Agus Arif 1

Kestabilan

Kuliah 6

Kontrol Digital

Bab 13 buku-ajar

Agus Arif 2

Materi

• Pendahuluan• Ketabilan Sistem Digital dlm Bidang-z• Pemodelan & Kestabilan• Selang Pencuplikan utk Kestabilan• Transformasi Bilinear• Kestabilan Sistem Digital dlm Bidang-s

Agus Arif 3

Pendahuluan {1}

• Perbedaan menyolok di antara– sistem kontrol umpan-balik analog– sistem kontrol umpan-balik digital (lih gbr)

adalah efek laju pencuplikan pd tanggapan transien

• Perubahan laju pencuplikan dpt mengubah– Watak tanggapan: overdamped underdampd– Kestabilan: stabil tidak stabil

Agus Arif 4

Pendahuluan {2}

Agus Arif 5

Pendahuluan {3}

• Kestabilan sistem digital dpt ditinjau dr 2 cara-pandang:– bidang-z koordinat polar– bidang-s koordinat rectangular

• Kriteria Routh-Hurwitz dpt diterapkan hanya pd analisis & desain dlm bidang-s

• Transformasi antara bidang-z & bidang-s dpt dilakukan dgn transformasi bilinear

Agus Arif 6

Kestabilan dlm Bidang-z {1}

• Dlm bidang-s, wilayah kestabilan = sisi kiri sumbu imajiner

• Jk fungsi transfer G(s) dpt diubah mjd G(z), wilayah kestabilan dlm bid-z dpt dijabarkan dr definisi z = eTs & s = α + jω :

• Tiap wilayah bidang-s dpt dipetakan mjd wilayah yg sesuai dlm bidang-z:

TeTjTe

eeezTT

TjTjT

ω∠=ω+ω=

==αα

ωαω+α

)sin(cos

)(

Agus Arif 7

Kestabilan dlm Bidang-z {2}

Agus Arif 8

Kestabilan dlm Bidang-z {3}• Titik2 dgn α > 0 dlm bidang-s titik2 dgn eαT > 1

dlm bidang-z (wilayah C)– sisi kanan sumbu imajiner wilayah di luar lingkaran

satuan

• Titik2 dgn α = 0 dlm bidang-s titik2 dgn eαT = 1 dlm bidang-z (wilayah B)– titik2 pd sumbu imajiner titik2 pd lingkaran satuan

• Titik2 dgn α < 0 dlm bidang-s titik2 dgn eαT < 1 dlm bidang-z (wilayah A)– sisi kiri sumbu imajiner wilayah di dalam lingkaran

satuan

Agus Arif 9

Kestabilan dlm Bidang-z {4}

• Oleh karena itu, sistem kontrol digital disbt– Stabil jk semua pole kalang-tertutup T(z) brada

di dalam lingkaran satuan– Tdk stabil jk ada pole di luar lingkaran satuan

dan/atau ada pole dgn multiplisitas > 1 pada lingkaran satuan

– Marginally stable jk ada pole bermultiplisitas 1 pd lingkaran satuan & semua pole lainnya di dalam lingkaran satuan

Agus Arif 10

Pemodelan & Kestabilan {1}

• Rudal dpt dikontrol scr aerodinamik oleh torka yg dihasilkan dr defleksi permukaan2 kontrol

• Perintah defleksi berasal dr komputer yg menerima data pelacakan & menghitung berdasarkan persamaan2 guidance

Agus Arif 11

Pemodelan & Kestabilan {2}• Model sederhana dr sistem kontrol rudal:

• Komputer melakukan fungsi pengontrol:– Menggunakan informasi pelacakan– Menghasilkan perintah masukan utk rudal

• Akselerometer rudal mengukur percepatan aktual yg diumpankan ke komputer

Agus Arif 12

Pemodelan & Kestabilan {3}

• Tentukan fungsi transfer kalang-tertutup T(z) & tentukan kestabilan pada K = 20 & K = 100 dgn T = 0,1 detik

• Komputer dapat dimodelkan sbg sample-and-hold:

Agus Arif 13

Pemodelan & Kestabilan {4}

• Fungsi transfer umpan-maju G(s):

• Transformasi-z dr fungsi transfer G(s):

• Suku z{…} dikenakan ekspansi pecahan parsial & lalu stp sukunya ditransformasi-z

27dgn)(

1)( =

+−=

−a

ass

Ka

s

esG

Ts

( )

+−= −

)(1)(

21

ass

KazzzG

Agus Arif 14

Pemodelan & Kestabilan {5}

( )( )

−−−−

−=

−+

−−

−=

++−=

+=

+

−

−

−

aT

aT

aT

ezza

ze

z

TzK

ez

az

z

az

z

TzK

as

a

s

a

sKz

ass

aKz

ass

Kaz

)1(

1

)1(

1)1(

111

)()(

2

2

222

Agus Arif 15

Pemodelan & Kestabilan {6}

• Jadi,

• Dgn memasukkan nilai2 T & a:

