TUGAS KOMPUTASI

SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

KELOMPOK II

TONI PAHRI SIRAIT (100405014)

VALENTINOH CUACA (100405015)

AGUS MANGIRING (100405029)

YUSTINA BR SILITONGA (100405059)

SARI LIZA AZURA NST (100405070)

WESTRYAN TINDAON (100405073)

SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

Dalam menentukan akar persamaan non linear dapat dilkakukan dengan beberapa

metode, yaitu:

1. Metode Substitusi Berurut

2. Metode Newton-Raphson

3. Metode Secant

Metode Substitusi berurut

Syarat= F(x)= 0

X=g(x)

Contoh=

X12+X1 X2=10

X2 + 3X1 X22 = 57

Nilai tebakan awal X1=1,5 dan X2=3,5

Hitung nilai X1 dan X2 yang sesungguhnya!

Jawab:

G(X1)= X1= 10 − 𝑋1𝑋2

G(X2) = X2 = 57− 𝑋2

3𝑋1

Iterasi 1

X1= 10 − 1,5. 3,5 = 2,17945

X2= 57−3,5

3.2,17945 = 2,86051

Iterasi 2

X1 = 10 − 2,17945.2,86051 = 1,94053

X2 = 57−2,86051

3.1,9053 = 3,04955

Iterasi 3

X1 = 10 − 1,94053.3,04955 = 2,02046

X2 = 57−3,04955

3.2,02046 = 2,98430

Iterasi 4

X1 = 10 − 2,02046.2,98430 = 1,99303

X2 = 57−2,98430

3.1,99303 = 3,00570

Iterasi 5

X1 = 10 − 1,99303.3,00570 = 2,00238

X2 = 57−1,99303.3,00570

3.3,00570 = 2,99805

Iterasi 6

X1 = 10 − 2,00238.2,99805 = 1,99918

X2 = 57−2,99805

3.2.0238 = 3,00067

Iterasi 7

X1 = 10 − 1,99918.3.00067 = 2,00028

X2 = 57−3,0067

3.1,99918 = 2,99977

Iterasi 8

X1 = 10 − 2,00028.2,99977 = 1,99990

X2 = 57−2,99977

3. 1,9990 = 3,0008

Iterasi 9

X1 = 10 − 1,99990.3,0008 = 2,0003

X2 = 57−3,0008

3. 1,99990 = 2,99997

Iterasi 10

X1 = 10 − 2,003.2.99997 = 1.99999

X2 = 57−2,99997

3. 2,0003 = 3,00001

Iterasi 11

X1 = 10 − 1,99999.3,00001 = 2,00000

X2 = 57−3,00001

3. 1,99999 = 3,00000

Jadi, nilai X1 dan X2 yang sesungguhnya X1=2 dan X2=3

METODE NEWTON-RAPHSON

Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode

Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson,

merupakan metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f

diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’. Metode Newton sering konvergen

dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang

diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini

dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan

mengatasi kegagalan konvergensi.

Diketahui fungsi ƒ(x) dan turunannya ƒ '(x), kita memulai dengan tebakan

pertama, x0. Hampiran yang lebih baik X1 adalah

Gagasan metode ini adalah sebagai berikut:

kita memulai dengan tebakan awal yang cukup dekat terhadap akar yang

sebenarnya, kemudian fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya (yang

dapat dihitung dengan alat-alat kalkulus, dan kita dapat menghitung perpotongan

garis ini dengan sumbu-x (yang dapat dilakukan dengan mudah menggunakan

aljabar dasar). Perpotongan dengan sumbu-x ini biasanya merupakan hampiran

yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal dan metode ini dapat

diiterasi.

Misalkan ƒ : [a, b] → R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi pada

selang [a, b] dengan nilai merupakan bilangan riil R. Rumus untuk menghampiri

akar dapat dengan mudah diturunkan. Misalkan kita memiliki hampiran mutakhir

Xn. Maka kita dapat menurunkan hampiran yang lebih baik, Xn+1 dengan merujuk

pada diagram di kanan. Kita tahu dari definisi turunan pada suatu titik bahwa itu

adalah kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu:

Di sini, f ' melambangkan turunan fungsi f. Maka dengan aljabar sederhana kita

mendapatkan

Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang Xn. Metode ini biasanya akan

mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar

tersebut, dan bahwa ƒ'(Xn) ≠ 0.

