Kendali Terbang

36
Diktat Kendali Terbang Oleh: Moh. Ardi Cahyono e-mail: [email protected] blog: www.totalsacrifice.multiply.com

description

diktat kuliah

Transcript of Kendali Terbang

Page 1: Kendali Terbang

Diktat Kendali Terbang

Oleh: Moh. Ardi Cahyono

e-mail: [email protected]: www.totalsacrifice.multiply.com

Page 2: Kendali Terbang

1. Pendahuluan Ilmu Kendali Terbang ini merupakan bagian dari ilmu Mekanika Terbang yang membahas masalah Stability & Control. Sangat diharapkan Mahasiswa yang mengambil Mata Kuliah ini sudah lulus Dinamika Terbang, Matematika Teknik, dan sedikit masalah Metode Numerik. Flight Control System (FCS) adalah suatu system di pesawat udara (pu) yang digunakan untuk menjaga kondisi kestabilan pesawat (psw) atau manuver psw dari satu kondisi terbang ke kondisi terbang lainnya. Automatic Flight Control System (AFCS) adalah suatu system pengendalian (FCS) dimana penginderaan, pengambilan keputusan, dan perintah/command dilakukan secara otomatis. Diagram aliran sinyal AFCS ditunjukkan oleh gambar 1. Controller dan komparator dilakukan secara computerize. Actuator adalah alat daya yang menggerakkan bidang kendali pu, misalnya sistem hidrolik.

u p φ x v q θ y w r ψ h

Keinginan

(command)

SENSOR

Output variables controller

actuator

Gambar 1: Diagram aliran sinyal AFCS Tujuan Desain AFCS

1. Utamanya adalah untuk mendesain Controller Kebutuhan utama untuk maksud ini adalah karakteristik dinamik pu yang dipelajari di mata kuliah Dinamika Terbang 2. Menambah kestabilan SAS (Stability Augmentation System) contoh yaw damper 3. Autopilot Contohnya – attitude control untuk mengembalikan sikap pesawat - pitch attitude hold (PAH) 4. Navigation Control Contohnya - Altitude hold (AH)

- Mach hold - Speed hold

5. CAS (control augmentation System) 6. Mengontrol gust load, adalah control system yang mengontrol nz sehingga

penumpang tetap merasa nyaman ketika ada gangguan turbulensi di udara. Sistem kendali yang ditunjukkan oleh gambar 1 disebut Sistem Kendali Loop tertutup (closed Loop) sedangkan sistem kendali loop terbuka (open loop) ditunjukkan oleh gambar 2 di bawah ini.

Page 3: Kendali Terbang

2. Model Matematika Model matematika adalah suatu sistem persamaan matematika yang merepresentasikan dinamika sistem dalam hal ini pu sehingga mampu memberi informasi tentang respon psw ketika diberi input oleh pilot virtual. Model matematika pesawat udara dinyatakan dalam bentuk Fungsi Transfer (Transfer Function) atau disingkat TF dan persamaan state-space (state-space equation) atau disingkat SS. TF biasanya diterapkan untuk sistem single input single output (SISO) dan sangat optimal untuk perancangan pada Teori Kendali Klasik. SS biasanya diterapkan pada sistem Multiple input multiple output (MIMO) yang sangat optimal jika diaplikasikan untuk perancangan pada sistem kendali Modern. Fungsi transfer adalah suatu fungsi yang merepresentasikan dinamika pu atau menginformasikan respon pu ketika diberi input, fungsi tersebut dalam domain s (laplace) dengan harga awal 0 (nol) atau dinyatakan sebagai berikut:

[ ][ ]

nolawalkeadaaninputLaplacesitransformaoutputLaplacesitransforma

TF = (1)

Contoh TF pada pu adalah: ( )( ) 43

22

31

421

20

asasasasbsbsb

ss

++++++

=δθ (2)

Sebuah Business jet Airplane W=13000lbs, h=40000ft, M=0.7 Data diambil dari Jan Roskam, Airplane Flight Dynamics and Automatics flight Controls, part 1, halaman 424 diperoleh

( )( ) 78,44s31,86s5459s1371s9,675

4302s4927s312,6s

su234

2

E ++++++−

(3.a)

( )( ) 78,44s31,86s5459s1371s9,675

39,1s665,2s3,208s746,0ss

234

22

E ++++−−−−

=δα (3.b)

( )( ) 78,44s31,86s5459s1371s9,675

38,2s9,136s1,208s

s234

2

E ++++−−−

=δθ (3.c)

Persamaan (3) adalah contoh TF pada psw.

