BAB 11

GERAK SELARAS

[ TUGAS SP FISIKA 2 ]

DI SUSUN OLEH :

Kelompok 2

Mutiara Rakhma Putri : 122013006

Iwan Saputra :122013011

Sri Kuswatun : 122013012

KELAS : 3 A

DOSEN PEMBIMBING : Henny

Juniar,S.T.,M.T.

FAKULTAS TEKNIK

PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PALEMBANG

TAHUN AJARAN 2015/2016

BAB 11

GERAK SELARAS

11-1 Pengantar

Bila suatu benda melakukan gerak bolak-balik terhadap suatu titik tetentu , maka

gerak benda itu dikatakan bergetar .gerakan tali dan kolom udara alat-alat music

merupakan gerak harmonik atau superposisi gerak-gerak harmonik . berdasarkan

teori atom modern , orang menduga bahwa molekul-molekul benda padat bergetar

dengan gerak yang hampir harmonik terhadap posisi kisi-kisi (lattice) tetapnya ,

walaupun gerak molekul – molekul itu tentunya tidak dapat kita lihat secara

langsung.

Dalam setiap bentuk gerak gelombang , partikel-partikel medium yang

dilalui oleh gelombang akan bergetar dengan gerak harmonik atau dengan

superposisi gerak harmonic . bahkan hal ini juga berlaku untuk gelombang cahaya

dan gelombang radio dalam ruang hampa ,akan tetapi yang bergetar dalam hal ini

bukanlah partikel materi , melainkan intensitas listrik dan magnet yang

bersangkutan dengan ngelombang tersebut . sebagai contoh terakhir , persamaan –

persamaan yang melukiskan sifat suatu rangkaian listrik dalam man terdapat arus

listrik bolak-balik mempunyai bentuk yang sama dengan persamaan gerak

harmonik untuk benda materi . dengan demikian , jelas kiranya bahwa untuk

banyak bidang ilmu fisika , pengetahuan tentang gerak harmonik ini amat penting

untuk di pelajari .

11-2 Gaya Pemulih

Apabila suatu benda berubah bentuk gaya yang menyebakannya adalah

proposional dengan besar perubaha,asalkan batas proposional elastisitas tidak di

lampaui.perubahan nya mungkin berupa pertambaha panjang,seperti tali karet atau

pegas ulur,atau penyusutan panjang,atau melengkung nya pedas daun.istilah

“gaya”disini diartikan secara luas, dapat berati gaya,atau gaya putar (torque) .jika

gaya yang dimaksud ialah dorongan atau tarikan dalam mana perubahan bentuk

yang terjadi hanya berupa perpindahan titik tangkap gaya,maka gaya dan

perpindahan dihubungkan berdasarkan hokum hooke

Dimana

k = sebuah konstanta proposionalitas yang disebut konstanta gaya k

x = perpindahn dari posisi ksetimbangannya

F = gaya yang harus dikerjakan terhadap suatu benda elastis untuk menghasilkan

perpindahan x

11-3 Beberapa Definisi

Agar lebih jelas , umpamakan sebuah pelat baja tipis , misalnya daun gergaji, di

jepitkan vertical pada sebuah catok , lalu pada ujung atasnya dilekatkan sebuah

benda kecil sepertipada Gambar 11-1 . andaikan pelat itu cukup panjang dan

perpindahan ujungnya cukup kecil , sehingga gerak ujung pelat menuruti sebuah

garis lurus . massa pelat itu dapat diabaikan.

Gambar 11-1. Gerak akibat gaya pemulih elastik

F =k x

Misalkan ujung pelatitu ditarik ke kanan sejauh A, seperti gambar 11-1

lalu dlepaskan. Maka terhadap benda yang terlekat itu akan bekerja gaya pemulih

yang dilakukan oleh pelat baja itu dan mengarah ke posisi kesetimbangan

0.akibatnya benda tersebut beroleh percepatan menurut ara gaya ini , dan menuju

ke pusat dengan kecepatan yang makin besar .