Algoritma Metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi F(x) dan F’(x)

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan nilai pendekatan awal Xn

4. Hitung F(Xn) dan F1(Xn)

5. Untuk iterasi i = 1 s/d n atau |f(Xi)| > e

Hitung F(Xi +1)dan F’(Xi +1)

6. Akar persamaan adalah nilai Xi +1 yang terakhir diperoleh.

Contoh Penyelesaian Metode Newton Raphson

Selesaikan persamaan x - e-x

= 0 dengan titik pendekatan awal X0 =0

f(x) = x - e-x →

f’(x)= 1 + e-x

f (X0) = 0 -e-0

= -1

f’(X0) = 1 + e-0

= 2

X1 = X0 – 𝑓(𝑋𝑜)

𝑓1(𝑋𝑜) = 0 -

−1

2 = 0,5

f(X1) = -0,106631 dan f’(X1) = 1,60653

X2 = X1 – 𝑓(𝑋1)

𝑓1(𝑋1) = 0,5 -

−0,106531

1,60653 = 0,566311

f(X2) = -0,00130451 dan f’(X2) = 1,56762

X3 = X2 – 𝑓(𝑋2)

𝑓1(𝑋2) = 0,5 -

−0,00130451

1,56762 = 0,567143

f(X3) = -1,96.10-7, x = 0,567143.

Permasalahan Metode Newton Raphson

1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada

titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F’(x) = 0

sehingga nilai penyebut dari 𝐹(𝑥)

𝐹′ (𝑥)= nol, secara grafis dapat dilihat sebagai

berikut:

Bila Titik Pendekatan Ada Pada Titik Puncak Maka Titik Selanjutnya Ada

Pada Titik Tak Berhingga

2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan

penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di

antara dua titik stasioner

Penyelesaian Permasalahan Metode Newton Raphson

Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini,

maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan :

1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan

tersebut harus di geser sedikit, Xi = Xi ± σ dimana σ adalah konstanta

yang ditentukan dengan demikian F’(Xi ) ≠ 0 dan metode newton raphson

tetap dapat berjalan.

2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya

pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel,

sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan : x . e-x

+ cos(2x) = 0

Jawab :

Bila menggunakan titik pendekatan awal X0 = 0,176281

f(x) = x . e-x

+ cos(2x)

f’(x) = (1-x) e–x

– 2 sin (2x)

Sehingga f(Xo) = 1,086282 dan F’(Xo) = -0,000015

Grafik y = x.e-x

+cos(2x)

Iterasi dengan menggunakan newton raphson:

X yang diperoleh adalah 71365,2

Metode Newton Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik

awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik

tersebut. Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya

memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

Metode Newton-Raphson adalah salah satu metode terbuka untuk menentukan

solusi akar dari persamaan non-linier dengan prinsip utama sebagai berikut :

Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis

singgung (gradien) pada suatu titik nilai awal

Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung

(gradien) kurva dengan sumbu x

Langkah penyelesaian persamaan non linier dengan metode Newton-Raphson:

1. Tentukan nilai awal (x0) bila tidak diketahui pada soal

2. Hitung nilai f(x0) dengan memasukkan nilai x0 (tebakan awal), kemudian

cek konvergensi f(x0)

3. Turunkan fungsi f(x) menjadi f’(x)

4. kemudian hitung f’(x0) dengan memasukkan nilai x0

5. Lakukan iterasi

6. Hitung nilai taksiran selanjutnya

7. Cari sampai nilai f(xn) = 0

Contoh :

Hitung akar f(x) =ex – 5x

2

x0 = 0.5

Penyelesaian

Dan diiterasi dengan persamaan :

Dimana digunakan tebakan awal x=0,5 (diketahui dari soal)

Hasil setiap iterasi terdapat pada tabel dibawah ini:

i xi F(xi)

0 0,5 0,3987

1 0,619 -0,0587

2 0,6054 -0,00056

3 0,605267 -0,0000012185

4 0,605267 -0,0000012185

Karena nilai x sudah konvergen dan nilai f(x) sudah sangat kecil di bawah 0, maka

iterasi berakhir dan hampiran akar penyelesaiannya adalah x = 0,605267

METODE SECANT

Metoda secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk mencari nilai

akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan

bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan X0 dan X1

merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai X yang

sebenarnya :

Misalkan dengan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat mengambil

persamaan dari sifat segitiga sebangun sebagai berikut :

dimana : BD = f(x1)

BA = x1-x0

CD = f(x1)

CE = x1-x2

Dan jika dirubah, rumusnya akan menjadi :

Dari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah Xn+1,( Xn+1) ini

merupakan nilai X yang dicari sebagai pendekatan terhadap nilai X yang

sebenarnya seperti untuk nilai X2 kemudian X3 pada gambar dibawah, semakin

lama nilai Xn+1 akan mendekati titik X yang sebenarnya.

