+1 5 3

2 4 1/2x4

-1 2 5


Semester 1 Semester 2 Jumlah

Dewi Budi Dewi Budi Dewi Budi

Matematika 82 86 80 80 162 166

Bhs Inggris 72 78 73 74 145 152

6. Carilah AT jika A

a. b. c.

d.




Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang macam-macam

matriks dan operasinya, maka anda harus mengulang kembali membaca dan

memahami konsep tentang macam-macam matriks dan operasinya.


berikut ini.

3. Kegiatan Belajar 3 ( Penjumlahan dan Pengurangan Matriks)

a. Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan :

1) Memahami pengertian dan syarat penjumlahan matriks

2) Memahami pengertian lawan suatu matriks

3) Mengenal definisi penjumlahan matriks

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3

Agar pengertian dan syarat penjumlahan dua buah matriks dapat dipahami dengan baik,

simaklah persoalan berikut :

Dewi dan Budi adalah calon siswa teladan dari SMA Negeri 6 Malang. Penentuan siapa yang

berhak mengikuti seleksi pelajar teladan tingkat kota didasarkan pada jumlah nilai mata

pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris pada semester I dan semester II. Nilai kedua mata

pelajaran yang dicapai oleh Dewi dan Budi diperlihatkan pada tabel di bawah ini :

Tabel 1.

-2 4 7 5

1 3 0 1

1 -2 3

0 -1 -2

3 1 0 0 2

-1 0 2 7 1

2 3 5 1 6

-1 3 5

1 -3 -5

-1 3 5


Dari tabel 1 di atas terlihat bahwa jumlah nilai semester I dan II untuk mata pelajaran

Matematika dan Bahasa Inggris yang dicapai Budi lebih tinggi dibandingkan yang dicapai

oleh Dewi. Dengan demikian, Budi lebih berhak mengikuti seleksi pelajar teladan tingkat

kota untuk mewakili SMA Negeri 6 Malang.

Sekarang kita akan melihat bagaimana proses penjumlahan nilai-nilai tersebut dilakukan

dengan menggunakan matriks. Bila data atau informasi pada tabel 1 disajikan dalam bentuk

matriks, maka dapat dituliskan sebagai berikut

𝟖𝟐 𝟖𝟔𝟕𝟐 𝟕𝟔

+ 𝟖𝟎 𝟖𝟎𝟕𝟑 𝟕𝟒

= 𝟏𝟔𝟐 𝟏𝟔𝟔𝟏𝟒𝟓 𝟏𝟓𝟐

Dari uraian diatas didapat :

a) Penjumlahan Dua Matriks

Definisi. A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah

matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian

dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat

ditambahkan.

Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya

sama, penjumlahan dilakukan pada elemen yang seletak. Jadi dapat dituliskan dalam rumus:

𝑨𝒎𝒙𝒏 + 𝑩𝒎𝒙𝒏 = 𝑪𝒎𝒙𝒏

Contoh :

A

+

B

=

A + B

dc

ba

sr

qp

sdrc

qbpa

Contoh :

Diketahui A = 0 31 4

dan B = 10 52 1

Hitung : A + B = ...

B + A = ...

A + B = 0 31 4

+ 10 52 1

B + A = 10 52 1

+ 0 31 4

A B C


= 10 83 5

= 10 83 5

Contoh :

Diketahui : P = 2 5 14 1 0

Q = 0 3 51 1 2

R = 3 3 45 7 1

Hitung : P + Q + R = ...

P + ( Q + R ) = ...

(P + Q) + R = ...

( Cobalah sendiri )

Dari contoh diatas diperoleh Sofat-sifat :

1 . A + B = B + A ( Sifat Komutatif )

2. (A + B) + C = A +( B + C) ( Sifat Assosiatif )

b) PENGURANGAN MATRIKS

Apabila kita perhatikan, elemen-elemen yang seletak dari matriks B dan matriks A saling

berlawanan. Matriks B yang bersifat seperti itu disebut lawan atau negatif dari matriks A, dan

ditulis sebagai - A.