Ketika benda sampai di pusat , gaya pemulih sudah berkurang menjadi

nol,tetapi akibat kecepatan yang sudah diperoleh . benda itu “melewati” posisi

ksetimbangan terlewati gaya pemulih timbul lagi , tetapi sekarang arahnya ke

kanan . akibatnya benda melambat , perlambatan ini bertambah besar sesuai

dengan bertambahnya jarak dari 0 .karena itu benda itu akhirnya akan berhenti

disuatu titik disebelah kiri 0 , lalu mengulangi geraknya kembali ke arah yang

berlawanan.

Sekali mulai , gerak itu akan berlangsung terus – menerus apabila tidak

ada enegi yang hilang akibat gesekan , gerak seperi ini , yaitu yang terjadi sebagai

akibat gaya pemulih elastik dan dalam keadan tiada gesekan sama sekali, disebut

gerak harmonic sederhana (simple harmonic motio , disingkat SHM)

Setiap macam gerak yang terjadi brulang-ulang dalam selang waktu yang

sama , disebut gerak berkala atau gerak periodic , dan jika geraknya pulang-balik

pada lintasan yang sama , disebut pula gerak osilasi.waktu periodik , atau

singkatnya periode gerak , dilambangan dengan T , ialah waktu yang diperlukan

untuk satu kali getaran penuh . frekuensi f , ialah jumlah getaran per satuan waktu.

Jelaslah bahwa frekuensi ialah kebalikan dari periode , atau T = 1/f . satuan

maksimalnya yakni sau daur per sekon , disebut satu hertz (1Hz) . koordinat pada

saat sembarang x ialah jarak lintasan yang dhitung dari posisi kesetimbangan (titik

tengah lintasan) . amplitude A ialah koordinat maksimum , karena itu jarak total

gerak iala 2A.

11-4 Persamaan Gerak Harmonik Sederhana

Perlu di tegaskan bahwa persamaan-persamaan gerak dengan percepatan konstan

tidak dapat diterapkan disini , karena percepatan berubah terus menerus.

Gambar 11-2 melukiskan benda bergetar dalam gambar 11-1 pada saat

koordinatnya x . gaya resultan pada benda itu tidak lain hanyalah gaya pemulih

elastic -kx, dan berdasarkan hukum kedua Newton ,

Oleh karena itu

Yang menghasilkan

Suku pertama diruas kiri ialah energy kinetic (Ek) benda itu dan yang

kedua , energi potensial (Ep) . jadi persamaan (11-2) menyatakan bahwa energi

total sistem itu konstan , dan konstanta integrasi C1 sama dengan energi total E

(hanya hasil ini yang mungkin , karena sistem adalah tertutup :

F = -kx = ma = mv dvdx

mv dvdx + kx = 0

∫mv dv+∫ kx dx=0

12

mv 2+ 12

kx2=c1

Ek+E p=E

Arti penting relasi diatas dapat dijelaska dengan grafik seperti terlukis

dalam gambar 11-3 , dimana energi dilukiskan vertikal dan koordinat x

horizontal . mula-mula , tariklah kurva yang menyatakan energy potensial , Ep = ½

kx 2 . kemudian tarik pula sebuah garis horizontal pada titik ketinggian yang

menunjukan energi total E . segera terlihat bahwa gerak yang terjadi tebatas pada

harga x yang terletak antara titik-titik tempat garis horizontal tadi memotong

parabola , karena jika x berada di luar daerah ini maka energi potensial akan

melampaui energi total dan ini tidaklah mungkin.

Jika sebuah garis vertikal ditarik melalui sembarang harga x dalam daerah

yang memungkinkan , maka panjang segmen antara sumbu x dan parabola akan

menyatakan energi potensial Ep pada harga x tersebut , dan panjang segmen antara

parabola dan garis horizontal pada ketinggian E menyatakan energi kinetic Ek

yang bersesuaikan . karena itu , pada titik-titik ujung semua energi adalah

potensial dan pada titik tengah semua energi adalah kinetik. Kecepatan pada titik

tengah merupakan harga (mutlak) maximumnya Vmaks :

12 mvmaks

2 =E

(11-3)

Tanda v dapat positif dan negatif tergantung kepada arah geraknya

Pada ujung-ujung lintasan , koordinat mempunyai harga (mutlak) maximumnya

Xmaks sama dengan amplitudo A:

(11-4)

