Klasicna mehanika 2

Click here to load reader

download Klasicna mehanika 2

of 134

  • date post

    02-Feb-2017
  • Category

    Documents

  • view

    270
  • download

    6

Embed Size (px)

Transcript of Klasicna mehanika 2

  • Klasicna mehanika 2

    Treci dioHamiltonova mehanika.

    May 17, 2010

  • 2

  • Sadrzaj

    Sadrzaj 2

    1 Hamiltonova mehanika 3

    1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Hamiltonova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3 Izvod Hamiltonovih jednadzbi varijacionim postupkom . . . . . . . . . . 6

    1.4 Fazni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.4.1 Fazni prostor njihala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.4.2 Fazni prostor sustava s jednim stupnjem slobode . . . . . . . . . 26

    2 Kanonske transformacije 33

    2.1 Kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.2 Kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.2.1 Harmonicki oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.2.2 Tockaste transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.2.3 Identicna transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.2.4 Infinitezimalne kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . 39

    3 Hamilton-Jacobijeva jednadzba 49

    3.1 Izvod Hamilton-Jacobijeve jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.2 Separacija varijabli u Hamilton-Jacobijevoj jednadzbi . . . . . . . . . . . 50

    3.2.1 Konzervativni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.2.2 Separacija jedne varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.2.3 Ciklicke varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4 Varijable djelovanja i kuta 67

    4.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.2 Sustavi s jednim stupnjem slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3

  • 4

    4.2.1 Primjer: harmonicki oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.3 Sustavi s vise stupnjeva slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.4 Periodicke i multiperiodicke putanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.4.1 Poincareov presjek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.4.2 Primjer: dvodimenzionalni harmonicki oscilator . . . . . . . . . . 75

    4.5 Keplerov problem u varijablama kuta i djelovanja . . . . . . . . . . . . . 89

    5 Prijelaz na kvantnu mehaniku 93

    5.1 Geometrijska interpretacija Hamilton-Jacobijeve funkcije . . . . . . . . . 93

    5.2 Veza s geometrijskom optikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    5.3 Veza Schrodingerove i Hamilton-Jacobijeve jednadzbe . . . . . . . . . . 96

    6 Poissonove zagrade 99

    6.1 Definicija Poissonovih zagrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.1.1 Svojstva Poissonovih zagrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.1.2 Elementarne Poissonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    6.1.3 Jacobijev identitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    6.2 Poissonove zagrade integrala gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    6.2.1 Jacobi-Poissonov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    6.2.2 Primjer: dvodimenzionalni izotropni harmonicki oscilator . . . . . 103

    6.3 Poissonove zagrade i kanonske transformacije . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6.3.1 Invarijantnost fundamentalnih Poissonovih zagrada . . . . . . . . 104

    6.3.2 Invarijantnost Poissonovih zagrada . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    6.4 Infinitezimalne transformacije i zakoni sacuvanja . . . . . . . . . . . . . 106

    6.4.1 Infinitezimalne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    6.4.2 Noetherin teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    6.4.3 Poissonove zagrade komoponenti momenta kolicine gibanja . . . 109

    6.5 Poissonove zagrade i kvantna mehanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    7 Integralne invarijante 123

    7.1 Lagrangeove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

  • 1

    7.2 Poincareove invarijante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    7.3 Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    *

  • 2

  • 1 Hamiltonova mehanika

    1.1 Uvod

    Dinamiku sustava s n stupnjeva slobode mozemo opisati s n Lagrangeovih jednadzbi(diferencijalne jednadzbe drugog reda)

    d

    dt

    (L

    qi

    ) Lqi

    = 0, i = 1, . . . , n (1.1)

    Da bi potpuno opisali gibanje sustava, moramo zadati i 2n pocetnih uvjeta

    qi(0) = q(0)i i qi(0) = q

    (0)i , i = 1, . . . , n. (1.2)

    Postavlja se pitanje da li mozemo razviti formalizam koji koristi diferencijalne jednadzbeprvog reda. Kao primjer, promotrimo jednadzbu gibanja harmonickog oscilatora

    x+ 2x = 0. (1.3)

    Napravimo li zamjenu mx = p, jedn. (1.3) prelazi u diferencijalnu jednadzbu prvog reda.Time smo umjesto jedne jednadzbe drugog reda dobili dvije jednadzbe prvog reda

    1

    mp+ 2x = 0 i mx = p, (1.4)

    ali se broj pocetnih uvjeta koje moramo zadati nije promjenio. Dakle, umjesto n diferen-cijalnih jednadzbi drugog reda mozemo koristiti 2n jednadzbi prvog reda. Kao nezavisnevarijable biramo generalizirane koordinate i impulse

    {qi, qi, t} = {qi, pi, t}, (1.5)pri cemu je

    pi =L

    qi. (1.6)

    Trajektorije cemo prikazivati u faznom prostoru (q, p), s tim da vrijeme ima uloguparametra. Osim sto omogucava izvodenje opcenitih zakljucaka o dinamickim sustavima,ovakva formulacija klasicne mehanike predstavlja poveznicu s kvantnom mehanikom.