( )( )

−−

−−−−

= −

−−

aT

aTaT

ezz

a

ezezT

KzG)1(

1)1(

)(

)0672,0)(1(

)02783,00655,0()(

−−+=

zz

zKzG

Agus Arif 16

Pemodelan & Kestabilan {7}

• Pemindahan sampler ke seb kanan simpul penjumlahan sistem umpan-balik satuan

• Fungsi transfer kalang-tertutup:

)0672,002783,0()0672,10655,0(

)02783,00655,0(

)(1

)()(

2 ++−++=

+=

KzKz

zK

zG

zGzT

Agus Arif 17

Pemodelan & Kestabilan {8}

• Kestabilan sistem ditentukan akar2 polinom penyebut T(z) atau pers karakteristik:– Utk K = 20, akar2 adl 0,12 ± j0,78 sistem

stabil krn semua pole di dalam lingkaran satuan– Utk K = 100, akar2 adl –0,58 & –4,9 sistem

tdk stabil krn ada pole di luar lingkaran satuan

• Metode penentuan kestabilan ini berdasar pd penentuan akar2 pers karakteristik– Sulit diterapkan pd sistem2 yg berorde-tinggi

Agus Arif 18

Selang Pencuplikan {1}

• Tentukan rentang T yg membuat sistem mjd stabil & tidak stabil:

• Krn H(s) = 1 maka FT kalang-tertutup:

)(1

)()(

zG

zGzT

+=

Agus Arif 19

Selang Pencuplikan {2}

• Utk menentukan G(z), ekspansikan G(s):

• Dgn demikian,

( )( )( )T

T

T

TsTs

ez

e

ez

z

z

z

z

zzG

sse

ss

esG

−

−

−

−−

−−=

−−

−−=

+−−=

+−=

110

1

)1(10)(

1

11110

)1(

110)(

( )( )1011

110)(

−−−= −

−

T

T

ez

ezT

Agus Arif 20

Selang Pencuplikan {3}

• Akar pers karakteristik atau pole dr T(z):

– Menurun terus dr +1 ke –1 utk 0 < T < 0,2 pole di dalam lingkaran satuan sistem stabil

– Menurun terus dr –1 ke –10 utk 0,2 < T < ∞ pole di luar lngkaran satuan sistem tdk stabil

• Scr frekuensi, f = 1 / T, sistem akan stabil slm frekuensi pencuplikan 1/0,2 = 5 Hz atau lebih besar

( )1011 −−Te

Agus Arif 21

Transformasi Bilinear {1}

• Transf ini memungkinkan utk menerapkan teknik2 analisis & desain bidang-s pd sistem digital

• Transf yg tepat: – Transf ini menghasilkan fungsi2 transedental yg

diurus melalui transformasi-z yg agak ruwet

• Transf yg sederhana transform bilinear– Menghasilkan argumen linear ketika disulihkan– Hanya tepat bagi penerapan yg dimaksudkan

zTsez Ts ln)1(=⇔=

Agus Arif 22

Transformasi Bilinear {2}

• Bentuk umum:

• Utk stp penerapan tertentu, perlu dijabarkan nilai2 a, b, c & d yg berbeda-beda.

• Contoh: pilihan nilai2 a, b, c & d tertentu– akan memetakan titik2 pd lingkaran satuan mjd

titik2 pd sumbu imajiner– akan memetakan titik2 di luar (dalam) lingkarn

satuan mjd titik2 di sisi kanan (kiri) sumbu-jω

acz

bdzs

dcs

basz

−+−=⇔

++=

Agus Arif 23

Transformasi Bilinear {3}

• Transf bilinear yg memenuhi contoh tsb:

• Bukti:1

1

1

1

−+=⇔

−+=

z

zs

s

sz

0ketika1

0ketika1

0ketika1

)1(

)1(

)1(

)1(

22

22

=α=>α><α<

→ω+−α

ω++α=

ω+−αω++α=→ω+α=

z

z

z

z

j

jzjs

Agus Arif 24

Kestabilan dlm Bidang-s {1}

• Diberikan T(z) = N(z)/D(z) dgn D(z) = z3 – z2 – 0,2z + 0,1; gunakan kriteria Routh-Hurwitz utk menentukan cacah pole T(z) yg berada di dalam, luar & pd lingkaran satuan

• Sulihkan transf pd poli D(z) = 01

1

−+=

s

sz

0174519

01,01

12,0

1

1

1

1

23

23

=−−−

=+

−+−

−+−

−+

sss

s

s

s

s

s

s

Agus Arif 25

Kestabilan dlm Bidang-s {2}

• Tabel Routh:

– 1 akar di sisi kanan & 2 akar di sisi kiri sumbu imajiner

– 1 pole T(z) di luar & 2 pole di dalam lingkaran satuan sistem tidak stabil