Persamaan state-space menyatakan dinamika pu ke dalam persamaan diferensial linier koefisien konstan order pertama sebagai berikut:

δEu α θ q

Gambar 2: Sistem Kendali Loop Terbuka

(4.a) (4.b) DuCxy

Bux Ax+=+=&

Page 4: Kendali Terbang

Dimana x adalah variabel-variabel state (keadaan) u adalah variabel-variabel input atau variabel-variabel kendali y adalah variabel-variabel output atau variabel-variabel pengamatan A adalah matriks sistem B adalah matriks output atau matriks kendali C adalah matriks pengamatan D direct input-output

Persamaan (4.a) disebut persamaan state dan (4.b) adalah persamaan pengamatan atau persamaan output. Persamaan state-space (4) jika dinyatakan dalam diagram blok adalah sebagai berikut:

Gambar 3: Persamaan state-space

Contoh SS: Psw N250-PA1 buatan IPTN V=119m/s, m=22000kg, cg=16,5%MAC, flap=0deg, H=3048m

(5)

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−−−

=

094,200623,00007,02197,1570001895,15306465,12492,0013,00833,0029,0

A ,

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−=

0791,001434,0

0061,0

B

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

θα

=

q

u

x , Eu δ=

2.1. Konversi TF ke SS Konversi TF ke SS dilakukan dengan cara berikut ini. Dari TF dilakukan invers Laplace atau transformasi Laplace balik akan diperoleh sistem persamaan diferensial sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )

ubub...ububyaya...yay n1n

1n

1

n

0n1n

1n

1

n++++=++++ −

−&& (6)

Persamaan SS yang dibentuk dari (6) adalah sebagai berikut:

Page 5: Kendali Terbang

(7)

[ ] u

x...

xx

0...01y

u...

xx

.

.

.xx

1a...aaa0...000

...

...

...0...1000...010

xx

.

.

.xx

0

n

2

1

n

1n

2

1

n

1n

2

1

2n1nnn

1n

2

1

β+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

ββ

ββ

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

&

&

&

&

Dimana

00 b=β

0111 ab β−=β

021122 aab β−β−=β

03122133 aaab β−β−β−=β . . .

0n11n1n1nn aa...ab β−β−−β−=β −−

Contoh:

1. TF pada (3.c) dinyatakan ke dalam SS: num=[0 0 -208.1 -136.9 -2.38]; den=[675.9 1371 5459 86.31 44.78]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -2.0284 -8.0766 -0.1277 -0.0663 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 B = 1 0 0 0 C = 0 -0.3079 -0.2025 -0.0035

Page 6: Kendali Terbang

D = 0

2. Sistem persamaan diferensial di bawah ini akan dinyatakan ke dalam SS u6y6y11y6y =+++ &&&&&& (8)

Dilakukan transformasi Laplace pada (8) diperoleh: ( )( ) ( )( )( )3s2s1s

66s11s6s

6sUsY

23 +++=

+++= (9)

Persamaan (9) dapat dinyatakan sebagai berikut: ( )( ) ( ) ( ) ( )3s

32s

61s

3sUsY

++

+−

++

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sXsXsXsU3s

3sU2s

6sU1s

3sY 321 ++=+

++−

++

= (10)

Dilakukan transformasi Laplace balik pada (10) diperoleh:

u3x3xu6x2x

u3xx

33

22

11

+−=+−=

+−=

&&

&&

&&

(11)

Sehingga SS adalah sebagai berikut:

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−+

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

3

2

1

3

2

1

3

2

1

xxx

111y

u36

3

xxx

300020001

xxx

&

&

&

(12)

2.2. Konversi SS ke TF Konversi SS ke TF adalah sebagai berikut, dilakukan transformasi Laplace pada (4) diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )sDUsCXsYsBUsAX0xssX

+=+=− (13.a)

(13.b)

Persamaan (13.a) dengan x(0)=0 maka dapat dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( ) ( )sBUsAXssX =− ( ) ( ) ( )sBUsXAsI =−

( ) ( ) ( )sBUAsIsX 1−−= (14) Substitusi (14) ke (13.b) diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( )sDUsBUAsICsY 1 +−= −

