KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN · mengukir sebuah bukit batu dan di depannya terdapat patung...

Hak CiptaDilindungi Undang-undang

SOLUSI SOAL

OLIMPIADE SAINS NASIONAL

TAHUN 2016

ASTRONOMI

RONDE TEORI

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANDIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

TAHUN 2016

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS

Soal Esai

1. Komponen suatu sistem bintang ganda mempunyai massa yang sama, yaitu 1,25Md. Jika periode orbitsistem adalah 7,5 jam dan orbit dianggap lingkaran dengan inklinasi sebesar 65˝ terhadap bidang langit,berapakah kecepatan radial masing-masing bintang (dalam satuan m/s)?

Jawab:

Gunakan hubungan Hukum III Kepler:

a3

P 2“

GM

4π2

a3 “GMP 2

4π2

dan kecepatan radial untuk orbit lingkaran (Vr):

Vr “2πa sin i

P

sehingga

a “PVr

2π sin i

Diperoleh:

ˆ

PVr2π sin i

˙3

“P 2GM

4π2

P 3V 3r

8π3 sin3 i“

P 2GM

4π2

V 3r “

2πGM sin3 i

P

Vr “3

c

2πGM

Psin i

“3

d

2ˆ π ˆ 6,673ˆ 10´11 ˆ 4,97ˆ 1030

2,7ˆ 104sin 65˝

“3a

77,14ˆ 1015 ˆ 0,9 “ 3,834ˆ 105 m/s

dengan massa total M dan periode orbit P masing-masing

M “ M1 `M2 “ 2ˆ 1,25Md “ 2,5Md “ 2,5ˆ 1,989ˆ 1030 kg “ 4,97ˆ 1030 kg

P “ 7,5 jam “ 7,5 jamˆ p3600 s{jamq “ 2,7ˆ 104 s

Kecepatan total orbit

Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Halaman 1 dari 13

V “ V1 ` V2

Dari hubungan

V1 M1 “ V2 M2

dengan M1 “M2, maka

V1 “ V2M2

M1“ V2

Dengan demikian,

V “ V1 ` V2 “ 2V1 “ 2V2

atau

V1 “ V2 “1

2V “ 1,917ˆ 105 m{s

2. Perhatikan skema interferometer LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) berikut.LIGO menggunakan Laser 700 nm dan memiliki panjang lengan awal masing-masing 4 km. Pada awal-nya, berkas laser dari masing-masing lengan yang bertemu memiliki fase yang sama. Jika terdapat ge-lombang gravitasi, maka lengan interferometer dapat memendek atau memanjang sehingga menyebabkanperubahan pola interferensi di titik temu.

(a) Jika terdapat gelombang gravitasi yang menyebabkan salah satu lengan interferometer memendeksebesar ∆l sedangkan lengan lainnya memanjang sebesar ∆l, maka akan terjadi perubahan polainterferensi dari terang menjadi gelap. Berapakah nilai ∆l (dalam satuan m)?

(b) Hitunglah perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal. Perbandi-ngan ini disebut sebagai regangan atau strain yang sebanding dengan amplitudo gelombang gravitasi.

(c) Jika gelombang gravitasi yang diakibatkan oleh interaksi lubang hitam ganda menyebabkan padaakhirnya kedua lubang hitam bersatu (merge) menjadi lubang hitam simetris, berapakah amplitudogelombang gravitasi yang terdeteksi?


Jawab:

Diketahui nilai λ “ 700 nm dan l “ 4 km.

(a) Karena prinsip pemantulan, jarak yang ditempuh pada masing-masing lengan adalah

2pl `∆lq

dan

2pl ´∆lq

Perbedaan lintasan antara lengan LIGO (beda lintasan optik) adalah

2pl `∆lq ´ 2pl ´∆lq

Pada interferometer dapat diperoleh perubahan pola gelap dari terang sebagai akibat dari terjadinyakondisi tidak sefase. Perbedaan lintasan adalah sebesar

nλ

2

Misalkan digunakan orde n “ 1.

2pl `∆lq ´ 2pl ´∆lq “λ

2

4∆l “λ

2

∆l “700ˆ 10´9

4ˆ 2“ 8,75ˆ 10´8 m

(b) Perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal (regangan/strain):

∆l

l“ 2,19ˆ 10´11

(c) 0. Benda simetris tunggal tidak mengemisikan gelombang gravitasi.