Adapun langkah-langkah perhitungan untuk menyelesaikan suatu sistem

persamaan non linear dengan metode secant adalah:

1. Tentukan tebakan awal: xo dan xi

2. Hitung f(xo) dan f(xi)

3. Hitung x2 = x1 – 𝑓 𝑥1 (𝑥1−𝑥0)

𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)

Hitung f(x2)

4. Hitung kesalahan : 2 (𝑥2−𝑥1)

𝑥2+𝑥1

5. Bila kesalahan > ε (kesalahan yang ditentukan) embali ke langkah 3

x3= x2 – 𝑓 𝑥2 (𝑥2−𝑥1)

𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)

Lakukan seperti langkah (4) dan seterusnya sampai didapat kesalahan yang

diinginkan atau ditetapkan.

Contoh:

Selesaikan persamaan f(x) = x3 + x

2 -3x - 3 = 0 dengan metoda Secant.

Penyelesaian :

Iterasi pertama, diambil dua nilai awal x1 = 1 dan x2 = 2 maka :

f(x=1) = -4

f(x=2) = 3

dengan persamaan

x3 = x2 - f x x x

f x f x

( )( )

( ) ( )

2 2 1

2 1

= 2 -

3 2 1

3 4

( )

( )

= 1,57142

iterasi ke-2

x2 = 2 ------ f(x2) = 3

x3 = 1,57142 -------- f(x3) = -1,36449

x4 = 1,57142 -

1 36449 157142 2

1 36449 3

, ( , )

, = 1,70540

Hasil hitungan dengan Metode Secant

iterasi x1 x2 f(x1) f(x2) x3 f(x3)

1 1,0 2,0 -4,0 3,0 1,57142 -1,36449

2 2,0 1,57142 3,0 -1,36449 1,70540 -0,24784

3 1,57142 1,70540 -1,36449 -0,24784 1,73513 0,02920

4 1,70540 1,73513 -0,24784 0,02920 1,73199 -0,000575

5 1,73513 1,73199 0,02920 -0,000575 1,73205 -0,000007

Maka hasilnya x= 1,732

MATLAB memiliki dua routin yang dapat menyelesaikan fungsi pengenolan untuk satu variable.

fzero digunakan untuk persamaan nonlinear umum, sementara root dapat digunakan jika

persamaan nonlinear adalah polinomial.

1. FZERO

Routine pertama yang kita gunakan adalah fzero. fzero menggunakan kombinasi metode

numeris interval bisection dan reguli falsi. Syntax yang digunakan untuk menuliskan

fzero adalah

z = fzero (‘function’,initial guess)

Untuk menggunakan fzero Anda harus terlebih dahulu menulis m-file MATLAB untuk

menghasilkan fungsi yang sedang dievaluasi. Angap suatu fungsi :

f(x) = x2 - 2x – 3 = 0.

m-file MATLAB berikut untuk mengevaluasi fungsi ini (m-file dinamankan fcnl.m):

Setelah menghasilkan m-file fncl. m, Anda harus menyediakan tebakan awal untuk

menyelesaikan routin fzero. Perintah berikut memberikan tebakan awal x = 0.

MATL.AB akan memberikan jawabannya:

Untuk tebakan awal x = 2, Anda memasukkan :

dan MATLAB kembalikan memberikan jawaban:

Kita temukan bahwa ada dua solusi untuk masalah yang sama (kita dapat menggunakan

rumus kuadratik untuk memperolehnya). Solusi yang diperoleh tergantung pada tebakan

awal.

2. ROOTS

Karena persamaan yang kami memecahkan adalah persamaan polinomial, kita juga dapat

menggunakan routine MATLAB roots untuk menemukan pengenolan suatu polynomial.