( ) ( )[ ] ( )sUDBAsICsY 1 +−= − (15) Sehingga diperoleh TF sebagai berikut:

( )( ) ( ) DBAsICsUsY 1 +−= − (16)

Page 7: Kendali Terbang

Contoh: SS pada (5) dinyatakan ke dalam TF A=[-0.029 0.0833 -0.13 0; -0.2492 -1.6465 0 153.1895; 0 0 0 157.2197; 0.0007 -0.0623 0 -2.094]; B=[0.0061;-0.1434;0;-0.0791]; C=eye(size(A)); D=zeros(size(B)); [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 0 0.0061 0.0109 0.6616 2.4793 0 -0.1434 -12.4232 -0.3626 -0.4049 0 -0.0000 -12.4361 -19.4314 -0.7965 0 -0.0791 -0.1236 -0.0051 0.0000 den = 1.0000 3.7695 13.1207 0.4256 0.3409 2.2. Konversi Diagram Blok ke SS Sebuah sistem kendali dinyatakan dalam diagram blok (DB) di bawah ini akan dinyatakan ke dalam bentuk SS

Gambar 4: sistem kendali

Langkah selanjutnya ditentukan variabel state pada garis aliran sinyal di bawah ini:

Gambar 5: sistem kendali

Pada masing-masing blok TF dapat ditulis hubungan ini:

5s

10)s(X)s(X

2

1

+= (17.a)

s1

)s(X)s(U)s(X

3

2 =−

(17.b)

1s

1)s(X)s(X

1

3

+= (17.c)

(17.d) ( ) ( )sXsY 1=

Page 8: Kendali Terbang

Dilakukan transformasi Laplace balik pada (17) diperoleh:

1

313

32

11

xyxxx

uxx2x10x5x

=−=+−=+−=

&

&

&

(18)

SS adalah sebagai berikut:

(19)

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡+

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

3

2

1

3

2

1

3

2

1

xxx

001y

u010

xxx

100100

0105

xxx

&

&

&

Contoh 2 adalah sebagai berikut:

Gambar 6: sistem kendali

Dilakukan manipulasi pada perkalian kedua TF di atas sehingga diperoleh:

s1

sba

sbas

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+ (20)

Sehingga sistem kendali dapat dinyatakan sebagai berikut:

Gambar 7: sistem kendali

Kemudian hubungan pada setiap blok TF dapat ditulis sebagai berikut:

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( )sXsY

sb

sXsUsX

s1

sXsUasXsX

1

1

2

12

1

=

=−

=−+

(21)

Dilakukan transformasi Laplace balik pada (21) diperoleh:

1

32

211

xybubxx

auxaxx

=+−=

++−=&

&

(22)

Sehingga SS adalah sebagai berikut:

Page 9: Kendali Terbang

(21) [ ] ⎥

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

2

1

2

1

2

1

xx

01y

uba

xx

0b1a

xx&

&

3. Simulasi

Simulasi dilakukan dengan menerapkan metode Runge-Kutta order keempat atau lebih dikenal dengan metode RK4. Metode ini banyak digunakan pada pemrograman system persamaan pu yang diaplikasikan di psw atau di flight simulator yang biasanya menggunakan bahasa pemrograman FORTRAN, C++, atau Visual C++. Tapi dalam pemrograman kali ini digunakan Microsoft Excel yang penting mahasiswa dapat memahami langkah-langkah pembuatan software (s/w) nya.

Teori RK4 adalah sebagai berikut. Diberikan sebuah system persamaan sebagai berikut:

(22) ( y,tf'y = )

Dengan kondisi awal sebagai berikut:

(23) ( ) 00 yty =

Perhitungan secara rekursif metode RK4 adalah sebagai berikut:

( 4321n1n kk2k2k6hyy ++++=+ ) (24)

Dimana,

( )

( )3nn4

2nn3

1nn2

nn1

hky,htfk

k2hy,

2htfk

k2hy,

2htfk

y,tfk

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=

(25)

Contoh Dari (5) dapat ditulis SS untuk modus short period adalah sebagai berikut:

(26)

Eu,q

x

0791,01434,0

B,094,20623,01895,1536465,1

A

δ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=

Sehingga sistem persamaan diferensial adalah sebagai berikut:

