DYNAMICS OF SYSTEM OF PARTICLEC. Gerak Dua Benda yang Saling Berinteraksi: Pengurangan MassaMari kita perhatikan gerak dari sebuah sistem yang terdiri dari 2 benda, misalkan 2 benda tersebut adalah partikel yang saling berinteraksi satu sama lain dengan suatu gaya sentral. Kita akan menganggap bahwa sistem terisolasi dan pusat massanya bergerak dengan kecepatan konstan. sehingga kita akan mendapatkan pusat massanya sebagai titik asal. Sehingga dapat ditampilkan:(X.X.1)

Seperti yang ditampilkan pada gambar (X.3.1), vektor dan mewakili posisi , yang masing-masing relatif terhadap pusat massa. Jika adalah vektor posisi dari partikel 1 yang realtif pada partikel 2, sehingga:(X.X.2)Langkah terakhir diperoleh dari persamaan X.3.1Persamaan diferensial dari gerak partikel 1 yang relatif terhadap pusat massa adalah :(X.X.3)Dimana adalah besar gaya bersama (mutual force) antara 2 partikel tersebut.(X.X.4)Dimana(X.X.5)Besaran di atas adalah besaran yang disebut sebagai pengurangan massa. Persamaaan gerak yang baru, 7.3.4, menyajikan gerak dari partikel 1 yang relatif terhadap partikel 2, dan sebuah persamaan yang benar-benar mirip (dengan 7.3.4) akan memberikan gerak dari partikel 2 yang relatif terhadap partikel 1. Persamaan ini analog dengan persamaan biasa dari gerak partikel tunggal dari massa yang bergerak di medan pusat dari gaya yang berikan oleh . Sehingga kenyataannya kedua partikel bergerak realtif tehadap pusat massa secara otomatis dihitung untuk menggantikan dengan pengurangan massa Jika benda memiliki massa yang sama yaitu maka . Disisi lain jika jauh lebih besar daripada , maka menjadi sangat kecil, sehingga mendekati nilai . Untuk dua benda yang saling tarik-menarik oleh gaya gravitasi(X.X.6)Untuk kasus ini persamaan geraknya adalah

(X.X.7)Atau sama dengan

(X.X.8)Dimana adalah sebuah vektor satuan dengan arah dari .Pada bab 6 bagian 6.11, kami menurukan sebuah persamaaan yang meberikan waktu tertentu dari gerakan melingkar sebuah planet yang massanya m yang bergerak dalam medan gravitasi matahari, yang disebut dimana adalah massa matahari dan a adalah sumbu semimajor dari orbit eliptikal sebuah planet disekitar matahari. Pada turunan ini diasumsikan bahwa matahari diam dengan titik asalnya pada system koordinat kita, tepat pada pusat matahari. Untuk menghitung pergerakan matahari disekitar pusat massanya, persamaan yang tepat adalah 7.38 yang mana m=m1 dan . Konstanta k, yang digantikan oleh sebelumnya, seharusnya diganti oleh G(+ m)m sehingga persamaan yang benar untuk periode ini adalah(X.X.9)Atau, untuk 2 sistem benda yang lain yang tertahan oleh gravitasi, periode orbitalnya adalah(X.X.10)Jika m1 dan m2 ditampilkan dalam satuan massa matahari dan a adalah dalam satuan astonomi (yang artinya jarak dari bumi ke matahari) kemudian periode orbitalnya dalam satuan tahun diberikan oleh persamaan berikut(X.X.11)Untuk kebanyakan planet yang ada dalam system tata surya kita, penambahan (dalam hal) massa dalam persamaan yang lalu untuk periode membuat perbedaan massa yang sangat kecil ---- massa bumi hanyalah 1/330,000 dari massa matahari. Planet paling besar, Jupiter, memiliki massa kira-kira 1/1000 dari matahari jadi akibant dari pengurangan massa formulanya menjadi perhitunangan sebelum dengan perbandingan (1,001)-1/2 = 0,9995 untuk periode revolusi Jupiter terhadap matahari.

D. TumbukanKapanpun saat 2 benda bertumbukan, gaya yang bekerja pada kedua benda saat terjadi kontak adalah gaya internal. Jika kedua benda itu dianggap sebagai suatu sistem tunggal, maka momentum linear totalnya tetap.(X.X.1)Atau bila dijabarkan:(X.X.2)Dengan adalah besaran yang mengindikasikan adanya energi kinetik yang hilang atau diserap saat terjadinya tumbukan.Dalam kasus tumbukan lenting sempurna, besar energi kinetik totalnya tetap setelah terjadinya tumbukan sekalipun sehingga . Jika ada energi yang hilang, maka bernilai positif dan tumbukan ini disebut tumbukan eksoergik (exoergic collision). Jika ada energy yang diserap, maka bernilai negatif dan disebut sebagai tumbukan endoergic (endoergic collision).1. Tumbukan LangsungMerupakan kasus khusus dari tumbukan dua benda/partikel yang berhadapan, dimana gerakannya menyusuri garis lurus (misalkan sumbu x) seperti gambar di atas. Persamaannya dapat dituliskan sebagai berikut: (X.X.3)Untuk dapat menghitung/menemukan besarnya kecepatan setelah terjadinya tumbukan, dibutuhkan kecepatan awal masing-masing benda sebelum bertumbukan. Kita juga dapat memasukkan nilai jika nilainya diketahui seperti persamaan: (X.X.4.)Perlu diketahui juga adanya rasio (perbandingan) perubahan kecepatan benda setelah bertumbukan dan sebelum bertumbukan atau yang disebut sebagai koefisien restitusi (.Sehingga dengan mendistribusikan persamaan (6.31) ke persamaan (6.) maka akan didapatkan persamaan berikut:(X.X.5)(X.X.6)dan(X.X.7)Dimana dan secara berturut-turut adalah kecepatan akhir benda setelah kedua benda tersebut saling bertumbukan (dengan sudut pantul lurus/segaris saja, misal x saja, dst.)Untuk memverifikasi bahwa energi yang hilang Q berhubungan dengan koefisien restitusi, digunakan persamaan berikut :(X.X.8)Yang mana adalah massa tereduksi, dan v = |v2 v1| adalah perubahan kecepatan benda sebelum terjadinya tumbukan.

Tumbukan Miring dan Penyebarannya. Perbandingan dari Laboratorium dan Koordinat Pusat MassaSistem pusat massaSistem laboratorium

Karena momentum linear sistem pusat massa adalah nol sebelum dan setelahtumbukan, maka :(X.X.9)(X.X.10)Dan pada sistem laboratorium, partikel 2 memiliki kecepatan (v2) nol.Maka kecepatan pusat massanya dapat dituliskan :(X.X.11) Hubungan vektor kecepatan adalah sebagai berikut:

Dengan substitusi , kita kita mendapatkan :(X.X.12)(X.X.13)

( Hubungan antara vektor kecepatan dalam sistem laboratoriumdan sistem pusat massa )

Sehingga dengan pembagian, dapat ditemukan persamaan yang menghubungkan sudut hamburan untuk dapat di tuliskan ke dalam persamaan berikut:(X.X.14)Dimana adalah sebuah parameter numerik dengan nilai yang ditentukan dengan :(X.X.15)Sudut dari pembelokan dalam sistem laboratorium hanya setangah sudut dari sistem pusat massa(X.X.16)Pada kondisi umum dengan tumbukan tak elastis maka: (X.X.17)