    Legendreova transformacija

    Postupak zamjene varijabli, opisan u prethodnom odjeljku, zovemo Legendreova trans-formacija. Neka je L(q) konveksna funkcija varijable q, odnosno neka vrijedi

    2L

    q2 0, q. (1.7)

    3

  • Hamiltonova funkcija 4

    q

    ypq

    L(q)H(p)

    Slika 1.1:

    Za mehanicke sustave ovaj zahtjev je ispunjen jer je kineticka energija pozitivno definitnai kvadraticna u varijabli q. Konstrukcija Legendreove transformacije funkcije f sastoji seod sljedecih koraka

    nacrtamo graf funkcije L(q) za svaku vrijednost parametra p povucemo pravac y = pq pronademo tocku q(p) u kojoj je udaljenost pravca pq i krivulje L(q) maksimalna funkcija

    H(p) = max [pq L(q)] , (1.8)u tocki x(p) ima maksimum

    Legendreova transformacija funkcije L glasig(p) = F (p, x(p)) (1.9)

    1.2 Hamiltonova funkcija

    Polazimo od potpunog diferencijala opcenite Lagrangeove funkcije L(q, q, t)

    dL =i

    (L

    qidqi +

    L

    qidqi +

    L

    tdt

    ), (1.10)

    a trazimo velicinu ciji ce potpuni diferencijal biti dan infinitezimalnim promjenama koor-dinata, impulsa i vremena. Iskoristimo definiciju generaliziranog impulsa

    L

    qidqi = pdqi = d(piqi) qidpi, (1.11)

  • Hamiltonova funkcija 5

    iz cega slijedi

    dL =i

    (L

    qidqi + d(piqi) qidpi + L

    tdt

    ). (1.12)

    Prethodnu relaciju mozemo napisati u sljedecem obliku

    d

    (i

    piqi L)

    =i

    (qidpi L

    qidqi L

    tdt

    ), (1.13)

    pri cemu qi,Lqi

    i Lt

    smatramo funkcijama generaliziranih koordinata, impulsa i vremena.Funkciju

    H(p, q, t) i

    piqi L, (1.14)

    zovemo Hamiltonova funkcija ili Hamiltonijan. Diferencijal Hamiltonijana odreden jeinfinitezimalnim promjenama koordinata, impulsa i vremena

    dH =i

    (qidpi L

    qidqi L

    tdt

    ). (1.15)

    Da bi izveli jednadzbe gibanja za koordinate i impulse, uvrstimo Lagrangeove jed-nadzbe

    d

    dt

    (L

    qi

    ) Lqi

    = 0 = pi = Lqi

    , (1.16)

    u diferencijal Hamiltonove funkcije (1.15)

    dH =i

    (qidpi pidqi L

    tdt

    ). (1.17)

    S druge strane, znamo da vrijedi

    dH =i

    H

    pidpi +

    i

    H

    qidqi +

    H

    tdt. (1.18)

    Oduzimanjem zadnje dvije jednadzbe dolazimo do relacijei

    (qi + H

    pi

    )dpi +

    i

    (H

    qi+ pi

    )dqi +

    (H

    t+L

    t

    )dt = 0, (1.19)

    koja mora vrijediti za svaku infinitezimalnu promjenu koordinata i impulsa. To znaci dasvaki izraz u zagradi iscezava

    qi =H

    pi, pi = H

    qi,

    H

    t= L

    t. (1.20)

  • Izvod Hamiltonovih jednadzbi varijacionim postupkom 6

    Sustav od n stupnjeva slobode mozemo opisati bilo s n diferencijalnih jednadzbi drugogreda (Lagrangeove jednadzbe) ili s 2n jednadzbi prvog reda (Hamiltonove jednadzbe).Ako Lagrangian sustava (a time i Hamiltonijan) ne ovisi eksplicitno o vremenu. Hamil-tonijan je za danu putanju konstanta gibanja

    dH

    dt=i

    H

    pipi +

    i

    H

    qiqi +

    H

    t= qipi piqi = 0. (1.21)

    U sustavima za koje vrijedi L = T U , Hamiltonijan se za danu putanju poklapa senergijom sustava

    H =i

    piqi L =i

    L

    qi T + U =

    i

    T

    qi T + U. (1.22)

    Kineticka energija je homogena funkcija drugog reda u qi pa vrijedii

    T

    qi= 2T. (1.23)

    Hamiltonijan se sveo na sumu kineticke i potencijalne energije

    H = 2T T + U = T + U = E. (1.24)

    1.3 Izvod Hamiltonovih jednadzbi varijacionim pos-tupkom

    Uvrstimo definiciju Hamiltonove funkcije u integral djelovanja

    S =

    t2t1

    Ldt =

    t2t1

    (i

    piqi H)dt, (1.25)

    a zatim napravimo zamjenu varijable integracije u prvom clanu. Umjesto integrala po tprelazimo na integral po q, a pritom koristimo dqi = qidt

    S =

    t2t1

    (i

    pidqi Hdt). (1.26)

    Granice integracije dane su relacijama qi1 qi(t1) i qi2 qi(t2). Pri prijelazu s inte-gala (1.25) na integral (1.26), uzeli smo u obzir