E

E

0791,0q094,20623,0q1434,0q1895,1536465,1δ−−α−=

δ−+α−=α&

& (27)

Page 10: Kendali Terbang

Perhitungan diberikan pada lampiran program excel file RK4 4. Sistem Order Kedua Bentuk umum sistem order kedua adalah sebagai berikut:

Y(s)R(s)

( )n

2n

2ss ξω+ω

Gambar 7: Sistem order kedua Dari gambar 7 di atas dapat disusun TF sebagai berikut:

2s2s

TFnn

2

2n

ω+ξω+ω

= (28)

Dimana ξ (dibaca zeta) adalah rasio redaman atau damping ratio sedangkan ωn adalah frekuensi alamiah. Ilustrasi dari sistem ini adalah sebagai berikut: zeta =[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1 2]; omega_n=3; % [rad/det] n=length(zeta); num=omega_n^2; den=[ones(n,1) 2.*zeta'*omega_n num*ones(n,1)]; t=0:0.1:10; % waktu pengamatan m=length(t); u=[0 ones(1,m-1)]; % input step for i = 1:n, y(:,i)=lsim(num,den(i,:),u,t); end plot(t,y)

Page 11: Kendali Terbang

Gambar 8: Respon sistem order kedua

Gambar di atas menunjukkan respon sistem order kedua untuk variasi zeta. Menurut Dr. Zainal Abidin TP-ITB (pada saat Penulis bimbingan Tesis S2), respon yg paling nyaman bagi manusia adalah zeta=0,7 dan omegan=3 [rad/det]. 5. Kriteria Kestabilan Routh Teknik ini digunakan untuk analisis kestabilan dari TF di bawah ini:

( )( ) n1n

1n1

n0

m1m1m

1m

0

asa...sasabsb...sbsb

sRsY

++++++++

=−

−−

(29)

Yang dianalisis adalah bagian denominator sebagai berikut: 0asa...sasa n1n

1n1

n0 =++++ −

− (30) Analisis dilakukan dengan menyusun tabel berikut ini:

sn a0 a2 a4 a6 . . . sn-1 a1 a3 a5 a7 . . . sn-2 b1 b2 b3 b4 . . . sn-3 c1 c2 c3 c4 . . . sn-4 d1 d2 d3 d4 . . . . . . . . . . . . s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1

Page 12: Kendali Terbang

Dimana:

.

.

.a

aaaab

aaaaa

b

aaaaa

b

1

70613

1

50412

1

30211

−=

−=

−=

(31)

.

.

.b

baabc

bbaab

c

bbaab

c

1

41713

1

31512

1

21311

−=

−=

−=

(32)

.

.

.c

cbbcd

ccbbc

d

1

31312

1

21211

−=

−=

(33)

Kemudian dilakukan pengamatan pada kolom kedua, jika ada perubahan tanda maka sistem kendali dalam keadaan tidak stabil. Jumlah akar-akar yg berada di sebelah kanan garis imajiner adalah sebanyak jumlah perubahan tanda tersebut. Contoh: sebuah sistem kendali di bawah ini:

Y(s)R(s)( )( )2s1sss

K2 +++

Gambar 9: sistem kendali Diperoleh TF sebagai berikut:

( )( ) ( )( ) K2s1sss

KsRsY

2 ++++= (34)

Kemudian dilakukan analisis pada denominatornya yaitu: 0Ks2s3s3s 234 =++++ (35)

Analisis dilakukan dengan menyusun tabel di bawah ini:

Page 13: Kendali Terbang

s4 1 3 K s3 3 2 0 s2

37

K

s1

K792 −

s0 K

Agar sistem stabil maka K792 − dan K harus selalu positif atau 0K

792 >− dan K>0

sehingga diperoleh:

0K9

14>> (36)

Soal: tentukan daerah K untuk kestabilannya dan berapa nilai K yg menyebabkan sistem berosilasi.