Kecepatan v pada sembarang koordinat , berdasarkan pesaman (11-2), ialah

(11-5)

Dengan menggunakan persamaan (11-4), persamaan ini dapat pula ditulis

(11-6)

Rumus untuk koordinat x sebagai fungsi waktu dapat di peroleh sekarang dengan

mengganti v dengan dx/dt, pada persamaan (11-6) , dan di integralkan . hasilnya

ialah

vmaks=±√ 2 Em

12 kxmaks

2 =E ,

vmaks=±√ 2 Em

A = |Xmaks|=√ 2 Em

V = ± √ 2E−kx2

m

V = ± √ km √ A2−x2

(11-7)

Andaikan X0 ialah harga x ketika t = 0 . maka konstanta integrasi C2 ialah

Artinya C2 ialah sudut (dalam radian) yang sinusnya sama dengan Xo / A kalau

sudut ini . maka

(11-8)

Sekarang persamaan (11-7) dapat ditulis

Koordinat x merupakan fungsi sinusoide terhadap waktu t . suku di dalam tanda

kurung ialah sudut yang dinyatakan dalam radian . Sudut ini dinamakan sudut

fase, atau disingkatkan sebagai fase gerak . sudut θonmerupakan sudut fase awal,

dan juga disebut sudut waktu .

∫ dx√ A2−x2 +√ k

m∫ dt

sin−1 xA

=√ km

t +C2

sin−1 xA

=√ km

t +C 2

sinθ0=x0

Aθ0=sin−1 x0

A

sin−1 xA

=√ km

t +θ2

x=A sin(√ km

t+θo)

Periode T ialah waktu yang diperlukan untuk satu kali getara . artinya ,koordinat x

mempunyai harga yang sama pada waktu t dan waktu t + T. dengan lain perkataan

sudut fase (√ km

t+θo) bertambah sebesar 2π radian dalam waktu T :

(11-10)

Oleh karena itu T hanya bergantung pada massa m dan konstanta gaya k ,dan

tidak bergantung pada amplitudo . untuk harga m dan harga k yang diketahui .

Frekuensi f , atau jumlah getaran penuh per satuan waku , ialah kebalikan periode

T :

Frekuensi sudut ω di defenisikan sebagai ¿2πf , dan dinyatakan dalam radian per

sekon. Atas dasar dua persaman di atas ,maka

Dari persamaan (11-9) dan (11-6) dapat ditulis dengan cara lebih ringkas lagi :

(11-11)

(11-12)

Rumus untuk kecepatan dan percepatan sebagai fungsi waktu sekarang dapat

diperoleh dengan dfrensiasi :

(11-13)

(11-14)

Karena A sin (ωt+θ0) = x , maka rumus untuk percepata sebagai fungsi x ialah

(11-15)

T=2 π √ mk

F = 1T

=1

2 π √ km

W = √k /m

X = A sin(ωt+θ0¿

V = ω √A2− x2

V=dxdt

=ωA cos(ωt+θ0)

a=dvdt

=−ω2 Asin (ωt+θ0)

A=-ω2 x

Sebagai akibat dari persamaan (11-13) bahwa jika V0 merupakan kecepatan ketika

t = 0 , maka

(11-16)

Persamaan ini , bersama-sama dengan persamaan (11-8) yaitu θ0=x0

A , secara

lengkap menetukan sudut fase θ0 . artinya sudut θ0berantung baik pada posisi

awal x0 maupu pada kecepatan awal v0.

Gambar 11-4 memperlihatkan bagaimana bergantungnya sudut fase awal paa

posisi awal dan kecepatan awal. Berdasarkan segitiga ini maka

(11-17)

Persamaan-persamaan gerak harmonik sederhana dapat kita padan artinya dengan

memperbandingkannya terhadap persamaan-persamaan yang serupa untuk gerak

lurs dengan percepatan konstan (table 11-1)

Tabel 11-1

Gerak lurus dengan percepatan

konstan

Gerak hamonik sederhana (dalam

artiω danθ0)

a = konstan a= -ω2 x

a= -ω2 A sin(ωt+θ0)

v2 = v02+2a (x−x0)

v=v0+at

v = ± ω√ A2−x2

v = ωA cos(ωt+θ0)

x = x0+v0 t+ 12

at2 x = A sin (ωt+θ0)

