Klasicna mehanika 2

Klasicna mehanika 2

Treci dioHamiltonova mehanika.

May 17, 2010

Sadrzaj

Sadrzaj 2

1 Hamiltonova mehanika 3

1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Hamiltonova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Izvod Hamiltonovih jednadzbi varijacionim postupkom . . . . . . . . . . 6

1.4 Fazni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Fazni prostor njihala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2 Fazni prostor sustava s jednim stupnjem slobode . . . . . . . . . 26

2 Kanonske transformacije 33

2.1 Kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Harmonicki oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Tockaste transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Identicna transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.4 Infinitezimalne kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Hamilton-Jacobijeva jednadzba 49

3.1 Izvod Hamilton-Jacobijeve jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Separacija varijabli u Hamilton-Jacobijevoj jednadzbi . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Konzervativni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2 Separacija jedne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3 Ciklicke varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Varijable djelovanja i kuta 67

4.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Sustavi s jednim stupnjem slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

4

4.2.1 Primjer: harmonicki oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Sustavi s vise stupnjeva slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Periodicke i multiperiodicke putanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.1 Poincareov presjek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.2 Primjer: dvodimenzionalni harmonicki oscilator . . . . . . . . . . 75

4.5 Keplerov problem u varijablama kuta i djelovanja . . . . . . . . . . . . . 89

5 Prijelaz na kvantnu mehaniku 93

5.1 Geometrijska interpretacija Hamilton-Jacobijeve funkcije . . . . . . . . . 93

5.2 Veza s geometrijskom optikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Veza Schrodingerove i Hamilton-Jacobijeve jednadzbe . . . . . . . . . . 96

6 Poissonove zagrade 99

6.1 Definicija Poissonovih zagrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.1 Svojstva Poissonovih zagrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.2 Elementarne Poissonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1.3 Jacobijev identitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2 Poissonove zagrade integrala gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.1 Jacobi-Poissonov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.2 Primjer: dvodimenzionalni izotropni harmonicki oscilator . . . . . 103

6.3 Poissonove zagrade i kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3.1 Invarijantnost fundamentalnih Poissonovih zagrada . . . . . . . . 104

6.3.2 Invarijantnost Poissonovih zagrada . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4 Infinitezimalne transformacije i zakoni sacuvanja . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.1 Infinitezimalne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.2 Noetherin teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.3 Poissonove zagrade komoponenti momenta kolicine gibanja . . . 109

6.5 Poissonove zagrade i kvantna mehanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 Integralne invarijante 123

7.1 Lagrangeove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1

7.2 Poincareove invarijante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.3 Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

*

1 Hamiltonova mehanika

1.1 Uvod

Dinamiku sustava s n stupnjeva slobode mozemo opisati s n Lagrangeovih jednadzbi(diferencijalne jednadzbe drugog reda)

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0, i = 1, . . . , n (1.1)

Da bi potpuno opisali gibanje sustava, moramo zadati i 2n pocetnih uvjeta

qi(0) = q(0)i i qi(0) = q

(0)i , i = 1, . . . , n. (1.2)

Postavlja se pitanje da li mozemo razviti formalizam koji koristi diferencijalne jednadzbeprvog reda. Kao primjer, promotrimo jednadzbu gibanja harmonickog oscilatora

x+ ω2x = 0. (1.3)

Napravimo li zamjenu mx = p, jedn. (1.3) prelazi u diferencijalnu jednadzbu prvog reda.Time smo umjesto jedne jednadzbe drugog reda dobili dvije jednadzbe prvog reda

1

mp+ ω2x = 0 i mx = p, (1.4)

ali se broj pocetnih uvjeta koje moramo zadati nije promjenio. Dakle, umjesto n diferen-cijalnih jednadzbi drugog reda mozemo koristiti 2n jednadzbi prvog reda. Kao nezavisnevarijable biramo generalizirane koordinate i impulse

{qi, qi, t} =⇒ {qi, pi, t}, (1.5)

pri cemu je

pi =∂L

∂qi. (1.6)

Trajektorije cemo prikazivati u faznom prostoru (q, p), s tim da vrijeme ima uloguparametra. Osim sto omogucava izvodenje opcenitih zakljucaka o dinamickim sustavima,ovakva formulacija klasicne mehanike predstavlja poveznicu s kvantnom mehanikom.

Legendreova transformacija

Postupak zamjene varijabli, opisan u prethodnom odjeljku, zovemo Legendreova trans-formacija. Neka je L(q) konveksna funkcija varijable q, odnosno neka vrijedi

∂2L

∂q2≥ 0, ∀q. (1.7)

3

Hamiltonova funkcija 4

q

ypq

L(q)H(p)

Slika 1.1:

Za mehanicke sustave ovaj zahtjev je ispunjen jer je kineticka energija pozitivno definitnai kvadraticna u varijabli q. Konstrukcija Legendreove transformacije funkcije f sastoji seod sljedecih koraka

• nacrtamo graf funkcije L(q)

• za svaku vrijednost parametra p povucemo pravac y = pq

• pronademo tocku q(p) u kojoj je udaljenost pravca pq i krivulje L(q) maksimalna

• funkcijaH(p) = max [pq − L(q)] , (1.8)

u tocki x(p) ima maksimum

• Legendreova transformacija funkcije L glasi

g(p) = F (p, x(p)) (1.9)

1.2 Hamiltonova funkcija

Polazimo od potpunog diferencijala opcenite Lagrangeove funkcije L(q, q, t)

dL =∑i

(∂L

∂qidqi +

∂L

∂qidqi +

∂L

∂tdt

), (1.10)

a trazimo velicinu ciji ce potpuni diferencijal biti dan infinitezimalnim promjenama koor-dinata, impulsa i vremena. Iskoristimo definiciju generaliziranog impulsa

∂L

∂qidqi = pdqi = d(piqi)− qidpi, (1.11)

Hamiltonova funkcija 5

iz cega slijedi

dL =∑i

(∂L

∂qidqi + d(piqi)− qidpi +

∂L

∂tdt

). (1.12)

Prethodnu relaciju mozemo napisati u sljedecem obliku

d

(∑i

piqi − L)

=∑i

(qidpi − ∂L

∂qidqi − ∂L

∂tdt

), (1.13)

pri cemu qi,∂L∂qi

i ∂L∂t

smatramo funkcijama generaliziranih koordinata, impulsa i vremena.Funkciju

H(p, q, t) ≡∑i

piqi − L, (1.14)

zovemo Hamiltonova funkcija ili Hamiltonijan. Diferencijal Hamiltonijana odreden jeinfinitezimalnim promjenama koordinata, impulsa i vremena

dH =∑i

(qidpi − ∂L

∂qidqi − ∂L

∂tdt

). (1.15)

Da bi izveli jednadzbe gibanja za koordinate i impulse, uvrstimo Lagrangeove jed-nadzbe

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0 =⇒ pi =

∂L

∂qi, (1.16)

u diferencijal Hamiltonove funkcije (1.15)

dH =∑i

(qidpi − pidqi − ∂L

∂tdt

). (1.17)

S druge strane, znamo da vrijedi

dH =∑i

∂H

∂pidpi +

∑i

∂H

∂qidqi +

∂H

∂tdt. (1.18)

Oduzimanjem zadnje dvije jednadzbe dolazimo do relacije∑i

(−qi +

∂H

∂pi

)dpi +

∑i

(∂H

∂qi+ pi

)dqi +

(∂H

∂t+∂L

∂t

)dt = 0, (1.19)

koja mora vrijediti za svaku infinitezimalnu promjenu koordinata i impulsa. To znaci dasvaki izraz u zagradi iscezava

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi,

∂H

∂t= −∂L

∂t. (1.20)

Izvod Hamiltonovih jednadzbi varijacionim postupkom 6

Sustav od n stupnjeva slobode mozemo opisati bilo s n diferencijalnih jednadzbi drugogreda (Lagrangeove jednadzbe) ili s 2n jednadzbi prvog reda (Hamiltonove jednadzbe).Ako Lagrangian sustava (a time i Hamiltonijan) ne ovisi eksplicitno o vremenu. Hamil-tonijan je za danu putanju konstanta gibanja

dH

dt=∑i

∂H

∂pipi +

∑i

∂H

∂qiqi +

∂H

∂t= qipi − piqi = 0. (1.21)

U sustavima za koje vrijedi L = T − U , Hamiltonijan se za danu putanju poklapa senergijom sustava

H =∑i

piqi − L =∑i

∂L

∂qi− T + U =

∑i

∂T

∂qi− T + U. (1.22)

Kineticka energija je homogena funkcija drugog reda u qi pa vrijedi∑i

∂T

∂qi= 2T. (1.23)

Hamiltonijan se sveo na sumu kineticke i potencijalne energije

H = 2T − T + U = T + U = E. (1.24)

1.3 Izvod Hamiltonovih jednadzbi varijacionim pos-tupkom

Uvrstimo definiciju Hamiltonove funkcije u integral djelovanja

S =

∫ t2

t1

Ldt =

∫ t2

t1

(∑i

piqi −H)dt, (1.25)

a zatim napravimo zamjenu varijable integracije u prvom clanu. Umjesto integrala po tprelazimo na integral po q, a pritom koristimo dqi = qidt

S =

∫ t2

t1

(∑i

pidqi −Hdt). (1.26)

Granice integracije dane su relacijama qi1 ≡ qi(t1) i qi2 ≡ qi(t2). Pri prijelazu s inte-gala (1.25) na integral (1.26), uzeli smo u obzir da su koordinate i impulsi medusobnonezavisni tj. obje grupe varijabli ovise samo o vremenu. Uzimajuci u obzir tu cinjenicu,


integral akcije mozemo varirati po svim putanjama koje u trenucima t1 i t2 prolaze kroztocke qi,1 i qi,2

δS =

∫ t2

t1

∑i

[δpidqi + pidδqi −

(∂H

∂qiδqi +

∂H

∂piδpi

)dt

]. (1.27)

Parcijalno integriramo drugi clan∫ t2

t1

pidδqi =

∫ t2

t1

d (piδqi)−∫ t2

t1

δqidpi = piδqi|t2t1 −∫ t2

t1

δqidpi. (1.28)

Varijacije δqi iscezavaju na krajevima intervala jer sve putanje u trenucima t1 i t2 prolazekroz tocke qi,1 i qi,2 pa preostaje∫ t2

t1

pidδqi = −∫ t2

t1

δqidpi. (1.29)

Varijaciju integrala djelovanja sveli smo na

δS =

∫ t2

t1

∑i

[δpi

(dqi − ∂H

∂pidt

)+ δqi

(−pi − δH

δqidt

).

](1.30)

Varijacije su nezavisne pa slijede Hamiltonove jednadzbe gibanja

qi =∂H

∂pi, i pi = −∂H

∂qi. (1.31)

Bitno je uociti da u cijeli postupak ne ulazi nikakav uvjet na impulse u kranjim tockamavremenskog intervala, nego samo na polozaje. Osim toga, tretiranje varijabli qi i pi kaonezavisnih dovelo je do 2n jednadzbi prvog reda (Hamiltonove jednadzbe) umjesto njednadzbi drugog reda (Lagrangeove jednadzbe).


Primjer 1.1

Napisite Hamiltonijan i kanonske jednadzbe za cesticu mase m koja se giba u potencijaluU(x, y, z) koristeci Kartezijeve koordinate.

Postupak konstrukcije Hamiltoniana sastoji se od sljedecih koraka

• napisati Lagrangian

• naci generalizirane impulse

• izraziti generalizirane brzine pomocu generalziranih koordinata i impulsa

• napraviti Legendreovu transformaciju Lagrangiana

Lagrangian cestice u Kartezijevim koordinatama glasi

L =m

2

(x2 + y2 + z2

)− U(x, y, z). (1.32)

Izracunamo generalizirane impulse

px =∂L

∂x= mx =⇒ x =

pxm, (1.33)

py =∂L

∂y= my =⇒ y =

pym, (1.34)

pz =∂L

∂z= mz =⇒ z =

pzm. (1.35)

Sve generalizirane brzine smo izrazili pomocu generaliziranih impulsa jer Hamiltonijanovisi samo o generaliziranim koordinatama, impulsima i vremenu, ali ne i o generalziranimbrzinama. Napravimo Legendreovu transformaciju Lagrangiana, pri cemu generaliziranebrzine izrazavamo pomocu generaliziranih impulsa.

H =∑i

piqi − L (1.36)

= pxx+ pyy + pz z − m

2

(x2 + y2 + z2

)+ U(x, y, z) (1.37)

=p2x

m+p2y

m+p2z

m− m

2

(p2x

m2+p2y

m2+p2z

m2

)+ U(x, y, z) (1.38)

=p2x

2m+

p2y

2m+

p2z

2m+ U(x, y, z). (1.39)


Hamiltonove jednadzbe gibanja glase

qi =∂H

∂pii pi = −∂H

∂qi. (1.40)

Primjenjeno na Hamiltonijan cestice u potencijalu U(x, y, z) (1.39)

x =∂H

∂px=pxm, px = −∂H

∂x= −∂U

∂x, (1.41)

y =∂H

∂py=pym, py = −∂H

∂y= −∂U

∂y, (1.42)

z =∂H

∂pz=pzm, pz = −∂H

∂z= −∂U

∂z. (1.43)


Primjer 1.2

Rijesite problem kosog hica koristeci Hamiltonov formalizam.

Pretpostavimo da je cestica ispaljena pod kutem α pocetnom brzinom v0. Koordinatnisustav orjentiramo tako da vrijedi

vx = v0 cosα, vy = 0, vz = v0 sinα. (1.44)

Cestica se giba u homogenom gravitacijskom polju U(z) = mgz pa koristimo Kartezijevekoordinate. Primjenimo formulu (1.39) na ovaj problem i dolazimo do Hamiltonijanacestice

H =1

2m

(p2x + p2

y + p2z

)+mgz. (1.45)

Izvedemo Hamiltonove jednadzbe

x =∂H

∂px=pxm

i px = −∂H∂x

= 0, (1.46)

y =∂H

∂py=pym

i py = −∂H∂y

= 0, (1.47)

z =∂H

∂pz=pzm

i pz = −∂H∂z

= −mg. (1.48)

Varijable x i y su ciklicke pa su pripadni impulsi konstante gibanja. Prva i druga jed-nadzba gibanja opisuju koordinatu x i pripadni generalizirani impuls px

px = mx =⇒ px = mx(0) = mv0 cosα =⇒ x = v0 cosα, (1.49)

=⇒ x(t) = v0t cosα + x(0). (1.50)

U pocetnom trenutku cestica je u ishodistu

x(t) = v0t cosα. (1.51)

Treca i cetvrta jednadzba gibanja opisuju koordinatu y i pripadni generalizirani impulspy

py = my =⇒ py = my(0) = 0 =⇒ y = 0 =⇒ y(t) = y(0). (1.52)

U pocetnom trenutku cestica je u ishodistu

y(t) = 0. (1.53)

Zadnja dvije jednadzbe gibanja odnose se na koordinatu z i pripadni generalizirani impulspz

pz = −mg =⇒ pz(t) = −mgt+ pz(0), (1.54)


z(0) =1

mpz(0) =⇒ pz(0) = mv0 sinα =⇒ pz(t) = −mgt+mv0 sinα. (1.55)

Vratimo se na predzadnju jednadzbu gibanja

z =1

mpz(t) = −gt+ v0 sinα =⇒ z(t) = −g

2t2 + v0t sinα. (1.56)

Pritom smo iskoristili pocetni uvjet z(0) = 0.


Primjer 1.3

Napisite Hamiltonijan i kanonske jednadzbe za cesticu mase m koja se giba u potencijaluU(ρ, φ, z) koristeci cilindricne koordinate.

Polazimo od Lagrangeove funkcije za cesticu mase m koja se giba u potencijalu U(ρ, φ, z)

L =m

2

(ρ2 + ρ2φ2 + z2

)− U(ρ, φ, z). (1.57)

Za svaku koordinatu izvedemo pripadni generalizirani impuls

pρ =∂L

∂ρ= mρ =⇒ ρ =

pρm, (1.58)

pφ =∂L

∂φ= mρ2φ =⇒ φ =

pφmρ2

, (1.59)

pz =∂L

∂z= mz =⇒ z =

pzm. (1.60)

Sada napravimo Legendreovu transformaciju Lagrangiana

H =∑i

piqi − L. (1.61)

Sve generalizirane brzine moramo izraziti pomocu generaliziranih impulsa∑i

piqi = pρρ+ pφφ+ pz z =p2ρ

m+

p2φ

mρ2+p2z

m, (1.62)

i mozemo napisati Hamiltonijan

H =p2ρ

m+

p2φ

mρ2+p2z

m− m

2

(p2ρ

m2+ρ2p2

φ

m2ρ4+p2z

m2

)+ U(ρ, φ, z), (1.63)

H =p2ρ

2m+

p2φ

2mρ2+

p2z

2m+ U(ρ, φ, z). (1.64)

Preostalo nam je izvesti Hamiltonove jednadzbe. Koordinata ρ i pripadni impuls pρ

ρ =∂H

∂pρ=pρm

i pρ = −∂H∂ρ

= −∂U∂ρ

+p2φ

mρ3, (1.65)

koordinata φ i pripadni impuls pφ

φ =∂H

∂pφ=

pφmρ2

i pφ = −∂H∂φ

= −∂U∂φ

, (1.66)

koordinata z i pripadni impuls pz

z =∂H

∂pz=pzm

i pz = −∂H∂z

= −∂U∂z

. (1.67)


Primjer 1.4

Koristeci Hamiltonov formalizam opisite gibanje cestice u ravnini pod utjecajem cen-tralnog polja U(ρ).

Hamiltonijan cestice u polarnim koordinatama dobijemo izostavljanjem koordinate z ucilindricnim koordinatama

H =p2ρ

2m+

p2φ

2mρ2+ U(ρ, φ). (1.68)

Polje je centralno pa potencijal ovisi samo o koordinati ρ

H =p2ρ

2m+

p2φ

2mρ2+ U(ρ). (1.69)

Hamiltonove jednadzbe glase

ρ =∂H

∂pρ=pρm

i pρ = −∂H∂ρ

=p2φ

mρ3− ∂U

∂ρ, (1.70)

φ =∂H

∂pφ=

pφmρ2

i pφ = −∂H∂φ

= 0. (1.71)

Koordinata φ je ciklicka pa je pripadni generalizirani impuls konstanta gibanja

pφ = konst. = mρ2φ = Mz, (1.72)

a kako se gibanje, prema pocetnoj pretpostavci, odvija u ravnini vrijedi Mz = M ikonstantu pφ mozemo identificirati s zakretnim impulsom

pφ ≡M. (1.73)

Vratimo se na prve dvije jednadzbe gibanja

ρ =pρm

i pρ =M2

mρ3− ∂U

∂ρ. (1.74)

Deriviramo prvu jednadzbu po vremenu

ρ =1

mpρ, (1.75)

zatim u nju uvrstimo drugu jednadzbu

mρ =

[M2

mρ3− ∂U

∂ρ

]= − ∂

∂ρ

[U(ρ) +

M2

2mρ2

]. (1.76)

Problem smo sveli na jednodimenzionalno gibanje u efektivnom potencijalu

Ueff = U(ρ) +M2

2mρ2. (1.77)


Primjer 1.5

Cestica mase m giba se bez trenja unutar stosca otvornog kuta 2α. Nadite Hamiltonijani kanonske jednadzbe koristeci cilindircne koordinate.

Lagrangian u cilindricnim koordinatama za cesticu koja se giba u homogenom gravitaci-jskom polju

L =m

2

(ρ2 + ρ2φ2 + z2

)−mgz. (1.78)

Cestica je ogranicena na gibanje po stoscu pa vrijedi

x2 + y2 = z2 tan2 α =⇒ ρ = z tanα. (1.79)

Izrazimo koordinatu z pomocu koordinate ρ

=⇒ z =ρ

tanα=⇒ z = ρ cotα. (1.80)

Vratimo se Lagrangianu

L =m

2

(ρ2 + ρ2φ2 + ρ2 cot2 α

)−mgρ cotα, (1.81)

a zatim iskoristimo relaciju

1 + cot2 α =1

sin2 α. (1.82)

Konacno, Lagrangian glasi

L =m

2

(ρ2

sin2 α+ ρ2φ2

)−mgρ cotα. (1.83)

Slika 1.2: Cestica se giba po stoscu.


Sada mozemo izracunati generalizirane impulse

pρ =∂L

∂ρ=

mρ

sin2 α, (1.84)

pφ =∂L

∂φ= mρ2φ, (1.85)

a zatim i Legendreovu transformaciju Lagrangiana

H = pφφ+ pρρ− L =1

2m

(p2ρ sin2 α +

p2φ

ρ2

)+mgρ cotα. (1.86)

Hamiltonove jednadzbe gibanja

ρ =∂H

∂pρ=

1

msin2 αpρ, (1.87)

φ =∂H

∂pφ=

pφmρ2

, (1.88)

pρ = −∂H∂ρ

=p2φ

mρ3−mg cotα, (1.89)

pφ = −∂H∂φ

= 0. (1.90)

φ je ciklicka varijabla pa je pφ konstanta gibanja


Primjer 1.6

Napisite Hamiltonijan i kanonske jednadzbe za cesticu mase m koja se giba u potencijaluU(r, θ, φ) koristeci sferne koordinate.

Polazimo od Lagrangiana zadanog problema u sfernim koordinatama

L =m

2

(r2 + r2θ2 + r2 sin2 θφ2

)− U(ρ, φ, z), (1.91)

i prvo za svaku koordinatu izvedemo odgovarajuci generalizirani impuls

pr =∂L

∂r= mr =⇒ r =

prm, (1.92)

pθ =∂L

∂θ= mr2θ =⇒ θ =

pθmr2

, (1.93)

pφ =∂L

∂φ= mr2 sin2 θφ =⇒ φ =

pφmr2 sin2 θ

. (1.94)

Zatim napravimo Legendreovu transformaciju Lagrangiana

H =∑i

piqi − L, (1.95)

pri cemu sve generalizirane brzine moramo izraziti pomocu impulsa∑i

piqi = prr + pθθ + pφφ, (1.96)

=p2r

m+

p2θ

mr2+

p2φ

mr2 sin2 θ. (1.97)

Na kraju, napisemo Hamiltonijan

H =p2r

m+ +

p2θ

mr2+

p2φ

mr2 sin2 θ− m

2

(p2r

m2+ r2 p2

θ

m2r4+ r2 sin2 θ

p2φ

m2r4 sin4 θ

)(1.98)

+ U(r, θ, φ)

H =p2r

2m+

p2θ

2mr2+

p2φ

2mr2 sin2 θ+ U(r, θ, φ). (1.99)

Preostalo nam je jos izvesti Hamiltonove jednadzbe. Koordinata r i pripadni impuls pr

r =∂H

∂pr=prm, (1.100)


pr = −∂H∂r

= −∂U∂r

+p2θ

mr3+

p2φ

mr3 sin2 θ. (1.101)

Koordinata θ i pripadni impuls pθ

θ =∂H

∂pθ=

pθmr2

, (1.102)

pθ = −∂H∂θ

= −∂U∂θ

+p2φ cos θ

mr2 sin3 θ. (1.103)

Koordinata φ i pripadni impuls pφ

φ =∂H

∂pφ=

pφmr2 sin2 θ

, (1.104)

pφ =∂H

∂φ= −∂U

∂φ. (1.105)


Primjer 1.7

Koristeci Hamiltonov formalizam opisite gibanje cestice u prostoru pod utjecajem cen-tralnog polja U(r).

Primjenimo Hamiltonijan iz prethodnog zadatka na slucaj cestice koja se giba u central-nom polju

H =p2r

2m+

p2θ

2mr2+

p2φ

2mr2 sin2 θ+ U(r). (1.106)

Hamiltonove jednadzbe, u ovom posebnom slucaju, glase

r =∂H

∂pr=prm, (1.107)

pr = −∂H∂r

= −∂U∂r

+p2θ

mr3+

p2φ

mr3 sin2 θ, (1.108)

θ =∂H

∂pθ=

pθmr2

, (1.109)

pθ = −∂H∂θ

=p2φ cos θ

mr2 sin3 θ, (1.110)

φ =∂H

∂pφ=

pφmr2 sin2 θ

, (1.111)

pφ =∂H

∂φ= 0. (1.112)

Koordinata φ je ciklicka pa je pripadni generalizirani impuls konstanta gibanja. Promot-rimo trecu i cetvrtu jednadzbu gibanja

θ =pθmr2

i pθ =p2φ cos θ

mr2 sin3 θ. (1.113)

Pritom uzimamo u obzir da je pφ konstanta gibanja i pomnozimo desnu jednadzbu s pθ

pθpθ =p2φ cos θ

mr2 sin3 θpθ. (1.114)

Zatim iskoristimo lijevu jednadzbu

θ =pθmr2

=⇒ pθpθ = p2φ

cos θ

sin3 θθ =⇒ 1

2

d

dtp2θ = −1

2p2φ

d

dt

(1

sin2 θ

). (1.115)

Zadnju jednadzbu mozemo napisati u obliku

d

dt

(p2θ +

p2φ

sin2 θ

)= 0, (1.116)


pa je izraz u zagradi ocito konstanta gibanja

p2θ +

p2φ

sin2 θ≡ a2

θ. (1.117)

Vratimo se na prve dvije jednadzbe

r =prm

i pr = −∂U∂r

+p2θ

mr3+

p2φ

mr3 sin2 θ. (1.118)

Desnu jednadzbu mozemo preurediti

pr = −∂U∂r

+1

mr3

(p2θ +

p2φ

sin2 θ

)= −∂U

∂r+

a2θ

mr3. (1.119)

Prvu jednadzbu gibanja deriviramo po vremenu

mr = pr = −∂U∂r

+a2θ

mr3(1.120)

mr = − ∂

∂r

(U +

a2θ

2mr2

), (1.121)

i problem smo opet sveli na jednodimenzionalno gibanje u efektivnom potencijalu

Ueff (r) = U(r) +a2θ

2mr2. (1.122)


Primjer 1.8

Nadite Hamiltonijan anaharmonickog oscilatora ako je Lagrangian dan izrazom

L =1

2x2 − 1

2ω2x2 − αx3 + βxx2.