01sKsss 234 =++++

6. Analisis Tempat Kedudukan Akar

Teknik ini digunakan untuk analisis kestabilan dengan diketahui letak akar-akar system kendali terhadap variasi K mulai dari nol sampai tak terhingga secara teoritis. Suatu system kendali di bawah ini:

Y(s)R(s) ( )1ssK+

Gambar 10: system kendali Persamaan karakteristik atau denominator untuk TF loop tertutup adalah:

0Kss2 =++ (37) Akar-akar:

K4121

21s1 −+−= K41

21

21s2 −=−= (38)

>> roots([1 1 0]) % akar-akar untuk K=0 ans = 0 -1 >> roots([1 1 1/8]) % akar-akar untuk K=1/8 ans = -0.8536 -0.1464

Page 14: Kendali Terbang

>> roots([1 1 0.25]) % akar-akar untuk K=1/4 ans = -0.5000 -0.5000 >> roots([1 1 0.5]) % akar-akar untuk K=0,5 ans = -0.5000 + 0.5000i -0.5000 - 0.5000i Untuk K=0 s/d ¼ akar-akarnya masih riil dan stabil. Setelah K>1/4 mulai terjadi akar kompleks konjuget dan masih tetap stabil. >> roots([1 1 1]) % akar-akar untuk K=1 ans = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i Akar-akar semakin memisah jauh >> roots([1 1 4]) % akar-akar untuk K=4 ans = -0.5000 + 1.9365i -0.5000 - 1.9365i Akar-akar semakin jauh lagi, menunjukkan zetanya semakin kecil sehingga semakin berosilasi. >> rlocus(1,[1 1 0]) % untuk menggambar root locus

Gambar 11: root locus untuk system gambar 10

Page 15: Kendali Terbang

Yang bertanda ∗ adalah akar-akarnya ketika K=0 atau disebut pole. Garis biru dan hijau adalah garis pergerakan akar-akar ketika K membesar. Garis tersebut dimulai dari pole dan bertemu di -0,5 ketika K=1/4 kemudian memisah membentuk akan conjugate kompleks yang semakin memisah jauh ketika K membesar.

Gambar 12: simulasi system gambar 10 dengan K=1

Gambar 12 menunjukkan simulasi system kendali yang ditunjukkan pada gambar 10 dengan K=1. system dalam keadaan stabil dengan osilasi sedikit menunjukkan redaman cukup besar.

Page 16: Kendali Terbang

Gambar 13: simulasi system gambar 10 dengan K=8

Gambar 13 menunjukkan simulasi system kendali yang ditunjukkan pada gambar 10 dengan K=8. system dalam keadaan stabil dengan osilasi lebih banyak daripada ketika K=1 menunjukkan redaman kurang. Contoh berikutnya:

Gambar 14: system kendali

Y(s)R(s) ( )( )2s1ss

K++

Persamaan karakteristik:

0Ks2s3s 23 =+++ (39) Akar-akar dari sistem kendali yg ditunjukkan gambar 14 adalah:

Page 17: Kendali Terbang

>> roots([1 3 2 0]) % akar-akar untuk K=0 ans = 0 -2 -1 Ketiga akar adalah riil >> roots([1 3 2 0.3]) % akar-akar untuk K=0,3 ans = -2.1254 -0.6611 -0.2135 >> roots([1 3 2 0.3849001]) % akar-akar untuk K=0,3849001 ans = -2.1547 -0.4229 -0.4224 Pada nilai K ini akar kedua dan ketiga mulai bertemu. >> roots([1 3 2 0.4]) % akar-akar untuk K=0,4 ans = -2.1597 -0.4201 + 0.0932i -0.4201 - 0.0932i Mulai terbentuk akar kompleks conjugate, sedangkan akar yg pertama tetap riil dan bergerak ke kiri >> roots([1 3 2 0.5]) % akar-akar untuk K=0,5 ans = -2.1915 -0.4043 + 0.2544i -0.4043 - 0.2544i >> roots([1 3 2 1]) % akar-akar untuk K=1 ans = -2.3247 -0.3376 + 0.5623i -0.3376 - 0.5623i >> roots([1 3 2 4]) % akar-akar untuk K=4 ans = -2.7963 -0.1018 + 1.1917i -0.1018 - 1.1917i

Page 18: Kendali Terbang

>> roots([1 3 2 6]) % akar-akar untuk K=6 ans = -3.0000 -0.0000 + 1.4142i -0.0000 - 1.4142i Pada saat ini akar kedua dan ketiga berada di sumbu imajiner menunjukkan system berosilasi. >> roots([1 3 2 8]) % akar-akar untuk K=8 ans = -3.1663 0.0832 + 1.5874i 0.0832 - 1.5874i Pada K>8 keadaan system tidak stabil sebab ada akar yg berada di sebelah kanan sumbu imajiner. >> rlocus(1,[1 3 2 0]) % menggambar root locus