3. Gerhana Matahari Cincin akan terjadi pada tanggal 1 September 2016. Andaikan titik pusat keduapiringan Bulan dan Matahari berimpit, dan piringan Bulan di saat gerhana tersebut menutupi 98% pi-ringan Matahari, berapakah jarak Bumi–Bulan pada saat itu (dinyatakan dalam satuan km)? Diketahuieksentrisitas orbit Bumi e “ 0,0167, dan Bumi berada di perihelion pada tanggal 3 Januari 2016.

Jawab:

Perbandingan diameter sudut dapat dihitung sebagai berikut:

Luas piringan Bulan “ 0,98 Luas piringan Matahari

πR2$ “ 0,98 πR2

d

Hubungan jejari dengan diameter sudut (α):

R „ α

α$ “a

0,98 αdR$d$

“a

0,98Rddd

d$ “1

?0,98

R$ddRd


Perhitungan posisi untuk 1 September adalah sebagai berikut:

• jumlah hari sejak dari perihelion 2016 hingga 1 September 2016:

Nharip3 Jan s/d 1 Sepq “ 242 hari

• Konversi sudut (terkecil) posisi Bulan (θ) tanggal 1 September 2016:

365,25 hari “ 360˝

1 hari “360

365,25“ 0˝,9856262834

242 hari “ 238˝,5215605749

θ “ 360´ 238,5215605749 “ 121˝,4784394251

Perhatikan pada geometri berikut ini, sudut θ diukur dengan anggapan gerak orbital Bumi bersifatgerak melingkar dengan kecepatan harian yang tetap. Karena itu, sudut θ diukur dari pusat lingkaran:

Pada kenyataannya, orbit Bumi adalah elips dan posisi Bumi saat itu pada jarak dMatahari “ dddari Matahari dengan sudut 180˝ ´ ν

dd ă X

• Mencari jarak X dengan rumus cosinus:

X2 “ a2 ` paeq2 ´ 2a ae cos θ

a “ 1,49597870ˆ 1011 m

e “ 0,0167

θ “ 121˝,4784394251

X “ 150.917.459.047 m


• Menggunakan rumus sinus untuk mencari ν:

X

sin θ“

a

sinp180˝ ´ νq

sinp180˝ ´ νq “a

Xsin θ

180˝ ´ ν “ arcsin´ a

Xsin θ

¯

“ 57˝,7126409925

ν “ 180˝ ´ 57˝,7126409925 “ 122˝,2873590075

• Menentukan jarak Matahari (dd):

dd “ap1´ e2q

p1` e cos νq“ 150.902.282.980 m

• Masukkan hasil tersebut ke persamaan pada perhitungan perbandingan sudut:

d$ “1

?0,98

R$ddRd

“1

?0,98

1.738.000

6,96ˆ 108ˆ 150.902.282.980 “ 380.647.783 m “ 380.647,783 km

Sehingga, jarak Bumi–Bulan pada saat GMC 1 September 2016 adalah 380.648 km

4. Pada suatu bintang ganda gerhana, bintang pertama memiliki radius R1 dan temperatur efektif T1,sedangkan bintang kedua dengan radius R2 “ 0,75R1 dan temperatur efektif T2 “ 2,5T1. Pada saat bin-tang yang berukuran lebih besar menggerhanai bintang yang lebih kecil, berapakah perubahan magnitudobolometrik sistem bintang ganda ini?

Jawab:

Luminositas total sistem bintang ganda:

L “ L1 ` L2 “ 4πR21σT

41 ` 4πR2

2σT42 “ 4πσ

`

R21T

41 `R

22T

42

˘

Ketika bintang yang lebih besar (Bintang 1) menggerhanai bintang yang lebih kecil (Bintang 2), makaluminositas sistem didominasi oleh luminositas Bintang 1:

Lgerhana “ 4πR21σT

41

Dengan demikian, perubahan magnitudo bolometrik, ∆m:

∆m “ ´2,5 log

˜

L

Lgerhana

¸

“ ´2,5 log

˜

4πσ`

R21T

41 `R

22T

42

˘

4πR21σT

41

¸

“ ´2,5 log

ˆ

1`R2

2T42

R21T

41

˙

“ ´2,5 log`

1` p0,75q2p2,5q4˘

“ ´2,5 logp22,97q “ ´3,4

5. Kuil Abu Simbel atau disebut juga Monumen Nubia adalah sebuah kuil di tepi sungai Nil di selatanMesir yang dibangun oleh Firaun Ramses II pada sekitar abad 13 SM. Kuil tersebut dibangun sebagaiperingatan bagi Firaun Ramses II dan istrinya Nefertari setelah memenangkan sebuah perang besar yangdisebut Perang Kadesh (perang antara kekaisaran Mesir dan kekaisaran Hittite). Kuil ini dibangun denganmengukir sebuah bukit batu dan di depannya terdapat patung raksasa Ramses II.