Polazeci od zadanog Lagrangiana, prvo izracunamo generalizirani impuls

px =∂L

∂x= x+ 2βxx =⇒ x =

px1 + 2βx

. (1.123)

Napravimo Legendreovu transformaciju Lagrangiana

H = xpx − L (1.124)

=p2x

1 + 2βx− 1

2

p2x

(1 + 2βx)2 +1

2ω2x2 + αx3 − βx p2

x

(1 + 2βx)2. (1.125)

Drugi i zadnji clan zajedno daju

− p2x

2(1 + 2βx)2[1 + 2βx] = −1

2

p2x

1 + 2βx, (1.126)

i konacno napisemo Hamiltonijan anaharmonickog oscilatora

H =p2x

2(1 + 2βx)+

1

2ω2x2 + αx3. (1.127)


Primjer 1.9

Lagrangian harmonickog oscilatora s trenjem mozemo napisati u obliku

L = ebt/m(m

2q2 − k

2q2

).

Nadite pripadni Hamiltonijan i jednadzbe gibanja.

Polazeci od zadanog Lagrangiana, prvo izracunamo generalizirani impuls

p =∂L

∂q= mebt/mq =⇒ q =

p

me−bt/m. (1.128)

Zatim napravimo Legendreova transformacija Lagrangiana

H = qp− L =p2

me−bt/m − L(q, q(q, p, t), t). (1.129)

Pritom generaliziranu brzinu u Lagrangianu izrazimo pomocu generaliziranog impulsa

L(q, q(q, p, t), t) = ebt/m(m

2

p2

m2e−2bt/m − k

2q2

)(1.130)

=p2

2me−bt/m − k

2q2ebt/m, (1.131)

i konacno napisemo Hamiltonijan

H =p2

2me−bt/m +

k

2q2ebt/m. (1.132)

Fazni prostor 22

1.4 Fazni prostor

Hamiltonove jednadzbe sustava s n stupnjeva slobode mozemo napisati u kompaktnijemobliku ako definiramo oznake

~q ≡ (q1, . . . , qn) i∂

∂~q≡(∂

∂q1, . . . ,

∂

∂qn

), (1.133)

~p ≡ (p1, . . . , pn) i∂

∂~p≡(

∂

∂p1

, . . . ,∂

∂pn

). (1.134)

Hamiltonove jednadzbe poprimaju sljedeci oblik

~q =∂H

∂~p, ~p = −∂H

∂~q. (1.135)

Da bi nasli rjesenje Hamiltonovih jednadzbi

~q = ~q (t; ~q0, ~p0, t0) , ~p = ~p (t; ~q0, ~p0, t0) , (1.136)

moramo poznavati 2n pocetnih uvjeta ~q0 i ~p0. Zadanim pocetnim vrijednostima odgo-vara jedinstveno rjesenje, osim u posebnim tockama labilne ravnoteze. Da bi rjesenjeHamiltonovih jednadzbi prikazali u faznom prostoru, crtamo parametarske krivulje (~q(t), ~p(t)).U slucaju da Hamiltonijan ne ovisi eksplicitno o vremenu, rjesenja Hamiltonovih jednadzbi(1.136) ovise samo o razlici vremena t− t0. Putanja kroz tocku (~q0, ~p0) tada predstavljasve moguce putanje koje prolaze kroz tu tocku, bez obzira na trenutak u kojem se todogodi. Time ujedno kroz svaku tocku faznog prostora prolazi jedna trajektorija, uzizuzetak tocaka labilne ravnoteze. Sve putanje zajedno ispunjavaju fazni prostor i cinefazni tok sustava. Pritom strelice na putanjama (vidi sl. 1.3) oznacavaju smjer porastavremena.

q

p

t0

t

(q0, p0)

(q, p)

Slika 1.3: Simbolicki prikaz putanja u faznom prostoru. Strelice oznacavaju smjer porastavremena.

Fazni prostor 23

1.4.1 Fazni prostor njihala

Pojam faznog prostora mozemo ilustrirati na primjeru matematickog njihala. Lagrangiannjihala glasi

L =1

2ml2

(dφ

dt

)2

+mgl cosφ. (1.137)

Da bi pojednostavili Lagrangeovu funkciju, prelazimo na reducirane varijable vremena ienergije

L =L

mgli τ ≡

√g

lt. (1.138)

Jedinica energije je sada apsolutna vrijednost energije tocke stabilne ravnoteze njihala(E0 = −mgl), dok je vremenska jedinica reciprocna vrijednost frekvencije harmonickihtitranja oko ravnoteze (

√l/g). Transformiramo derivaciju po vremenu

d

dt=

d

dτ

dτ

dt=

√g

l

d

dτ=⇒ d2

dt2=g

l

d2

dτ 2. (1.139)

Lagrangian njihala sveo se na mnogo jednostavniji oblik

L =1

2φ2 + cosφ, (1.140)

pri cemu jedφ

dτ≡ φ. (1.141)

Generalizirani impuls konjugiran varijabli φ

p =∂L

∂φ= φ. (1.142)

Napravimo Legendreovu transformaciju Lagrangiana i time dolazimo do Hamiltonovefunkcije

H = pφ− L =1

2p2 − cosφ. (1.143)

Hamiltonove jednadzbe glase

φ =∂H

∂p= p, (1.144)

p = −∂H∂φ

= − sinφ. (1.145)

Putanje u faznom prostoru odredene su vrijednostima energije (jedina konstanta gibanjau ovom problemu)

p2

2− cosφ = E ≡ −1 + ε. (1.146)

Razlikujemo pet tipova trajektorija, s obzirom na vrijednost parametra ε:

Fazni prostor 24

• Tocka stabilne ravnoteze: E = −1 tj. ε = 0. Njihalo miruje u tocki stabilneravnoteze pa se putanja u faznom prostoru svela na tocku

φ = 0 i p = 0. (1.147)

• Male oscilacije oko tocke stabilne ravnoteze: 0 < ε � 1. Jedn. (1.146) prvonapisemo u obliku

p2

2+ 1− cosφ = ε =⇒ p2

2+ 2 sin2 φ

2= ε. (1.148)

Ocito vrijedi sin2 φ/2 < ε/2 � 1, pa sinusnu funkciju mozemo razviti u red. Uharmonickoj aproksimaciji i uz izbor jedinica (1.138) putanja u faznom prostorusvela se na kruznicu

p2 + φ2 = 2ε. (1.149)

Drugaciji izbor jedinica pretvorio bi putanju u elipsu.

• Oscilacije velikih amplituda: 0 < ε < 2. Putanja u faznom prostoru odredena jejednadzbom

p2

2+ 1− cosφ = ε. (1.150)

Putanje sijeku os p u tockama (0,±√2ε).

• Energija njihala jednaka je energiji tocke labilne ravnoteze: ε = 2. Putanja sesvela na

p2

2− cosφ = 1 =⇒ p2 = 4 cos2 φ

2=⇒ p = ±2 cos

φ

2. (1.151)

Tocka φ = π je posebna. Za pocetni uvjet φ(t = 0) = π slijedi p = 0 tj. φ = 0.Dakle, njihalo miruje u tocki labilne ravnoteze. Kroz tocku (φ = π, p = 0) prolazedvije putanje, ali mozemo pokazati da perioda rjesenja (1.151) divergira. Uvrstimoli

p =dφ

dτ= ±2 cos

φ

2, (1.152)

i separacijom varijabli trazimo φ(τ)

dφ

cos φ2

= ±dτ. (1.153)

Integriramo prethodnu jednadzbu (uz pretpostavku da njihalo krece iz tocke φ = 0)∫ φ

0

dφ′

cos φ′

2

= ±t =⇒ 1

2ln

[tan

(φ

4+π

4

)]= ±t, (1.154)

Fazni prostor 25

a zatim je invertiramo

φ = −π + 4 arctan e±2t. (1.155)

Njihalo se asimptotski priblizava tockama labilne ravnoteze φ = π i φ = −π zat→ ±∞.

• Vrtnje njihala: ε > 2. Iz jednadzbe putanje

p2

2+ 2 sin2 φ

2= ε, (1.156)

slijedi da je impuls uvijek pozitivan. Putanje prolaze kroz tocke

(φ = 0, p =√

2ε) i (φ = ±π, p =√

2(ε− 2)), (1.157)

a pritom vrijedi

dp

dφ

∣∣∣∣φ=0,±π

= 0. (1.158)

Fazni tok njihala sadrzi dvije vrste putanja. Zatvorene putanje odgovaraju oscilaci-jama njihala (malih ili velikih amplituda), kod kojih njihalo ne prolazi kroz tocku labilneravnoteze φ = π. Otvorene putanje odgovaraju vrtnjama njihala kod kojih njihalo prolazikroz tocku labilne ravnoteze konacnom brzinom φ tj. impulsom p. Ta dva tipa putanjaodvojena su putanjom (1.151) koju zovemo separatrisa.

φ

p

0−π π

Slika 1.4: Fazni prostor njihala. Crvene linije oznacavaju oscilacije, a plava vrtnju njihala.Separatrisa je oznacena zelenom bojom.

Fazni prostor 26

1.4.2 Fazni prostor sustava s jednim stupnjem slobode

Polazimo od opcenitog Lagrangiana sustava s jednim stupnjem slobode

L =1

2f(x)x2 − U(x), (1.159)

a zatim napravimo transformaciju

f(x)x2 = q2 =⇒√f(x)x = q. (1.160)

Uocimo da kineticka energija mora biti pozitivno definitna pa je f(x) > 0. Dakle, vrijedi

q = F (x), pri cemu je∂F (x)

∂x=√f(x). (1.161)

Lagrangian poprima jednostavniji oblik

L =1

2q2 − U(q), (1.162)

pa pripadni Hamiltonijan glasi

H =p2

2+ U(q). (1.163)

Putanje u faznom prostoru odredene su energijom, kao jedinom konstantom gibanjau ovom problemu. Promotrimo kao primjer putanje u faznom prostoru ako se cesticagiba u potencijalu s dva minimuma razdvojena barijerom (vidi sl. 1.5-1.10 ). Najnizamoguca vrijednost energije cestice odgovara minimumu lijevom minimumu potencijala.U tom slucaju cestica moze samo mirovati u tocki q1 pa se putanja u faznom prostorusvodi na tocku (q1, 0). Povecanjem energije cestica pocinje oscilirati unutar lijeve jame,ali naravno ne moze izaci iz nje. Ako energija postane veca od desnog minimumapotencijala, ali je i dalje ispod maksimuma barijere, cestica moze oscilirati u lijevoj ilidesnoj jami. Medutim, ne moze prelaziti iz jedne jame u drugu. Posebno je zanimljivslucaj kada je energija jednaka maksimumu barijere. Cestica se moze gibati unutar lijeveili desne jame i u oba slucaja se asimptotski priblizava tocki q2 u kojoj se nalazi maksimumbarijere. Osim toga, moguce rjesenje je da cestica miruje u tocki q2. Odgovarajucaputanja u faznom prostoru je separatrisa. Ako energiju jos povecamo, cestica osciliraizmedu tocaka q1 i q2. Sto je energija veca, putanja u faznom prostoru postaje ”ravnija”jer utjecaj potencijala na gibanje cestice postaje sve manji.

Fazni prostor 27

E1

q

U(q)

q

p

q1

Slika 1.5: Energija cestice jednaka je nizem minimumu potencijala. Cestica moze samomirovati u tocki q1. Putanja u faznom prostoru svela se na tocku (q1, 0).

E2

q

U(q)

q1 q2

q

p

q1 q2

Slika 1.6: Energija cestice nalazi se izmedu dva minimuma. Cestica oscilira unutar lijevejame.

E3

q

U(q)

q1 q2 q3

q

p

q1 q2 q3

Slika 1.7: Energija cestice jednaka je visem minimumu potencijala. Cestica moze ilioscilirati unutar lijeve jame ili moze mirovati u tocki q3.

Fazni prostor 28

E4

q

U(q)

q1 q2 q3 q4

q

p

q1 q2 q3 q4

Slika 1.8: Energija cestice nalazi se izmedu viseg minimuma i vrha barijere. Cesticamoze oscilirati ili unutar lijeve ili unutar desne jame, ali ne moze prelaziti iz jedne jameu drugu.

E5

q

U(q)

q1 q2 q3

q

p

q1 q2 q3

Slika 1.9: Energija cestice jednaka je vrhu barijere koja razdvaja jame. Ako se cesticanalazi unutar lijeve ili desne jame, ona ce se asimptotski priblizavati tocki q2. Mogucerjesenje je i da cestica miruje u tocki q2 (labilna ravnoteza).

E6

q

U(q)

q1 q2

q

p

q1 q2

Slika 1.10: Energija cestice nalazi se iznad barijere koja razdvaja jame. Cestica se mozegibati izmedu tocka q1 i q2.

Fazni prostor 29

Do ovisnosti polozaja q o vremenu (putanja u konfiguracionom prostoru) dolazimo inte-gracijom jednadzbe

1

2q2 + U(q) = E. (1.164)

Separiramo varijable i kao pocetni uvjet odaberemo q0 = q(t0)∫ q

q0

dq√2(E − U(q))

= t− t0. (1.165)

U slucaju zatvorene putanje, omedene tockama obrata q1 i q2, period gibanja dan jeizrazom

τ

2=

∫ q2

q1

dq√2 (E − U(q))

dq. (1.166)

Uocimo da je povrsina zatvorene krivulje u faznom prostoru dana s

A = 2

∫ q2

q1

pdq = 2

∫ q2

q1

√2 (E − U(q))dq. (1.167)

Ocito, period gibanja jednak je derivaciji povrsine A po energiji

dA

dE= 2

∫ q2

q1

dq√2 (E − U(q))

dq. (1.168)

q

p

q1 q2

Slika 1.11: Povrsina obuhvacena zatvorenom putanjom u faznom prostoru. Oznacenesu i tocke obrata q1 i q2.

Fazni prostor 30

Primjer 1.10

Izracunajte povrsinu omedenu putanjom harmonickog oscilatora u faznom prostoru.

Hamiltonijan harmonickog oscilatora

H =p2

2m+

1

2mω2q2, (1.169)

podudara se s energijom. Putanje u faznom prostoru odgovaraju elipsama

p2

2m+

1

2mω2q2 = E =⇒ q2

2Emω2

+p2

2mE= 1. (1.170)

Poluosi elipse procitamo iz njezine jednadzbe

a =

√2E

mω2, b =

√2mE. (1.171)

Povrsina elipse dana je izrazom

A = abπ =2E

ωπ. (1.172)

Deriviranjem povrsine obuhvacene putanjom u faznom prostoru dolazimo do periodagibanja oscilatora

τ =dA

dE=

2π

ω(1.173)

q

p

√2E

mω2

√2mE

Slika 1.12: Putanja harmonickog oscilatora u faznom prostoru.

Fazni prostor 31

Primjer 1.11

Cestica mase m i energije E elasticno se odbija izmedu dva zida udaljenosti d. Izracunajtepovrsinu omedebu putanjom u faznom prostoru, ako se gibanje odvija u jednoj dimenz-iji.

Cestica se slobodno giba izmedu dva zida, a pri sudaru sa zidom se elasticno odbije.Energija cestice jednaka je kinetickoj energiji pa vrijedi

p = ±√

2mE. (1.174)

Pozitivan predznak odgovara gibanju cestice udesno, a negativan ulijevo. Stoga se predz-nak impulsa skokovito promijeni u trenutku udara cestice u zid. Putanja u faznom pros-toru odgovara pravokutniku sa stranicama 2

√2mE i d. Povrsina obuhvacena putanjom

u faznom prostoru iznosiA = 2

√2mEd. (1.175)

Deriviramo li povrsinu A po energiji

dA

dE= 2√

2md1

2√E

= d√

2mE, (1.176)

a zatim energiju izrazimo pomocu brzine cestice

E =m

2v2, (1.177)

dolazimo do perioda cestice koja se elasticno odbija izmedu dva zida

dA

dE= d√

2m

√2

mv2=

2d

v. (1.178)

x

U

−d2

d2

x

p

−d2

d2

√2mE

−√2mE

Slika 1.13: Cestica se giba izmedu dva zida. Putanja u faznom prostoru odgovarapravokutniku.

Fazni prostor 32

2 Kanonske tranformacije

2.1 Funkcije izvodnice

Transformaciju kanonskih varijabli

Qi = Qi(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn, t), (2.1)

Pi = Pi(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn, t), (2.2)

zovemo kanonska ako za nove varijable takoder vrijede kanonske varijable

Pi = − ∂K∂Qi

, Qi =∂K

∂Pi. (2.3)

Pritom K(Qi, Pi, t) odgovara transformiranom Hamiltonijanu. Hamiltonove jednadzbeza set varijabli {qi, pi} slijede iz varijacionog principa

δ

∫ t2

t1

(∑i

pidqi −Hdt)

= 0, (2.4)

pa odgovarajuci varijacioni princip mora vrijediti i za set varijabli {Qi, Pi}

δ

∫ t2

t1

(∑i

PidQi −Kdt)

= 0. (2.5)

Dva varijaciona principa ce biti ekvivalentna ako su podintegralne funkcije proporcionalnei razlikuju se do na puni diferencijal proizvoljne funkcije dF1(q,Q, t)

λ

(∑i

pidqi −Hdt)

=∑i

PidQi −Kdt+ dF1. (2.6)

Koeficijent λ moze imati bilo koju vrijednost razlicitu od nule. U daljnjim razmatranjimaogranicit cemo se na slucaj λ = 1. Takve transformacije zovemo univalentne kanonsketransformacije. Stare (q,p) i nove (Q,P) kanonske varijable cine skup od 4n varijabli.Samo 2n od njih je nezavisno. Odaberemo varijable q i Q kao nezavisne i izrazimofunkciju F1 pomocu njih∑i

pidqi−∑i

PidQi+(K−H)dt = dF1(q,Q, t) =∑i

∂F1

∂qidqi+

∑i

∂F1

∂Qi

dQi+∂F1

∂tdt.

(2.7)

33

Kanonske transformacije 34

Varijable qi i Qi su nezavisne pa mozemo izjednadziti izraze uz pojedine diferencijale

pi =∂F1

∂qi, Pi = −∂F1

∂Qi

, K = H +∂F1

∂t. (2.8)

Moguci su i drugi izbori nezavisnih varijabli. U tom slucju moramo koristiti zamjene

pidqi = d(piqi)− qidpi i PidQi = d(PiQi)−QidPi. (2.9)

Funkcija izvodnica F2(q, P )

Kao nezavisne varijable biramo qi i Pi∑i

pidqi −∑i

[d(PiQi)−QidPi] + (K −H)dt = dF1. (2.10)

Definiramo funkciju izvodnicu F2 = F1 +∑

i PiQi∑i

pidqi +∑i

QidPi + (K −H)dt =∑i

∂F2

∂qidqi +

∑i

∂F2

∂PidPi +

∂F2

∂tdt. (2.11)

Varijable qi i Pi su nezavisne pa mozemo izjednadziti izraze uz pojedine diferencijale

pi =∂F2

∂qi, Qi =

∂F2

∂Pi, K = H +

∂F2

∂t. (2.12)

Funkcija izvodnica F3(p,Q)

Kao nezavisne varijable biramo Qi i pi∑i

[d(piqi)− qidpi]−∑i

PidQi + (K −H)dt = dF1. (2.13)

Definiramo funkciju izvodnicu F3 = F1 −∑

i piqi

−∑i

qidpi −∑i

PidQi + (K −H)dt =∑i

∂F3

∂pidpi +

∑i

∂F3

∂Qi

dQi +∂F3

∂tdt. (2.14)

Varijable pi i Qi su nezavisne pa mozemo izjednadziti izraze uz pojedine diferencijale

qi = −∂F3

∂pi, Pi = −∂F3

∂Qi

, K = H +∂F3

∂t. (2.15)


Funkcija izvodnica F4(p, P )

Kao nezavisne varijable biramo Pi i pi∑i

[d(piqi)− qidpi]−∑i

[d(PiQi)−QidPi] + (K −H)dt = dF1. (2.16)

Definiramo funkciju izvodnicu F4 = F1 −∑

i piqi +∑

i PiQi

−∑i

qidpi +∑i

QidPi + (K −H)dt =∑i

∂F4

∂pidpi +

∑i

∂F4

∂PidPi +

∂F4

∂tdt. (2.17)

Varijable pi i Pi su nezavisne pa mozemo izjednadziti izraze uz pojedine diferencijale

qi = −∂F4

∂pi, Qi =

∂F4

∂Pi, K = H +

∂F4

∂t. (2.18)

2.2 Ilustrativni primjeri

2.2.1 Harmonicki oscilator

Trazimo kanonsku transformaciju koja prevodi hamiltonijan harmonickog oscilatora ufunkciju koja ovisi samo o impulsu

H(q, p) =1

2m

(p2 +m2ω2q2

)=⇒ K(P ), (2.19)

jer je rjesenje jednadzbi gibanja u tom slucaju trivijalno. Clan p2 + m2ω2q2 sugeriratransformaciju koja ukljucuje trigonometrijske funkcije

p = f(P ) cosQ i q =1

mωf(P ) sinQ. (2.20)

Uvrstimo transformaciju (2.20) u Hamiltonijan harmonickog oscilatora

K(P ) =1

2m[f(P )]2 . (2.21)

Ako funkciju f(P ) izaberemo kao

f(P ) =√

2mωP, (2.22)

Hamiltonijan bi poprimio oblikK(P ) = ωP, (2.23)


koji mozemo trivijalno rijesiti. Da bi nasli funkciju izvodnicu F1(q,Q), prvo moramoizraziti varijable p i P pomocu varijabli q i Q. U tu svrhu, podijelimo jedn. (2.20) idolazimo do relacije

p = mωq cotQ, (2.24)

koju zatim mozemo uvrstiti u jedn. (2.20)

mωq cotQ =√

2mωP cosQ =⇒ P =mωq2

2 sin2Q. (2.25)

Dakle, ako q i Q izaberemo kao nezavisne varijable, slijedi

p = mωq cotQ i P =mωq2

2 sin2Q. (2.26)

Sada primjenimo jednadzbe transformacije s funkcijom izvodnicom F1

p =∂F1

∂q= mωq cotQ =⇒ F1 =

1

2mωq2 cotQ+ g(Q), (2.27)

pri cemu je g(Q) proizvoljna funkcija koja ovisi samo o Q ili je naprosto konstanta.Deriviramo F1 po Q

P = −∂F1

∂Q=

mωq2

2 sin2Q+ g′(Q). (2.28)

Usporedbom s jedn. (2.25) dolazimo do zakljucka da funkciju g(Q) mozemo odabratikao nulu. Konacno, mozemo zakljuciti da nakon transformacije

q =

√2P

mωsinQ i p =

√2Pmω cosQ, (2.29)

Hamiltonijan poprima jednostavni oblik

K(Q,P ) = ωP. (2.30)

Varijabla Q je ocito ciklicka, a jednadzbe gibanja glase

Q =∂K

∂P= ω =⇒ Q(t) = ωt+ α, (2.31)

P = −∂K∂Q

= 0 =⇒ P = konst. (2.32)

Novi impuls P je proporcionalan energiji oscilatora, a povratkom na stare varijable dolaz-imo do dobro poznatog rjesenja harmonickog oscilatora

q(t) =

√2E

mωsin (ωt+ α), (2.33)

p(t) =√

2Emω cos (ωt+ α). (2.34)


2.2.2 Tockaste transformacije

Transformaciju koja ukljucuje samo koordinate

Qi = fi(q1, . . . , qn, t), i = 1, . . . , n (2.35)

zovemo tockasta transformacija. Lako se mozemo uvjeriti da funkcija izvodnica kojagenerira ovakvu transformaciju glasi

F2(q, P ) =∑i

fi(q1, . . . , qn, t)Pi. (2.36)

Primjena jednadzbi transformacije doista reproducira jedn. (2.35)

Qj =∂F2

∂Pj=∑i

fi(q1, . . . , qn, t)δij = fj(q1, . . . , qn, t). (2.37)

Jednadzbe za impulse slijede iz

pi =∂F2

∂qi. (2.38)

Kao primjer promotrimo transformaciju iz Kartezijevih u polarne koordinate. Pocetni setvarijabli odgovara koordinatama i impulsima u Kartezijevim koordinatama

{q, p} ⇐⇒ {x, y, px, py}, (2.39)

dok koordinate i impulse u polarnim koordinatama identificiramo s ”novim” varijablama

{Q,P} ⇐⇒ {ρ, φ, pρ, pφ}. (2.40)

Trasformacija iz Kartezijevog u polarni sustav glasi

ρ =√x2 + y2 i φ = arctan

y

x, (2.41)

pa odmah mozemo napisati funkciju izvodnicu

F2(x, y, pρ, pφ) = pρ√x2 + y2 + pφ arctan

y

x. (2.42)

Sada mozemo izracunati impulse px i py

px =∂F2

∂x= cosφpρ − sinφ

ρpφ, (2.43)

py =∂F2

∂y= sinφpρ +

cosφ

ρpφ. (2.44)


i izraziti ih kao funkcije koordinata ρ, φ i impulsa pρ, pφ. Kao primjer, promotrimotrasformaciju Hamiltonijana izotropnog harmonickog oscilatora

H =p2x

2m+

p2y

2m+

1

2mω2

(x2 + y2

). (2.45)

Transformacija ne ovisi eksplicitno o vremenu pa stare varijable (x, y, px, py) jednostavnoizrazimo pomocu novih (ρ, φ, pρ, pφ). Zadnji clan Hamiltonijana proporcionalan jekvadratu koordinate ρ

1

2mω2

(x2 + y2

)=

1

2mω2ρ2. (2.46)

Prvi i drugi clan Hamiltonijana su nesto slozeniji

p2x = cos2 φp2

ρ − 2pρpφρ2

sinφ cosφ+sin2 φ

ρ2p2φ, (2.47)

p2y = sin2 φp2

ρ + 2pρpφρ2

sinφ cosφ+cos2 φ

ρ2p2φ. (2.48)

Zbrojimo li ih, mijesani clanovi se ponistavaju

1

2m

(p2x + p2

y

)=

1

2m

(p2ρ +

p2φ

ρ2

). (2.49)

Hamiltonijan u polarnim koordinatama

K(ρ, φ, pρ, pφ) =p2ρ

2m+

p2φ

2mρ2+

1

2mω2ρ2. (2.50)

2.2.3 Identicna transformacija

Najjednostavniji slucaj kanonske transformacije je identicna transformacija

Qi = qi, i = 1, . . . , n. (2.51)

Odgovarajuca funkcija izvodnica glasi

F2(q, P ) =∑i

qiPi, (2.52)

odakle slijede jednadzbe za impulse

pj =∂F2

∂qj=

∂

∂qj

∑i

qiPi =∑i

δijPi = Pj. (2.53)


2.2.4 Infinitezimalne kanonske transformacije

Promatramo transformaciju pri kojoj je promjena varijabli q i p infinitezimalna

Qi = qi + δqi i Pi = pi + δpi. (2.54)

Transformacija se od identicne transformacije razlikuje za infinitezimalno mali iznos pacemo funkciju izvodnicu dobiti tako da jedn. (2.52) dodamo infinitezimalno malu funkciju

F2(q, P, t) = qP + εf2(q, P, t). (2.55)

Jednadzbe transformacije glase

p =∂F2

∂q= P + ε

∂f2

∂qi Q =

∂F2

∂P= q + ε

∂f2

∂P. (2.56)

Promjena varijabli odgovara infinitezimalnoj velicini

δq = Q− q = ε∂f2

∂P, (2.57)

δp = P − p = −ε∂f2

∂q. (2.58)


Primjer 2.1

Funkcija izvodnica ima oblik

F2(q1, q2, P1, P2) =√

2m(P1 − P2)q1 − 2

3

√2

m

(P2 −mgq2)3/2

g. (2.59)

Nadite jednadzbe kanonske transformacije (q, p)→ (Q,P ). Ako je Hamiltonijan u starimkoordinatama dan s

H =1

2m

(p2

1 + p22

)+mgq2 , (2.60)

nadite Hamiltonijan u novim koordinatama. Napisite Hamiltonove jednazbe u novimkoordinatama i rijesite ih.