Gambar 15: root locus system pada gambar 14

Tanda menunjukkan pole yaitu pada 0, -1, dan -2. Letak kedudukan akar-akar ketika harga K membesar dari nol menuju tak hingga dimulai dari pole kemudian mengikuti garis merah, biru dan hijau. Garis biru dan hijau suatu saat berada di sebelah kanan sumbu imajiner menunjukkan pada harga tersebut system dalam keadaan tidak stabil. Garis biru dan hijau bertemu di titik -0,422 pada saat harga K=0,3849 dan setelah harga K membesar kedua akarnya membentuk conjugate kompleks. Pada saat K=6 akar-akar berada tepat di garis imajiner terjadi osilasi. Ketika K>6 akar-akar berada di sebelah kanan menunjukkan sistem tidak stabil.

Page 19: Kendali Terbang

Gambar 16: root locus pada K=0,3849001

Gambar 16 menunjukkan lebih jelas titik temu dari akar kedua dan ketiga yaitu di titik -0,422 yaitu ketika K=0,3849001.

Page 20: Kendali Terbang

Gambar 17: simulasi system gambar 14 pada K=1

Gambar 17 adalah simulasi system pada gambar 14 dengan harga K=1 menunjukkan system dalam keadaan stabil dengan redaman yang cukup besar karena osilasinya sedikit.

Page 21: Kendali Terbang

Gambar 18: simulasi system gambar 14 pada K=4

Gambar 18 adalah simulasi system pada gambar 14 dengan harga K=4 menunjukkan system dalam keadaan stabil dengan redaman mengecil dibandingkan dengan K=1 karena terjadi osilasi yang lumayan besar.

Page 22: Kendali Terbang

Gambar 19: simulasi system gambar 14 pada K=6

Gambar 19 adalah simulasi system pada gambar 14 dengan harga K=6 menunjukkan system dalam keadaan stabil netral atau system berosilasi karena ada dua akar yang berada di garis imajiner seperti telah ditunjukkan sebelumnya.

Page 23: Kendali Terbang

Gambar 20: simulasi system gambar 14 pada K=8

Gambar 20 adalah simulasi system pada gambar 14 dengan harga K=8 menunjukkan system dalam keadaan tidak stabil karena ada dua akar yang berada di sebelah kanan garis imajiner seperti telah ditunjukkan sebelumnya. Contoh berikutnya adalah sebagai berikut:

Y(s) R(s) ( )3s2s

2sK2 ++

+

Gambar 21: system kendali

>> K=0; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=0 ans = -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i Nilai di atas adalah nilai pole

Page 24: Kendali Terbang

>> K=0.5; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=0,5 ans = -1.2500 + 1.5612i -1.2500 - 1.5612i >> K=1; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=1 ans = -1.5000 + 1.6583i -1.5000 - 1.6583i >> K=2; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=2 ans = -2.0000 + 1.7321i -2.0000 - 1.7321i >> K=5; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=5 ans = -3.5000 + 0.8660i -3.5000 - 0.8660i >> K=5.46; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=5,46 ans = -3.7300 + 0.0843i -3.7300 - 0.0843i Pada saat ini akar-akar mulai bertemu dan akan memisah lagi ketika harga K membesar. >> K=6; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=6 ans = -5 -3 Pada saat K>5,46 akar-akar berharga riil dan menuju nilai zeronya. >> K=10; roots([1 2+K 3+2*K]) % akar-akar sistem pada saat K=10 ans = -9.6056 -2.3944 Menentukan zero pada system gambar 21 dengan cara seperti ini: >> roots([1 2]) ans = -2 Sehingga diperoleh zero sama dengan -2 >> rlocus([1 2],[1 2 3]) % menggambar root locus

Page 25: Kendali Terbang

Gambar 22: Root Locus system kendali pada gambar 21

Tanda menunjukkan pole yaitu polenya adalah -1.0000 + 1.4142i dan ∗ -1.0000 - 1.4142i dan tanda O adalah zero harganya adalah -2 sesuai dengan perhitungan di atas. Garis biru dan hijau berangkat dari pole menuju zero untuk garis biru dan menuju titik tak hingga pada sumbu riil pada garis hijau. Dari root locus di atas dapat disimpulkan sistem dalam keadaan stabil untuk harga K berapapun.