Misal fungsi polinomial :

Kita harus membuat vector koefisien polynomial dalam ordde yang berurutan

Kemudian kita dapat menuliskan perintah seperti berikut:

Maka hasil dari MATLAB:

Contoh 1 Mencari akar persamaan

Diketahui persamaan :

f(x) = x3 – 2x – 5,

akan dicari nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) sama dengan nol.

Penyelesaian:

tulis dalam m-file

function y = f(x)

y = x.^3-2*x-5;

Untuk mendapatkan nol mendekati 2, tuliskan : z = fzero(‘f’,2)

z =

2.0946

Contoh 2 Mencari temperatur untuk suatu harga Cp tertentu (diambil dari Computational

Methods for Process Simulation ”, Ramirez, Butterworths, 1989)

Diketahui sebuah persamaan kapasitas panas sbb. :

Akan ditentukan temperatur pada saat Cp = 1 kJ/kg.K. Untuk itu, ubahlah persamaan di

atas menjadi :

Penyelesaian :

Tahap 1 : membuat fungsi yang dapat mengevaluasi persamaan (ii)

Apabila fungsi ini diplot (fplot(‘fungsi’,[100 300]) akan diperoleh grafik sbb. :

Untuk mendapatkan harga penol dari fungsi tersebut digunakan fungsi fzero dengan tebakan

awal 100 :

Diperoleh T = 189.7597 K pada saat Cp = 1 kJ/kg.K.

PENYELESAIAN PEMICU

1. Dengan menggunakan substitusi berurut

𝑃𝑖𝑜(𝑇) pada 100

oC

1. N heksana = 246,2438 kPa = 2,40237 atm

2. N heptana = 106,1751 kPa = 1,047867 atm

3. N oktana = 46,9044 kPa = 0,46291 atm

4. N nonana = 21,0381 kPa = 0,20763 atm

Mencari L ,V , Xi , yi pada suhu 100 oC

Pertama dicari V dengan persamaan

𝑍𝑖 𝑃𝑖

𝑜 𝑇 𝐹

𝑉 𝑃𝑖𝑜 𝑇 − 𝑃𝑇 + 𝐹𝑃𝑇

4

𝑖=0

= 1

Dengan tebakan awal V=95 mol/jam

0,15.2,430337.100

95 2,430337 − 1 + 100.1≠ 1

Sampai V= 99,7694 mol/jam

Sehingga didapat L= 0,2306 dengan rumus:

L=F-V

Kedua mencari nilai Xi dan yi

Persamaannya adalah

Zi F = xi L + yi V

yi = xi

𝑃𝑖𝑜 (𝑇)

𝑃𝑇

xi = 𝑍𝑖𝐹

𝐿+𝑉 𝑃𝑖𝑜(𝑇)

sehingga diperoleh X1 = 0,061806

X2= 0,238605

X3=0,969516

X4= 0,716137

Dan diperoleh

y1 = 0,150204

y2= 0,250026

y3=0,448799

y4= 0,148691

𝑃𝑖𝑜(𝑇) pada 115

oC

1. N heksana = 355,6011 kPa = 3,50951 atm

2. N heptana = 160,9887 kPa = 1,588835 atm

3. N oktana = 74,7512 kPa = 0,737737 atm

4. N nonana = 35,2626 kPa = 0,348015 atm

Mencari L ,V , Xi , yi pada suhu 115 oC

Pertama dicari V dengan persamaan

𝑍𝑖 𝑃𝑖

𝑜 𝑇 𝐹

𝑉 𝑃𝑖𝑜 𝑇 − 𝑃𝑇 + 𝐹𝑃𝑇

4

𝑖=0

= 1

Dengan tebakan awal V=90 mol/jam

0,15.3,50951.100

90 3,50951 − 1 + 100.1≠ 1

Sampai V= 93,1574 mol/jam

Sehingga didapat L= 6,8426 dengan rumus:

L=F-V

Kedua mencari nilai Xi dan yi

Persamaannya adalah

Zi F = xi L + yi V

yi = xi

𝑃𝑖𝑜 (𝑇)

𝑃𝑇

xi = 𝑍𝑖𝐹

𝐿+𝑉 𝑃𝑖𝑜(𝑇)

sehingga diperoleh X1 = 0,04494

X2= 0,161442

X3=0,595488

X4= 0,382041

Dan diperoleh

y1 = 0,157717

y2= 0,256505

y3=0,439314

y4= 0,132956

2. Dengan Metode Newton-Raphson

3. Dengan Metode Secant