Analisa Vektor

Present by:1. Zulva Nurhayati

(120210102119)2. Rizky Maulidiyah

(120210102123)3. Iradatul Hasanah

(120210102125)4. Mia Eka Lestari

(120210102127)

Aljabar Vektor

Beberapa definisi penting dalam aljabar vektor yaitu:1. Dua vektor dan dikatakan sama, jika keduanya

memiliki besar dan arah yang sama.2. Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor ,

tetapi arahnya berlawanan dinyatakan dengan

Gambar 6.1 dua buah vektor sama besar, tapi arahnya berlawanan

3. Jumlah atau resultan vektor dan Adalah vektor yang

diperoleh dengan cara menempatkan titik pangkal vektor pada

titik ujung vektor . Penjumlahan vektor ini dapat di tulis

sebagai berikut :

4. Selisih vektor dan dinyatakan dengan , yang dapat

pula dipandang sebagai bentuk penjumlahan yaitu :

5. Perkalian vektor dengan skalar akan menghasilkan

vektor dengan panjang kali vektor dan arahnya

sama atau berlawanan dengan vektor bergantung

nilai (positif atau negatif).

Jika vektor-vektor , , dan dikalikan dengan besaran skalar dan , maka berlaku hukum-hukum aljabar vektor.

• Hukum komutatif

untuk

penjumlahan

• Hukum asosiatif untuk

penjumlahan• Hukum asosiatif untuk

perkalian

• Hukum distributif• Hukum distributif

Perkalian titikA.B =ABcosθ Jika =, dan ,Maka = . = =.

Perkalian SilangAxB=C=A.BsinθJika =, dan ,Maka,

Perkalian Vektor

Pernyataan di atas dapat juga ditulis dalam determinan

matriks yaitu :

Contoh soal : perkalian titik

1. Diketahui : = = 2 =

Ditanya : a. .

b. . Jawab :

1. a) . = (3i – 4j – k) (2i – j + 4k)

= 6 + 4 – 4 = 6

b) . = (3i – 4j – k) ( i – 3j – 5k)

= 3 + 12 + 5 = 20

2) Diketahui dua vektor : = 2i – 4j + 3k dan = 4i + 2j –

6k. Hitunglah x !

Pembahasan :

Ax = 2, Ay = -4, Az = 3

Bx = 4, By = 2, Bz = -6

x = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k

x = ((-4)(-6) – (3)(2))i + ((3)(4) – (2)(-6))j + ((2)(2) – (- 4)

(4))k

x = (24 – 6)i + (12 – (-12)j + (4 – (-16)k

x = 18i + (12 + 12)j + (4 + 16)k

x = 18i + 24j + 20k

s

SOAL :

1. Diketahui = 2, = , dan = . Tentukanlah :

a.

b. ( ) x

2. Hitunglah hasil dari perkalian silang antara dua vektor tersebut :

=2i + 3j + k dan = 4i + 2j – 2k

a) . (x) =(x) =

= 8 + (-) + – (2 + -4)

= 8 – +4 – -2 + = 7 +3 -

. (x) = 2 + – 3 . 7 +3 - = 14+3+3 = 20

b) ( x ) x = (x)=

= – () = – = -5( x ) x =

= 20 + 5 – ( +20) = 20 +5 +5 – =25

2. =2 + 3+ dan = 4 + 2 – 2

x = (AyBz - AzBy) + (AzBx - Ax Bz) + (AxBy - AyBx ) x = [(3)(-2) – (1)(2)] + [(1)(4) – (2)(-2)] + [(2)(2) – (3)(4)]

x = [(-6) – (2)] + [(4 – (-4)] + [(4 - 12 )] x = -8 + 8 + 8

Vekor Deferensial

Bila sebagai sebagai vektor posisi, maka:

(Vektor kecepatan)Bila dideferensialkan sekali lagi diperoleh:= + + =

Diferensial dan perkalian dua vektor

Deferensial terhadap variabel jarak x,y dan z, ditulis: =

(del) bila dikenakan pada besaran skalar maka

akan dihasilkan gradien, seperti berikut:

Contoh Soal Diketahui: = = 2 +5 = (2 +5)+() = =

Contoh:

Diketahui: Vektor dan

Ditanya:

Jawaban:

Diketahui: Carilah nilai dari Jawab:

+ +

Operasi del Terhadap vektor

Operasi TitikOperasi curel (Rotasi)Operasi Divergensi terhadap

Gradien

Operasi Titik =

Operasii Curel (Rotasi)

( Ay

Operasi Divergen terhadap Gradien =

1. Diketahui : Carilah operasi del terhadap vektor A menggunakan

operasi titik!Jawaban:

SOAL

1. Carilah hasil deferensial perkalian dua vektor

jika diketahui = -+ 5 +7 dan

= 6 + + 3

 

2. Carilah nilai jika diketahui = -

3.  Diketahui = 3 - 2 -

Selesaikan operasi del terhadap vektor

menggunakan operasi titik!