Koristeci relacije

pi =∂F2

∂qii Qi =

∂F2

∂Pi, (2.61)

mozemo izvesti jednadzbe transformacije

p1 =∂F2

∂q1=√

2m(P1 − P2), (2.62)

p2 =∂F2

∂q2=√

2m√P2 −mgq2, (2.63)

Q1 =∂F2

∂P1

=

√m

2

q1√P1 − P2

, (2.64)

Q2 =∂F2

∂P2

= −√m

2

q1√P1 − P2

− 1

g

√2

m

√P2 −mgq2. (2.65)

Transformacija ne ovisi eksplicitno o vremenu pa Hamiltonijan zadrzava isti oblik

K(Q,P ) = H [q(Q,P ), p(Q,P )] . (2.66)

Dakle, ”stare” koordinate i impulse trebamo izraziti pomocu ”novih”, a zatim ih uvrstitiu Hamiltonijan (2.60). Za pocetak, iz jedn. (2.64) izrazimo koordinatu q1

q1 =

√2

m

√P1 − P2Q1, (2.67)

a zatim iz jedn. (2.65) izrazimo koordinatu q2

q2 =P2

mg− g

2(Q1 +Q2)

2 . (2.68)


Na kraju, iskoristimo jedn. (2.63)

p2 = −mg(Q1 +Q2). (2.69)

Transformiramo hamiltonijan

p21

2m+

p22

2m+mgq2 = P1 − P2 +

mg2

2(Q1 +Q2)

2 + P2 − mg2

2(Q1 +Q2)

2 (2.70)

i konacno dolazimo do Hamiltonijana u ”novim” varijablama

K(Q1, Q2, P1, P2) = P1. (2.71)

Hamiltonijan ovisi samo o ”novom” impulsu P1 pa jednadzbe gibanja i njihova rjesenjaglase

Q1 =∂K

∂P1

= 1 =⇒ Q1 = t+Q10, (2.72)

Q2 =∂K

∂P2

= 0 =⇒ Q2 = Q20 (2.73)

P1 = − ∂K∂Q1

= 0 =⇒ P1 = P10, (2.74)

P2 = − ∂K∂Q2

= 0 =⇒ P2 = P20. (2.75)

Vratimo se na ”stare” varijable

q1(t) =

√2

m

√P10 − P20(t+Q0

1), (2.76)

q2(t) =P20

mg− g

2(t+Q10 +Q20)

2 , (2.77)

p1(t) =√

2m(P10 − P10), (2.78)

p2(t) = −mg(t+Q10 +Q20). (2.79)

Uz prikladnu interpretaciju konstanti P10, P20, Q10 i Q20 rjesenja odgovaraju gibanjucestice u homogenom gravitacijskom polju.


Primjer 2.2

Nadite funkciju izvodnicu F3(Q, p) koja prevodi sistem iz Kartezijevih koordinata upolarne

(q, p) ≡ {x, y; px, py} → (Q,P ) ≡ {ρ, φ; pρ, pφ} , (2.80)

te iz nje izracunajte px i py kao funkcije od ρ, φ, pρ, pφ.

Jednadzbe transformacije za funkciju izvodnicu F3 glase

qi = −∂F3

∂pii Pi = −∂F3

∂Qi

. (2.81)

Radi se o tockastoj transformaciji pa funkciju izvodnicu mozemo napisati odmah

F3(Q1, . . . Qn, p1, . . . , pn) = −∑i

fi(Q1, . . . , Qn)pi. (2.82)

Prijelaz s Kartezijevih na polarne koordinate dan je s

x = ρ cosφ i y = ρ sinφ, (2.83)

pa funkcije fx(ρ, φ) i fy(ρ, φ) glase

fx(ρ, φ) = ρ cosφ i fy(ρ, φ) = ρ sinφ. (2.84)

Napisemo funkciju izvodnicu

F3(ρ, φ, px, py) = −ρ cosφpx − ρ sinφpy, (2.85)

a potom izracunamo koordinate x, y i impulse pρ i pφ

x = −∂F3

∂px= ρ cosφ, (2.86)

y = −∂F3

∂py= ρ sinφ, (2.87)

pρ = −∂F3

∂ρ= cosφpx + sinφpy, (2.88)

pφ = −∂F3

∂φ= −ρ sinφpx + ρ cosφpy. (2.89)

Preostalo nam je invertirati zadnje dvije jednadzbe da bi izrazili px i py kao funkcije ρ,φ, pρ i pφ. Problem se svodi na nehomogeni sustav dvije jednadzbe s dvije nepoznanice

cosφpx + sinφpy = pρ, (2.90)

−ρ sinφpx + ρ cosφpy = pφ. (2.91)


Izracunamo determinantu sustava

D =

∣∣∣∣ cosφ sinφ−ρ sinφ ρ cosφ

∣∣∣∣ = ρ. (2.92)

Potrebne su nam jos dvije determinante

Dx =

∣∣∣∣ pρ sinφpφ ρ cosφ

∣∣∣∣ = pρρ cosφ− pφ sinφ, (2.93)

Dy =

∣∣∣∣ cosφ pρ−ρ sinφ pφ

∣∣∣∣ = pφ cosφ+ ρpρ sinφ. (2.94)

Na kraju izracunamo px i py

px =DxD = pρ cosφ− pφ

ρsinφ, (2.95)

py =DyD = pρ sinφ+

pφρ

cosφ. (2.96)


Primjer 2.3

Nadite funkciju izvodnicu F4 koja generira kanonsku transformaciju

Q = − q2p√1 + p2q2

i P = −√

1 + p2q2

q. (2.97)

Funkciju izvodnicu F4(p, P ) mozemo izracunati pomocu relacija

q = −∂F4

∂pi Q =

∂F4

∂P. (2.98)

Iz zadane transformacije (2.97) prvo moramo izraziti zavisne varijable q i Q kao funkcijenezavisnih varijabli p i P

P = −√

1 + p2q2

q=⇒ q = − 1√

P 2 − p2, (2.99)

=⇒ Q = − pP

1√P 2 − p2

. (2.100)

Integriramo jedn. (2.99)

F4(p, P ) = −∫q(p, P )dp+ f1(P ) =

∫dp√P 2 − p2

+ f1(P ), (2.101)

pri cemu je f1 proizvoljna funkcija koja ovisi samo o P . Integral mozemo pronaci uBronstejnu (br. 164)

F4(p, P ) = arcsinp

P+ f1(P ). (2.102)

Funkciju f1 fiksiramo tako da bude zadovoljena druga jednadzba transformacije

Q =∂F4

∂P= − p√

P 2 − p2+ f ′1(P ). (2.103)

Da bi prethodni rezultat bio u skladu s relacijom (2.99), derivacija funkcije f1 moraiscezavati

f ′1(P ) = 0 =⇒ f1(P ) = C. (2.104)

Funkcija izvodnica je ionako definirana do na konstantu pa mozemo napisati

F4(p, P ) = arcsinp

P. (2.105)


Primjer 2.4

Zadana je funkcija izvodnica

F2(q, P ) = Pq + εaq3P + εbqP 3. (2.106)

Nadite q(Q,P ) i p(Q,P ) tako da zadrzite samo linearne doprinose male velicine ε.

Iz funkcije izvodnice izracunamo p i Q u ovisnosti o q i P

p =∂F2

∂q= P + 3εq2P + εbP 3, (2.107)

Q =∂F2

∂P= q + εaq3 + 3εbqP 2. (2.108)

Zadrzavamo samo linearne doprinose male velicine ε sto znaci da u svim clanovima kojisadrze ε mozemo zamijeniti q s Q i p s P

p = P + 3εQ2P + εbP 3, (2.109)

Q = q + εaQ3 + 3εbQP 2. (2.110)

Iz prve jednadzbe slijedip = P + εP

(3aQ2 + bP 2

), (2.111)

a iz drugeq = Q− εQ (aQ2 + 3bP 2

). (2.112)


Primjer 2.5

Zadan je Hamiltonijan harmonickog oscilatora s trenjem

H =p2

2me−bt/m +

k

2q2ebt/m, (2.113)

i funkcija izvodnicaF2(q, P, t) = ebt/2mqP. (2.114)

Nadite transformaciju (q, p)→ (Q,P ), kao i Hamiltonijan u novim koordinatama.

Funkcija izvodnica tj. transformacija ovisi eksplicitno o vremenu pa ”novi” Hamiltoni-jan nema istu formu kao ”stari”, vec mu moramo dodati parcijalnu derivaciju funkcijeizvodnice po vremenu

K(Q,P ) = H[q(Q,P ), p(Q,P )] +∂F2

∂t. (2.115)

Prvo iskoristimo funkciju izvodnicu da bi izracnali p i Q

p =∂F2

∂q= ebt/2mP, (2.116)

Q =∂F2

∂P= ebt/2mq. (2.117)

Izrazimo varijable q i p pomocu Q i P

q = e−bt/2mQ i p = ebt/2mP, (2.118)

a zatim izracunamo parcijalnu derivaciju funkcije izvodnice po vremenu

∂F2

∂t=

b

2mebt/2mqP. (2.119)

Uvrstimo jedn. (2.118) u Hamiltonijan

K(Q,P ) =1

2mebt/mP 2e−bt/m +

k

2e−bt/mQ2ebt/m +

b

2mebt/2me−bt/2mQP. (2.120)

”Novi” Hamiltonian ne ovisi eksplicitno o vremenu sto znac da je konstanta gibanja

K(Q,P ) =P 2

2m+k

2Q2 +

b

2mQP. (2.121)


Primjer 2.6

Cestica mase m giba se u polju konstante sile F . Nadite funkciju izvodnicu F1(q,Q)kanonske transformacije

q(t)→ Q(t) = q(t+ τ), p(t)→ P (t+ τ), (2.122)

gdje je τ konstanta dimenzije vremena.

Cestica se giba u potencijaluU(q) = −Fq, (2.123)

pa Hamiltonijan glasi

H =p2

2m− Fq. (2.124)

Iz Hamiltonijana izvedemo kanonske jednadzbe

q = ∂H∂p

= pm

p = −∂H∂q

= F

}=⇒ q =

F

m. (2.125)

Kao pocetne uvjete izaberemo

q(0) = 0 i p(0) = 0. (2.126)

Integriramo jednadzbu gibanja

q(t) =F

2mt2 + C1t+ C2. (2.127)

Iz pocetnog uvjeta q(0) = 0 slijedi C2 = 0. Deriviramo li rjesenje q(t) po vremenudolazimo do impulsa

p(t) = mq = Ft+ C1. (2.128)

Iz pocetnog uvjeta p(0) = 0 slijedi C1 = 0 pa rjesenje jednadzbi gibanja glasi

q =F

2mt2 i p = Ft. (2.129)

Nove varijable dobijemo translacijom u vremenu

Q(t) = q(t+ τ) =F

2m(t+ τ)2 =

F

2mt2 +

F

mtτ +

F

2mτ 2 (2.130)

P (t) = p(t+ τ) = F (t+ τ) = Ft+ Fτ. (2.131)

=⇒ Q = q +p

mτ +

F

2mτ 2 i P = p+ Fτ. (2.132)


Trazimo funkciju izvodnicu F1(q,Q, t) sto znaci da varijable P i p moramo izrazitipomocu varijabli Q, q i t

Q = q +p

mτ +

F

2mτ 2 =⇒ p =

m

τ

(Q− q − F

2mτ 2

), (2.133)

P = p+ Fτ =⇒ P =m

τ(Q− q) +

F

2τ. (2.134)

Transformacija zadana funkcijom izvodnicom F1 glasi

p =∂F1(q,Q, t)

∂qi P = −∂F1(q,Q, t)

∂Q. (2.135)

Uvrstimo varijablu p i integriramo

F1 =m

τ

∫ (Q− q − F

2mτ 2

)dq + f1(Q), (2.136)

pri cemu funkcija f1 ovisi samo o Q. Svi integrali su elementarni

F1(q,Q, t) =m

τQq − m

2τq2 − F

2τq + f1(Q). (2.137)

Funkciju f1 fiksiramo zahtjevom

P = −∂F1

∂Q= −m

τq − f ′1(Q) =

m

τ(Q− q) +

F

2τ (2.138)

=⇒ f ′1(Q) = −mτQ− F

2τ. (2.139)

Integriramo prethodnu jednadzbu

f1(Q) = −m2τQ2 − F

2τQ. (2.140)

Funkcija izvodnica F1 glasi

F1(q,Q, t) = −m2τ

(Q− q)2 − F

2τ(Q+ q). (2.141)

3 Hamilton-Jacobijeva jednadzba

3.1 Izvod Hamilton-Jacobijeve jednadzbe

Fazni portret u bilo kojem vremenskom trenutku odreduje i fazni portret u svim ranijim ikasnijim vremenskim trenucima. Svaka tocka faznog portreta pripada odredenoj putanji.Odaberemo pocetno vrijeme t0 i svakoj putanji pridruzimo njezin pocetni uvjet

~q(0) = ~q(0) [~q(t), ~p(t), t] , (3.1)

~p(0) = ~p(0) [~q(t), ~p(t), t] . (3.2)

Varijable ~q(0) i ~p(0) su takoder kanonske varijable pa jednadzbe (3.1) i (3.2) predstavljajuvremenski ovisnu kanonsku transformaciju. Buduci da pocetni uvjeti ne ovise o vremenu,odgovarajuce kanonske jednadzbe glase

q(0)i =

∂K(~q0, ~p0, t)

∂p(0)i

= 0, p(0)i = −∂K(~q0, ~p0, t)

∂q(0)i

= 0, (3.3)

pa pripadni Hamiltonijan moze ovisiti samo o vremenu ili biti konstanta. Kao nezavisnevarijable izaberemo

q1, . . . , qn ≡ ~q i p(0)1 , . . . , p(0)

n ≡ ~p0. (3.4)

Ovaj tip funkcije izvodnice (”stare” koordinate i ”novi” impulsi) smo oznacavali s F2.Veza starog i novog Hamiltonijana dana je s

H (~q, ~p, t) +∂F2 (~q, ~p0, t)

∂t= K(t). (3.5)

”Stare” impulse i ”nove” koordinate mozemo izracunati iz sljedecih relacija

∂F2

∂qi= pi i

∂F2

∂p(0)i

= q(0)i . (3.6)

Uvrstimo li prethodne jednadzbe u Hamiltonijan, dolazimo do parcijalne diferencijalnejednadzbe

H

(q1, . . . , qn,

∂F2

∂q1, . . . ,

∂F2

∂qn, t

)+∂F2

∂t= K(t). (3.7)

Funkciji izvodnici uvijek mozemo dodati dio koji ovisi samo o vremenu

F2 = −∫ t

K(t′)dt′ + F2, (3.8)

49

Separacija varijabli u Hamilton-Jacobijevoj jednadzbi 50

jer vrijedi∂F2

∂qi=∂F2

∂qii

∂F2

∂p(0)i

=∂F2

∂p(0)i

. (3.9)

Dosli smo do parcijalne diferencijalne jednadzbe s n + 1 varijabli (q1, . . . , qn, t) koja

definira funkciju F2(q1, . . . , qn, p(0)1 , . . . , p(0)

n , t).

H

(q1, . . . , qn,

∂F2

∂q1, . . . ,

∂F2

∂q1, t

)+∂F2

∂t= 0. (3.10)

Potpuno rjesenje F2 ukljucuje n+1 konstanti od kojih je jedna aditivna, dok od preostalihn konstanti ni jedna nije aditivna. Pocetne vrijednosti impulsa mogu igrati ulogu tihkonstantni

pi =∂F2

∂qi=⇒ p

(0)i =

∂F2

∂qi

∣∣∣∣t=t0

. (3.11)

Druga grupa jednadzbi transformacije implicitno zadaje varijable qi(t)

∂

∂p(0)i

F2(q1, . . . , qn, p(0)1 , . . . , p(0)

n , t) = q(0)i . (3.12)

Za definiranje trajektorije moramo zadati jos n konstanti

∂

∂αjF2(q1, . . . , qn, α1, . . . , αn, t) = βi, i = 1, . . . , n. (3.13)

3.2 Separacija varijabli u Hamilton-Jacobijevoj jed-nadzbi

3.2.1 Konzervativni sistemi

Promotrimo prvo slucaj mehanickih sustava za koje Hamiltonova funkcija ne ovisi eksplic-itno o vremenu. Hamilton-Jacobijeva jednadzba koja definira funkciju S(q1, . . . , qn, α1, . . . , αn, t)glasi

∂S

∂t+H

[q1, . . . , qn,

∂S

∂q1, . . . ,

∂S

∂qn

]= 0. (3.14)

Drugi clan u jednadzbi ne ovisi o vremenu. Da bi jednadzba bila ispunjena u svakomvremenskom trenutku, niti prvi clan ne smije ovisiti o vremenu. Dakle, rjesenje moraimati sljedeci oblik

S = α1t+ S0(q1, . . . , qn, α2, . . . , αn). (3.15)


Pritom α1 ne smije ovisiti o varijablama qi jer bi u suprotnom parcijalne derivacije ∂S/∂qiuvele vremenski ovisne clanove u Hamiltonijan. Hamilton-Jacobijeva jednadzba za konz-ervativni sustav svela se na

H

[q1, . . . , qn,

∂S0

∂q1, . . . ,

∂S0

∂qn

]= −α1. (3.16)

Dosli smo do globalne konstante gibanja α1 koju najcesce mozemo identificirati s en-ergijom sustava

− α1 ≡ E. (3.17)

Sva ovisnost o tockama faznog prostora nalazi se u funkciji S0, a jedn. 3.16 ukazuje dase pomicanjem po putanji konstanta α1 ne mijenja tj. da se doista radi o globalnomintegralu gibanja. U jednadzbi koja odreduje funkciju S0 preostalo je n koordinata i n−1konstanti od kojih niti jedna nije aditivna.

Primjer: harmonicki oscilator

Da bi napisali Hamilton-Jacobijevu jednadzbu, u Hamiltonijanu harmonickog oscilatora

H =p2

2m+

1

2mω2q2, (3.18)

moramo napraviti zamjenu p→ ∂S/∂q i dodati clan ∂S/∂t

1

2m

(∂S

∂q

)2

+1

2mω2q2 +

∂S

∂t= 0. (3.19)

Sustav je konzervativan pa rjesenje mozemo pretpostaviti u obliku

S(q, t) = −αt+W (q). (3.20)

Uvrstimo pretpostavljeno rjesenje u Hamilton-Jacobijevu jednadzbu

1

2m

(dW

dq

)2

+1

2mω2q2 = α. (3.21)

Integriramo jednadzbu da bi nasli funkciju W

W = mω

∫ √2α

mω2− q2dq. (3.22)

Ukupna funkcija izvodnica glasi

S(q, t) = −αt+W (q). (3.23)


Koristeci transformacijske jednadzbe

p =∂S

∂qi β =

∂S

∂α, (3.24)

mozemo izracunati impuls

p =∂S

∂q=√

2mα−m2ω2q2, (3.25)

a zatim i povezati konstantu α s pocetnim uvjetima

p0 =√

2mα−m2ω2q20 =⇒ α =

p20

2m+

1

2mω2q2

0. (3.26)

Konstanta α ocito odgovara energiji sustava. Da bi definirali putanju trebamo jos kon-stantu β

β =∂S

∂α= −t+

1

ω

∫dq√

2αmω2 − q2

= −t+1

ωarcsin

q√2αmω2

. (3.27)

Invertiramo prethodnu relaciju

q(t) =

√2α

mω2sin [ω (β + t)]. (3.28)

Konstantu β takoder mozemo povezati s pocetnim uvjetima

q0 =

√2α

mω2sinωβ =⇒ β =

1

ωarcsin

[q0

√mω2

2α

]. (3.29)

3.2.2 Separacija jedne varijable

Daljnju separaciju varijabli u Hamilton-Jacobijevoj jednadzbi mozemo provesti ukoliko jesva ovisnost Hamiltonijana o koordinati q1 sadrzana u sklopu neke proizvoljne funkcije

f

(q1,

∂S0

∂q1

). (3.30)

Pritom funkcija f ne smije ovisiti niti o jednoj drugoj koordinati qi ili derivaciji ∂S0/∂qi(i = 2, 3, . . . , n). Ukoliko su navedeni zahtjevi ispunjeni, Hamilton-Jacobijeva jednadzbasvodi se na

H

[f, q2, . . . , qn,

∂S0

∂q2, . . . ,

∂S0

∂qn

]= E. (3.31)


Pretpostavimo da rjesenje ove jednadzbe mozemo napisati u obliku

S0 = S ′0(q2, . . . , qn) + S1(q1), (3.32)

pri cemu jos nismo rekli gdje se nalaze konstante α2, . . . , αn. Uvrstimo pretpostavljeniS0 u jedn. (3.31)

H

[f

(q1,

dS1

dq1

), q2, . . . , qn,

∂S ′0∂q2

, . . . ,∂S ′0∂qn

]= E. (3.33)

Lijeva strana jednadzbe mora biti konstanta uvijek, pa i ako mijenjamo samo koordinatuq1, dok sve ostale drzimo fiksnima (i obratno ako q1 drzimo fiksnom, a mijenjamo sveostale). Taj zahtjev ce biti ispunjen samo ako vrijede sljedeci uvjeti

f

(q1,

dS1

dq1

)= α2, (3.34)

H

[q2, . . . , qn,

∂S ′0∂q2

, . . . ,∂S ′0∂qn

, α2

]= E. (3.35)

Prva jednadzba je obicna diferencijalna jednadzba prvog reda koju uvijek mozemo rijesitikvadraturom. Druga jednadzba je i dalje parcijalna diferencijalna jednadzba, ali s jednomvarijablom manje. Svako potpuno rjesenje S ′0 sadrzi u sebi n−2 konstante. Ako u rjesenjuS ′0 ovisnost o koordinati q2 mozemo napisati u obliku neke proizvoljne funkcije

g

(q2,

∂S ′0∂q2

), (3.36)

postupak separacije mozemo ponoviti i za tu koodinatu. Za problem kazemo da jepotpuno separabilan ako postupak separacije mozemo provesti za svaku varijablu. Uzprikladnu redefiniciju konstanti opce rjesenje Hamilton-Jacobijeve jednadzbe mozemonapisati u obliku

S(q1, . . . , qn, α1, . . . , αn, t) = −E(α1, . . . , αn)t+∑j

Sj(qj, α1, . . . , αn). (3.37)

U rjesenju se i dalje nalazi n nezavisnih konstanti, ali smo konstantu E izrazili kaofunkciju ostalih. Bitno je uociti da su konstante αi globalne jer se pomicanjem po putanjine mijenjaju (vidi jedn. (3.34)). Redefinicija konstanti ne mijenja ovaj zakljucak jer jesvaka funkcija globalnih konstanti gibanja opet globalna konstanta gibanja. Preostalihn konstanti slijedi iz jednadzbi transformacija

βj =∂S

∂αj, (3.38)

koje odreduju putanje qi(t).