Sehingga pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A

dengan matriks negatip B.

A - B = A + (-B)

Contoh :

Jika 𝑃 = 1 23 4

dan 𝑄 = 5 67 8

Maka P – Q = P + (- Q ) = 1 23 4

− 5 67 8

= −4 −4−4 −4

Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3

Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan B ditulis:

(A + B) adalah sebuah matriks baru yang didapat dengan cara menjumlahkan elemen-elemen

yang seletak dari matriks A dan matriks B.


Setiap matriks mempunyai lawan atau negatif, misalkan matriks A mempunyai lawan matriks

- A.

Pengurangan matriks A oleh matriks B dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan matriks

A dengan lawan matriks B. Pengurangan matriks A oleh matriks B dapat juga dinyatakan

sebagai berikut, yaitu jika matriks A dan matriks B adalah dua matriks yang berordo sama,

maka pengurangan matriks A oleh matriks B ( ditulis: A – B)

Kegiatan Modul 12.3.3

1. Diketahui matriks :

A = 1 42 3

B = 1 45 2

C = 3 21 1

Carilah :

a) A + B

b) B + C

c) (A + B) + C

d) A + (B + C)

e) Apakah (A + B) + C = A + (B + C)

2. Jika

4071

3-642 A dan B =

3619

7253

B

Tentukan : a. A + B

b. A – B




Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang penjumlahan

matriks , lawan suatu matriks dan pengurangan matriks, maka anda harus

mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang penjumlahan

matriks , lawan suatu matriks dan pengurangan matriks.


berikut ini.


4. Kegiatan Belajar 4 ( Perkalian Matriks dengan skalar , Matriks dengan Matriks)



1) Memahami pengertian perkalian matriks dengan skalar

2) Memahami pengertian perkalain suatu matriks dengan matriks


Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan

mengalikan setiap elemen A dengan k.

dc

baA

dkck

bkakAk

..

...

Contoh :

Diketahui A = 1 42 3

Hitung 2A = ….

2A = 2 1 42 3

= 2 84 6

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

a. Perkalian Matriks dengan skalar

Matriks A dikalikan dengan c suatu bilangan/skalar maka cA diperoleh dari hasilkali

setiap elemen A dengan c. Dengan demikian, matriks –A dapat dipandang sebagai hasil

kali matriks A dengan skalar (–1). Jadi –A = (–1)A.

Berikut ini adalah contoh perkalian matriks dengan bilangan skalar,

Contoh:

𝑃 = 3 85 1

maka 4𝑃 = 4 3 85 1

= 12 3220 4

Jika p dan q bilangan real dan B, C dua matriks dengan ordo sedemikian hingga dapat

dilakukan operasi hitung berikut, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :

1) p (B+C) = pB + pC

2) p (B−C) = pB − pC

3) (p + q) C = pC + qC

4) (a – b) C = pC − qC

5) (pq) C = p (qC)

6) (pB) T= pBT


b. Perkalian matriks dengan matriks

Untuk memahami perkalian matriks dengan matriks, kita perhatikan pernyataan berikut. Dua

matriks AB dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah

baris matriks B. Jadi Am×n × Bn× p bisa didefinisikan, tapi Bn× p × Am×n

tidak dapat didefinisikan.

A m x n x B n x p = A B mxp

Perhatikan bahwa hasil kali matriks AB berordo m x p

Untuk menguji apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan juga untuk menentukan

ordo hasil perkaliannya, dapat juga menggunakan aturan memasang kartu domino sebagai

berikut :

Elemen-elemen dari AB diperoleh dari hasil kali setiap baris pada matriks A dengan setiap

kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan menjadi satu elemen. Untuk lebih jelasnya,

berikut ini diberikan contoh- contoh perkalian matriks dengan matriks.

Contoh :

1.

dc

baA dan

y

xB

dycx

byax

y

xx

dc

baAxB

2 x 2 2 x 1 = 2 x 1

Ket :

Perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB X BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C =

A(BC).