Cos θ0=v0

ωA

A = √ x02+( v0

ω )2

ω=2 πT

=2 πf =√ km

sin θ0=x0

A

, A = √ x02+( v0

ω )2

, cos θ0=v0

ωA

Gambar 11-5 memperlihatkan grafik-grafik untuk koordinat , kecepatn v ,

dan percepatan a sebuah benda yang bergetar dengan gerak harmonik sederhana ,

dilukis sebagai fungsi waktu t (atau sudut ωt ¿. Koordinat awalnya x0 kecepatan

awalnya x0 dan

sudut θ0 ditetapkan π /4 rad. Setiap kurva akan berulang kembali dalam selang

waktu yang sama dengan periode T. selama waktu itu, sudut ωt bertambah

sebesar 2 π rad. Ingat, bahwa apabila benda itu berada di salah satu ujung

lintasannya, yaitu apabila koordinat x mempunyai harga positif atau negative yang

maksimum (± A ), kecepatannya nol dan percepatannya mencapai harga negative

atau atau positif maksimumnya (± amax). Ingat pula, bahwa ketika benda itu

melewati posisi kesetimbangannya (x = 0), kecepatannya mempunyai harga

positif atau negative maksimumnya (± V max) dan percepatannya nol.

Persamaan-persamaan gerak akan lebih sederhana bentuknya bila t kita

tetapkan dengan 0 ketika benda itu berada di titik pertengahan atau di salah satu

ujung lintasannya. Misalnya, kalau kita buat t = 0 ketika benda itu mencapai

simpangan positif maksimumnya, maka x0 + A, sin θ0 = 1, θ0 =π /2, dan

X = A sin (ωt+ π /2) = A cos ωt ,

V = -ωA sin ωt ,

A =−ω2 A cos ωt . (11-18)

Ini sama artinya dengan memindahkan titik pangkal koordinat dari titik 0

ke titik 0֨ pada gambar 11-5. Grafik x lawan t akan menjadi kurva cosinus, gravik

v lawan t menjadi kurva sinus negative, dan grafik a menjadi kurva cosinus

negative.

Jika kita buat t = 0 ketika benda berada di titik pertengahannya sedang

bergerak menuju kea rah kanan, maka :

x0 = 0, sin θ0 = 0 θ0 = 0

dan

X = A sin ωt ,

V = ωA cosωt ,

A =−ω2 A sin ωt . (11-19)

Ini sama artinya dengan memindahkan titik pangkal dalam gambar 11-5 ke titik

0’’.

Contoh :

Andaikan massa benda pada gambar 11-2 25 g. konstanta gaya k=400 dyn cm-2,

dan gerak di mulai dengan perpindahan benda itu 10 cm ke sebelah menuju ke

kanan. Hitunglah :

(a) periode T (f) sudut (θ0)

(b) frekuensi (f) (g) kecepatan maksimum (Vmax)

(c) frekuensi sudut (ω) (h) percepatan maksimum (amax)

(d) energy total (E) (i) koordinat, kecepatan, dan percepatannya π /8

(e) amplitudo (A) sek setelah gerak di mulai.

Penyelesaian :

a.) T=2π √ mk

¿2π √ 25 g400 dyncm−1 ¿

π2

s=1,57 s

b.) f = 1T

= 2π

Hz=0,638 Hz

c.) ω=2πf =4 rad s−1

d.) E=12

m v02+ 1

2kx0

2=40,000 erg

e.) A=√ 2 Ek

¿10√2cm

f.) sin θ0=x 0A

=1/√2, θ0=π4

rad

g.) |V max|=√2 E/m ¿40√2cm sek−1=56,6 cm sek−1

Kecepatan maksimum terjadi di titik tengah, dimana x=0. Jadi berdasarkan

persamaan (11-12)

|V max|=ωA ¿40√2cm s−1

h.) Percepatan maksimum terjadi pada ujung-ujung lintasan dimana gaya adalah

maksimum. Berdasarkan persamaan (11-15)

|amax|=ω2 xmax ¿160√2cm s−2

i.) Persamaan-persamaan gerak adalah :

x=10√2sin (4 t+ π4 )

x=40√2 cos (4 t + π4 )

x=−160√2sin(4 t+ π4 )