3.2.3 Ciklicke varijable

Pretpostavimo najprije da sam Hamiltonijan mozemo napisati u separiranom obliku

H = H1

(q1,

∂S0

∂q1

)+H ′

[q2, . . . , qn,

∂S ′0∂q2

, . . . ,∂S ′0∂qn

]. (3.39)

Problem postaje jos jednostavniji ako je koordinata q1 ciklicka tj. Hamiltonijan uopcene ovisi o njoj pa jedn. (3.34) mozemo napisati u obliku

∂S1

∂q1= α2 =⇒ S1 = α2q1. (3.40)

Funkciju S0 mozemo napisati u sljedecem obliku

S = S ′0(q2, . . . , qn) + α2q1 − Et. (3.41)

Globalna konstanta gibanja α2 o,a znacenje konjugiranog impulsa ciklickoj koordinati q1jer vrijedi

p1 =∂S

∂q1= α2. (3.42)

Vrijeme u konzervativnom sustavu takoder mozemo smatrati ciklickom varijablom. Kon-jugirani impuls je −E.


Primjer 3.1

Zadan je Hamiltonijan oblika

H(q, p, t) =p2

2m− qF cosωt. (3.43)

Pomocu Hamilton-Jacobijeve jednadzbe nadite q(t) i p(t) ako je q(0) = q0 i p(0) = p0.Uputa: koristite ansatz

S(q, α, t) = f(α, t)q + h(α, t). (3.44)

Da bi dosli do Hamilton-Jacobijeve jednadzbe, u Hamiltonijanu moramo napraviti zam-jenu p→ ∂S/∂q i dodati clan ∂S/∂t

1

2m

(∂S

∂q

)2

− qF cosωt+∂S

∂t= 0. (3.45)

Hamiltonijan u ovom primjeru eksplicitno ovisi o vremenu pa ne mozemo iskoristiti stan-dardnu metodu separacije varijabli, nego moramo upotrijebiti predlozeni ansatz

S(q, α, t) = f(α, t)q + h(α, t). (3.46)

Uvrstimo prethodni izraz u Hamilton-Jacobijevu jednadzbu

1

2mf 2 − qF cosωt+

∂f

∂tq +

∂h

∂t= 0 (3.47)

=⇒ 1

2mf 2 +

∂h

∂t+ q

(∂f

∂t− F cosωt

)= 0. (3.48)

Da bi prethodna jednadzba bila ispunjena mora vrijediti

1

2mf 2 +

∂h

∂ti

∂f

∂t− F cosωt. (3.49)

Desnu jednadzbu mozemo integrirati odmah

∂f

∂t= F cosωt =⇒ f =

F

ωsinωt+ α. (3.50)

Bitno je uociti da α nije aditivna konstanta jer funkciju f (a time i konstantu α) tekmoramo pomnoziti s q da bi dobili funkciju izvodnicu S. Funkciju f uvrstimo u jednadzbu

1

2mf 2 +

∂h

∂t= 0 =⇒ h = − 1

2m

(F

ωsinωt+ α

)2

= 0. (3.51)


Kvadriramo prethodni izraz

h = − 1

2m

(F 2

ω2sin2 ωt+ 2

Fα

ωsinωt+ α2

), (3.52)

a zatim ga integriramo

h = − F 2

2mω2

∫sin2 ωtdt− αF

mω

∫sinωtdt− α2

2m

∫dt, (3.53)

h = − F 2

4mω3

(ωt− 1

2sin 2ωt

)+

αF

mω2cosωt− α2

2mt+ C, (3.54)

h = −(

F 2

4mω2+α2

2m

)t+

F 2

8mω2sin 2ωt+

αF

mω2cosωt. (3.55)

C je aditivna konstanta pa je mozemo izostaviti. Ukupna funkcija izvodnica glasi

S(q, α, t) =

[F

ωsinωt+ α

]q (3.56)

−(

F 2

4mω2+α2

2m

)t+

F 2

8mω2sin 2ωt+

αF

mω2cosωt. (3.57)

Da bi izracunali trajektoriju q(t), moramo uvesti jos jednu konstantu

β =∂S

∂α= q − α

2mt+

F

mω2cosωt. (3.58)

Konstantu β mozemo povezati s pocetnim uvjetom

q(t = 0) = β − F

mω2=⇒ β = q0 +

F

mω2. (3.59)

Iz funkcije izvodnice mozemo izracunati impuls

p =∂S

∂q=F

ωsinωt+ α, (3.60)

odakle slijedi da konstantu α mozemo identificirati s pocetnim uvjetom

p0 = p(t = 0) = α. (3.61)

Konacno, mozemo napisati izraze za polozaj i impuls cestice

q(t) = q0 +p0

mt+

F

mω2(1− cosωt) , (3.62)

p(t) = p0 +F

ωsinωt. (3.63)

Ispravnost rjesenja mozemo provjeriti direktnim rjesavanjem Hamiltonovih jednadzbi.


Primjer 3.2

Nadite potpuni integral Hamilton-Jacobijeve jednadzbe i trajektorije x(t), y(t) i z(t) zacesticu mase m koja se nalazi u homogenom gravitacionom polju.

Da bi rijesili ovakav problem, najprije moramo napisati Hamiltonijan cestice mase m uhomogenom gravitacijskom polju

H =1

2m

(p2x + p2

y + p2z

)+mgz. (3.64)

Napravimo zamjene

px → ∂S

∂x, py → ∂S

∂y, pz → ∂S

∂z, (3.65)

a zatim Hamiltonijanu dodamo clan ∂S/∂t

1

2m

[(∂S

∂x

)2

+

(∂S

∂y

)2

+

(∂S

∂z

)2]

+mgz +∂S

∂t= 0. (3.66)

Sustav je konzervativan, a varijable x i y su ciklicke pa rjesenje Hamilton-Jacobijevejednadzbe mozemo napisati u sljedecem obliku

S = −Et+ pxx+ pyy + Sz(z, E, px, py). (3.67)

Uvrstimo rjesenje u Hamilton-Jacobijevu jednadzbu

1

2m

(dSzdz

)2

+p2x

2m+

p2y

2m+mgz = E, (3.68)

=⇒ Sz =

∫ √2m (E −mgz)− p2

x − p2ydz. (3.69)

Potpuni integral Hamilton-Jacobijeve jednadzbe glasi

S = −Et+ pxx+ pyy +

∫ √2m (E −mgz)− p2

x − p2ydz. (3.70)

Da bi nasli trajektorije, za svaku ”novi” impuls (E, px, py) moramo uvesti konjugiranu”novu” koordinatu. Pocinjemo s energijom

βE =∂S

∂E= −t+

∫mdz√

2mE − p2x − p2

y − 2m2gz. (3.71)

Napravimo li supstituciju

u = 2mE − p2x − p2

y − 2m2gz =⇒ du = −2m2gdz, (3.72)


doci cemo do elementarnog integrala

βE = −t− 1

2mg

∫du√u

= −t−√u

mg= −t− 1

mg

√2mE − p2

x − p2y − 2m2gz. (3.73)

Invertiramo prethodnu jednadzbu da bi dosli do putanje z(t)

βE + t = −√

2E

mg2− p2

x

m2g2− p2

y

m2g2− 2

gz (3.74)

=⇒ (βE + t)2 =2E

mg2− p2

x

m2g2− p2

y

m2g2− 2

gz (3.75)

=⇒ z(t) = −g2

(βE + t)2 +E

mg− p2

x

2m2g− p2

y

2m2g. (3.76)

Konstanta βE odredena je pocetnim polozajem z(0), kao i globalnim konstantama E,px, py

z(0) = −g2β2E +

E

mg− p2

x

2m2g− p2

y

2m2g. (3.77)

Sljedeca konstanta konjugirana je impulsu px

βx =∂S

∂px= x− px

∫dz√

2mE − p2x − p2

y − 2m2gz. (3.78)

Prvo moramo izracunati ovisnost x(z), zatim mozemo uvrstiti z(t) da bi dosli do putanjex(t) Ponovno koristimo supstituciju

u = 2mE − p2x − p2

y − 2m2gz =⇒ du = −2m2gdz, (3.79)

=⇒ βx = x+px

2m2g

∫du√u

= x+pxm2g

√u. (3.80)

Vratimo natrag supstituciju u = 2mE − p2x − p2

y − 2m2gz

βx = x+pxm2g

√2mE − p2

x − p2y − 2m2gz. (3.81)

Iz prethodnih razmatranja znamo da vrijedi√2mE − p2

x − p2y − 2m2gz = −mg (βE + t) , (3.82)

pa automatski slijedi ovisnost koordinate x o vremenu

βx = x+pxm2g

[−mgβE −mgt] = x− pxβEm− pxmt (3.83)


=⇒ x(t) = βx +pxβEm

+pxmt. (3.84)

Konstanu βx takoder mozemo povezati s pocetnim uvjetima i globalnim konstantamagibanja

x(0) = βx +pxβEm

=⇒ βx = x(0)− pxβEm

. (3.85)

Jednakim postupkom dosli bi do putanje y(t)

y(t) = βy +pyβEm

+pymt, (3.86)

pri cemu vrijedi

y(0) = βy +pyβEm

=⇒ βy = y(0)− pyβEm

. (3.87)


Primjer 3.3

Cestica jedinicne mase giba se u ravnini pod utjecajem privlacne centralne sile iznosan2r. Nadite potpuni integral Hamilton-Jacobijeve jednadzbe, kao i putanje r(t) i r(φ).Izracunajte konstante u rjesenju r(φ) ako se cestica u pocetnom trenutku nalazi na osix, udaljena je za a od ishodista, a brzina joj iznosi v0 =

√3na i ima smjer osi y.

Koje konstante su globalne, a koje ne? Skicirajte putanju r(φ). Prije skice prebacitejednadzbu orbite u Kartezijev sustav.

U tekstu zadatka zadan je iznos centralne sile pa najprije moramo izracunati potencijal

U(r) = −∫

~F · d~r =

∫n2rdr =

1

2n2r2. (3.88)

Sila je centralna pa ce se orbita cestice nalaziti u ravnini. To znaci da problem odmahmozemo svesti na dvije dimenzije i raditi s polarnim koordinatama. Hamiltonijan glasi

H =p2r

2+

p2φ

2r2+

1

2n2r2, (3.89)

pri cemu smo iskoristili cinjenicu da cestica ima jedinicnu masu. Napravimo zamjenepi → ∂S/∂qi i dodamo clan ∂S/∂t

∂S

∂t+

1

2

(∂S

∂r

)2

+1

2r2

(∂S

∂φ

)2

+1

2n2r2 = 0. (3.90)

Sustav je konzervativan, a uz to je varijabla φ ciklicka

S = −Et+ pφ + Sr(r). (3.91)

Uvrstimo prethodni izraz u Hamilton-Jacobijevu jednadzbu

− E +1

2

(dSrdr

)2

+p2φ

2r2+

1

2n2r2 = 0 =⇒ Sr(r) =

∫ √2E − n2r2 − p2

φ

r2dr (3.92)

Potpuni integral Hamilton-Jacobijeve jednadzbe glasi

S = −Et+ pφφ+

∫ √2E − n2r2 − p2

φ

r2dr. (3.93)

Da bi nasli putanju r(t) trebamo uvesti jos jednu konstantu β1

β1 =∂S

∂E= −t+

∫dr√

2E − n2r2 − p2φr2

= −t+

∫rdr√

2Er2 − n2r4 − p2φ

. (3.94)


Napravimo supstituciju r2 = u

β1 = −t+1

2

∫du√

2Eu− n2u2 − p2φ

, (3.95)

i prepoznamo tablicni integral (Bronstejn, br. 241)∫dx√

ax2 + bx+ c= − 1√−a arcsin

2ax+ b√b2 − 4ac

. (3.96)

Rjesnje trazenog integrala glasi

β1 + t =1

2narcsin

n2r2 − E√E2 − n2p2

φ

. (3.97)

Invertiranjem prethodne jednadzbe dolazimo do putanje r(t)

r(t) =1

n

√E +

√E2 − n2p2

φ sin [2n (t+ β1)]. (3.98)

Da bi nasli putanju r(φ) trebamo dodatnu konstantu β2

β2 =∂S

∂pφ= φ−

∫2pφdr

r2

√2E − n2r2 − p2φ

r2

. (3.99)

Napravimo li supstituciju

u =1

r=⇒ du = − 1

r2dr, (3.100)

integral poprima sljedeci oblik

β2 = φ+ 2pφ

∫du√

2E − n2

u2 − p2φu

2

= φ+ 2pφ

∫udu√

2Eu2 − n2 − p2φu

4. (3.101)

Sada napravimo jos jednu supstituciju v = u2 =⇒ 2udu = dv

β2 = φ+ pφ

∫dv√

−p2φv

2 + 2Ev − n2. (3.102)

Radi se o tablicnom integralu iz Bronstejna (br. 241)∫dx√

ax2 + bx+ c= − 1√−a arcsin

2ax+ b√b2 − 4ac

, a < 0, 4ac− b2 < 0. (3.103)


U nasem slucaju vrijedi a = −p2φ, b = 2E, c = −n2

β2 = φ+ pφ−1

pφarcsin

−2p2φv + 2E√

4E2 − 4n2p2φ

= φ+ arcsinp2φv − E√E2 − n2p2

φ

. (3.104)

Invertiramo prethodnu jednadzbu

p2φv − E =

√E2 − n2p2

φ sin (β2 − φ), (3.105)

a zatim se vratimo na varijablu r = 1/v2

p2φ

r2− E =

√E2 − n2p2

φ sin (β2 − φ) (3.106)

=⇒ r(φ) =pφ√

E +√E2 − n2p2

φ sin (β2 − φ)

. (3.107)

preuredimo li izraz za orbitu

r(φ) =pφ√E

1√1 +

√1− n2p2φ

E2 sin [2(β − φ)]

, (3.108)

dolazimo do zakljucka da izgled krivulje ovisi o omjeru E/pφ, dok konstanta β odredujeorijentaciju krivulje u ravnini xy (uz pretpostavku da je faktor n fiksiran) Konstante E ipφ su globalne, dok konstanta β nije jer ovisi o pocetnom uvjetu Cestica se u pocetnomtrenutku nalazi na udaljenosti a od ishodista, s brzinom v0 = na pa energija cesticeiznosi

E =m

2v2

0 + U(a) = 2n2a2. (3.109)

Pritom smo iskoristili cinjenicu da cestica ima jedinicnu masu. Pocetni radijus-vektor ibrzina cestice su okomiti pa je zakretni impuls cestice

pφ = mr(0)v0 =√

3na2 =⇒ pφ√E

=

√3

2a,

n2p2φ

E2=

3

4. (3.110)

Preostalo je jos izracunati konstantu β

r(φ = 0) = a =

√3

2a

1√1 + 1

2sin 2β

=⇒ sin 2β = 1 =⇒ β = 450. (3.111)


Orbita u ovom slucaju glasi

r(φ) =

√3

2a

1√1 + 1

2cos 2φ

=⇒ r2(φ) = 3a2 1

2 + cos2 φ− sin2 φ. (3.112)

Pomnozimo jednadzbu s nazivnikom desne strane

2r2 + r2 cos2 φ− r2 sin2 φ = 3a2, (3.113)

a zatim prijedemo na Kartezijeve koordinate

x2

a2+

y2

3a2= 1. (3.114)

Potencijal odgovara izotropnom harmonickom oscilatoru pa su putanje u xy ravnini elipsesa sredistem u ishodistu koordinatnog sustava (Lissajeuove krivulje) Do istog rezultatabi dosli rjesavanjem jednadzbi gibanja u Kartezijevom sustavu

x = −n2x i y = −n2y, (3.115)

uz pocetne uvjete

x(0) = a, y(0) = 0, x(0) = 0, y(0) =√

3na. (3.116)

Rjesenje jednadzbi gibanja glasi

x(t) = a cosnt i y(t) =√

3a sinnt =⇒ cosnt =x

ai sinnt =

y√3a. (3.117)

x

y

a

√3a

Slika 3.1: Skica orbite.


Iskoristimo li relaciju sin2 x+cos2 x = 1, dolazimo do orbite u Kartezijevim koordinatama

x2

a2+

y2

3a2= 1. (3.118)


Primjer 3.4

Cestica mase m giba se u potencijalu

U(r, θ) = a(r) +b(θ)

r2, (3.119)

pri cemu su a(r) i b(θ) proizvoljne funkcije. Provedite separaciju varijabli u Hamilton-Jacobijevoj jednadzbi koristeci sferni sustav i nadite njezin potpuni integral.

Hamiltonijan u sfernom sustavu glasi

H =1

2m

(p2r +

p2θ

r2+

p2φ

r2 sin2 θ

)+ a(r) +

b(θ)

r2, (3.120)

pa je pripadna Hamilton-Jacobijeva jednadzba

1

2m

[(∂S

∂r

)2

+1

r2

(∂S

∂θ

)2

+1

r2 sin2 θ

(∂S

∂φ

)2]

+ a(r) +b(θ)

r2+∂S

∂t= 0. (3.121)

Sustav je konzervativan, a varijabla φ je ciklicka pa rjesenje mozemo pretpostaviti usljedecem obliku

S = −Et+ φpφ + S1(r, θ). (3.122)

Uvrstimo pretpostavljeno rjesenje u Hamilton-Jacobijevu jednadzbu

1

2m

[(∂S1

∂r

)2

+1

r2

(∂S1

∂θ

)2

+p2φ

r2 sin2 θ

]+ a(r) +

b(θ)

r2= E. (3.123)

Da bi proveli daljnju separaciju, pregrupiramo clanove u prethodnoj jednadzbi

1

2mr2

(∂S1

∂r

)2

+ r2a(r)− Er2 +

[(∂S1

∂θ

)2

+p2φ

2m sin2 θ+ b(θ)

]= 0. (3.124)

Funkciju S1(r, θ) pretpostavimo u obliku

S1(r, θ) = Sr(r) + Sθ(θ), (3.125)

a zatim je uvrstimo u jedn. (3.124)

1

2mr2

(dSrdr

)2

+ r2a(r)− Er2 +

[(dSθdθ

)2

+p2φ

2m sin2 θ+ b(θ)

]= 0. (3.126)


Da bi jednadzba bila ispunjena, dio koji ovisi samo o r mora biti jednak konstanti, kao idio koji ovisi samo o θ

1

2mr2

(dSrdr

)+ r2a(r)− Er2 = −α1, (3.127)

1

2m

(dSθdθ

)+

p2φ

2m sin2 θ+ b(θ) = α1. (3.128)

Konacno, potpuni integral zadane Hamilton-Jacobijeve jednadzbe glasi

S = −Et+ pφφ+

∫ √2mE − α1

r2− 2ma(r)dr +

∫ √α1 −

p2φ

sin2 θ − 2mb(θ)dθ

(3.129)

4 Varijable djelovanja i kuta

4.1 Uvod

U mnogim granama fizike susrecemo sustave s periodickim putanjama. Pritom nas cestone zanimaju detalji samih putanja, nego samo frekvencija gibanja. Hamilton-Jacobijevaformulacija omogucava razvoj jednostavne metode odredivanja frekvencija gibanja.

4.2 Sustavi s jednim stupnjem slobode

Promotrimo prvo konzervativni sustav s jednim stupnjem slobode. Hamiltonijan je utom slucaju konstanta gibanja

H(q, p) = α1. (4.1)

Invertiramo prethodnu relaciju

p = p(q, α1). (4.2)

Tipican primjer je harmonicki oscilator

p2

2m+

1

2mω2q2 = α1 =⇒ p =

√2m

[α1 − 1

2mω2q2

]. (4.3)

Razlikujemo dva tipa periodickih gibanja

• oscilacije: sustav se giba izmedu dvije tocke obrata pa je putanja u faznom prostoruzatvorena krivulja. Koordinata q i impuls p su periodicke funkcije vremena.

• vrtnje: koordinata q nije omedena, ali je funkcija p(q) periodicka s periodom q0.Ako q povecamo za q0 konfiguracija sustava ostaje nepromjenjena. Najjednostavnijiprimjer je rotacija krutog tijela oko fiksne osi, kada period q0 iznosi 2π.

U oba slucaja mozemo, umjesto konstante gibanja α1, uvesti varijablu djelovanja

I ≡ 1

2π

∮pdq, (4.4)

pri cemu integriramo po punom periodu oscilacije ili rotacije. Iz jedn. (4.2) slijedi davarijabla djelovanja ovisi samo o konstanti α1. Trazimo funkciju izvodnicu kanonske

67

Sustavi s jednim stupnjem slobode 68

transformacije (q, p) → (θ, I). Varijabla djelovanja odgovara ”novom” impulsu, a prik-ladna funkcija izvodnica je tipa F2(q, P ). U daljnjim razmatranjima koristit cemo oznakuS(q, I)

∂S

∂q= p(q, I) =⇒ S(q, I) =

∫p(q, I)dq. (4.5)

Koordinatu konjugiranu varijabli akcije obicno zovemo varijabla kuta

θ =∂S

∂I . (4.6)

Hamiltonova jednadzba gibanja za varijablu kuta glasi

θ =∂H

∂I ≡ ω(I). (4.7)

Hamiltonijan konzervativnog sustava je konstanta gibanja pa ga uvijek mozemo izrazitipomocu varijable akcije. Rjesenje jednadzbe gibanja (4.7) je trivijalno

θ = ωt+ θ0. (4.8)

Promjena varijable kuta kroz jedan puni period gibanja iznosi

∆θ =

∮∂θ

∂qdq =

∮∂

∂q

∂S

∂I dq =

∮∂

∂I∂S

∂qdq =

∂

∂I∮∂S

∂qdq. (4.9)

Iskoristimo li jedn. (4.5), dolazimo do relacije

∆θ =∂

∂I (2πI) = 2π. (4.10)

4.2.1 Primjer: harmonicki oscilator

Kao primjer jednodimenzionalnog sustava promotrit cemo linearni harmonicki oscilatorfrekvencije ω. Putanja harmonickog oscilatora u faznom prostoru dana je jednadzbom

p2

2m+

1

2mω2x2 = E, (4.11)

iz koje mozemo izraziti impuls

p =√

2m

√E − 1

2mω2x2. (4.12)

Varijabla djelovanja odgovara integralu

I =1

2π

∮pdx =

√2m

2π

∮ √E − 1

2mω2x2dx. (4.13)


x

U(x)

−x0 x0

E

Slika 4.1: Potencijal harmonickog oscilatora.

Granice integracije predstavljaju tocke obrata za koje vrijedi

1

2mω2x2

0 = E =⇒ x0 = ±√

2E

mω2. (4.14)

Tijekom pune oscilacije cestica prelazi put od −x0 do x0 i natrag, a buduci da je problemsimetrican dovoljno je integrirati od x = 0 do x = x0 i pomnoziti rezultat s cetiri

I = 4

√2m

2π

∫ x0

0

√E − 1

2mω2x2dx =

2

πmω

∫ x0

0

√x2

0 − x2dx. (4.15)

Rijec je o tablicnom integralu iz Bronstejna

I =1

πmω

[x√x2

0 − x2 + x20 arcsin

x

x0

]∣∣∣∣x0

0

=1

2mωx2

0 =E

ω. (4.16)

Hamiltonijan u varijablama kuta i djelovanja glasi

H = Iω. (4.17)

U sljedecem koraku trazimo funkciju izvodnicu S(x, I). Jednadzbe transformacije glase

p =∂S

∂xi θ =

∂S

∂I . (4.18)

Integriramo li lijevu jednadzbu, uz pocetne uvjete x(0) = −x0 i S(0) = 0, dolazimo dorelacije

S(x, I) =

∫ x

−x0

p(x′)dx′. (4.19)

Impuls cestice mozemo izraziti iz relacije

p2

2m+

1

2mω2x2 = Iω =⇒ p(x) = ±

√2mIω −m2ω2x2, (4.20)


pri cemu pozitivan predznak odgovara gibanju udesno, a negativan ulijevo. Cestica se upocetnom trenutku nalazi u tocki x = −x0 i giba se udesno

S(x, I) =

∫ x

−x0

√2mIω −m2ω2x′2dx′ = mω

∫ x

−x0

√x2

0 − x′2dx′. (4.21)

Rjesenje integrala mozemo pronaci u Bronstejnu

S(x, I) = mω1

2

[x′√x2

0 − x′2 + x20 arcsin

x′

x0

]∣∣∣∣x−x0

. (4.22)

Uvrstimo li granice integracije, doci cemo do funkcije izvodnica za prvu oscilaciju (cesticase giba udesno)

S(x, I) = I xx0

√1−

(x

x0

)2

+ arcsinx

x0

+π

2

. (4.23)

Ako se cestica giba od x0 prema −x0, funkcija izvodnica glasi

S(x, I) =

∫ x0

−x0

|p|dx−∫ x

x0

|p|dx =

∫ x0

−x0

|p|dx+

∫ x0

x

|p|dx. (4.24)

Drugi clan mozemo preurediti∫ x0

x

|p|dx =

∫ x0

−x0

|p|dx−∫ x

−x0

|p|dx =⇒ S(x, I) = 2

∫ x0

−x0

|p|dx−∫ x

−x0

|p|dx. (4.25)

Lijevi clan predstavlja promjenu funkcije izvodnice tijekom pune oscilacije

2

∫ x0

−x0

|p|dx = 2π. (4.26)

Oduzmemo li drugi clan dolazimo do funkcije izvodnice za prvu oscilaciju (cestica gibas desna na lijevo)

S(x, I) =3π

2I − I

xx0

√1−

(x

x0

)2

+ arcsinx

x0

. (4.27)

Pri svakoj punoj oscilaciji funkcija izvodnica se promijeni za 2π pa funkcija izvodnica zan-tu oscilaciju glasi

S(x, I) = (2n− 1)πI ± I xx0

√1−

(x

x0

)2

+ arcsinx

x0

− π

2

, (4.28)


x

S

−x0 x0

π

3π

5π

2π

4π

6π

Slika 4.2: Funkcija izvodnica S(x, I) za linearni harmonicki oscilator.

pri cemu pozitivan predznak odgovara gibanju udesno, a negativan gibanju ulijevo.Funkcija izvodnica je viseznacna. Deriviramo li funkciju izvodnicu S po varijabli djelo-vanja, dolazimo do varijable kuta (vidi jedn. (4.18))

∂S

∂I = (2n− 1)π ±[x

x20

√x2

0 − x2 + arcsinx

x0

− π

2

](4.29)

± I

x

2x20

√x2

0 − x2

∂x20

∂I + x√x2

0 − x2∂

∂I(

1

x20

)+

x√1−

(xx0

)2

∂

∂I1

x0

. (4.30)

Prvi i treci clan u jedn. (4.30) se poniste pa preostaje

∂S

∂I = (2n− 1)π ±[x

x20

√x2

0 − x2 + arcsinx

x0

− π

2

]∓ I

[x

x40

√x2

0 − x2∂x2

0

∂I]. (4.31)

Iskoristimo li relaciju

I ∂x20

∂I =2Imω2

= x20, (4.32)

dolazimo do zakljucka

θ(x) = (2n− 1)π ∓ π

2± arcsin

x

x0

. (4.33)

Invertiranje prethodne relacije vodi na ovisnost polozaja o varijabli kuta

x(θ) = ±x0 sin[θ − (2n− 1)π ± π

2

]= −x0 cos θ = − 2I

mω. (4.34)

Sustavi s vise stupnjeva slobode 72

θ

x(θ)

x0

−x0

2π 4π 6π

Slika 4.3: Ovisnost koordinate x o varijabli kuta θ.

