Kinematika (3)

Fisika Dasar I Sem. 1 2018-2019

Dr. Agus Suroso (Fisika ITB) agussuroso@fi.itb.ac.id, agussuroso102.wordpress.com

Materi

• Gerak Relatif

Gerak bersifat relatif

x

y

z • Diperlukan kerangka acuan untukmendeskripsikan gerak suatu benda.

• Benda yang bergerak menurut suatukerangka bias jadi diam menurutkerangka lain.

• Contoh: orang yang duduk di keretayang sedang melaju terlihat bergerakmenurut pengamat di stasiun, namun diam menurut masinis di dalam kereta.

Lintasan benda

O

Posisi relatif

x

y

z

12

Tinjau dua benda yang masing-masing berada pada posisi Ԧ𝑟1 dan Ԧ𝑟2.

Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2O

Posisi relatif

Tinjau dua benda yang masing-masing berada pada posisi Ԧ𝑟1 dan Ԧ𝑟2.

Posisi relatif benda 2 terhadap 1 *)

adalah

Ԧ𝑟21 = Ԧ𝑟2 − Ԧ𝑟1

x

y

z

12

Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2O

Ԧ𝑟21

*) istilah “posisi relatif benda 2 terhadap 1” sama dengan istilah “posisibenda 2 menurut benda 1”.

Posisi relatif

x

y

z

12

Tinjau dua benda yang masing-masing berada pada posisi Ԧ𝑟1 dan Ԧ𝑟2.

Posisi relatif benda 2 terhadap 1 adalah

Ԧ𝑟21 = Ԧ𝑟2 − Ԧ𝑟1

Posisi relatif benda 1 terhadap 2 adalah

Ԧ𝑟12 = Ԧ𝑟1 − Ԧ𝑟2

Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2O

Ԧ𝑟12

Posisi relatif

Ƹ𝑟12: dari benda 2 menuju benda 1

x

y

z

12

Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2O

Ԧ𝑟12

x

y

z

12

Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2O

Ԧ𝑟21

Ƹ𝑟12: dari benda 1 menuju benda 2

Posisi relatif

Jika kedua benda bergerak denganlintasannya masing-masing, makaposisi keduanya menjadi berubahterhadap waktu, Ԧ𝑟1(𝑡) dan Ԧ𝑟2(𝑡).

x

y

z

12

Ԧ𝑟1(𝑡)Ԧ𝑟2(𝑡)

O

Posisi relatif

Jika kedua benda bergerak denganlintasannya masing-masing, makaposisi keduanya menjadi berubahterhadap waktu, Ԧ𝑟1(𝑡) dan Ԧ𝑟2(𝑡).

Posisi relatif benda 2 terhadap 1 setiap waktu adalah

Ԧ𝑟21(𝑡) = Ԧ𝑟2 𝑡 − Ԧ𝑟1(𝑡)

x

y

z

12

Ԧ𝑟1(𝑡)Ԧ𝑟2(𝑡)

O

Ԧ𝑟21(𝑡)

Kecepatan relatif

Kecepatan relatif benda 2 terhadap 1 setiap waktu adalah

Ԧ𝑣21 𝑡 =𝑑 Ԧ𝑟21 𝑡

𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡Ԧ𝑟2 𝑡 − Ԧ𝑟1(𝑡)

atau

x

y

z

12

O

Ԧ𝑣21 𝑡 = Ԧ𝑣2 𝑡 − Ԧ𝑣1(𝑡)

Ԧ𝑣1(𝑡)

Ԧ𝑣2(𝑡)

Kecepatan relatif

Kecepatan relatif benda 2 terhadap 1 setiap waktu adalah

Ԧ𝑣21 𝑡 =𝑑 Ԧ𝑟21 𝑡

𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡Ԧ𝑟2 𝑡 − Ԧ𝑟1(𝑡)

atau

Ԧ𝑣21 𝑡 = Ԧ𝑣2 𝑡 − Ԧ𝑣1(𝑡)

x

y

z

12

O

Ԧ𝑣1(𝑡)

Ԧ𝑣2(𝑡)

Percepatan relatif

Percepatan relatif benda 2 terhadap 1 setiap waktu adalah

Ԧ𝑎21 𝑡 =𝑑 Ԧ𝑣21 𝑡

𝑑𝑡

=𝑑

𝑑𝑡Ԧ𝑣2 𝑡 − Ԧ𝑣1(𝑡)

atau

Ԧ𝑎21 𝑡 = Ԧ𝑎2 𝑡 − Ԧ𝑎1(𝑡)

x

y

z

12

O

Ԧ𝑣1(𝑡)

Ԧ𝑣2(𝑡)

Contoh gerak relatifGerak relatif satu dimensi

Gerak relatif satu dimensi

Dua benda bergerak mendatarkecepatan masing-masing 𝑣1 dan 𝑣2.

𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡

O

1 2

Gerak relatif satu dimensi

Kecepatan relatif benda 1 terhadap 2 adalah

𝑣12 = 𝑣1 − 𝑣2

Arah kecepatan relatif:

𝑣1

−𝑣2𝑣12

𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡

O

1 2

Gerak relatif satu dimensi

Kecepatan relatif benda 1 terhadap 2 adalah

𝑣12 = 𝑣1 − 𝑣2

Arah kecepatan relatif:

𝑣1

−𝑣2𝑣12

Menurut O

𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡

O

𝑣12 𝑡 pengamat

Menurut benda 2

O

1 2

1 2

Gerak relatif satu dimensi

Kecepatan relatif benda 2 menurutbenda 1 adalah

𝑣21 = 𝑣2 − 𝑣1

Arah kecepatan relatif:

−𝑣1

𝑣2𝑣21

Menurut O

𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡

O

pengamat

Menurut benda 1

O

𝑣21

1 2

1 2

1. “Mengejar”Kedua benda bergerak denganlaju konstan dan saat 𝑡 = 0kedua benda berjarak 𝐿 =1200 m.

Kapan dan di mana keduabenda bertemu?

𝑣1 = 20 m/s 𝑣2 = 10 m/s

O

1 2

1. “Mengejar” Posisi tiap benda𝑥1 = 𝑣1𝑡

𝑥2 = 𝐿 + 𝑣2𝑡

Posisi relatif benda 1 terhadap 2:𝑥12 = 𝑣12𝑡 − 𝐿

Misal kedua benda bertemu saat 𝑡 =𝑇. Saat itu, 𝑥12 = 0 .

0 = 𝑣12𝑇 − 𝐿,

Atau 𝑇 =𝐿

𝑣12=

1200

10= 120 s.

Perpindahan benda 1 saat bertemubenda 2 adalah 𝑣1𝑇 = 2400 m.

𝑣1 = 20 m/s 𝑣2 = 10 m/s

O

1 2

▪ Kedua benda bertemu pada titik(𝑇, 𝑋).

▪ Kemiringan garis menyatakankecepatan tiap benda,

𝑣1 =𝑋

𝑇= 20

𝑣2 =(𝑋 − 1200)

𝑇= 10

▪ Dari dua persamaan terakhir diperolehnilai 𝑇 = 120 s dan 𝑋 = 2400 m.

0 𝑡 (s)

𝑥 (m)

1200

𝑋

𝑇

(𝑋−1200)

Benda 1

Benda 2

Tanpa konsep gerak relatif: gunakan grafik 𝒙(𝒕)

2. “Berpapasan”Kedua benda bergerak denganlaju konstan dan saat 𝑡 = 0kedua benda berjarak 1200 m.

Kapan dan di mana keduabenda bertemu?

1𝑣1 = 20 m/s 𝑣2 = 10 m/s

O

1 2

2. “Berpapasan” Posisi tiap benda:𝑥1 = 𝑣1𝑡,𝑥2 = 𝐿 − 𝑣2𝑡.

Posisi relatif benda 1 terhadap 2,𝑥12 = 𝑣1 + 𝑣2 𝑡 − 𝐿.

Misal kedua benda bertemu saat 𝑡 = 𝑇,dengan

𝑇 =𝐿

𝑣1 + 𝑣2= 40 𝑠.

Perpindahan benda 1 saat bertemu benda2 adalah 𝑣1𝑇 = 800 m.

𝑣1 = 20 m/s 𝑣2 = 10 m/s

O

1 2

▪ Kedua benda bertemu pada titik(𝑇, 𝑋).

▪ Kemiringan garis menyatakankecepatan tiap benda,

𝑣1 =𝑋

𝑇= 20

𝑣2 =(𝑋 − 1200)

𝑇= −10

▪ Dari dua persamaan terakhir diperolehnilai 𝑇 = 40 s dan 𝑋 = 800 m.