Waktu t=π8

sek , sudut faseialah

(4 t+ π4 )=3 π

4rad ,

x=10√2sin (3 π4 )=10cm

v=40√2 sin( 3π4 )=−40 cm s−1

a=−160√2sin (3 π4 )=−160 cm s−2

Kurva-kurva pada Gambar 11-5 menyatakan gerak benda di dalam contoh ini,

jika skala-skala x,v,a dan t demikian rupa sehingga

x=10√2 cm, V max=40√2 cm s−1

amax ¿−160√2 cm s−2, dan T = π2

s

persamaan-persamaan grafik harmoni sederhana dapat dijelaskan dengan

interpretasi geometri sebagai berikut. Andaikan segmen garis OQ pada

gambar 11-6 (a), yang panjangnya sama dengan amplitude A, berputar dengan

kecepatan sudut ω terhadap titik O. segmen garis yang berputar itu sering

dinamakan vector yang berputar, padahal bukan merupakan besaran vector.

Artinya, dalam diagram ada arahnya tertentu, tetapi dalam ruang tidak ada

arah tertentu. Vector seperti

Gambar, 11-6, Gerak harmonic sederhana memproyeksi ujung rotor OQ pada

sumbu bertikal

Ini lebih baik disebut rotor. (dalam bahasa Jerman “Zeiger”, yaitu, jarum petunjuk

jam atau pepenunjuk ukuran tekanan). Andaikan waktu t = 0, rotor OQ

membentuk sudut dengan sumbu horizontal yang sama besarnya dengan sudut

fase awal θ0. Titik P ialah proyeksi titik O ke atas sumbu vertical, dan jika OQ

berputar, maka titik P berosila sepanjang sumbu ini.

Sekarang akan dibuktikan bahwa persamaan-persamaan gerak P sama

seperti persamaan-persamaan gerak benda yang berosilasi menurut gerak

harmonic sederhana yang amplitudonya A, frekuensi ω, dan sudut fase awalnya θ0

. Umpamakan x menyatakan panjang OP. pada setiap saat t, sudut antara jari-jari

OQ dan sumbu horizontal sama besar dengan sudut fase ωt+θ0 dan

x=A sin (ωt+θ0 )

Kecepatan titik Q (lihat Gambar 11-6b), ialah ωA, dan komponen verticalnya,

yang sama dengan kecepatan P, ialah :

v=ωA cos (ωt+θ0 )

Percepatan Q ialah percepatan radialnya ω2 A (liat Gambar 11-6 c) dan komponen

vertikalnya, sama dengan percepatan P, ialah :

a=−ω2 A sin (ωt+θ0 )

Tanda negative haruslah dimasukkan, sebab percepatan akan negative bila

sinus fase sudutnya positif, dan sebaliknya. Persamaan-persamaan di atas

merupakan persamaan-persamaan gerak umum gerak harmonic. Dalam kejadian

khusus yang sesuai dengan persamaan (11-18), sudut fase awal ialah 90o dan titik

patokan Q berada didalam puncak lingkaran ketika t = 0. Jika titik patokan itu

berada di ujung sebelah kanan diameter horizontal ketika t = 0, maka θ0=0 dan

gerak dituliskan menurut persamaan (11-19).

11-5 Gerak benda yang tergantung pada pegas sulur

Gambar 11-7(a) memperlihatkan sebuah pegas sulur yang konstanta gayanya k

dan panjangnya tanpa beban ℓ. Apabila sebuah benda bermassa m diikatkan pada

pegas

Seperti dalam bagian (b), benda itu akan menggantung dalam keadaan setimbang

dengan pegas itu, yang akan bertambah panjang sebesar ∆ℓ demikian rupa

sehingga gaya ke atas P yang dilakukan oleh pegas sama dengan berat benda, mg.

karena P=k ∆ l, maka

k ∆l=mg

Sekarang umpamakan benda berada pada jarak x diatas posisi

kesetimbangannya, seperti pada gambar bagian (c). Maka perpanjangan pegas kini

ialah ∆ l−x , gaya keatas yang dilakukan pegas pada benda itu ialah k ( ∆l−x ) , dan

gaya resultan F pada benda ialah

F=k (∆ l−x)−mg=−kx

Oleh karena itu gaya resultan sebanding dengan perpindahan benda dari

posisi kesetimbangnnya, dan jika terjadi gerak vertical, benda itu akan berosilasi

dengna frekuensi sudut ω √ km

.