Istovremeno vrijedi

p =∂S

∂x= ±√

2mIω −m2ω2x2 = ±√

2mIω −m2ω22Imω

cos θ. (4.35)

Cestica se pocinje gibati iz tocke −x0 prema desno (p > 0) pa vrijedi

p =√

2mIω sin θ. (4.36)

Konacno, mozemo izraziti i varijablu kuta pomocu koordinate x i impulsa p

tan θ = − p

mωx. (4.37)

Varijabla kuta ovisi linearno o vremenu θ = ωt pa mozemo izracunati polozaj u ovisnostio vremenu

x(t) = ±x0 sin[ωt− (2n− 1)π ± π

2

]= −x0 cosωt. (4.38)

Naravno, radi se o standardnom rjesenju harmonickog oscilatora.

4.3 Sustavi s vise stupnjeva slobode

Ako u sistemu s n stupnjeva slobode uspijemo provesti potpunu separaciju, problemsmo sveli na n nevezanih problema s jednim stupnjem slobode. Hamiltonova principalnafunkcija je suma n+ 1 clanova

S(q1, . . . , qn;α1, . . . , αn) =∑j

Sj(qj, α1, . . . , αn)− E(α1, . . . , αn)t. (4.39)

Ukupnu putanju mozemo prikazati kao superpoziciju n putanja

pj =∂S

∂qj=

∂

∂qjSj(qj, α1, . . . , αn). (4.40)

Sustavi s vise stupnjeva slobode 73

Svaku pj(qj) ovisnost mozemo prikazati na dvodimenzionalnoj plohi (qj, pj) koju inter-pretiramo kao projekciju 2n-dimenzionalnog faznog prostora. Ogranicimo se na posebanslucaj kada su sve funkcije qj(t) periodicke (oscilacije ili vrtnje). Koristimo slobodu uizboru konstanti α1, . . . , αn pri separaciji Hamilton-Jacobijeve jednadzbe i uvodimo nvarijabli djelovanja kao n nezavisnih konstanti

Ij =1

2π

∮∂Sj(qj, α1, . . . , αn)

∂qjdqj. (4.41)

Pripadnih n konjugiranih varijabli kuta definirano je jednadzbama

∂

∂IjS(q1, . . . , qn; I1, . . . , In)

∣∣∣∣t=t0,qi=qi0

≡ θj(t0), (4.42)

koje vrijede za svaki t0. Nakon zamjene t0 → t, dolazimo do n vremenski ovisnihvarijabli. Poseban slucaj predstavljaju sistemi kod kojih je varijabla qj ciklicka. Rjesenjeodgovarajuceg dijela Hamilton-Jacobijeve jednadzbe glasi

Sj = αjqj, (4.43)

pa je putanja u ravnini (qj, pj) jednostavno horizontalni pravac

pj =∂Sj∂qj

= αj. (4.44)

Period putanje je tada proizvoljan, a interpretiramo li varijablu qj kao kutnu varijablu naplastu cilindra, prirodno je izabrati period q0 = 2π. Impuls pj tada odgovara varijablidjelovanja Ij. Energiju u izrazu za ukupno djelovanje mozemo prikazati kao funkciju nvarijabli djelovanja. Uz to smo pretpostavili da je sustav konzervativan pa novi Hamil-tonijan ovisi samo o n varijabli djelovanja, a ne i o θ1, . . . , θn. Kanonska transformacija(q, p)→ (I, θ) je vremenski neovisna pa do ”novog” Hamiltonijana dolazimo tako da u”stari” Hamiltonijan uvrstimo relacije

Ij = Ij(q1, . . . , qn; p1, . . . , pn),θj = θj(q1, . . . , qn; p1, . . . , pn).

(4.45)

Uzmemo li u obzir da Hamiltonijan ovisi samo o varijablama djelovanja

H = H(I1, . . . , In), (4.46)

dolazimo do Hamiltonovih jednadzbi gibanja za konjugirane varijable Ij, θj

Ij = −∂H∂θj

= 0, (4.47)

θj =∂H

∂Ij≡ ωj(I1, . . . , In). (4.48)

Periodicke i multiperiodicke putanje 74

Predznaci u jednadzbama gibanja odredeni su cinjenicom da velicine Ij odgovaraju”novim” impulsima, a θj ”novim” koordinatama. Varijable djelovanja su globalni integraligibanja jer ih mozemo prikazati kao funkcije globalnih konstanti α1, . . . , αn. Jedn. (4.48)imaju jednostavno rjesenje

θj(t) = ωjt+ θj0. (4.49)

Interpretacija velicina ωj takoder nije komplicirana

ωj =∂H

∂Ij=dE(I1, . . . , In)

dIj

∣∣∣∣I1,...,Ij−1,Ij+1,...,Infiksni

=1dIjdE

=1

12π

dAjdE

=2π

τj. (4.50)

Radi se o kutnim frekvencijama koje odgovaraju periodama τj. Tijekom vremena (t, t+τj) varijabla θj promijeni se za

θj(t+ τj)− θj(t) = ∆θj = ωjτj = 2π. (4.51)

Stoga velicine θj nazivamo kutnim varijablama.

Provedeni postupak moguc je za svaki potpuno separabilan problem i za sve peri-odicke putanje. Njime smo uveli konjugirane varijable kut-djelovanje, pri cemu je vari-jabla djelovanja globalni integral gibanja za danu putanju, a sve varijable kuta su ciklicke.Ako qj i pj imaju uobicajene dimenzije [L] i [MLT−1], varijabla djelovanja ima dimenzijukutne kolicine gibanja, dok varijabla kuta ima dimenziju kuta. Opcenito, varijable qj ipj ne moraju imati dimenzije [L] i [MLT−1].

4.4 Periodicke i multiperiodicke putanje

Kanonskom transformacijom (qj, pj)→ (Ij, θj) dolazimo do jednostavne parametrizacijeputanje u faznom prostoru. Za j−ti par (Ij, θj), projekciju potpune trajektorije na j-tu ravninu mozemo predstaviti kruznicom radijusa Ij, po kojoj sistem kruzi kutnom

Slika 4.4: Putanja na torusu.


brzinom ωj. Najjednostavniji primjer je sustav s jednim stupnjem slobode koji se gibapo kruznici radijusa I. Sustav s dva stupnja slobode, giba se po direktnom produktudviju kruznica radijusa I1 i I2 koji mozemo predstaviti torusom, dok za sustav s visestupnjeva slobode moramo uvesti pojam visedimenzionalnih torusa. Opcenito, za sustav sn stupnjeva slobode putanja se nalazi na n-dimenzionalnom presjeku 2n-dimenzionalnogfaznog prostora. Razlikujemo dva tipa putanje na torusu

1. Zatvorena putanja. Omjer frekvencija je racionalan broj.

2. Putanja se po volji gusto omata po torusu. Omjer frekvencija je iracionalan broj.

4.4.1 Poincareov presjek

Promatramo sustav s dva stupnja slobode cija putanja se nalazi na torusu. Presijecemotorus ravninom i pratimo kako putanja probada dobijenu kruznicu. Takva probodistazovemo Poincareov presjek putanje. Ako je u proizvoljnom trenutku t0 probodiste bilo utocki odredenoj kutem θ1 = θ10, putanja ce sljedeci puta probadati kruznicu u vremenimatn = 2πn/ω2, i to u tockama

θn = θ0 + ω12π

ω2

n = θ0 + 2πω1

ω2

n. (4.52)

Ukoliko je omjer frekvencija racionalan broj, odnosno vrijedi

ω1

ω2

=p

q, p, q ∈ Z. (4.53)

4.4.2 Primjer: dvodimenzionalni harmonicki oscilator

Pretpostavimo da je zadan dvodimenzionalni harmonicki oscilator opisan Hamiltonijanom

H =p2x

2m+

p2y

2m+

1

2mω2

xx2 +

1

2mω2

yy2. (4.54)

Pripadnu Hamilton-Jacobijevu jednadzbu mozemo separirati u Kartezijevom sustavu.Dva ocigledna integrala gibanja su energije gibanja u x i y smjeru

Ex =p2x

2m+

1

2mω2

xx2 i Ey =

p2y

2m+

1

2mω2

yy2. (4.55)

Ukupna energija nije nezavisna konstanta gibanja, vec suma energija Ex i Ey. Nakonprijelaza na varijable kuta i djelovanja hamiltonijan dvodimenzionalnog harmonickog os-cilatora glasi

H = ωxIx + ωyIy. (4.56)


Varijable djelovanja povezane su s energijama

Ix =Exωx

i Iy =Eyωy, (4.57)

dok su varijable kuta dane relacijama

tan θx = − pxmωxx

i tan θy = − pymωyy

(4.58)

Konstruiramo dodatnu konstantu gibanja

θ′x = θx − ωxωyθy =⇒ θ′x = θx − ωx

ωyθy = 0. (4.59)

Funkcija izvodnica tockaste transformacije (θx, θy)→ (θ′x, θ′y) ima poznati oblik

F2(θx, θy, I′x, I′y) =

(θx − ωx

ωyθy

)I ′x + θyI

′y. (4.60)

Ukupna transformacija glasi

θ′x =∂F2

∂I ′x= θx − ωx

ωyθy, (4.61)

θ′y =∂F2

∂I ′y= θy, (4.62)

Ix =∂F2

∂θx= I ′x, (4.63)

Iy =∂F2

∂θy= I ′y −

ωxωyI ′x =⇒ I ′y = Iy +

ωxωyIx. (4.64)

Postavlja se pitanje kada je dodatna konstanta θ′x globalna konstanta gibanja. Samapo sebi, varijabla θ′x nije jednoznacna (sto globalna konstanta gibanja mora biti) jer semijenja promjenom varijabli kuta θx i θy za 2π. Stoga promatramo trigonometrijskefunkcije od θ′x. Ukoliko je omjer frekvencija racionalan broj

ωxωy

=n

m, (4.65)

trigonometrijska funkcija varijable θ′x poprima istu vrijednost kada varijablu θy promijen-imo za 2mπ. Ovako konstruirana konstanta gibanja je u tom slucaju globalna. Ako jeomjer frekvencija iracionalan broj, trigonometrijska funkcija varijable θ′x nije jednoznacnapa ni konstanta nije globalna.


Izotropni harmonicki oscilator

Promotrimo prvo izotropni harmonicki oscilator (ωx = ωy ≡ ω). Varijable kuta θx i θypoprimaju oblik

θx = arctanpxmωx

i θy = arctanpymωy

. (4.66)

Dodatna konstanta gibanjaB = tan (θx − θy), (4.67)

jest globalna jer je omjer frekvencija racionalan broj. Iskoristimo li trigonometrijskerelacije konstantu B mozemo napisati u sljedecoj formi

B =tan θx − tan θy

1 + tan θx tan θy. (4.68)

Uvrstimo varijable kuta (4.66) i dolazimo do trece nezavisne konstante gibanja

B = mωypx − xpy

m2ω2xy + pxpy. (4.69)

Ako bi iskoristili rjesenja jednadzbi gibanja za dvodimenzionalni harmonicki oscilator

x(t) = Ax cos (ωt+ φx), (4.70)

y(t) = Ay cos (ωt+ φy), (4.71)

px(t) = −mAxω sin (ωt+ φx), (4.72)

py(t) = −mAyω sin (ωt+ φy), (4.73)

dosli bi do zakljucka da je konstanta B proporcionalna tangensu razlike faza

B = tan (φy − φx). (4.74)

Problem ima cetiri stupnja slobode pa rjesenje jednadzbi gibanja sadrzi cetiri kon-stante (npr. Ax, Ay, φx i φy). Dva globalna integrala gibanja smo nasli separacijom

x

yφ = 150

x

yφ = 450

x

yφ = 900

Slika 4.5: Putanja izotropnog harmonickog oscilatora u ravnini za tri razlicite vrijednostirelativne faze φ = φx−φy. Amplitude Ax i Ay su u sva tri slucaja jednake pa se putanjau sva tri slucaja nalazi unutar pravokutnika sa stranicama Ax i Ay.


Slika 4.6: Putanja izotropnog harmonickog oscilatora u faznom prostoru (Ix, Iy, θx, θy)za tri razlicite vrijednosti relativne faze φ = φx − φy. Plava linija odgovara razlici fazaod φ = 150, crvena razlici od φ = 450, a zelena razlici od φ = 900.

Hamilton-Jacobijeve jednadzbe (Ex i Ey), dok smo treci globalni integral gibanja kon-struirali koristeci degeneraciju frekvencija (vidi jedn. (4.61)). Tri globalna integralagibanja odreduju elemente putanje dvodimenzionalnog harmonickog oscilatora u ravnini:pravokutnik unutar kojeg se putanja nalazi zahtjeva dvije konstante (Ex i Ey), dok jeorjentacija elipse odredena razlikom u fazi (konstanta B). Cetvrta konstanta (npr. φx)ovisi o pocetnom uvjetu tj. nije globalna. Bitno je uociti da je problem izotropnog har-monickog oscilatora separabilan u dva koordinatna sustava: Kartezijevom i polarnom.To je upravo posljedica degeneracije problema.

Neizotropni harmonicki oscilator

Kao primjer neizotropnog harmonickog oscilatora promatramo slucaj

ωx = 2ωy ≡ ω. (4.75)

Dodatna konstanta gibanjaB = tan (θx − 2θy), (4.76)

x

yφ = 150

x

yφ = 450

x

yφ = 900

Slika 4.7: Putanja neizotropnog harmonickog oscilatora (ωx = 2ωy) u ravnini za trirazlicite vrijednosti relativne faze φ = φx − φy. Amplitude Ax i Ay su u sva tri slucajajednake pa se putanja u sva tri slucaja nalazi unutar pravokutnika sa stranicama Ax iAy.


Slika 4.8: Putanja neizotropnog harmonickog oscilatora (ωx = 2ωy) u faznom prostoru(Ix, Iy, θx, θy) za tri razlicite vrijednosti relativne faze φ = φx−φy. Plava linija odgovararazlici faza od φ = 150, crvena razlici od φ = 450, a zelena razlici od φ = 900.

ponovo je globalna jer je omjer frekvencija racionalan broj. Slicnim postupkom, kao kodizotropnog oscilatora, mozemo izracunati konstantu B

B =1

mω

m2ω2y2px − 4pxp2y − 4m2ω2xypy

m2ω2xy2 − 4p2yx+ 4pxpyy

. (4.77)

Iskoristimo li rjesenja jednadzbi gibanja za neizotropni dvodimenzionalni harmonickioscilator

x(t) = Ax cos (ωxt+ φx), (4.78)

y(t) = Ay cos (ωyt+ φy), (4.79)

px(t) = −mAxω sin (ωxt+ φx), (4.80)

py(t) = −mAyω sin (ωyt+ φy), (4.81)

konstantu B mozemo povezati s razlikom faza

B = tan (2φy − φx). (4.82)

Tri globalna integrala definiraju elemente putanje.


Primjer 4.1

Nadite varijablu djelovanja i Hamiltonijan u varijablama kuta i djelovanja za cesticu kojase giba u potencijalu

U(q) = U0 tan2 αq, U0, α ≥ 0. (4.83)

Putanja u faznom prostoru definirana je relacijom

p2

2m+ U0 tan2 αq = E, (4.84)

pa integral akcije glasi

I =1

2π

∮pdq =

1

2π

∮ √2m [E − U0 tan2 (αq)]dq (4.85)

Podintegralna funkcija je simetricna pa je dovoljno integrirati od 0 do q0 i pomnoziti

x

U(x)

−x0 x0

E

x

p

−x0 x0

Slika 4.9: Skica potencijala (lijevo) i putanje cestice u faznom prostoru.

rezultat s cetiri

I =2

π

∫ q0

0

√2m [E − U0 tan2 (αq)]dq =

2√

2m

π

∫ q0

0

√E − U0 tan2 (αq)dq. (4.86)

Prethodni integral je primjer integrala ovisnog o parametru (Bronstejn, str. 472) pricemu je parametar energija.

d

dy

∫ β(y)

α(y)

f(x, y)dx =

∫ β(y)

α(y)

∂

∂yf(x, y)dx+ β′(y)f [β(y), y]− α′(y)f [α(y), y]. (4.87)


U nasem slucaju samo gornja granica integrala ovisi o parametru E

q0(E) =1

αarctan

√E

U0

. (4.88)

Integral (4.86) cemo izracunati tako da ga prvo deriviramo po energiji

I1 =d

dE

∫ q0

0

√E − U0 tan2 (αq)dq (4.89)

I1 =

∫ q0

0

dq

2√E − U0 tan2 (αq)

+∂q0∂E

√E − U0 tan2 (αq0). (4.90)

Desni clan iscezava po definiciji tocke obrata pa preostaje

I1 =1

2

∫ q0

0

dq√E − U0 tan2 (αq)

=1

2

∫ q0

0

cos (αq)dq√E − (E + U0) sin2 (αq)

. (4.91)

Ocito treba uvesti supstituciju t = sin (αq). Transformiramo gornju granicu integracije

t0 = sin (αq0) = sin

(arctan

√E

U0

)=

√E

E + U0

, (4.92)

pri cemu smo iskoristili relaciju (Bronstejn, str. 216)

arctanx = arcsinx

1 + x2. (4.93)

Integral I1 sveli smo na

I1 =1

2α

√1

E + U0

∫ t0

0

dt√t20 − t2

=1

2α

√1

E + U0

[arcsin 1− arcsin 0] (4.94)

=⇒ I1 =π

4α

√1

E + U0

. (4.95)

I1 je zapravo derivacija pocetnog integrala po energiji

I =2√

2m

π

∫ E

0

I1(E)dE =2√

2m

π

π

4α

∫ E

0

dE ′√E ′ + U0

. (4.96)

Konacno, integral djelovanja glasi

I =

√2m

α

[√E + U0 −

√U0

]. (4.97)


Invertiramo prethodnu relaciju da bi izrazili energiju pomocu integrala djelovanja tj. dabi nasli Hamiltonijan u varijablama kuta i djelovanja

α2I2

2m+ 2α

√U0

2m+ U0 = E + U0 =⇒ H = E =

α2I2

2m+

√2U0

mαI. (4.98)

Frekvencija gibanja odgovara derivaciji Hamiltonijana po varijabli djelovanja

ω =∂H

∂I=α2

mI +

√2U0

mα = α

√2

m(E + U0). (4.99)


Primjer 4.2

Nadite varijablu akcije za kuglicu mase m koja se odbija elasticno izmedu dva fiksnazida udaljena za d. Brzina kuglice iznosi v, a sve se odvija u jednoj dimenziji.

Problem ne mozemo opisati kontinuiranim Hamiltonijanom jer impuls p pri odbijanju odzida ima diskontinuitet. Kuglica energije E giba se izmedu zidova jednolikom brzinom

m

2v2 = E =⇒ mv =

√2mE. (4.100)

Putanja cestice u faznom prostoru svodi se na pravokutnik. Dok se cestica giba od

q

p

md

d

Slika 4.10: Putanja u faznom prostoru cestice koja se giba izmedu dva zida.

ishodista prema tocki d, impuls iznosi√

2mE, a u suprotnom slucaju impuls iznosi−√2mE. Varijabla djelovanja je po definiciji proporcionalna povrsini obuhvacenojputanjom u faznom prostoru

I =1

2π× povrsina unutar fazne krivulje =

1

2π× d× 2

√2mE =

d

π

√2mE. (4.101)

Invertiramo li prethodni izraz, dolazimo do energije u ovisnosti o varijabli djelovanja

E(I) =1

2m

(πI

d

)2

, (4.102)

a potom i frekvencije gibanja

ω =∂H

∂I=(πd

)2 I

m. (4.103)

Do frekvencije gibanja smo mogli doci i elementarnim postupkom

T = 2d

v= 2

d√2E/m

=d2m

πI=⇒ ω =

2π

T=π2I

d2m. (4.104)


Zanimljivo je uociti da se problem iz prethodnog zadatka za dovoljno velike vrijednostienergije svodi na gibanje izmedu dva zida uz zamjenu

d =π

α. (4.105)

Prisjetimo se frekvencije gibanja u potencijalu U(x) = U0 tan2 αx

x

p

− π2α

π2α

Slika 4.11: Putanja u faznom prostoru za potencijal U(x) = U0 tan2 αx priblizava sepravokutniku ako povecavamo energiju.

ω =α2

mI +

√2U0

mα. (4.106)

Ako je energija cestice, a time i integral djelovanja, dovoljno velika drugi clan mozemozanemariti

ω =α2

mI. (4.107)

Konacno, uz zamjenu d = π/α

ω =

(d

π

)2 Im, (4.108)

dolazimo do frekvencije gibanja cestice koja se elasticno odbija izmedu dva zida.


Primjer 4.3

Pokazite da transformacija zadana funkcijom izvodnicom

F1(Q, q) = λq2 cotQ, (4.109)

transformira Hamiltonijan harmonickog oscilatora u varijable kuta i akcije, ako λ izaber-emo tako da novi Hamiltonijan K(Q,P ) ne ovisi o Q.

Kanonsku transformaciju mozemo izvesti koristeci funkciju izvodnicu

p = ∂F1

∂q= 2λq cotQ

P = −∂F1

∂Q= λq2

sin2Q

}q =

√Pλ

sinQ

p = 2√Pλ cosQ

(4.110)

Zadana transformacija ne ovisi eksplicitno o vremenu pa ”novi” Hamiltonijan dobijemotako da u ”stari” Hamiltonijan

H =p2

2m+

1

2mω2q2, (4.111)

uvrstimo q(Q,P ) i p(Q,P )

K(Q,P ) =2Pλ

mcos2Q+

1

2mω2P

λsin2Q = P

[2λ

mcos2Q+

mω2

2λsin2Q

]. (4.112)

”Novi” Hamiltonijan nece ovisiti o Q ako odaberemo

2λ

m=mω2

2λ=⇒ λ =

1

2mω, (4.113)

tako da vrijediK(Q,P ) = ωP. (4.114)

”Novi” impuls mozemo identificirati s varijablom djelovanja, a ”novu” koordinatu svarijablom kuta

P ≡ I i Q ≡ θ. (4.115)

Transformacija

q =

√2I

mωsin θ i p =

√2Imω cos θ, (4.116)

je ocito ekvivalentna onoj iz prethodnog zadatka.


Primjer 4.4

Zadan je potencijal

U(x) =

{ ∞ za x < 0Fx za x ≥ 0

(4.117)

Nadite frekvenciju gibanja, kao i varijable kuta i djelovanja za n-tu oscilaciju. Invertirajtevarijable djelovanja i kuta u putanju x(t) za pocetne uvjete x(0) = 0 i S(0) = 0.

Putanja u faznom prostoru dana je relacijom

p2

2m+ Fx = E =⇒ p = ±

√2m(E − Fx). (4.118)

Integral djelovanja glasi

I =1

2π

∮pdx =

√2m

π

∫ xm

0

√E − Fxdx =

√2mF

π

∫ xm

0

√xm − xdx. (4.119)

Napravimo li supstituciju t = xm − x, dolazimo do elementarnog integrala

I = −√

2mF

π

∫ 0

xm

√tdt =

2√

2m

3πFE3/2. (4.120)

Definiramo oznaku

a =2√

2m

3πF, (4.121)

a zatim izracunamo integral djelovanja

I = aE3/2 =⇒ E =

(Ia

)2/3

. (4.122)

x

U(x)

Fx

xm

E

Slika 4.12: Skica linearnog potencijala. Oznacena je energija, kao i tocka obrata xm.


x

S2

xm

Slika 4.13: Skica linearnog potencijala. Oznacena je energija, kao i tocka obrata xm.