Penyelesaian no 1.

17ˆ29ˆ9ˆ13

)656(ˆ)301(ˆ)1213(ˆ)215(

)321561(ˆ)6511(ˆ)6231(ˆ)1235(

)ˆ3ˆˆ6()ˆ2ˆ5ˆ()ˆ3ˆˆ6()ˆ2ˆ5ˆ(

)ˆ3ˆˆ6()ˆ2ˆ5ˆ()ˆ3ˆˆ6(

)ˆ2ˆ5ˆ(

)(

ˆ3ˆˆ6

ˆ2ˆ5ˆ

zji

iji

zji

kjikjikjikji

dt

kjidkjikji

dt

kjid

BAdt

d

kjiB

kjiA

Penyelesaian no 2.

)(ˆ)4(ˆ)2(ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

44234

242424

xykxzyjxzyi

z

xzyk

y

xzyj

x

xzyi

zk

yj

xi

zk

yj

xi

zyx

zzB

yyB

xxB

kbzjyBiBz

ky

jx

iB

)1()2()3(

)ˆˆˆ(ˆˆˆ

Penyelesaian no 3.

Gradien, Divergensi, Curl dan Arti Fisisnya

1. Gradien dan turunan arah

2. Divergensi dan curl

Gradien dan Turunan Arah

Tinjaulah sebuah medan saklar yang terdefinisikan

dalam daerah D, misalkan suhu dalam ruang.

Dengan demikian persamaan di atas dapat dituliskan

Jika adalah diferensial vector kedudukan sepanjang

kurva , maka: ,

dan

adalah deferensial panjang atau metric dari kurva .

Jika diambil sebagai parameter kurva , maka:

adalah vector singgung satuan dari kurva .

Sehingga turunan medan scalar dalam arah sebagai:

Dengan vektor satuan dalam arah v yang lazim disebut

turunan arah medan scalar . Secara fisika,

menyatakan laju perubahan (rate) medan scalar

dalam arah v.

Contoh Soal

Jika yang, carilah:a) Medan vector gradient b) Turunan medan scalar dalam arah vector , di titik Penyelesaian:c) Dari definisi (1.5) mengenai medan vector

gradient, kita peroleh:

b) Untuk menghitung turunan arah medan scalar dalam arah vector , yakni , kita hitung dahulu vector satuan .

Karena panjang vector adalah:

maka,

Dengan demikian,

Di titik , misalnya adalah:

Soal

1. Jika , carilah dan pada titik (2,-2,1)

Pembahasan

+

+

Divergensi dan CurlSuatu daerah D dengan kecepatan aliran di setiap titik diberikan oleh medan vector kecepatan . Kurva-kurva dengan vector singgung ini disebut garis arus (streamlines). Jika adalah rapat massa fluida, maka jumlah massa fluida yang menembus tegak lurus elemen vector luas permukaan dalam selang waktu , adalah jumlah massa yang terdapat dalam volume , sehingga jumlah massa fluida yang menembus permukaan dengan luas tiap satuan waktu atau debit fluida adalah:

debit fluida yang menembus permukaan (1) adalah:

Sedangkan yang menembus permukaan (2) adalah:

Jadi, neto laju massa fluida yang keluar dari elemen

volume dalam arah aliran , adalah:

Dengan cara yag sama, neto laju massa fluida yang

keluar dari elemen volume dalam arah aliran , dan ,

berturut-turut adalah:

Jadi, total neto laju massa fluida yang keluar dari elemen volume adalah:

Besaran di dalam tanda kurung, secara matematis, dapat dirumuskan sebagai hasil kali titik:

Secara umum, jika adalah sebuah medan vector deferensiabel, maka divergensime dan vector , yang disingkat , didefinisikan sebagai berikut:

Curl

kecepatan linier v dari setiap titiknya pada kedudukan r dari titik asal O di proses benda tegar yang berotasi dengan kecepatan sudut tetap adalah .Curl

Jadi,

Contoh SoalJika , hitunglah di titik .Penyelesaian:

Jadi di titik, kita peroleh:

atau,

Soal

Jika A=x2z i – 2y3z2 j +xy2z k , maka

carilah curl A pada titik (1, -1, 1)

Pembahasan Curl

Integral Permukaan

Integral permukaan medan vektor atas permukaan S didefinisikan,

Sebuah parameter S pada titik-titik (x,y,z) dalam ruang tiga dimensi yang koordinatnya diberikan oleh persamaan berikut,

vektor kedudukan

Jika u=c1, dengan c1 tetapan maka r(u,v) = r(c1 ,v)= r(v)

Demikian pula jika v=c2 dengan c2 tetapan maka r(u,v)=r(u, c2 )=r(u)

dru = (r/u)du dan drv =(r/v)dv

Maka luas permukaan S, yaitu:

Parameter dalam Koordinat Silinder

Diandaikan S adalah permukaan silinder dengan z sebagai sumbu simetrisnya. Jadi, dengan parameter persamaan permukaan S adalah

Dengan demikian, vektor kedudukan semua titik pada permukaan S adalah

Medan vektor pada permukaan S sekarang menjadi

Parameter dalam Koordinat Bola

Diandaikan S adalah permukaan bola dengan pusat bola terletak pada titik asal (0,0,0) maka dan dapat dipilh sebagai parameter. Dengan demikian, persamaan permukaan S adalah,

Vektor kedudukan semua titik pada permukaan S adalah

Sehingga,

Dan,

Dengan demikian, vektor elemen luas permukaan bola S adalah

Medan vektor pada permukaan bola S sekarang menjadi seperti pada koordinat silinder, untuk menyederhanakan perhitungan, mula-mula dihitung terlebih dahulu dalam sistem koordinat kartesian.

Contoh soal Hitunglah dengan dan S adalah permukaan bola

Penyelesaian:Persamaa bola dengan jari-jari

Menurut persamaan vector elemen luas permukaan bola S adalah

Jadi, = Sebab

Dengan demikian,

Teorema Stokes

Perluasan teorema Green dalam bidang datar kedalam tiga dimensi dikenal dengan teorema Stokes. Adapun penjelasan Teorema Stokes ini adalah sebagai berikut.Diandaikan C adalah kurva tertutup diferensiabel dalam ruang tiga dimensi. Jika

sebuah medan differensiabel maka Dengan A adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva tertutup C dan n adalah vektor satuan normal permukaan.

Contoh soalTeuntukan , jika F C = lingkaran di bidang PenyelesaianKarena kurva C yang membatasi S terbentuk pada bidang , berarti sejajar dengan bidang XOY, maka n=kSehingga,

Lingkaran

Teorema DivergensiTeorema ini menjelaskan hubungan antara integral volume dengan integral permukaan. Jika F adalah fungsi vektor yang kontinyu dan diferensiabel, S adalah permukaan tertutup yang melingkupi volume V, maka teorema divergensi menyatakan bahwa:

Bila dinyatakan dengan kata-kata, teorema divergensi menyatakan bahwa integral permukaan dari komponen normal fungsi vektor F pada sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi F pada volume yang dibatasi oleh permukaan tersebut

Contoh 6.9:Periksalah kebenaran teorema divergensi jika = dan V adalah volume bola pejal yang dibatasi oleh permukaan bola

Penyelesaian:Kita telah tahu bahwa

Untuk memeriksakebenaran teorema divergensi, mula-mula dihitung div F

div F= =  Selanjutnya, kita akan menghitung integral volume dengan

menggunakan persamaan,yaitu

.

Dengan melakukan transformasi kedalam sistem koordinasi bola, yaitu

dan dV =

Dengan demikian

Sebagaimana hasil yang telah diperoleh pada integral permukaan.Jadi teorema Divergensi terbukti kebenarannya.

Conto Soal ;Hitunglah dimana S adalah suatu permukaan tertutup.Jawab:Menurut teorema Divergensi Dimana V adalah volume benda yang dibatasi S

Latihan Soal...

Jika S adalah suatu permukaan tertutup sembarang yang menutupi sebuah volume V dan A, maka buktikan bahwa

JAWAB:Menurut teorema divergensi Maka V V

Thank You !!