Contoh :

A = 1 02 3

; B = 1 23 0

Hitung : A x B dan B x A bagaimana hasil Ax B dan B x A ?

AxB = 1 02 3

1 23 0

= 1 2

11 4

BxA = 1 23 0

1 02 3

= 5 63 0

Dari hasil terlihat bahwa A x B ≠ B x A

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :

1) A(BC) = (AB)C

2) A(B+C) = AB + AC

3) (B+C)A = BA + CA

4) A(B−C) = AB−AC

5) (B−C)A = BA−CA

6) a(BC) = (aB)C = B(aC)

7) AI = IA = A

Perlu diingat bahwa bila AB dapat didefinisikan, maka BA belum tentu dapat didefinisikan,

sehingga AB belum tentu sama dengan BA.

Jika AB = - BA maka matriks A dan B disebut Anti Komutasi

Matriks A dengan sifat 𝐴𝑘+1 = 𝐴 dengan k bilangan positip maka disebut periodik , jika k =

1 sehingga 𝐴 = 𝐴2 , maka disebut idempoten

5. Kegiatan Modul 12.1.3.4

Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji kemampaun dan pemahamanmu

1. Misalkan (mxn) menyatakan ukuran matriks. Cari hasil perkalian (kalau terdefinisi) dari ukuran-ukuran berikut. a. (2x1)(1x3)

b. (4x5)(2x3) c. (1x1)(1x3)

d. (3x3)(3x4) e. (2x2)(3x2)

2. Carilah AB dan BA jika

a. A= B=

b. A= B=

2 1 1 -2 0

4 5 3

2 3

2 -1

2 0 -4

3 -2 6


3. Diketahui

A= B=

Tentukan

a. 2A, 3B, 2A-B, 3B-A

b. (2A-B)(3B-A)

4. Selidikilah bahwa ABBA untuk A= dan B=

5. Matriks A= B=

Carilah matriks P sedemikian sehingga AP=B.

6. Carilah 3A2+2A-3I2, jika A=




Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang perkalian

matriks, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami

konsep tentang perkalian matriks.


berikut ini.

C. Determinan Matriks



1) Memahami pengertian Determinan suatu matriks

2) Memahami pengertian determinan matriks ordo 2x2

3) Memahami pengertian determinan matriks ordo 3x3


Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan.

Pengertian Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang

bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian

elementer bertanda dari suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu

-1 3 2

2 0 7

-2 3 1

2 -1 -3

4 1 0

1 3 2

2 1 3

1 1 0

0 2 1

1 1 0

2 1 3

0 2 1

1 3

1 2

5 13

4 10

2 0

1 -1


kolom dengan +1 atau −1. Untuk lebih jelasnya, berikut ini diuraikan cara mencari

determinan matriks berordo 2 x 2 dan matriks

berordo 3 x 3.

1. Determinan matriks berordo 2 x 2

Jika matriks A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

maka det (A) = 𝑨 = ad – bc

Contoh: P = 8 43 4

, maka det(P) = 𝑃 = 8.4 − 3.4 = 20

2. Determinan matriks berordo 3 X 3

Untuk mencari determinan matriks berordo 3 x 3 dapat digunakan dua metode, sebagai

berikut :

a. Metode Sarrus

Jika matriks B = 𝑝 𝑞 𝑟𝑠 𝑡 𝑢𝑣 𝑤 𝑥

maka det (B) = 𝑝 𝑞 𝑟𝑠 𝑡 𝑢𝑣 𝑤 𝑥

𝑝 𝑞𝑠 𝑡𝑣 𝑤

= ptx+quv+rsw-qsy-puw-rtv

Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang

lebih tinggi lagi.

Contoh: Q = 2 4 61 3 57 8 9

, maka det Q = 𝑄 adalah 2 4 61 3 57 8 9

2 41 37 8

= (2x3x9) + (4x5x7) + (6x1x8) − (6x3x7) − (2x5x8) − (4x1x9) = 242 −242 = 0

b. Metode Kofaktor

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang

diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen

elemen pada kolom ke-j.