Frekvencija gibanja odgovara derivaciji Hamiltonijana po varijabli djelovanja

ω =∂H

∂I =2

3a

(aI)1/3

. (4.123)

Funkcija izvodnica za prvu oscilaciju (gibanje od ishodista prema tocki xm), uz zadanepocetne uvjete, glasi

S2(x, I) =

∫ x

0

|p|dx =√

2m

∫ x

0

√E − Fxdx. (4.124)

Rijesimo integral

S2(x, I) = πI − πa[(I

a

)2/3

− Fx]3/2

. (4.125)

Ako se cestica giba od tocke xm prema ishodistu

S2(x, I) =

∫ xm

0

|p|dx−∫ x

xm

|p|dx = 2

∫ xm

0

|p|dx−∫ x

0

|p|dx. (4.126)

Opet rijesimo integral

S2(x, I) = πI + πa

[(Ia

)2/3

− Fx]3/2

. (4.127)

Sada mozemo napisati izraz za n-tu oscilaciju

S2(x, I) = (2n− 1)πI ∓ πa[(I

a

)2/3

− Fx]3/2

, (4.128)


pri cemu negativan predznak odgovara gibanju od ishodista prema tocki obrata, a pozi-tivan gibanju od tocke obrata prema ishodistu. Ocito, funkcija izvodnica je viseznacna.Koristeci funkciju izvodnicu (4.128) mozemo izracunati varijablu kuta

θ =∂S2

∂I = (2n− 1)π ∓(aI)1/3

[(Ia

)2/3

− Fx]1/2

. (4.129)

Invertiramo li prethodni izraz, dolazimo do ovisnosti koordinate x o varijabli kuta θ

x(θ) =1

π2F

(Ia

)2/3 {π2 − [θ − (2n− 1)π]2

}. (4.130)

Time smo ujedno rijesili jednadzbu gibanja varijable x jer je ovisnost varijable kuta ovremenu trivijalna

θ = ωt =⇒ x(t) =1

π2F

(Ia

)2/3 {π2 − [ωt− (2n− 1)π]2

}. (4.131)

Keplerov problem u varijablama kuta i djelovanja 89

4.5 Keplerov problem u varijablama kuta i djelovanja

Jedan od primjera mehanickog sustava s degeneracijom, odnosno jednakim frekvencijamaza razne stupnjeve slobode, je problem dvaju tijela. Prijelazom u sustav centra maseproblem se svodi na gibanje u opcenitom centralnom potencijalu V (r). Polazna tocka jeHamiltonijan za cesticu mase µ koja se giba u centralnom polju V (r). Pritom koristimosferne koordinate

H =1

2µ

(p2r +

p2θ

r2+

p2φ

r2 sin2 θ

)+ V (r). (4.132)

Pripadna Hamilton-Jacobijeva jednadzba glasi

1

2µ

[(∂S

∂r

)2

+1

r2

(∂S

∂θ

)2

+1

r2 sin2 θ

(∂S

∂φ

)2]

+ V (r) +∂S

∂t= 0. (4.133)

Sustav je konzervativan, a varijabla φ ciklicka pa funkciju S mozemo napisati u sljedecemobliku

S(r, θ, φ, t) = S0(r, θ)− Et+ pφφ. (4.134)

Od Hamilton-Jacobijeve jednadzbe preostaje

1

2µ

[(∂S0

∂r

)2

+1

r2

(∂S0

∂θ

)2

+p2φ

r2 sin2 θ

]+ V (r) = E. (4.135)

Provodimo daljnju separaciju varijabli S0(r, θ) = Sr(r) + Sθ(θ)

1

2µ

[(dSrdr

)2

+1

r2

(dSθdθ

)2

+p2φ

r2 sin2 θ

]+ V (r) = E. (4.136)

θ

fθ(θ)

θ1 θ2

Slika 4.14: Graf funkcije fθ(θ) = a2θ − p2

φ/ sin2 θ. Integriramo unutar podrucja u kojemje funkcija f(θ) pozitivna, oznacenog zelenom bojom na osi θ.


Dio koji ovisi samo o varijabli θ mora biti jednak konstanti

(dSθdθ

)2

+p2φ

sin2 θ= a2

θ =⇒ Sθ(θ) =

∫ √a2θ −

p2φ

sin2 θdθ (4.137)

Problem je sada potpuno separiran

1

2µ

[(dSrdr

)2

+a2θ

r2

]+ V (r) = E =⇒ Sr(r) =

∫ √2µ [E − V (r)]− a2

θ

r2dr, (4.138)

pa mozemo prijeci na varijable djelovanja

2πIr =

∮prdr =

∮dSrdr

dr, (4.139)

2πIθ =

∮pθdθ =

∮dSθdθ

dθ, (4.140)

2πIφ =

∮pφdφ =

∮dSφdφ

dφ. (4.141)

Varijabla φ je ciklicka pa vrijedi Iφ = aφ. Sada racunamo varijablu akcije Iθ

Iθ =1

2π

∮ √a2θ −

p2φ

sin2 θdθ, (4.142)

pri cemu integriramo po intervalu kuteva [θ1, θ2] za koje je podintegralna funkcija defini-rana tj. za koje je izraz pod korijenom u jedn. (4.142) pozitivan

a2θ −

p2φ

sin2 θ≥ 0 =⇒ sin2 θ ≥ p2

φ

a2θ

. (4.143)

Funkcija fθ(θ) = a2θ−p2

φ/ sin2 θ prikazana je na sl. 4.14, zajedno s podrucjem integracije.Integral (4.142) mozemo izracunati u Mathematici

Iθ = aθ − aφ =⇒ Iθ = aθ − Iφ. (4.144)

Uvrstimo aθ u integral Ir

Ir =1

2π

∮ √2µ [E − V (r)]− (Iθ + Iφ)2

r2dr. (4.145)

Iz prethodnog izraza slijedi da varijable akcije Iθ i Iφ ulaze u Hamiltonijan samo kaokombinacija Iθ + Iφ. Stoga su pripadne frekvencije ωθ i ωφ jednake. Bitno je uociti da


ovaj zakljucak vrijedi za bilo koji centralni potencijal. Da bi izracunali zadnji integraldjelovanja, moramo zadati potencijal V (r). Ogranicimo se stoga na Keplerov potencijal

Ir =1

2π

∮ √2µ

[E +

k

r

]− (Iθ + Iφ)2

r2dr. (4.146)

Integriramo po svim vrijednostima radijalne koordinate za koje je podintegralna funkcijadefinirana tj. za koje je izraz pod korijenom pozitivan

fr(r) ≡ 2µ

[E +

k

r

]− (Iθ + Iφ)2

r2≥ 0. (4.147)

Integral Ir mozemo rijesiti u Mathematici

Ir = −(Iθ + Iφ) +k

2

√2µ

−E . (4.148)

Samo omedene putanje u Keplerovom problemu su periodicke pa vrijedi E < 0. Energija,odnosno Hamiltonijan, ovisi samo o sumi varijabli djelovanja

E = − k2µ

2(Ir + Iθ + Iφ)2. (4.149)

Ocito, sve tri frekvencije su jednake

ω ≡ ωr = ωθ = ωφ =∂H

∂Ir=∂H

∂Iθ=∂H

∂Iφ=

k2µ

(Ir + Iθ + Iφ)3, (4.150)

odnosno degeneracija je potpuna. Putanja je periodicka (tocnije elipsa), kao sto smozakljucili rjesavanjem jednadzbi gibanja. Potpuna degeneracija posljedica je oblika po-tencijala (sila inverznog kvadrata), a ne samo cinjenice da je sila centralna. Koristecifrekvenciju gibanja mozemo izracunati period gibanja

T =2π

ω= 2π

(Ir + Iθ + Iφ)3

k2µ=

2π

k2µ

(−k

2µ

2E

)3/2

= πk(− µ

2E3

)1/2

, (4.151)

sto je zapravo treci Keplerov zakon.

Buduci da su frekvencije degenerirane, pogodnom tockastom transformacijom mozemonaci dodatne globalne integrale gibanja. Uzimajuci u obzir relacije

ωθ − ωφ = 0, ωθ − ωr = 0, (4.152)

polazimo od funkcije izvodnice

F2 = (θφ − θθ)I ′1 + (θθ − θr)I ′2 + θrI′3, (4.153)


kojom prelazimo sa starih (θr, θθ, θφ, Ir, Iθ, Iφ) na nove (θ′1, θ′2, θ′3, I′1, i′2, I′3) varijable.

Nove varijable slijede iz relacija

θ′1 =∂F2

∂I ′1= θφ − θθ, (4.154)

θ′2 =∂F2

∂I ′2= θφ − θr, (4.155)

θ′3 =∂F2

∂I ′3= θr. (4.156)

Postigli smo da dvije nove varijable kuta θ′1 i θ′2 imaju frekvencije nula. Stoga noviHamiltonijan ne moze ovisiti o pripadnim varijablama djelovanja I ′1 i I ′2. Da bi se uvjeriliu to, prvo izracunamo vezu starih i novih varijabli akcije

Iφ =∂F2

∂θr= I ′3 − I ′2, (4.157)

Iθ =∂F2

∂θθ= I ′2 − I ′1, (4.158)

Iφ =∂F2

∂θφ= I ′1, (4.159)

odnosno I ′1 = Iφ, I ′2 = Iφ + Iθ i I ′3 = Iφ + Iθ + Ir. Novi Hamiltonijan glasi

H(I ′3) = −k2µ

2I ′23. (4.160)

Uspjeli smo naci pet globalnih konstanti gibanja: tri pocetne varijable akcije (Ir, Iθ iIφ), kao i dvije konstante gibanja koje slijede iz degeneracije frekvencija. Pet globalnihkonstanti odgovaraju elementima Keplerove elipse:

1. putanja se nalazi u ravnini cija orjentacija odgovara dvjema globalnim konstantama

2. duljine poluosi elipse (dvije konstante)

3. orjentacija elipse tj. smjer jedna poluosi (jedna konstanta)

Sesta konstanta nije jednoznacna jer opisuje pocetni uvjet. Prve cetiri konstante suposljedica centralnosti i konzervativnosti sile (sacuvanje momenta kolicine gibanja ~M ienergije), dok je peta konstanta posljedica oblika potencijala V (r) ∼ 1/r. Za potpunorjesenje jednadzbi gibanja potrebno nam je sest konstanti jer cestica ima tri stupnjaslobode. Kao sestu konstantu mozemo izabrati npr. apscisu cestice u pocetnom trenutku.Ona nije jednoznacna jer ovisi o pocetnom uvjetu.

5 Prijelaz na kvantnu mehaniku

5.1 Geometrijska interpretacija Hamilton-Jacobijevefunkcije

U slucaju konzervativnog sustava Hamiltonova principalna funkcija ima sljedeci oblik

S(q1, . . . , qn;α1, . . . , αn; t) = S0(q1, . . . , qn;α1, . . . , αn)− Et. (5.1)

Za svaki odabir konstanti α1, . . . , αn, funkcija S0(q1, . . . , qn) = a definira plohu dimen-zije n − 1 u konfiguracionom prostoru. U pocetnom trenutku plohe S = a i S0 = a sepodudaraju, dok se u kasnijem trenutku dt ploha S = a podudara s plohom S0−Edt = a.Dakle, ploha S = a se pomakla od plohe S0 = a do plohe S0 = a + Edt. Ova slikaodgovara fronti koja se propagira s vremenom. Brzina propagacije fronte nije jednakaza sve tocke na povrsini jer ista mijenja oblik tijekom propagacije. Promotrimo zapocetak jednostavan primjer cestice u trodimenzionalnom prostoru, a kao generaliziranekoordinate odabiremo Kartezijeve koordinate. Funkcija S0(x, y, z) odgovara rjesenjuHamilton-Jacobijeve jednadzbe

1

2m

[(∂S0

∂x

)2

+

(∂S0

∂y

)2

+

(∂S0

∂z

)2]

+ V (x, y, z) = E. (5.2)

Brzina tocke na plohi S = a jednaka je omjeru okomitog pomaka te tocke ds i vremenadt

u =ds

dt. (5.3)

S(t = 0) = aS0 = a S(dt) = a

S0 = a + Edt

Slika 5.1: Propagacija plohe S = a od trenutka t = 0 do trenutka t.

93

Veza s geometrijskom optikom 94

U vremenu dt ploha S = a putuje od S0 do S0 + dS0, gdje je dS0 = Edt. S drugestrane, promjenu dS0 mozemo napisati pomocu gradijenta

dS0 = |∇S0| ds, (5.4)

jer je pomak dS, kao i gradijent, okomit na povrsinu. Dolazimo do zakljucka

u =ds

dt=

dS0

|∇S0| dt =Edt

|∇S0| dt =E

|∇S0| . (5.5)

Gradijent ∇S0 mozemo izracunati iz Hamilton-Jacobijeve jednadzbe (5.2) koju mozemonapisati i u sljedecem obliku

(∇S0)2 = 2m [E − V (x, y, z)] . (5.6)

Brzina tocke na plohi svodi se na

u =E√

2m [E − V (x, y, z)], (5.7)

ili ako iskoristimo relaciju E = T + V

u =E√2mT

=E

p=

E

mv. (5.8)

Brzina tocke na plohi S = a obrnuto je proporcionalna brzini cestice cije gibanje opisu-jemo plohom S. Pritom je brzina cestice uvijek usmjerena okomito na povrsinu S = ajer je smjer brzine odreden smjerom vektora impulsa ~p = ∇S0 koji je okomit na povrsinuS0. Uz fiksnu energiju, brzina tocke na plohi obrnuto je proprcionalna brzini cestice cijegibanje opisujemo.

5.2 Veza s geometrijskom optikom

Valna jednadzba za bilo koju od sest komponenti elektricnog i magnetskog polja glasi

∇2φ− n2

c2∂2φ

∂t2= 0 , (5.9)

pri cemu je n indeks loma, a c brzina svjetlosti. Opcenito, indeks loma moze ovisiti opolozaju. Ukoliko je medij uniforman, moguce rjesenje jedn. (5.9) su ravni valovi

φ = φ0ei~k·~r−iωt, (5.10)

Veza s geometrijskom optikom 95

uz ω = ck/n. Ogranicimo li se na sirenje vala frekvencije ω duz osi x, rjesenje valnejednadzbe glasi

φ = φ0eik0(nx−ct), (5.11)

pri cemu je k = k0n, ω = ck0 = ck/n. k0 odgovara valnom broju za val frekvencije ωu vakuumu.

U sljedecem koraku promatramo sirenje svjetlosti u mediju koji nije potpuno uni-forman, nego se indeks loma sporo mijenja u prostoru. Rjesenje mozemo pretpostaviti uobliku

φ(~r) = eA(~r)+ik0(L(~r)−ct)) (5.12)

Faktor eA(~r) predstavlja lokalnu amplitudu vala, a k0L(~r) lokalnu fazu vala. FunkcijuL(~r) cesto zovemo eikonal. Prvo izracunamo gradijent

∇φ = φ∇ [A(~r) + ik0L(~r)] , (5.13)

a zatim i Laplacian

∇2φ = φ[∇2 (A(~r) + ik0L(~r)) + (∇ (A(~r) + ik0L(~r))2] . (5.14)

Raspisemo sve clanove u Laplacianu

∇2φ = φ[∇2A+ ik0∇2L+ (∇A)2 − k2

0 (∇L)2 + 2ik0∇A · ∇L], (5.15)

pa valna jednadzba poprima sljedeci oblik

ik0

[2∇A · ∇L+∇2L

]φ+

[∇2A+ (∇A)2 − k20 (∇L)2 + n2k2

0

]φ = 0. (5.16)

Rastavimo je na dvije realne jednadzbe

∇2A+ (∇A)2 − k20 (∇L)2 + n2k2

0 = 0, (5.17)

2∇A · ∇L+∇2L = 0. (5.18)

Pretpostavka geometrijske optike je da je valna duljina puno manja od skale na kojoj semijenja n. U granici malih valnih duljina k0 = 2π/λ, valni broj k0 postaje najveci faktor,a u limesu λ→ 0 neograniceno raste. Stoga zahtjevamo da vrijedi eikonalna jednadzbageometrijske optike

(∇L)2 = n2. (5.19)

Prijelaz s jedn. (5.17) na jedn. (5.18) odgovara prijelazu s valne na geometrijsku op-tiku i vrijedi u granici λ → 0. Plohe L = konst. definiraju plohe iste opticke faze udanom trenutku, odnosno predstavljaju valne fronte. Zrake svjetlosti su, po definiciji,linije okomite na valne fronte, pa su i one odredene jedn. (5.19). Prijelaz s valne nageometrijsku optiku odgovara prijelazu s jedn. (5.17) i (5.18) na jedn. (5.19), a vrijediukoliko u granici λ→ 0.

Veza Schrodingerove i Hamilton-Jacobijeve jednadzbe 96

5.3 Veza Schrodingerove i Hamilton-Jacobijeve jed-nadzbe

Usporedbom jednadzbi

(∇L)2 = n2 i (∇S0)2 = 2m(E − V ), (5.20)

vidimo da su istog oblika uz identifikaciju

∇S0 ⇐⇒ ∇L, (5.21a)

[2m(E − V )]1/2 ⇐⇒ n. (5.21b)

Postavlja se pitanje da li je Hamilton-Jacobijeva jednadzba granicni slucaj neke opcenitijeteorije, kao sto je geometrijska optika granicni slucaj valne optike. U tom slucaju bimorala postojati inherentna valna duljina, mnogo manja od skale na kojoj se mijenja”indeks loma”

√2m(E − V ). Uz korespondenciju (5.21a,5.21b), usporedujuci oblik

rjesenje valne jednadzbe φ(~r) i Hamiltonovu principalnu funkciju mozemo zakljuciti

S0 − Et⇐⇒ k0 (L− ct) = 2π (L/λ0 − νt) . (5.22)

Energija bi trebala biti proporcionalna frekvenciji vala koji bi predstavljao danu mehaickupojavu. Definiramo konstantu proporcionalnosti h

E = hν, (5.23)

za koju trenutno ne mozemo reci da li je konacna. Ako bi vrijedilo h = 0, tada bifrekvencija tezila u beskonacnost, odnosno valna duljina bi tezila k nuli, buduci da brzinasirenja vala treba biti konacna

ν =ω

2π=uk

2π=u

λ. (5.24)

Valna duljina λ i frekvencija ν vala vezani su relacijom

λν = u, (5.25)

tako da vrijedi

λ =u

ν=E

p

h

E=h

p=⇒ p =

h

λ=

1

2πhk, (5.26)

pri cemu je k valni broj. Ako su eikonalna i Hamilton-Jacobijeva jednadzba ekvivalentne,postavlja se pitanje koja jednadzba u mehanici bi odgovarala optickoj valnoj jednadzbi.Uzmemo li u obzir vremensku ovisnost funkcije φ(~r), valna jednadzba svodi se na

∇2φ+4π2

λ2φ = 0. (5.27)


Uz korespondenciju

λ→ h

p=

h√2m(E − V )

, (5.28)

odgovarajuca valna jednadzba za koju bi S0 bio eikonal glasi(h

2π

)21

2m∇2ψ + (E − V )ψ = 0. (5.29)

Prepoznajemo Schrodingerovu jednadzbu

6 Poissonove zagrade

6.1 Definicija Poissonovih zagrada

Jednadzba gibanja za proizvoljnu funkciju f glasi

df

dt=∂f

∂t+∑i

∂f

∂qiqi +

∑i

∂f

∂pipi. (6.1)

Uvrstimo li qi i pi iz Hamiltonovih jednadzbi gibanja

qi =∂H

∂pii pi = −∂H

∂qi, (6.2)

dolazimo do relacije

df

dt=∂f

∂t+∑i

∂f

∂qi

∂H

∂pi−∑i

∂f

∂pi

∂H

∂qi. (6.3)

Poissonovu zagradu funkcija f i g definiramo na sljedeci nacin

{f, g} ≡∑i

[∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

], (6.4)

pa jedn. (6.3) mozemo napisati u jednostavnijem obliku

df

dt=∂f

∂t+ {f, g}. (6.5)

6.1.1 Svojstva Poissonovih zagrada

Poissonove zagrade definiraju algebru sa sljedecim svojstvima. Svi dokazi slijede iz defini-cije Poissonove zagrade.

1. {f, g} = −{g, f}

{g, f} =∑i

[∂g

∂qi

∂f

∂pi− ∂g

∂pi

∂f

∂qi

](6.6)

{g, f} = −∑i

[∂g

∂pi

∂f

∂qi− ∂g

∂qi

∂f

∂pi

](6.7)

{g, f} = −∑i

[∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

](6.8)

{g, f} = −{f, g} (6.9)

99

Definicija Poissonovih zagrada 100

2. {f1 + f2, g} = {f1, g}+ {f2, g}

{f1 + f2, g} =∑i

[∂

∂qi(f1 + f2)

∂g

∂pi− ∂

∂pi(f1 + f2)

∂g

∂qi

](6.10)

{f1 + f2, g} =∑i

[∂f1

∂qi

∂g

∂pi+∂f2

∂qi

∂g

∂pi− ∂f1

∂pi

∂g

∂qi− ∂f2

∂pi

∂g

∂qi

](6.11)

{f1 + f2, g} =∑i

[∂f1

∂qi

∂g

∂pi− ∂f1

∂pi

∂g

∂qi+∂f2

∂qi

∂g

∂pi− ∂f2

∂pi

∂g

∂qi

](6.12)

{f1 + f2, g} = {f1, g}+ {f2, g} (6.13)

3. {f1f2, g} = f1{f2, g}+ f2{f1, g}

{f1f2, g} =∑i

[∂

∂qi(f1f2)

∂g

∂pi− ∂

∂pi(f1f2)

∂g

∂qi

](6.14)

{f1f2, g} =∑i

[f2∂f1

∂qi

∂g

∂pi+ f1

∂f2

∂qi

∂g

∂pi− f2

∂f1

∂pi

∂g

∂qi− f1

∂f2

∂pi

∂g

∂qi

](6.15)

{f1f2, g} =∑i

[f2∂f1

∂qi

∂g

∂pi− f2

∂f1

∂pi

∂g

∂qi+ f1

∂f2

∂qi

∂g

∂pi− f1

∂f2

∂pi

∂g

∂qi

](6.16)

{f1f2, g} = f2{f1, g}+ f1{f2, g} (6.17)

4. {λf, g} = λ{f, g}, pri cemu je λ konstanta

{λf, g} =∑i

[∂

∂qi(λf)

∂g

∂pi− ∂

∂pi(λf)

∂g

∂qi

](6.18)

{λf, g} = λ∑i

[∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

](6.19)

{λf, g} = λ{f, g} (6.20)

6.1.2 Elementarne Poissonove zagrade

Pod elementarnim Poissonovim zagradama podrazumjevamo zagrade kanonskih varijabli

{qi, qj}, {pi, pj}, {qi, pj}. (6.21)

Definicija Poissonovih zagrada 101

Koristeci definiciju Poissonovih zagrada mozemo se uvjeriti da prve dvije zagrade iscezavaju,dok je treca jednaka Kroneckerovom δ simbolu.

{qi, qj} =∑m

[∂qi∂qm

∂qj∂pm

− ∂qi∂pm

∂qj∂qm

]=∑m

[δim × 0− 0× δjm] = 0 (6.22)

{pi, pj} =∑m

[∂pi∂qm

∂pj∂pm

− ∂pi∂pm

∂pj∂qm

]=∑m

[δjm × 0− 0× δim] = 0 (6.23)

{qi, pj} =∑m

[∂qi∂qm

∂pj∂pm

− ∂qi∂pm

∂pj∂qm

]=∑m

[δimδjm − 0× 0] = δij (6.24)

6.1.3 Jacobijev identitet

Jacobijev identitet za Poissonove zagrade glasi

{f, {g, h}}+ {g, {h, f}}+ {h, {f, g}} = 0. (6.25)

Da bi dokazali Jacobijev identitet, iskoristit cemo cinjenicu da je Poissonova zagradabilinearna homogena funkcija prvog reda prvih derivacija funkcija f i g po kanonskim var-ijablama. Svaki clan Jacobijevog identiteta je produkt dvije prve i jedne druge derivacijepo kanonskim varijablama. Promotrimo npr. prvi clan

{f, {g, h}} =∑i

[∂f

∂qi

∂

∂pi{g, h} − ∂f

∂pi

∂

∂qi{g, h}

](6.26)

{f, {g, h}} =∑i

∂f

∂qi

∂

∂pi

∑j

[∂g

∂qj

∂h

∂pj− ∂g

∂pj

∂h

∂qj

]−∑i

∂f

∂pi

∂

∂qi

∑j

[∂g

∂qj

∂h

∂pj− ∂g

∂pj

∂h

∂qj

](6.27)

{f, {g, h}} =∑ij

[∂f

∂qi

∂2g

∂pi∂qj

∂h

∂pj− ∂f

∂qi

∂g

∂qj

∂2h

∂pi∂pj

](6.28)

−∑ij

[∂f

∂pi

∂2g

∂qi∂qj

∂h

∂pj− ∂f

∂pi

∂g

∂qj

∂2h

∂qi∂pj

](6.29)

Uvodimo sljedece simbolicke oznake

D1(f) ≡ {g, f} i D2(f) = {h, f}. (6.30)

Promotrimo zadnja dva clana Jacobijevog identiteta

{g, {h, f}} − {h, {g, f}} = D1(D2(f))−D2(D1(f)). (6.31)

Poissonove zagrade integrala gibanja 102

Mozemo pokazati da ovakva kombinacija linearnih diferencijalnih operatora ne mozeukljucivati druge derivacije funkcije f . Opca forma linearnih diferencijalnih operatoraglasi

D1 =∑k

ξk∂

∂xk, D2 =

∑k

ηk∂

∂xk, (6.32)

pri cemu su ξ i η proizvoljne funkcije varijabli x1, x2, . . . . Tada vrijedi

D1D2 =∑k,l

ξkηl∂2

∂xk∂xl+∑k,l

ξk∂ηl∂xk

∂

∂xl, (6.33)

D2D1 =∑k,l

ηlξk∂2

∂xl∂xk+∑k,l

ηl∂ξk∂xl

∂

∂xk. (6.34)

Razlika prethodna dva izraza ocito ukljucuje samo prve derivacije

D1D2 −D2D1 =∑k,l

(ξk∂ηl∂xk− ηk ∂ξl

∂xk

)∂

∂xl. (6.35)

To znaci da se svi clanovi na lijevoj strani Jacobijevog identiteta koji ukljucuju druguderivaciju funkcije f ponistavaju. Do istog zakljucka bi dosli i za funkcije g i h pa cijelalijeva strana Jacobijevog identiteta iscezava.