Page 26: Kendali Terbang

Gambar 23: Root Locus system kendali pada gambar 21

Gambar 23 menunjukkan akar-akar pada sistem kendali gambar 21 yaitu pada titk temu antara garis biru dan hijau yaitu terjadi pada K=5,46 yaitu bertemu di titik -3,73 pada sumbu riil.

Page 27: Kendali Terbang

Gambar 24: Simulasi sistem pada gambar 21 pada K=0,0001

Gambar 24 menunjukkan simulasi sistem pada gambar 21 pada K=0,0001. Sistem dalam keadaan stabil.

Page 28: Kendali Terbang

Gambar 25: Simulasi sistem pada gambar 21 pada K=1

Gambar 25 menunjukkan simulasi sistem pada gambar 21 pada K=1. Sistem dalam keadaan stabil dengan peredaman lebih besar dibandingkan pada K=0,0001.

Page 29: Kendali Terbang

Gambar 26: Simulasi sistem pada gambar 21 pada K=4

Gambar 26 menunjukkan simulasi sistem pada gambar 21 pada K=4. Sistem dalam keadaan stabil dengan peredaman lebih besar dibandingkan pada K=1.

Page 30: Kendali Terbang

Gambar 27: Simulasi sistem pada gambar 21 pada K=8

Gambar 27 menunjukkan simulasi sistem pada gambar 21 pada K=8. Sistem dalam keadaan stabil dengan peredaman lebih besar dibandingkan pada K=4. 7. Pole Placement Metode ini berguna untuk menentukan K sehingga posisi akar-akar yg baru sesuai dengan kriteria yg diinginkan perancang

(40) Cxy

BuAxx=

+=&

Input pada sistem kendali ini adalah: Kxu −=Dimana [ ] 1

11223344 TaaaaK −−α−α−α−α=

432

23

14 asasasasAsI ++++=−

( )( )( )( ) 432

23

14

4321 ssssssss α+α+α+α+=µ−µ−µ−µ− T=MW [ ]BABAABBM 32=

Page 31: Kendali Terbang

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

0001001a01aa1aaa

W1

12

123

contoh suatu sistem kendali dinyatakan dalam SS sebagai berikut:

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

0004905,01000000601,200010

A ,

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−

=

5,001

0

B , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

01000001

C

Letak akar-akar yang dikehendaki adalah: , 464,3j21 +−=µ 464,3j22 −−=µ , 103 −=µ , 104 −=µ Tentukan harga K dengan metode pole placement. Jawab: A=[0 1 0 0; 20.601 0 0 0; 0 0 0 1; -0.4905 0 0 0]; B=[0; -1; 0; 0.5]; C=[1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=zeros(2,1); [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); % konversi SS ke TF a1=den(2); a2=den(3); a3=den(4); a4=den(5); myu1=-2 + 3.464i; % Letak kedudukan akar yang dikehendaki myu2=-2 - 3.464i; myu3=-10; myu4=-10; alpha1=-(myu1+myu2+myu3+myu4); alpha2=(myu1+myu2)*(myu3+myu4)+myu1*myu2+myu3*myu4; alpha3=-(myu3*myu4*(myu1+myu2)+myu1*myu2*(myu3+myu4)); alpha4=myu1*myu2*myu3*myu4; M=[B A*B A^2*B A^3*B]; W=[a3 a2 a1 1; a2 a1 1 0; a1 1 0 0; 1 0 0 0];

Page 32: Kendali Terbang

T=M*W; K=[alpha1-a4 alpha3-a3 alpha2-a2 alpha1-a1]*inv(T) K = -217.8235 -60.6965 -2.4465 -73.3931 8. Gust Load Pesawat yg sedang terbang di udara seperti kendaraan darat yg berjalan di atas permukaan tanah. Jika kendaraan darat dimodelkan seperti ini:

y

c k

m

u

Jika uyz −=Maka gaya-gaya yang terjadi pada massa yang bergerak adalah: Gaya inersial: "myGaya peredaman: ' czDan gaya pegas: mzKetiga gaya tersebut jika dijumlahkan membentuk keseimbangan gaya arah vertikal sebagai berikut: 0kz'cz"my =++Atau ku'cuky'cy"my +=++Dari sistem persamaan di ats diperoleh TF sebagai berikut:

mks

mcs

mks

mc

TF2 ++

+=

Maka dapat disimpulkan sistem tersebut adalah sistem order kedua. Jika dikaitkan dengan kenyamanan penumpang maka dalam bab sebelumnya telah dijelaskan parameter sistem yg dapat membuat penumpang merasa nyaman adalah zeta=0,7 dan omegan=3 [rad/det] Pesawat udara juga melewati jalan udara yang kadang2 tidak halus. Model turbulensi udara dinyatakan oleh von Karman dan Dryden.