Di ujung paling dalam kuil, terdapat sebuah altar dengan patung dewa Ra, Ramses II, dewa Amon, dandewa Ptah (dewa kematian). Setiap dua kali setahun, cahaya Matahari yang baru terbit di horison akanmasuk ke dalam kuil hingga menyinari altar tersebut. Kedua waktu tersebut diperkirakan sebagai saathari lahir Firaun Ramses II dan hari ketika Ramses II diangkat menjadi Firaun. Jika diketahui koordinatkuil tersebut adalah φ “ 22˝201132 Lintang Utara, λ “ 31˝371322 Bujur Timur, dan azimuth arah pintumasuk kuil adalah Az “ 100˝,55, tentukan pada tanggal dan bulan apakah (dua waktu dalam satu tahun)cahaya Matahari terbit akan mengarah tepat ke patung di dalam altar. Abaikan efek refraksi dan efekketinggian.

Jawab:

Informasi yang diberikan adalah:

• koordinat kuil Abu Simbel:φ “ 22˝ 201 132 “ 22˝,33 Lintang Utara, danλ “ 31˝ 371 322 “ 31˝,62 Bujur Timur

• azimuth arah pintu masuk kuil adalah Az “ 100˝,55

• tinggi Matahari dapat dianggap h “ 0˝ (karena diamati pada saat Matahari terbit).

Untuk menentukan kapan saat Matahari tepat berada di arah pintu masuk kuil, maka kita perlu meng-etahui deklinasi Matahari dengan informasi yang diberikan. Dengan menggunakan segitiga bola di atas,maka deklinasi Matahari dapat dihitung dengan menggunakan rumus kosinus

cosp90˝ ´ δq “ cosp90˝ ´ φq cosp90˝ ´ hq ` sinp90˝ ´ φq sinp90˝ ´ hq cosp360˝ ´Aq

sin δ “ sinφ sinh` cosφ cosh cosp360˝ ´Aq

“ sinp22˝,33q sinp0q ` cosp22˝,33q cosp0q cosp360˝ ´ 100˝,55q

“ 0,9252ˆ 1ˆ p´0,1831q “ ´0,1694

δ “ arcsinp´0,1694q

“ ´9˝,753

« ´10˝

Deklinasi Matahari´10˝ terjadi pada saat Matahari terbit di tanggal 20 p˘ 5 hariq Februari dan 20 p˘ 5 hariqOktober.


6. Perhatikan spektrum dan skema berikut:

Diketahui spektrum Hidrogen 21 cm yang diamati pada koordinat galaktik p`, bq “ p30˝, 0˝q memilikipuncak-puncak A, B, C, dan D yang disebabkan oleh awan-awan antarbintang.

(a) Asumsikan awan antar bintang dan Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan orbit lingkaran danjarak Matahari dari pusat Galaksi sebesar Ro “ 8 kpc serta kecepatan orbit Matahari Vd “ 220 km/s.Buktikanlah bahwa kecepatan radial awan antarbintang (Vr) yang teramati mengikuti persamaanberikut:


Vr “ Ro pω ´ ωdq sin `,

dengan ω dan ωd masing-masing adalah kecepatan sudut awan antar bintang dan kecepatan sudutMatahari.

(b) Berdasarkan kecepatan radial maksimum pada spektrum, berapakah jarak minimum dari pusat Ga-laksi (Galactocentric) dan kecepatan orbitnya?

(c) Perhatikan skema berikut. Gambarlah skema tersebut di lembar jawaban, lalu posisikanlah awanantarbintang A, B, C, dan D dengan menuliskan alfabet nama awan pada kotak yang disediakan.