6.2 Poissonove zagrade integrala gibanja

Pretpostavimo da je funkcija f konstanta gibanja. Iz jednadzbe gibanja za funkciju fslijedi

df

dt=∂f

∂t+ {f,H} = 0 =⇒ {f,H} = −∂f

∂t. (6.36)

Ukoliko funkcija f ne ovisi eksplicitno o vremenu, Poissonova zagrada te funkcije sHamiltonijanom iscezava

{f,H} = 0. (6.37)

6.2.1 Jacobi-Poissonov teorem

Pretpostavimo da su funkcije f i g integrali gibanja. Tada je njihova Poissonova zagradatakoder integral gibanja

df

dt= 0 i

dg

dt= 0 =⇒ d

dt{f, g} = 0. (6.38)

Poissonove zagrade integrala gibanja 103

Teorem dokazujemo polazeci od jednadzbe gibanja

d

dt{f, g} =

∂

∂t{f, g}+ {{f, g}, H}. (6.39)

Iskoristit cemo i Jacobijev identitet

{{f, g}, H} = {f, {g,H}}+ {g, {H, f}}, (6.40)

kao i cinjenicu da su funkcije f i g konstante gibanja

{f,H} = −∂f∂t

i {g,H} = −∂g∂t. (6.41)

Slijedi

{{f, g}, H} = −{f,∂g

∂t

}+

{g,∂f

∂t

}. (6.42)

Izracunamo parcijalnu derivaciju po vremenu u jedn. (6.39)

∂

∂t{f, g} =

{∂f

∂t, g

}+

{f,∂g

∂t

}= −

{g,∂f

∂t

}+

{f,∂g

∂t

}, (6.43)

i uocimo da se ponistava s dvostrukom Poissonovom zagradom {{f, g}, H} u jedn.(6.39).

6.2.2 Primjer: dvodimenzionalni izotropni harmonicki oscilator

Koristeci Poissonove zagrade mozemo pokazati da su velicine

S =pxpy2m

+1

2mω2xy i L = xpy − ypx, (6.44)

konstante gibanja za dvodimenzionalni izotropni harmonicki oscilator. Dovoljno je izracunatiPoissonove zagrade tih velicina s Hamiltonijanom.

{S,H} =

{pxpy2m

+1

2mω2xy,

p2x

2m+

1

2mωx2 +

p2y

2m+

1

2mωy2

}= 0, (6.45)

{L,H} =

{xpy − ypx, p

2x

2m+

1

2mωx2 +

p2y

2m+

1

2mωy2

}= 0. (6.46)

Obje velicine su, dakle, konstante gibanja. Slijedi da je i njihov omjer konstanta gibanja

D =xpy − ypx

pxpy +m2ω2xy. (6.47)

Integral gibanja D proporcionalan je integralu gibanja B (4.69) koju smo izveli koristeciformalizam varijabli kuta i akcije.

Poissonove zagrade i kanonske transformacije 104

6.3 Poissonove zagrade i kanonske transformacije

6.3.1 Invarijantnost fundamentalnih Poissonovih zagrada

Prvo zelimo pokazati da fundamentalne Poissonove zagrade ne ovise o izboru kanonskihvarijabli

{qi, pj}Q,P =∑k

[∂qi∂Qk

∂pj∂Pk− ∂qi∂Pk

∂pj∂Qk

]. (6.48)

Ogranicimo se na vremenski nezavisne kanonske transformacije. U tom slucaju kanonskevarijable mozemo napisati kao funkcije varijabli Qj i Pj

qi = qi(Q1, . . . , Qn, P1, . . . , Pn), (6.49)

pi = pi(Q1, . . . , Qn, P1, . . . , Pn). (6.50)

Vremenska derivacija koordinate qi

qi =∑k

[∂qi∂Qk

Qk +∂qi∂Pk

Pk

]=∑k

[∂qi∂Qk

∂H

∂Pk− ∂qi∂Pk

∂H

∂Qk

]. (6.51)

Parcijalne derivacije Hamiltonijana mozemo raspisati pomocu varijabli qi i pi

∂H

∂Qk

=∑j

[∂H

∂qj

∂qj∂Qk

+∂H

∂pj

∂pj∂Qk

], (6.52)

∂H

∂Pk=∑j

[∂H

∂qj

∂qj∂Pk

+∂H

∂pj

∂pj∂Pk

]. (6.53)

Uvrstimo prethodne izraze u jedn. (6.51)

qi =∑kj

∂qi∂Qk

[∂H

∂qj

∂qj∂Pk

+∂H

∂pj

∂pj∂Pk

]−∑kj

∂qi∂Pk

[∂H

∂qj

∂qj∂Qk

+∂H

∂pj

∂pj∂Qk

]. (6.54)

Pregrupiramo li clanove u prethodnom izrazu

qi =∑kj

∂H

∂qj

[∂qi∂Qk

∂qj∂Pk− ∂qi∂Pk

∂qj∂Qk

]+∑kj

∂H

∂pj

[∂qi∂Qk

∂pj∂Pk− ∂qi∂Pk

∂pj∂Qk

]. (6.55)

Prepoznajemo elementarne Poissonove zagrade

qi =∑j

∂H

∂qj{qi, qj}Q,P +

∑j

∂H

∂pj{qi, pj}Q,P . (6.56)

Poissonove zagrade i kanonske transformacije 105

S druge strane, znamo da vrijede Hamiltonove jednadzbe gibanja

qi =∂H

∂pii pi = −∂H

∂qi. (6.57)

Usporedbom dolazimo do zakljucka

{qi, qj}Q,P = 0 i {qi, pj}Q,P = δij. (6.58)

Analognim postupkom, polazeci od jednadzbe gibanja za pi, dosli bi do zakljucka

{pi, pj}Q,P = 0. (6.59)

Dakle, sve tri fundamentalne Poissonove zagrade inavrijantne su na kanonske transfor-macije

{qi, pj}Q,P = δij, {qi, qj}Q,P = 0, {pi, pj}Q,P = 0. (6.60)

6.3.2 Invarijantnost Poissonovih zagrada

Koristeci invarijantnost fundamentalnih Poissonovih zagrada na kanonske transformacije,mozemo pokazati da je bilo koja Poissonova zagrada invarijantna na kanonske transfor-macije

{f, g}q,p = {f, g}Q,P . (6.61)

Polazimo od definicije Poissonove zagrade

{f, g}q,p =∑j

[∂f

∂qj

∂g

∂pj− ∂f

∂pj

∂g

∂qj

]. (6.62)

Derivacije po varijablama q i p izrazimo pomocu derivacija po varijablama Q i P

{f, g}q,p =∑j

[∑k

(∂f

∂Qk

∂Qk

∂qj+

∂f

∂Pk

∂Pk∂qj

)∑l

(∂g

∂Ql

∂Ql

∂pj+

∂g

∂Pl

∂Pl∂pj

)]

−∑j

[∑k

(∂f

∂Qk

∂Qk

∂pj+

∂f

∂Pk

∂Pk∂pj

)∑l

(∂g

∂Ql

∂Ql

∂qj+

∂g

∂Pl

∂Pl∂qj

)]. (6.63)

Infinitezimalne transformacije i zakoni sacuvanja 106

Promjenimo poredak sumacija

{f, g}q,p =∑kl

∂f

∂Qk

∂g

∂Ql

∑j

[∂Qk

∂qj

∂Ql

∂pj− ∂Qk

∂pj

∂Ql

∂qj

]+∑kl

∂f

∂Qk

∂g

∂Pl

∑j

[∂Qk

∂qj

∂Pl∂pj− ∂Qk

∂pj

∂Pl∂qj

]+∑kl

∂f

∂Pk

∂g

∂Ql

∑j

[∂Pk∂qj

∂Ql

∂pj− ∂Pk∂pj

∂Ql

∂qj

]+∑kl

∂f

∂Pk

∂g

∂Pl

∑j

[∂Pk∂qj

∂Pl∂pj− ∂Pk∂pj

∂Pl∂qj

]. (6.64)

Od fundamentalnih Poissonovih zagrada iz prehodnog izraza samo su dvije razlicite odnule, a i one su jednake Kroneckerovim simbolima.

{f, g}q,p =∑k

[∂f

∂Qk

∂g

∂Pk− ∂f

∂Pk

∂g

∂Qk

]= {f, g}Q,P . (6.65)

6.4 Infinitezimalne transformacije i zakoni sacuvanja

6.4.1 Infinitezimalne transformacije

Polazimo od funkcije izvodnice identicne kanonske transformacije

F2(q1, . . . , qn, P1, . . . , Pn) =∑j

Pjqj, (6.66)

a potom definiramo funkciju izvodnicu koja se od identicne transformacije razlikuje zainfinitezimalni iznos

F2(q1, . . . , P1, . . . ) =∑j

Pjqj + εf2(q1, . . . , P1, . . . , t), ε→ 0. (6.67)

Pripadna kanonska transformacija glasi

Qj =∂F2

∂Pj= qj + ε

∂f2

∂Pj, (6.68)

pj =∂F2

∂qj= Pj + ε

∂f2

∂qj, (6.69)

K = H +∂F2

∂t= H + ε

∂f2

∂t. (6.70)


Takvu transformaciju zovemo infinitezimalna kanonska transformacija. f2 sada mozemonapisati kao funkciju koordinata qi i impulsa pi

f2(q1, . . . , qn, P1, . . . , Pn) = f2

(q1, . . . , qn, p1 − ε∂f2

∂q1, . . . , pn − ε∂f2

∂qn

)(6.71)

Dakle, infinitezimalne promjene koordinata qj i impulsa pj generirane funkcijom izvod-nicom f2 glase

δpj ≡ Pj − pj = −ε∂f2

∂qj, (6.72)

δqj ≡ Qj − qj = ε∂f2

∂pj. (6.73)

Sada mozemo izracunati infinitezimalnu promjenu proizvoljne funkcije u. Funkciju urazvijemo u Taylorov red

u(q1 + δq1, . . . , p1 + δp1, . . . , t+ δt) = u(q1, . . . , p1, . . . , t) (6.74)

+∑j

[∂u

∂qjδqj +

∂u

∂pjδpj

]+∂u

∂tδt, (6.75)

a zatim izracunamo njezinu infinitezimalnu promjenu

δu =∑j

[∂u

∂qjδqj +

∂u

∂pjδpj

]+∂u

∂tδt. (6.76)

Iskoristimo li izraze za promjene impulsa (6.72) i koordinata (6.73), promjenu funkcije umozemo povezati s funkcijom izvodnicom f2

δu = ε∑j

[∂u

∂qj

∂f2

∂pj− ∂u

∂pj

∂f2

∂qj

]+∂u

∂tδt = {u, f2}+

∂u

∂tδt. (6.77)

6.4.2 Noetherin teorem

Poseban slucaj predstavlja infinitezimalna promjena hamiltonijana

δH = ε{H, f2}+∂H

∂tδt. (6.78)

Vec smo pokazali da je Poissonova zagrada integrala gibanja s Hamiltonijanom jednakanuli. Ukoliko Hamiltonijan ne ovisi eksplicitno o vremenu, svaki integral gibanja jeujedno i funkcija izvodnica infinitezimalne kanonske transformacije koja Hamiltonijanostavlja invarijantnim. Vrijedi i obrat. Svaka funkcija izvodnica (6.67) koja ne mijenjaHamiltonijan je integral gibanja. Invarijantnost Hamiltonijana na odredenu simetriju(rotacija, translacija i sl.) vodi na postojanje konstante gibanja. Mozemo zakljuciti dasu konstante gibanja usko vezane sa simetrijama koje sustav posjeduje.


Translacija u vremenu

Promatramo infinitezimalnu translaciju u vremenu ε = δt. Promjena koordinata i impulsadana je relacijama

δpj = −∂f2

∂qjδt i δqj =

∂f2

∂pjδt. (6.79)

Usporedimo li ih s Hamiltonovim jednadzbama gibanja, mozemo zakljuciti da je funkcijaizvodnica translacije u vremenu sam Hamiltonijan. Ukoliko ne ovisi eksplicitno o vre-menu, Hamiltonijan je integral gibanja.

Translacija u prostoru

Neka je Hamiltonijan konzervativnog sistema invarijantan na infinitezimalnu translacijujedne koordinate, dok sve ostale koordinate i impulse drzimo konstantnim. Mijenjamosamo j-tu koordinatu

δqi = εδij, δpi = 0. (6.80)

Promjene koordinata i impulsa odredene su funkcijom izvodnicom

δpi = −ε∂f2

∂qi= 0 i δqi = ε

∂f2

∂pi= δij =⇒ f2 = pj. (6.81)

Pretpostavili smo da je sustav konzervativan pa promjena hamiltonijana glasi

δH = {H, pj}. (6.82)

Invarijantnost hamiltonijana povlaci sacuvanje impulsa pj konjugiranog koordinati qj

δH = 0 =⇒ {H, pj} = 0. (6.83)

Ovaj zakljucak vrijedi za bilo koju generaliziranu koordinatu na ciju translaciju je hamil-tonijan invarijantan. Mozemo pokazati da je komponenta vektora ukupnog impulsa ~Pu smjeru jedinicnog vektora ~n sacuvana, ukoliko je sustav invarijantan na translaciju uistom smjeru. Translacija sustava u smjeru vektora ~n daje

δ~ri = δ ~R ≡ ε~n, δ~pi = 0. (6.84)

S druge strane, promjene koordinata dane su formulama

δxi = εnx = ε ∂f2δpx,i

,

δyi = εny = ε ∂f2δpy,i

,

δzi = εnz = ε ∂f2δpz,i

=⇒ f2 = ~n ·∑i

~pi ≡ ~n · ~P . (6.85)

Prema pretpostavci sustav je invarijantan pa vrijedi

{H,~n · ~P} = 0, (6.86)

odnosno projekcija ukupnog impulsa na smjer translacije je sacuvan


Rotacija u prostoru

Neka je Hamiltonijan konzervativnog sistema invarijantan na infinitezimalnu rotaciju oko

osi ~n. Ako je ε =∣∣∣d~φ∣∣∣ iznos infinitezimalnog kuta vrtnje, promjene vektora glase

δ~ri = δ~φ× ~ri = ε~n× ~ri, (6.87)

δ~pi = δ~φ× ~pi = ε~n× ~pi. (6.88)

Raspisano po komponentama

δxi = ε (nyzi − nzyi) = ε ∂f2∂pxi

δyi = ε (nzxi − nxzi) = ε ∂f2∂pyi

δzi = ε (nxyi − nyxi) = ε ∂f2∂pzi

δ~ri = ε∂f2

∂~pi= ε (~n× ~ri) , (6.89)

δpx,i = ε (nypz,i − nzpy,i) = −ε∂f2∂xi

δpy,i = ε (nzpx,i − nxpz,i) = −ε∂f2∂yi

δpz,i = ε (nxpy,i − nypx,i) = −ε∂f2∂zi

δ~pi = −ε∂f2

∂~ri= ε (~n× ~pi) . (6.90)

Iz prethodnih jednadzbi slijedi

f2 = ~n ·∑i

~ri × ~pi. (6.91)

Iz zahtjeva δH = 0, slijedi da je projekcija ukupnog momenta kolicine gibanja na osrotacije integral gibanja.

6.4.3 Poissonove zagrade komoponenti momenta kolicine gibanja

Zelimo izracunati Poissonove zagrade izmedu razlicitih komponenti momenta kolicinegibanja

~m = mx~i+my

~j +mz~k = (ypz − zpy)~i+ (zpx − xpz)~j + (xpy − ypx)~k. (6.92)

Promotrimo npr.

{mx,my} = {ypz − zpy, zpx − xpz} (6.93)

{mx,my} = {ypz, zpx − xpz} − {zpy, zpx − xpz} (6.94)

{mx,my} = −{zpx − xpz, ypz}+ {zpx − xpz, zpy} (6.95)

{mx,my} = −{zpx, ypz}+ {xpz, ypz}+ {zpx, zpy} − {xpz, zpy}. (6.96)


Uocimo da su jedine zagrade razlicite od nule one koje sadrze koordinatu i odgovarajucikonjugirani impuls (npr. z i pz).

{mx,my} = −{zpx, ypz} − {xpz, zpy} (6.97)

{mx,my} = −z{px, ypz} − px{z, ypz} − x{pz, zpy} − pz{x, zpy} (6.98)

{mx,my} = px{ypz, z}+ x{zpy, pz} (6.99)

{mx,my} = pxy{pz, z}+ xpy{z, pz} (6.100)

{mx,my} = xpy − ypx = mz. (6.101)

Preostale dvije zagrade mozemo izracunati ciklickom zamjenom

{mx,my} = mz, (6.102)

{my,mz} = mx, (6.103)

{mz,mx} = my. (6.104)

Iz prethodnog razmatranja slijede dva bitna zakljucka

1. Ako su bilo koje dvije komponente momenta kolicine gibanja konstante gibanja,onda je i treca komponenta konstanta gibanja jer je treca komponenta uvijekjednaka Poissonovoj zagradi preostale dvije.

2. Ako bilo koju komponentu momenta kolicine gibanja odaberemo kao kanonski im-puls, onda preostale dvije komponente ne mogu biti kanonski impulsi jer su njihovePoissonove zagrade razlicite od nule. Nije moguc ni izbor jedne komponente mo-menta kolicine gibanja kao kanonskog impulsa, a druge kao kanonske koordinatejer njihova Poissonova zagrada nije jedinica.

Promotrimo jos i sljedecu Poissonovu zagradu

{~m2,mx} = {m2x +m2

y +m2z,mx} (6.105)

{~m2,mx} = {m2x,mx}+ {m2

y,mx}+ {m2z,mx} (6.106)

{~m2,mx} = 2mx{mx,mx}+ 2my{my,mx}+ 2mz{mz,mx} (6.107)

{~m2,mx} = −2mymz + 2mymy = 0. (6.108)

Za svaku komponentu vrijedi

{~m2,mx} = 0, {~m2,my} = 0, {~m2,mz} = 0. (6.109)

Poissonove zagrade i kvantna mehanika 111

6.5 Poissonove zagrade i kvantna mehanika

Fizikalne velicine u kvantnoj mehanici predstavljamo operatorima koji zadovoljavaju ko-mutaciona pravila. Komutator dviju velicina proporcionalan je Poissonovoj zagradi pri-padnih klasicnih velicina

AB −BA = i~{A,B} =ih

2π{A,B}. (6.110)

Jednadzbi gibanja u klasicnoj mehanici

df

dt= {f,H}, (6.111)

odgovara Heisenbergovoj jednadzbi u kvantnoj mehanici

i~df

dt= fH − hf. (6.112)

Algebri Poissonovih zagrada


Primjer 6.1

Izracunajte Poissonove zagrade {mk, rl} i {mk, pl}, pri cemu je ~m moment kolicinegibanja.

Da bi izracunali trazene Poissonove zagrade, iskoristit cemo definiciju momenta kolicinegibanja pomocu Levi-Civita simbola

mk =∑ij

ripjεijk, (6.113)

kao i svojstva Poissonovih zagrada navedena u odjeljku 6.1.1

{mk, rl} = {∑ij

ripjεijk, rl} =∑ij

εijk{ripj, rl} (6.114)

{mk, rl} =∑ij

εijk [ri{pj, rl}+ pj{ri, rl}] (6.115)

{mk, rl} = −∑ij

εijkri{rl, pj} = −∑ij

εijkriδlj (6.116)

{mk, rl} = −∑i

εilkri =∑i

εiklri. (6.117)

{mk, pl} = {∑ij

ripjεijk, pl} =∑ij

εijk{ripj, pl} (6.118)

{mk, pl} =∑ij

εijk [ri{pj, pl}+ pj{ri, pl}] (6.119)

{mk, pl} =∑ij

εijkpjδil =∑j

εjklpj. (6.120)

Dakle, trazene Poissonove zagrade glase

{mk, rl} =∑i

εiklri (6.121)

{mk, pl} =∑j

εjklpj. (6.122)


Primjer 6.2

Izracunajte Poissonovu zagradu izmedu vektora momenta kolicine gibanja ~m i skalarnogprodukta ~r · ~p.

Promotrimo l-tu komponentu trazene Poissonove zagrade

{ml, (~r · ~p)} =∑k

{ml, rkpk} = −∑k

{rkpk,ml} (6.123)

{ml, (~r · ~p)} = −∑k

[rk{pk,ml}+ pk{rk,ml}] (6.124)

{ml, (~r · ~p)} =∑k

[rk{ml, pk}+ pk{ml, rk}]. (6.125)

Iskoristimo rjesenja prethodnog zadatka (vidi jedn. (6.121) i (6.122))

{ml, (~r · ~p)} =∑k

[rk∑j

εjklpj + pk∑i

εiklri

](6.126)

{ml, (~r · ~p)} =∑kj

rkpjεjkl +∑ik

ripkεikl (6.127)

{ml, (~r · ~p)} = −∑kj

rkpjεkjl +∑ik

ripkεikl (6.128)

{ml, (~r · ~p)} = − (~r × ~p)l + (~r × ~p)l = 0. (6.129)

Velicina ~r · ~p je invarijantna na rotacije u prostoru pa njezina Poissonova zagrada smomentom kolicine gibanja iscezava.


Primjer 6.3

Pokazite da za komponente vektora zakretnog impulsa vrijedi

{mi,mj} =∑k

mkεijk. (6.130)

Raspivsemo moment kolicine gibanja pomocu Levi-Civita simbola

{mi,mj} = {∑mn

rmpnεmni,∑lk

rlpkεlkj} (6.131)

{mi,mj} =∑mnlk

εmniεlkj{rmpn, rlpk} (6.132)

{mi,mj} =∑mnlk

εmniεlkj [rm{pn, rlpk}+ pn{rm, rlpk}] (6.133)

{mi,mj} = −∑mnlk

εmniεlkj [rm{rlpk, pn}+ pn{rlpk, rm}] (6.134)


εmniεlkj [rmrl{pk, pn}+ rmpk{rl, pn}

+ pnrl{pk, rm}+ pnpk{rl, rm}] . (6.135)

Prepoznamo fundamentalne Poissonove zagrade

{ri, pj} = δij, {ri, rj} = 0, {pi, pj} = 0, (6.136)

pa od trazene Poissonove zagrade preostaje


εmniεlkj [rmpk{rl, pn}+ pnrl{pk, rm}] (6.137)


εmniεlkj [rmpkδln − pnrlδkm] (6.138)


εmniεlkjrmpkδln +∑mnlk

εmniεlkjpnrlδkm (6.139)

{mi,mj} = −∑mnk

εmniεnkjrmpk +∑nlk

εkniεlkjpnrl (6.140)

{mi,mj} = −∑mk

rmpk∑n

εimnεkjn +∑nl

rlpn∑k

εnikεjlk (6.141)


Sumiramo produkt dva Levi-Civita simbola

{mi,mj} = −∑mk

rmpk [δikδjm − δijδmk] +∑nl

rlpn [δnjδil − δnlδij] (6.142)

{mi,mj} = −rjpi + δij~r · ~p+ ripj − δij~r · ~p (6.143)

{mi,mj} = ripj − rjpi. (6.144)

Zadnju relaciju mozemo napisati kompaktnije

{mi,mj} =∑k

mkεijk. (6.145)


Primjer 6.4

Izracunajte Poissonovu zagradu

{(~a · ~m), (~b · ~m)}, (6.146)

ako su ~a i ~b konstantni vektori, a ~m vektor momenta kolicine gibanja.

Raspisemo skalarne produkte u trazenoj Poissonovoj zagradi

{(~a · ~m), (~b · ~m)} = {∑k

akmk,∑l

blml} (6.147)

{(~a · ~m), (~b · ~m)} =∑kl

akbl{mk,ml}. (6.148)

Iskoristimo li rezultat prethodnog zadatka dolazimo do izraza

{(~a · ~m), (~b · ~m)} =∑kl

akbl∑n

mnεkln =∑kln

akblmnεkln. (6.149)

Sada raspisemo moment kolicine gibanja

{(~a · ~m), (~b · ~m)} =∑kln

akblεkln∑ij

ripjεijn =∑klnij

akblripjεklnεijn, (6.150)

a zatim promjenimo poredak sumacija

{(~a · ~m), (~b · ~m)} =∑klij

akblripj∑n

εklnεijn. (6.151)

Sumiramo produkt dva Levi-Civita simbola

{(~a · ~m), (~b · ~m)} =∑klij

akblripj [δkiδlj − δkjδli] =∑ij

airibjpj − ajbiripj. (6.152)

Konacno, trazena Poissonova zagrada glasi

{(~a · ~m), (~b · ~m)} = (~a · ~r)(~b · ~p)− (~a · ~p)(~b · ~r). (6.153)


Primjer 6.5

Neka je u skalarna funkcija varijabli r2, p2 i ~r · ~p. Pokazite da Poissonova zagradafunkcije u i momenta kolicine gibanja iscezava.