Page 33: Kendali Terbang

9. Teori Linier Kuadratik Diberikan sistem kendali sebagai berikut:

BuAxx +=& Dengan input optimal sebagai berikut: Kxu −=Diberikan indek kinerja sebagai berikut: ( )dtRuuQxxJ 0

TT∫∞ +=

Dimana Q dan r adalah matriks bobot Dengan menerapkan teori kendali optimal diperoleh harga K sebagai berikut: PBRK T1−= Dimana P adalah solusi persamaan Riccati 0QPBPBRPAPA T1T =+−+ −

9.1. Tracking System Salah satu penerapan teori linier kuadratik adalah pada sistem kendali tracking system. Sistem ini dipakai pada pengendalian peluru kendali untuk mengejar target posisi.

Selain itu juga diaplikasikan pada Automatic landing system, automatic take-off system, dll yaitu pu dipaksa mengikuti track tertentu. Sistem ini juga diterapkan di UAV atau psw tanpa awak

Page 34: Kendali Terbang

Gambar di atas adalah Predator UAV yang dilengkapi dengan rudal Hellfire dan bom. Sistem kendali dilakukan di stasiun di bumi seperti ini

Misalnya Cxy

BuAxx=

+=&

Dan

Exr

yrz p

−=

−=&

Kemungkinan E adalah matriks C Dimana yp=Ex adalah px1 vektor output yang dikehendaki mengikuti track px1 vektor input r(t) secara asimtotik. Maka sistem menjadi

[ ] ⎥

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

zx

0Cy

r10

u0B

zx

0E0A

zx&

&

Sehingga

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

zx

kku 21

Page 35: Kendali Terbang

9.2. Model Following Biasa disebut sistem kendali acuan model dimana dengan menerapkan sistem kendali ini plant akan dipaksa mengikuti dinamika pesawat model. Sistem kendali ini biasa diaplikasikan pada in flight simulator

total in flight simulator (TIFS)

NC-131 Total In-Flight Simulator (TIFS) Aircraft milik angkatan Udara USA dilengkapi dengan bidang kendali tegak menyerupai rudder di wing yg berguna untuk memaksa pesawat plant untuk menirukan gerakan model pada modus lateral-direksional sebab dengan bidang kendali konvensional sangat sulit mendapatkan respon sesuai dgn yang diinginkan.

Gambar kokpit untuk siswa penerbang

Misalkan Cxy

BuAxx=

+=&

Dimana

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

00

BB

I00BA000A

A

p

mm

p

( ) ( )21T

21 CCQCCQ̂ −−=

[ ][ ]0C0C

00CC

m2

p1

=

=

Referensi:

1. Dr. Harijono A tjokronegoro, Catatan Kuliah Teori Kontrol, FT- ITB 2. Dr. Zainal Abidin, Catatan Kuliah Mekanika Terbang, PN-ITB

Page 36: Kendali Terbang

3. Dr. Zainal Abidin, Catatan Kuliah Kendali Terbang, PN-ITB 4. Moh. Ardi Cahyono, Perancangan Sistem Kendali Adaptif model following pada In

Flight Simulator N250PA1 (Tesis S2), PN-ITB, 2001 5. Jan Roskam, Airplane Flight dynamic and Automatic Flight control, university of

Kingdom 6. Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Prentice Hall 7. Katsuhiko Ogata, Teknik Kontrol Otomatik, Penerbit Erlangga 8. Brian DO Anderson and John B moore, Optimal Control (Linier Quadratic

Methods, Prentice Hall 9. Nelsen, AFCS 10. Donald McLean, AFCS 11. Howard Kaufman, Digital Adaptive Flight Controller development, NASA Report

CR-2466 12. Austin H Church, Mechanical Vibration, NY University, John Wiley & Sons.