Jawab:

(a) Penurunan rumus kecepatan radial:

Dalam hal ini, ada dua faktor kecepatan yang berperan yaitu kecepatan Matahari dan kecepatanawan pada arah garis pandang. Perhatikan gambar:

VR “ V cosα´ Vd sin `

“ ωR cosα´ ωdR0 sin `

“ ωRCT

R´ ωdR0 sin `

“ ωR0 sin `´ ωdR0 sin `

“ pω ´ ωdqR0 sin `


(b) Kecepatan radial awan maksimal pada gambar sekitar 65 km/s. Pada jarak dari galaksi minimumsin ` “ R{R0 dan cosα “ 1

R “ R0 sin ` “ 8 sin 30˝ “ 4 kpc

V “ VR ` Vd sin ` “ 65` 220 sin 30˝ “ 175 km/s

(c) Urutan dari terdekat hingga terjauh dari Matahari adalah D-C-B-A atau B-C-D-A.

7. Jika hanya meninjau energi radiasi, gradien temperatur pada jarak 0 ă r ď R dari pusat bintang dapatdidekati dengan hubungan

´κ ρr Lr

a c T 3r r

2

dan gradien tekanan pada jarak itu didekati dengan hubungan

´G Mr ρr

r2

dengan ρr, Lr, Tr, dan κ masing-masing adalah massa jenis, luminositas, temperatur, dan kekedapan(opasitas) pada jarak r, sedangkan Mr adalah massa hingga jarak r. Jejari bintang adalah R.

Karena perbedaan yang sangat besar dengan nilai di pusat bintang, temperatur dan tekanan di permukaanbintang (r “ R) dianggap nol, sedangkan temperatur dan tekanan di pusat akan dihitung secara perkiraan.Gunakanlah tetapan G, a, dan c di dalam tabel. Jika κ “ 1 dan ρr selalu konstan tak nol, maka

(a) rumuskanlah temperatur pusat dan tekanan pusat bintang sebagai fungsi dari L, M , dan R,

(b) perkirakanlah nilai temperatur pusat Matahari (dalam satuan K) dan tekanan pusat Matahari (dalamsatuan N/m2).

(c) Anggap tekanan Pr di dalam bintang dapat didekati dengan

Pr “Rµρr Tr

dengan R konstanta gas dan µ berat molekul rata-rata (tak bersatuan). Dengan mengambil µ “0,5 , berapakah massa jenis di pusat Matahari (ρc) dinyatakan dalam satuan kg/m3?

(d) Dengan menggunakan persamaan dari soal (7c), buktikanlah bahwa hubungan luminositas denganmassa memenuhi persamaan:

L “ Z M3,

dengan Z adalah konstanta. Dibandingkan dengan Matahari, berapa kalikah luminositas bintangderet utama bermassa 3Md?

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, berapa lama waktu keruntuhan Matahari?

Jawab:

(a) Misalkan M,R,L, dan Tc masing-masing adalah massa, jejari, luminositas, dan temperatur pusatbintang, maka gradien temperatur di permukaan bintang didekati dengan gradien linearnya adalah:


0´ TcR´ 0

« ´3M

4acπR3

L

T 3c R

2

´TcR

« ´3LM

4acπR5T 3c

T 4c «

1

R4

3LM

4acπ

Tc «1

R4

c

3LM

4acπ

Gradien tekanan dapat didekati pula dengan gradien linearnya:

0´ Pc

R´ 0« ´

GM

R2

3M

4πR3

Pc «3GM2

4πR4

(b)

Tc «1

6,96 ˆ 1084

d

3 ˆ 3,9 ˆ 1026 ˆ 1,989 ˆ 1030

4 ˆ 7,5659 ˆ 10´16 ˆ 2,99792458 ˆ 108 ˆ π

« 7.680.211 K « 7,7 ˆ 106 K

Pc «3GM2

4πR4

« 268.574.714.879.929 N/m2« 2,7 ˆ 1014 N/m2

(c) Massa jenis di pusat Matahari (ρc):

ρc “Pc

Tc

µ

R

“2,7 ˆ 1014

7,7 ˆ 1060,5

8314,5

« 2.103 kg/m3

(d) Tinjau tekanan di pusat:

Pc “Rµρc Tc «

Rµ

3MTc4πR3

Tetapi juga

Pc «3GM2

4πR4

Sehingga

Rµ

3MTc4πR3

«3GM2

4πR4

atau

Tc «µ

RGM

R

Tetapi juga


Tc «1

R4

c

3LM

4acπ

µ

RGM

R«

1

R4

c

3LM

4acπ

µ4

R4G4 M3 «

3L

4acπ

L «4acπµ4G4

3R4M3

L « konstanta ˆ M3

Dengan Z sebagai konstanta, relasi luminositas terhadap massa bintang dapat didekati dengan

L “ Z M3,

Sehingga untuk bintang bermassa 3Md, maka luminositas bintang tersebut adalah

L “

ˆ

3Md

Md

˙3

Ld “ 27 Ld

(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, maka gravitasi menyebabkan Matahari me-ngalami peristiwa jatuh bebas (free fall) dengan kecepatan awal v0 “ 0. Gerak jatuh bebas akanmenempuh jarak jejari bintang, R, dalam waktu tff detik.