Contoh: Q = 2 4 61 3 57 8 9

, maka

M11 = 2 4 61 3 57 8 9

= 3 58 9

M12 = 2 4 61 3 57 8 9

= 1 57 9

M13 = 2 4 61 3 57 8 9

= 1 37 8

M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q.

Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan

+ + + - - -


Kij = (−1) i+j Mij = (−1) i+ j det (Mij )

Untuk mencari det(A) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal

ekspansi baris ke-1

Contoh: Q = 2 4 61 3 57 8 9

, untuk mendapatkan det Q dengan metode kofaktor adalah

mencari terlebih dahulu determinan-determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris

ke-1 diatas, yaitu det(M11)= −13 , det(M12 )= −26 dan det(M13 ) = −13, maka :

Q = q11.k11 − q12 .k12 + q13 .k13

= q11.(−1)1+1 det(M11) − q12 (−1)1+2 det(M12 ) + q13 (−1)1+3 det(M13 )

= 2.13 − 4.26 + 6.13 = 0

Suatu matriks yang nilai determinannya = 0 disebut matriks singular.

3. Adjoin Matriks

Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan

dengan adj A = (k ij ) t

Contoh: Q = 2 4 61 3 57 8 9

telah diketahui dari hitungan sebelumnya bahwa k11 = 13,

k12 = 26 dan k13 = 13 sekarang kita hanya mencari kofaktor dari ekspansi baris ke-2 dan

ekspansi baris ke-3, yaitu :

k 21= (−1) 2+1 4 68 9

= 12 ; k 22 =(−1) 2+2 2 67 9

= - 24 ; k 23 = (−1) 2+3

2 47 8

= 12

k 31= (−1) 3+1 4 63 5

= 2 ; k 32 = (−1) 3+2 2 61 5

= - 4 ; k 33 = (−1) 3+3 2 41 3

= 2

Adj A =

𝑘11 𝑘21 𝑘31

𝑘12 𝑘22 𝑘32

𝑘13 𝑘23 𝑘33

= 13 12 226 −24 413 12 2

Hal yang menarik dalam mencari adjoin matriks berordo 2x2 ditunjukkan sebagai berikut :

Jika A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

, maka kofaktor-kofaktornya adalah k11 = d , k12 = - c , k21 = - b , dan k 22 =

a . kemudian Adj A = 𝑘11 𝑘21

𝑘12 𝑘22 =

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya

D. Invers Matriks Untuk menjelaskan invers matriks, perhatikan pengertian berikut:

Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang dilambangkan

dengan 𝐴−1

Definisi:

Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas


maka B disebut invers dari A dan A invers dari B. Karena invers matriks A dilambangkan

dengan A−1

maka berlaku :

𝑨 𝒙 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏𝒙 𝑨 = 𝐼 dimana I = matriks Identitas

Contoh :

Diberikan matriks A = 7 93 4

dan B = 4 −9

−3 7 apakah B adalah invers matriks A ?

( diskusikan dengan teman-teman mu )

Cara mencari invers matriks berordo 2 x 2 dan invers matriks berordo 3 x 3 dipaparkan berikut ini.

1. Invers matriks berordo 2x2

Jika A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

maka 𝐴−1 = 1

det (𝐴)

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

; syarat det (A)≠ 0

Contoh :

Diketahui matriks A = 5 33 2

tentukan 𝐴−1

Det (A) = (5x2) – ( 3 x 3 ) = 1

𝐴−1 = 1

1

2 −3−3 5

= 2 −3

−3 5

2. Invers matriks berordo 3x3

Jika B3x3 maka 𝐵−1 = 1

det (𝐵). 𝐴𝑑𝑗 𝐵; syarat det (B) ≠ 0

Contoh : B = 1 2 30 4 50 0 6

, tentukan invers dari matriks segitiga tersebut .

Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor

dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka

det (Q) = 𝑄 = b31.k31 – b32.k32 +b33.k33 = 0 – 0 + 6 (- 1 )3+3

1 20 4

= 24

adj (B) =

+

4 50 6

− 2 30 6

+ 2 34 6

− 0 50 6

+ 1 30 6

− 1 30 5

+ 0 40 0

− 1 20 0

+ 1 20 4

= 24 −12 −20 6 −50 0 4


maka 𝑄−1 = 1

24

24 −12 −20 6 −50 0 4

=

1 −1

2−

1

12

01

4−

5

24

0 01

6

Contoh Soal Aplikasi Matriks

Dewi dan teman-temannya memesan 3 mangkok bakso dan 2 gelas es jeruk di kantin

sekolahnya. Tak lama kemudian, datang Doni dan teman-temannya memesan 5 mangkok

bakso dan 3 gelas es jeruk. Dewi meminta Amir, untuk menentukan harga bakso per mangkok dan harga es jeruk per gelas jika Dewi harus membayar Rp. 7000,00 untuk semua pesanannya, dan Doni harus membayar Rp.11.500,00 untuk semua pesanannya itu. Maka berapakah harga bakso per mangkok dan es jeruk per gelasnya? Petunjuk : Buatlah sistem persamaan linearnya lalu selesaikan dengan matriks.

Jawab :

Misalkan x = harga bakso per mangkok y = harga es jeruk per gelas Sistem persamaan linearnya : 3x + 2y = 7000

5x + 3y = 11500 Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut :

3 25 3

𝑥𝑦 =

700011500

Atau A.x = B maka x = 𝐴−1. 𝐵

𝐴−1 = 1

3.3 − 5.2

3 −2−5 3

= −3 25 −3

𝑥𝑦 =

−3 25 −3

7000

11500 =

2000500

Harga bakso Rp. 2000,00 per mangkok dan harga es jeruk Rp. 500,00 per gelas.

Contoh penyelesaian aplikasi matriks pada soal-soal di atas bukanlah satu-satunya cara. Siswa hendaknya diperbolehkan mencari penyelesaian lain selama penyelesaian dibuat dengan logis dan mengikuti kaidah aljabar matriks serta memperoleh hasil sama. Untuk tahap selanjutnya kepada siswa dapat diajarkan tentang persamaan dan pertidaksamaan, baik yang linear atau kuadrat, juga relasi dan fungsi. Penyelesaian Sistem Persamaan Liniear Tiga Variabel (Aturan Cramer)

ax by cz p

dx ey fz q

gx hy iz r

ditentukan oleh untuk D ≠ 0, dengan

, ,Dx Dy Dz

x y zD D D

a b c

D d e f

g h i

,

p b c

Dx q e f

r h i

,

a p c

Dy d q f

g r i

,

a b p

Dz d e q

g h r


Kegiatan Modul 12.1.3.5

1. Tunjukan bahwa matriks A idempoten jika A=

2. Periksalah apakah matriks A dan B berikut ekuivalen

a. A= dan B=

b. A= dan B=

3. Diketahui

Matriks B diperoleh dari A dengan sederetan transformasi elementer H12,

H31(1), K13, K2

(2). Carilah B

4. Diketahui sistem persamaan linear sbb

3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 3 = 0

Tentukan nilai dari 𝑦 + 𝑧 𝑥 dengan aturan Cramer




Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang invers matriks ,

maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep

tentang invers matriks.

Jika nilai perolehan ≥ 75 maka anda boleh mempersiapkan untuk Tes Akhir

Modul.

2 2 2 2

6 0 4 2

1 2 3 1

3 1 2

4 2 0

1 3 1

3 1 2

1 3 1

4 2 0

3 5 1

2 0 3

5 5 4

3 5 1

2 0 3

0 0 0

-1 3 5

1 -3 -5

-1 3 5

KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP MATRIKS · PDF file3.2 Menentukan determinan dan invers matriks...

Documents

Transcript of KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP MATRIKS · PDF file3.2 Menentukan determinan dan invers matriks...