0 𝑡 (s)

𝑥 (m)

1200

𝑋

𝑇

Benda 1

Benda 2

Tanpa konsep gerak relatif: gunakan grafik 𝒙(𝒕)

(1200−X)

3. Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi

Benda 1 dilempar dengan kecepatanawal 𝑣01dari suatu ketinggian. Di saaatyang sama, benda kedua dilempar keatas dari ketinggian ℎ di bawah bendapertama dengan kecepatan 𝑣02.

Tentukan kapan dan di mana keduabenda bertemu.

ℎ 𝑣02

y

x

𝑔

1

2

𝑣01

3. Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi

Posisi kedua benda tiap saat,

𝑦1(𝑡) = ℎ + 𝑣01𝑡 −1

2𝑔𝑡2

𝑦2(𝑡) = 𝑣02𝑡 −1

2𝑔𝑡2

Posisi relatif benda 1 terhadap 2𝑦12 𝑡 = ℎ + 𝑣01 − 𝑣02 𝑡

Kedua benda bertemu saat 𝑇, dengan 𝑦12(𝑇) = 0, sehingga

𝑇 =ℎ

𝑣02 − 𝑣01.

Posisi bertemunya kedua benda adalah

𝑦1 𝑇 = 𝑦2 𝑇 .

ℎ 𝑣02

y

x

𝑔

1

2

𝑣01

4. Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi (2)

Benda 1 dilempar dengan kecepatanawal 𝑣01dari suatu ketinggian. Setelah 𝑇 detik benda kedua dilempar ke atasdari ketinggian yang sama dengankecepatan 𝑣02.

Tentukan kapan dan di mana keduabenda bertemu.y0

𝑣01

y

x

𝑔

y0

𝑣02

y

x

𝑔

1

2

Saat 𝑡 = 0 Saat 𝑡 = 𝑇

4. Gerak vertikal dalam pengaruh medan gravitasi (2)

Posisi kedua benda tiap saat,

𝑦1 = 𝑣01𝑡 −1

2𝑔𝑡2,

𝑦2 = 𝑣02 𝑡 − 𝑇 −1

2𝑔 𝑡 − 𝑇 2.

Posisi relatif,

𝑦21 =1

2𝑔𝑇2 + 𝑣2𝑇 + 𝑣1 − 𝑣2 − 𝑔𝑇 𝑡

Kedua benda bertemu jika 𝑦21 = 0, atausaat

𝑡 =1

2

𝑔𝑇2 + 2𝑣2𝑇

𝑔𝑇 + 𝑣2 − 𝑣1

y0

𝑣01

y

x

𝑔

y0

𝑣02

y

x

𝑔

1

2

Saat 𝑡 = 0 Saat 𝑡 = 𝑇

Contoh gerak relatifGerak relatif dua dimensi

1. Membidik benda jatuh

• Bola ungu dijatuhkan dariketinggian Y,

• bersamaan dengan bola hijau yang ditembakkandari titik O.

Apa syarat agar bola hijaudapat mengenai bola ungu.

Ԧ𝑣0

y

X

𝑔

q

Y

x

1. Membidik benda jatuh

Posisi tiap benda

Ԧ𝑟1 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 𝑋 Ԧ𝑖 + 𝑌 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

y

X x

1. Membidik benda jatuh

Posisi tiap benda

Ԧ𝑟1 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 𝑋 Ԧ𝑖 + 𝑌 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Posisi relatif bola hijau terhadap ungu,Ԧ𝑟12 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 − 𝑋 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 − 𝑌 Ƹ𝑗

Kedua benda bertemu jikaԦ𝑟12 = 0.

Ԧ𝑣0

y

X

𝑔

q

Y

x

1. Membidik benda jatuh

Posisi tiap benda

Ԧ𝑟1 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 𝑋 Ԧ𝑖 + 𝑌 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Posisi relatif bola hijau terhadap ungu,Ԧ𝑟12 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 − 𝑋 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 − 𝑌 Ƹ𝑗

Kedua benda bertemu jikaԦ𝑟12 = 0.

Ԧ𝑟12 = 0.

1. Membidik benda jatuh

Posisi tiap benda

Ԧ𝑟1 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 𝑋 Ԧ𝑖 + 𝑌 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Posisi relatif bola hijau terhadap ungu,Ԧ𝑟12 = Ԧ𝑟1 − Ԧ𝑟2𝑣0 cos 𝜃 𝑡 − 𝑋 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 − 𝑌 Ƹ𝑗

Kedua benda bertemu jikaԦ𝑟12 = 0.