R “1

2at2ff

Percepatan a adalah sebesar percepatan gravitasi di permukaan Matahari yaitu

a “GM

R2

Sehingga

tff “

c

2R3

GM« 2.254 detik « 38 menit

8. Pada saat Gerhana Matahari Total, kita dapat mengamati korona Matahari yang memiliki kerapatanrendah (n “ 108 cm´3) dan temperatur tinggi (2ˆ106 K). Korona ini tersusun dari atom-atom Hidrogenyang terionisasi dan di bawah pengaruh medan magnet.

(a) Agar partikel-partikel atom Hidrogen dapat lepas dari Matahari, berapakah laju minimum yangdibutuhkan (dalam satuan m/s)?

(b) Hitunglah laju termal atom Hidrogen dan Hidrogen terionisasi (yang terdiri dari proton dan elek-tron) di korona (masing-masing dalam satuan m/s). Apakah orde laju tersebut sesuai dengan yangdibutuhkan untuk lepas dari Matahari? Apakah semua partikel dapat lepas?

(c) Jika partikel yang lepas menjadi angin Matahari, tentukan berapa massa Matahari yang hilang tiaptahun. Anggap angin Matahari mengembang dengan bentuk simetri bola dan partikel yang lepashanya elektron.

(d) Selain terdiri dari partikel-partikel, korona juga terdiri dari medan magnet yang bergerak bebas. Halini dikarenakan tekanan medan magnetik PB lebih besar dari tekanan gas P di korona. Diketahuitekanan medan magnetik mengikuti persamaan berikut:

PB “B2

2 µ0

dengan µ0 adalah permeabilitas di ruang hampa. Jika kuat medan magnet di korona, yaitu B “ 10Gauss, hitunglah tekanan magnetik di korona.


(e) Hitunglah tekanan gas di korona. Bandingkanlah tekanan magnetik pada soal (8d) dengan tekanangas di korona.

Jawab:

(a) Laju untuk lepas:

Vlepas “

d

2GMd

Rd“ 6,18ˆ 105 m/s

(b) Laju termal:

1

2mv2termal “

3

2kT

vtermal “

c

3kT

m

Untuk Hidrogen:

vtermal,H “

c

3kT

mH“ 2,23ˆ 105 m/s

Hidrogen terionisasi akan menjadi proton maupun elektron:

vtermal,e “

c

3kT

me“ 9,54ˆ 106 m/s

vtermal,p “

d

3kT

mp“ 2,23ˆ 105 m/s

Ya, benar. Orde kecepatan partikel di korona (sekitar ratusan km/s) sesuai dengan orde kecepatanatau laju untuk lepas dari Matahari. Namun demikian, tidak semua partikel dapat lepas. Elektronakan lebih mudah lepas dibandingkan dengan proton.

(c) Diketahui n “ 108 cm´3 “ 1014 m´3. Massa yang hilang adalah

nˆme ˆ vtermal,e ˆ 4πR2d ˆ t

Massa yang hilang (dalam satuan Matahari per tahun) adalah

1014 ˆme ˆ vtermal,e ˆ 4πp6,96ˆ 108q2 ˆ 31536000 detik

1,988ˆ 1030 kg“ 8,4ˆ 10´14 Md{tahun

(d) Tekanan magnetik

Pmag “B2

2µ0

1 Gauss “ 0,0001 Tesla sehingga 10 G “ 0,001 T

Pmag “0,0012

2p4π10´7q“ 0,4 N/m2


(e) Tekanan gas di korona

Pg “ nkT “ 1014 ˆ 1,38ˆ 10´23 ˆ 2ˆ 106 “ 0,003 N/m2

Pmag

Pg“

0,4

0,003“ 133,33

Tekanan magnetik 133 kali lebih kuat dari pada tekanan gas, sehingga garis medan magnet bergerakbebas.


KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN · mengukir sebuah bukit batu dan di depannya terdapat patung...

Documents

Transcript of KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN · mengukir sebuah bukit batu dan di depannya terdapat patung...