Racunamo Poissonovu zagradu izmedu funkcije u i j−te komponente momenta kolicinegibanja

{u,mj} =∑k

[∂u

∂rk

∂mj

∂pk− ∂u

∂pk

∂mj

∂rk

]. (6.154)

Prvo izracunamo derivacije momenta kolicine gibanja

∂mj

∂rk=

∂

∂rk

∑il

riplεilj =∑il

δikplεilj =∑l

plεklj, (6.155)

∂mj

∂pk=

∂

∂pk

∑il

riplεilj =∑il

riδlkεilj =∑i

riεikj. (6.156)

Pri deriviranju funkcije u prisjetimo se da ona ovisi o skalarnim velicinama r2, ~r · ~p i p2

∂u

∂rk=

∂u

∂r2

∂r2

∂rk+

∂u

∂(~r · ~p)∂(~r · ~p)∂rk

. (6.157)

Deriviramo r2 i ~r · ~p po komponenti rk

∂r2

∂rk=

∂

∂rk

∑n

r2n = 2rk i

∂(~r · ~p)∂rk

=∂

∂rk

∑n

rnpn = pk, (6.158)

=⇒ ∂u

∂rk= 2

∂u

∂r2rk +

∂u

∂(~r · ~p)pk. (6.159)

Derivacija funkcije u ima dva analogna doprinosa

∂u

∂pk=

∂u

∂p2

∂p2

∂pk+

∂u

∂(~r · ~p)∂(~r · ~p)∂pk

. = 2∂u

∂p2pk +

∂u

∂(~r · ~p)rk. (6.160)

Vratimo se Poissonovoj zagradi

{u,mj} = 2∑ki

∂u

∂r2rkriεikj +

∑ki

∂u

∂(~r · ~p)ripkεikj (6.161)

− 2∑kl

∂u

∂p2pkplεklj −

∑kl

∂u

∂(~r · ~p)rkplεklj. (6.162)


Prvi i treci propadaju jer se radi o produktu dvije velicine od kojih je jedna simetricna, adruga antisimetricna s obzirom na zamjenu indeksa i, j, odnosno l, j. Da bi to pokazali,najprije preimenujemo indekse sumacije k ↔ i∑

ki

rkriεikj =∑ki

rirkεkij. (6.163)

Produkt komponenti rk i ri komutira, dok je Levi-Civita simbol antisimetrican∑ki

rkriεikj = −∑ki

rkriεikj =⇒∑ki

rkriεikj = 0. (6.164)

Jednakim postupkom bi pokazali da treci clan propada pa od Poissonove zagrade pre-ostaju samo dva clana

{u,mj} =∂u

∂(~r · ~p)

[∑ki

ripkεikj −∑kl

rkplεklj

]. (6.165)

U desnoj sumi preimenujemo indeks sumacije l↔ i

{u,mj} =∂u

∂(~r · ~p)

[∑ki

ripkεikj −∑ki

rkpiεkij

], (6.166)

a zatim preimenujemo indekse sumacije i↔ k

{u,mj} =∂u

∂(~r · ~p)

[∑ki

ripkεikj −∑ki

ripkεikj

]= 0. (6.167)


Primjer 6.6

Zadan je hamiltonijan H = q1p1 − q2p2 − aq21 + bq2

2. Koristeci Poissonove zagradepokazite da je velicina

F1 =p1 − aq1

q2, (6.168)

konstanta gibanja.

Jednadzba gibanja proizvoljne funkcije u glasi

du

dt= {u,H}+

∂u

∂t, (6.169)

a kako F1 ne ovisi eksplicitno o vremenu dovoljno je pokazati

{F1, H} = 0. (6.170)

Raspisemo Poissonovu zagradu

{F1, H} =∑i=1,2

(∂F1

∂qi

∂H

∂pi− ∂F1

∂pi

∂H

∂qi

), (6.171)

a zatim izracunamo potrebne derivacije funkcije F1

∂F1

∂q1= − a

q2,

∂F1

∂p1

=1

q2,

∂F1

∂q2= −p1 − aq1

q22

,∂F1

∂p2

= 0, (6.172)

kao i hamiltonijana

∂H

∂q1= p1 − 2aq1,

∂H

∂p1

= q1,∂H

∂q2= −p2 + 2bq2,

∂H

∂p2

= −q2. (6.173)

Vratimo se Poissonovoj zagradi

{F1, H} =∂F1

∂q1

∂H

∂p1

− ∂F1

∂p1

∂H

∂q1+∂F1

∂q2

∂H

∂p2

− ∂F1

∂p2

∂H

∂q2(6.174)

{F1, H} = −aq1q2− 1

q2(p1 − 2aq1)− p1 − aq1

q22

(−q2) (6.175)

{F1, H} = −aq1q2− p1

q2+ 2a

q1q2

+p1

q2− aq1

q2. (6.176)

=⇒ {F1, H} = 0. (6.177)

Poissonova zagrada funkcije F1 i hamiltonijana iscezava pa mozemo zakljuciti da jefunkcija F1 konstanta gibanja.


Primjer 6.7

Pokazite da za bilo koju funkciju f(q(t), p(t)) koordinata i impulsa vrijedi

f(q(t), p(t)) = f0 +t

1!{f,H}|0 +

t2

2!{{f,H}, H}|0 + · · · (6.178)

Funkciju f(p(t), q(t)) razvijemo u Taylorov red, uz pretpostavku da isti konvergira

f(q, p) = f(q0, p0) +t

1!

df

dt

∣∣∣∣0

+t2

2!

d2f

dt2

∣∣∣∣0

+t3

3!

d3f

dt3

∣∣∣∣0

+ · · · (6.179)

Funkcija f ne ovisi eksplicitno o vremenu pa vrijedi

df

dt= {f,H} =⇒ df

dt

∣∣∣∣0

= {f,H}|0 . (6.180)

Promotrimo sljedecu derivaciju

d2f

dt2=

d

dt

df

dt=

{df

dt,H

}= {{f,H}, H} =⇒ d2f

dt2

∣∣∣∣0

= {{f,H}, H}|0 . (6.181)

Jednakim postupkom bi dosli do svih visih derivacija cime je zadana formula dokazana.


Primjer 6.8

Koristeci rezultat prethodnog primjera, rijesite problem harmonickog oscilatora.

Primjenimo formulu iz prethodnog zadatka na polozaj i impuls cestice

x(t) = x(0) +t

1!{x,H}|0 +

t2

2!{{x,H}, H}|0 + · · · , (6.182)

p(t) = p(0) +t

1!{p,H}|0 +

t2

2!{{p,H}, H}|0 + · · · . (6.183)

Koristeci Hamiltonijan harmonickog oscilatora

H =p2

2m+

1

2mω2x2, (6.184)

mozemo izracunati potrebne Poissonove zagrade.

• prva zagrada

{x,H} =∂x

∂x

∂H

∂p− ∂x

∂p

∂H

∂x=

p

m, (6.185)

• druga zagrada

{{x,H}, H} =1

m{p,H} = − 1

m

∂H

∂x= −ω2x, (6.186)

• treca zagrada

{{{x,H}, H}, H} = −ω2{x,H} = −ω2

mp, (6.187)

• cetvrta zagrada

{{{{x,H}, H}, H}, H} = −ω2

m{p,H} = ω4x. (6.188)

Taylorov red za varijablu x

x(t) = x0 +t

1!

p0

m− ω2 1

2!t2x0 − ω2

mp0

1

3!t3 + ω4 1

4!t4x+ · · ·

mozemo razbiti na dva dijela

x(t) = x0

(1− 1

2!ω2t2 +

1

4!ω4t4 + · · ·

)+

p0

mω

(ωt+

1

3!ω3t3 + · · ·

). (6.189)

Prva suma odgovara Taylorovom redu funkcije kosinus, a druga funkcije sinus

x(t) = x0 cosωt+p0

mωsinωt. (6.190)

Sada racunamo Poissonove zagrade potrebne za impuls p(t)


• prva zagrada

{p,H} =∂p

∂x

∂H

∂p− ∂p

∂p

∂H

∂x= −∂H

∂x= −mω2x, (6.191)

• druga zagrada{{p,H}, H} = −mω2{x,H} = −ω2p, (6.192)

• treca zagrada{{{p,H}, H}, H} = −ω2{p,H} = mω4x, (6.193)

• cetvrta zagrada

{{{{p,H}, H}, H}, H} = mω4{x,H} = pω4. (6.194)

Taylorov red za varijablu p

p(t) = p0 +t

1!

(−mω2x0

)+t2

2!(−ω2p0) +

t3

3!mω4x0 +

t4

4!ω4p0 + · · · , (6.195)

mozemo razbiti u dva dijela

p(t) = p0

(1− ω2 t

2

2!+ ω4 t

4

4!+ · · ·

)− x0mω

(ωt

1!− ω3 t

3

3!+ · · ·

). (6.196)

Prva suma je Taylorov red funkcije kosinus, a druga funkcije sinus

p(t) = p0 cosωt− x0mω sinωt. (6.197)

Reproducirali smo standardna rjesenja harmonickog oscilatora.

7 Integralne invarijante

7.1 Lagrangeove zagrade

Lagrangeovu zagradu funkcija u i v definiramo na sljedeci nacin

[u, v]q,p ≡∑i

(∂qi∂u

∂pi∂v− ∂pi∂u

∂qi∂v

). (7.1)

Bitno je uociti da u ovom slucaju deriviramo kanonske varijable q i p po u i v, daklesuprotno nego kod Poissonovih zagrada. Fundamentalne Lagrangeove zagrade imaju istevrijednosti kao i fundamentalne Poissonove zagrade

[Qk, Pj] = δkj [Qk, Qj] = 0 [Pk, Pj] = 0. (7.2)

Ovu tvrdnju mozemo pokazati uvodenjem bilo kojih 2n nezavisnih funkcija f1, . . . , f2n

koje ovise o kanonskim varijablama (qi, pi). Prvi korak je dokazivanje sljedece relacije

2n∑k=1

[fk, fi]{fk, fj} = δij, (7.3)

pri cemu uglate zagrade oznacavaju Lagrangeove, a viticaste Poissonove zagrade (suprotnood notacije iz Goldsteine-a). Raspisemo obje vrste zagrada u prethodnom izrazu

2n∑k=1

[fk, fi]{fk, fj} =2n∑k=1

n∑l=1

(∂ql∂fk

∂pl∂fi− ∂ql∂fi

∂pl∂fk

)×

n∑m=1

(∂fk∂qm

∂fj∂pm

− ∂fk∂pm

∂fj∂qm

). (7.4)

Promijenimo poredak sumacija u prethodnom izrazu i promatramo svaki od cetiri clana

• prvi clan

S1 =n∑

l,m=1

[2n∑k=1

∂ql∂fk

∂fk∂qm

]∂pl∂fi

∂fj∂pm

=n∑

l,m=1

∂ql∂qm

∂pl∂fi

∂fj∂pm

=n∑

l,m=1

δlm∂pl∂fi

∂fj∂pm

=⇒ S1 =n∑l

∂fj∂pl

∂pl∂fi

. (7.5)

123

Lagrangeove zagrade 124

• drugi clan

S2 = −n∑

l,m=1

[2n∑k=1

∂ql∂fk

∂fk∂pm

]∂pl∂fi

∂fj∂qm

=n∑

l,m=1

∂ql∂pm

∂pl∂fi

∂fj∂qm

= 0 (7.6)

• treci clan

S3 = −n∑

l,m=1

[2n∑k=1

∂pl∂fk

∂fk∂qm

]∂ql∂fi

∂fj∂pm

=n∑

l,m=1

∂pl∂qm

∂ql∂fi

∂fj∂pm

= 0. (7.7)

• cetvrti clan

S4 =n∑

l,m=1

[2n∑k=1

∂pl∂fk

∂fk∂pm

]∂ql∂fi

∂fj∂qm

=n∑

l,m=1

∂pl∂pm

∂ql∂fi

∂fj∂qm

=n∑

l,m=1

δlm∂ql∂fi

∂fj∂qm

=⇒ S4 =n∑l

∂fj∂ql

∂ql∂fi

. (7.8)

Sva cetiri clana zajedno vode na trazenu relaciju

2n∑k=1

[fk, fi]{fk, fj} =n∑l=1

∂fj∂pm

∂pm∂fi

+∂fj∂qm

∂qm∂fi

(7.9)

=⇒2n∑k=1

[fk, fi]{fk, fj} =∂fj∂fi

= δij. (7.10)

Relacija (7.3) je potpuno opcenita i vrijedi za bilo kojih 2n nezavisnih funkcija, pa takoi za 2n ”novih” kanonskih varijabli (Qi, Pi)

f1 . . . , fn ≡ Q1, . . . , Qn i fn+1 . . . , f2n ≡ P1, . . . , Pn. (7.11)

Promatramo razne kombinacije izraza (7.3)

• prvi slucaj: fi ≡ Qi fj ≡ Qj

n∑k=1

[Qk, Qi]{Qk, Qj}+n∑k=1

[Pk, Qi]{Pk, Qj} = δij (7.12)

Prisjetimo se da za Poissonove zagrade vrijedi

{Qk, Qj} = 0 i {Pk, Qj} = −δkj, (7.13)

pa ako te relacije primjenimo na jedn. (7.12) dolazimo do zakljucka

=⇒n∑k=1

[Pk, Qi](−δkj) = δij =⇒ [Qi, Pj] = δij. (7.14)

Lagrangeove zagrade 125

• drugi slucaj: fi ≡ Qi fj ≡ Pjn∑k=1

[Qk, Qi]{Qk, Pj}+n∑k=1

[Pk, Qi]{Pk, Pj} = 0 (7.15)

Kronecker simbol δij propada zbog fi 6= fj. Uvrstimo poznate relacije za Pois-sonove zagrade {Pk, Pj} = 0 i {Qk, Pj} = δkj

=⇒n∑k=1

[Qk, Qi](δkj) = 0 =⇒ [Qj, Qi] = 0. (7.16)

• treci slucaj: fi ≡ Pi fj ≡ Qj

n∑k=1

[Qk, Pi]{Qk, Qj}+n∑k=1

[Pk, Pi]{Pk, Qj} = 0 (7.17)

Kronecker simbol δij ponovno propada jer je fi 6= fj. Uvrstimo poznate relacijeza Poissonove zagrade {Qk, Qj} = 0 i {Pk, Qj} = −δkj

=⇒n∑k=1

[Pk, Pi](−δkj) = 0 =⇒ [Pj, Pi] = 0. (7.18)

Dakle, fundamentalne Lagrangeove zagrade imaju iste vrijednosti kao i fundamentalnePoissonove zagrade

[Qi, Qj] = 0 [Qi, Pj] = δij [Pi, Pj] = 0. (7.19)

Sada mozemo pokazati da su Lagrangeove zagrade, kao i Poissonove invarijantne nakanonske transformacije

[u, v]q,p = [u, v]Q,P . (7.20)

Raspisemo Lagrangeovu zagradu

[u, v]q,p =∑i

(∂qi∂u


∂qi∂v

), (7.21)

a zatim funkcije u i v izrazimo pomocu ”novih” kanonskih varijabli Qi i Pi

∂qi∂u

=∑j

[∂qi∂Qj

∂Qj

∂u+∂qi∂Pj

∂Pj∂u

], (7.22)

∂qi∂v

=∑j

[∂qi∂Qj

∂Qj

∂v+∂qi∂Pj

∂Pj∂v

], (7.23)

∂pi∂u

=∑j

[∂pi∂Qj

∂Qj

∂u+∂pi∂Pj

∂Pj∂u

], (7.24)

∂pi∂u

=∑j

[∂pi∂Qj

∂Qj

∂u+∂pi∂Pj

∂Pj∂u

]. (7.25)

Poincareove invarijante 126

Prethodne relacije uvrstimo u jedn. (7.21) i grupiramo clanove tako da dobijemo funda-mentalne Lagrangeove zagrade

[u, v]q,p =∑j,k

[[Qj, Qk]q,p

∂Qj

∂u

∂Qk

∂v+ [Qj, Pk]q,p

∂Qj

∂u

∂Pk∂v

]+∑j,k

[[Pj, Qk]q,p

∂Pj∂u

∂Qk

∂v+ [Pj, Pk]q,p

∂Pj∂u

∂Pk∂v

]. (7.26)

Dvije zagrade iscezavaju [Qj, Qk] = 0 i [Pj, Pk] = 0, dok je preostala jednaka Kro-neckerovom simbolu [Qj, Pk] = δjk

[u, v]q,p =∑j,k

δjk

[∂Qj

∂u

∂Pk∂v− ∂Pj

∂u

∂Qk

∂v

]=∑k

[∂Qk

∂u

∂Pk∂v− ∂Pk

∂u

∂Qk

∂v

](7.27)

=⇒ [u, v]q,p = [u, v]Q,P . (7.28)

7.2 Poincareove invarijante

Promatramo omedene integrale po raznim presjecima faznog prostora parnih dimenzija.Cilj nam je pokazati da vrijednost takvih integrala ne ovisi o izboru kanonskih varijabli.Prva u nizu tzv. Poincareovih invarijanti je dvodimenzionalni integral

I1 ≡∫∫

Sq,p

∑i

dqidpi, (7.29)

dok zadnja odgovara volumnom integralu po dijelu 2n-dimenzionalnog faznog prostora

In ≡∫ ∫

· · ·∫S

dq1 · · · dqndp1 · · · dpn. (7.30)

Dokaz invarijantnosti integrala I1 svodi se na invarijantnost Lagrangeovih zagrada nakanonske transformacije. Zelimo pokazati sljedecu relaciju

I1 ≡∫∫

Sq,p

∑i

dqidpi =

∫∫SQ,P

∑i

dQidPi. (7.31)

U tu svrhu uvodimo lokalne koordinate (u, v) za koje je element povrsine

dS = dudv. (7.32)


Pretpostavimo da znamo vezu lokalnih varijabli u, v i kanonskih varijabli (qi, pi), kao i(Qi, Pi)

qi = qi(u, v) i pi = pi(u, v), (7.33)

Qi = Qi(u, v) i Pi = Pi(u, v). (7.34)

Elementi povrsine dani su Jacobijanima

dqidpi =

∣∣∣∣ ∂qi∂u

∂pi∂u

∂qi∂v

∂pi∂v

∣∣∣∣ ≡ ∂(qi, pi)

∂(u, v)dudv, (7.35)

dQidPi =

∣∣∣∣ ∂Qi∂u

∂Pi∂u

∂Qi∂v

∂Pi∂v

∣∣∣∣ ≡ ∂(Qi, Pi)

∂(u, v)dudv, (7.36)

pa se tvrdnja koju dokazujemo svela na∫∫Su,v

∑i

∂(qi, pi)

∂(u, v)dudv =

∫∫Su,v

∑i

∂(Qi, Pi)

∂(u, v)dudv. (7.37)

Moramo pokazati jednakost podintegralnih funkcija∑i

∂(qi, pi)

∂(u, v)=∑i

∂(Qi, Pi)

∂(u, v). (7.38)

Raspisivanjem Jacobijana dolazimo do Lagrangeove zagrade∑i

∂(qi, pi)

∂(u, v)=∑i

(∂qi∂u


∂qi∂v

)= [u, v]q,p, (7.39)

a kako smo vec pokazali da su Lagrangeove zagrade invarijantne na kanonske transfor-macije, Jacobijani u jedn. (7.38) takoder moraju biti invarijantni na kanonske trans-formacije. Time smo dokazali da integral I1 ne ovisi o izboru kanonskih varijabli. Usljedecem koraku bi dokazali da je i velicina

I2 =

∫ ∫ ∫ ∫S

∑ik

dqidpidqkdpk (7.40)

invarijantna na kanonske transformacije. Pritom S oznacava bilo koju cetverodimenzionalnuplohu u 2n-dimenzionalnom faznom prostoru. Lanac Poincareovih invarijanti sadrzi inte-grale preko povrsina parnih dimenzija koje ukljucuju parove kanonskih varijabli, a zavrsavatvrdnjom da je integral po bilo kojem volumenu faznog prostora

In =

∫V

dq1 · · · dqndp1 · · · dpn. (7.41)


invarijantan na kanonske transformacije. Tvrdnju dokazujemo koristeci formulu za trans-formaciju volumnog elementa

dq1 · · · dqndp1 · · · dpn = |J |dQ1 · · · dQndP1 · · · dPn, (7.42)

pri cemu Jacobijan transformacije glasi

|J | ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂q1∂Q1

· · · ∂q1∂Qn

∂q1∂P1

· · · ∂q1∂Pn

.... . .

......

. . ....

∂qn∂Q1

· · · ∂qn∂Qn

∂qn∂P1

· · · ∂qn∂Pn

∂p1∂Q1

· · · ∂p1∂Qn

∂p1∂P1

· · · ∂p1∂Pn

.... . .

......

. . ....

∂pn∂Q1

· · · ∂pn∂Qn

∂pn∂P1

· · · ∂pn∂Pn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (7.43)

Da bi pokazali da je In invarijanta, dovoljno je pokazati da je Jacobijan |J | jednak 1.Koristit cemo opcenito svojstvo Jacobijana

J =∂(qi; pi)

∂(Qi; pi)

/∂(Qi;Pi)

∂(Qi; pi). (7.44)

Gornji desni blok brojnika u prethodnoj jednadzbi

D1 ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂q1∂Q1

· · · ∂q1∂Qn

∂q1∂p1

· · · ∂q1∂pn

.... . .

......

. . ....

∂qn∂Q1

· · · ∂qn∂Qn

∂qn∂p1

· · · ∂qn∂pn

∂p1∂Q1

· · · ∂p1∂Qn

∂p1∂p1

· · · ∂p1∂pn

.... . .

......

. . ....

∂pn∂Q1

· · · ∂pn∂Qn

∂pn∂p1

· · · ∂pn∂pn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (7.45)

dok je donji desni blok jednak jedinicnoj matrici. Preostala nam je determinanta blokdijagonalne matrice

D1 =

∣∣∣∣ A 0B 1

∣∣∣∣ = |A|. (7.46)

Detaljnije raspisano

D1 =

∣∣∣∣∣∣∣∂q1∂Q1

· · · ∂q1∂Qn

.... . .

...∂qn∂Q1

· · · ∂qn∂Qn

∣∣∣∣∣∣∣ . (7.47)

Jednakim postupkom dolazimo do nazivnika jedn. (7.44)

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∂p1∂P1

· · · ∂p1∂Pn

.... . .

...∂pn∂P1

· · · ∂pn∂Pn

∣∣∣∣∣∣∣ . (7.48)

Liouvilleov teorem 129

Neka je kanonska transformacija (Q,P )→ (q, p) zadana funkcijom izvodnicom F2(Q, p).Promotrimo j-ti redak i k-ti stupac determinante D1

∂qj∂Qk

=∂

∂Qk

∂F2

∂pj=

∂2F2

∂Qk∂pj, (7.49)

a zatim k-ti redak i j-ti stupac determinante D2

∂Pk∂pj

=∂

∂pj

∂F2

∂Qk

=∂2F2

∂pj∂Qk

. (7.50)

Determinante u brojniku i nazivniku jednadzbe (7.44) su transponirane jedna drugoj pasu njihove vrijednosti jednake. To znaci da je Jacobian doista jednak 1, a time smoujedno dokazali da je In invarijanta.

Kao primjer promotrimo varijable kuta i akcije za harmonicki oscilator. Trajektorijau faznom prostoru (q,p) dana je relacijom

p2

2m+

1

2mω2q2 = E, (7.51)

i odgovara elipsi s poluosima

a =

√2E

mω2i b =

√2mE. (7.52)

Povrsina obuhvacena putanjom u faznom prostoru dana je s

P = abπ =

√2E

mω2

√2mEπ = 2π

E

ω. (7.53)

Ako fazni prostor parametriziramo varijablama kuta i akcije, putanja odgovara pravcujer je varijabla akcije konstanta. U slucaju harmonickog oscilatora varijabla akcije iznosiE/ω, dok se varijabla kuta mijenja od 0 do 2π. Povrsina obuhvacena putanjom u faznomprostoru iznosi

P = 2πE

ω. (7.54)

Ocito, povrsina obuhvacena putanjom u faznom prostoru ne ovisi o izboru kanonskihvarijabli.

7.3 Liouvilleov teorem

Vremenska evolucija je primjer kanonske transformacije. Liouvilleov teorem odnosi se naposeban slucaj invarijante In: bilo koji dio faznog prostora pomice se u vremenu tako

Liouvilleov teorem 130

da mu se volumen ne mijenja jer je volumen In invarijantan na kanonske transformacije

In =

∫V

dq1 · · · dqndp1 · · · dpn = konst. (7.55)

Oblik volumena se pritom moze slobodno mijenjati. Liouvilleov teorem vrijedi opcenitoza sve sustave koji udovoljavaju kanonskom formalizmu, ukljucujuci i one za koje Hamil-tonijan ovisi eksplicitno o vremenu. Za disipativne sustave Liouvilleov teorem ne vrijedijer na njih ne mozemo primjeniti kanonski formalizam.

Klasicna mehanika 2

Documents

Transcript of Klasicna mehanika 2