Ԧ𝑟12 = 0.

𝑣0 cos 𝜃 𝑡 − 𝑋 = 0,𝑣0 sin 𝜃 𝑡 − 𝑌 = 0.

1. Membidik benda jatuh

Posisi tiap benda

Ԧ𝑟1 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 𝑋 Ԧ𝑖 + 𝑌 −1

2𝑔𝑡2 Ƹ𝑗

Posisi relatif bola hijau terhadap ungu,Ԧ𝑟12 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑡 − 𝑋 Ƹ𝑖 + 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 − 𝑌 Ƹ𝑗

Kedua benda bertemu jikaԦ𝑟12 = 0.

Ԧ𝑟12 = 0.

𝑣0 cos 𝜃 𝑇 − 𝑋 = 0,𝑣0 sin 𝜃 𝑇 − 𝑌 = 0.

tan 𝜃 =𝑌

𝑋.

𝑣0𝑇 = 𝑋2 + 𝑌2

𝑇 adalah waktu saat kedua benda bertemu.

Syarat sudut

1. Membidik benda jatuh

Ԧ𝑣0

y

X

𝑔

q

Y

x

Perhatikan juga bahwa bola ungu mencapaitanah setelah

𝑡1 =2𝑌

𝑔,

dan bola hijau mencapai tanah pada

𝑡2 =2𝑣0 sin 𝜃

𝑔=2𝑣0𝑔

𝑌

𝑋2 + 𝑌2.

Kedua benda harus bertemu saat keduanyamasih di udara.

𝑇 < 𝑡1 dan 𝑇 < 𝑡2

1. Membidik benda jatuh

𝑇 < 𝑡1

𝑋2 + 𝑌2

𝑣0<

2𝑌

𝑔

𝑣0 >𝑔 𝑋2 + 𝑌2

2𝑌

Perhatikan juga bahwa bola ungu mencapaitanah setelah

𝑡1 =2𝑌

𝑔,

dan bola hijau mencapai tanah pada

𝑡2 =2𝑣0 sin 𝜃

𝑔=2𝑣0𝑔

𝑌

𝑋2 + 𝑌2.

Kedua benda harus bertemu saat keduanyamasih di udara.

𝑇 < 𝑡1 dan 𝑇 < 𝑡2

Syaratkecepatan

1. Membidik benda jatuh

Perhatikan juga bahwa bola ungu mencapaitanah setelah

𝑡1 =2𝑌

𝑔,

dan bola hijau mencapai tanah pada

𝑡2 =2𝑣0 sin 𝜃

𝑔=2𝑣0𝑔

𝑌

𝑋2 + 𝑌2.

Kedua benda harus bertemu saat keduanyamasih di udara.

𝑇 < 𝑡1 dan 𝑇 < 𝑡2

𝑇 < 𝑡2

𝑋2 + 𝑌2

𝑣0<2𝑣0𝑔

𝑌

𝑋2 + 𝑌2.

𝑣0 >𝑔 𝑋2 + 𝑌2

2𝑌sama !

1. Membidik benda jatuh

Kesimpulan

Agar kedua bola dapat bertemu, syaratberikut harus terpenuhi:

Ԧ𝑣0

y

X

𝑔

q

Y

x

tan 𝜃 =𝑌

𝑋.

𝑣0 >𝑔 𝑋2 + 𝑌2

2𝑌

1. Membidik benda jatuh

Kesimpulan

Agar kedua bola dapat bertemu, syaratberikut harus terpenuhi:

Ԧ𝑣0

y

X

𝑔

q

Y

x

tan 𝜃 =𝑌

𝑋.

𝑣0 >𝑔 𝑋2 + 𝑌2

2𝑌

Contoh numerik, untuk X = 100 m dan Y = 50 m, diperoleh 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =1

2dan 𝑣0 > 35, 36 m/s. Pada kecepatan

berapapun asal melebihi batas tersebut, bola hijau dapat mengenai bola ungu. Semakin besar 𝑣0 makaposisi bertemu semakin tinggi.

2. Bertukar bola

Dua orang anak kembar terpisah sejauh 𝐿 sedang bermain lempar tangkap bola.Masing-masing anak melempar bola kepada saudaranya dengan kecepatan awal yang sama, yaitu 𝑣0. Gesekan udara diabaikan dan percepatangravitasi bumi adalah 𝑔.

Tentukan jarak minimum kedua benda ketika minimal salah satu benda masih di udara.

y

xR

𝐿