Terkecuali dalam keadaan ideal, yaitu jika pegas bermassa nol,

bahwasannya pegas itu juga berasosila harus pula diperhitungkan. Akan tetapi,

kita tidak dapat begitu saja menambahkan massa pegas pada massa benda yang

tergantung itu, sebab tidak seluruh bagian pegas itu berosila dengan amplitude

yang sama: amplitude pada ujug bawah sama dengan amplitude benda yang

tergantung itu, sedangkan amplitude ujung atasnya nol. Angka koreksinya dapat

dihitung sebagai berikut.

Andaikan L menyatakan panjang pegas ketika benda berada pada posisi

kesetimbangannya, dan mp massa pegas (spring) itu. Mari kita hitung energy

kinetic pegas pada suuatu saat ketika kecepatan ujung bawahnya v. pandang

elemen pegas yang panjangnya dy, pada jarak y di bawah ujung atas yang tetap.

Massa elemen, dmp ialah

dms=ms

Ldy

Seluruh bagian pegas diumpamakan berosila sama fase dan kecepatan elemen, vp,

proporsional dengan jaraknya dari ujung tetap itu : Vp = (y/L) v.

Energy kinetic total pegas itu ialah :

dEk=¿

12 .dms .vs

2=12 .

ms

L sdy .( y

L )2

¿,

Dan energy kinetic total pegas itu ialah :

Ek=12

.ms

L3.∫

0

1

y2 dy=12 ( 1

3ms)v2.

Ini sama dengan energy kinetic sebuah benda yang massanya sepertiga massa

pegas itu, yang bergerak dengan kecepatan yang sama seperti kecepatan benda

yang tergantungkan itu. Dengan lain perkataan, massa ekivalen system yang

bergetar, sama dengan massa benda yang tergantung di tambah sepertiga massa

pegas.

Contoh :

Sebuah benda bermassa 1 kg digantungkan pada sebuah pegas sulur yang

massanya 0,09 kg dan konstanta gayanya 66 N m-1. Hitunglah frekuensi dan

amplitude gerak yang terjadi jika benda itu turun sejauh 0,03 m di bawah posisi

kesetimbangannya dan memperoleh kecepatan ke baah sebesar 0,4 m s-1.

Frekuensi sudutnya ialah :

ω=√ k

m+ms

3

=¿√ 66 N m−1

1,03 kg=¿8,00 radisek−1¿¿

Amplitudonya dirumuskan dalam bentuk koordinat dan kecepatan awal dengan

menggunakan persamaan (11-17). Jadi,

A=√x02+¿¿ ¿√¿¿ = 0,0582 m.

11-6 Ayunan matematis

Ayunan matematis (disebut juag ayunan sederhana) didefinisikan sebagai sebuah

partikel yang tergantung pada suatu titik tetap dari seutas tali yang tidak

mempunyai berat dan tidak dapat bertambah panjang. Bila ayunan itu bergerak

dari vertical sehingga membuat sudut θ, seperti pada Gambar 11-8, maka gaya

pemuliahnnya ialah mg sin θ, dan simpangan s dari posisi kesetimbangannya sama

dengan Lθ, dimana L ialah panjang tali dan θ di ukur dalan radian. Karena itu

geraknya bukan harmonic, karena gaya pemulihannya itu proporsional dengan sin

θ, sedangkan

Gambar 11-8, Gaya-gaya yang bekerja terhadap bandul ayunan matematis

Simpangannya proporsional dengan θ, dan gaya-gaya akan menjadi

F ≈−mgθ ≈( mgL )s

Karena itu konstanta gaya efektif ialah k = mg/L, dan periodenya :

T ≈ 2 π √m /k ≈ 2 π √ L/g . (11-20)

Dapat dibuktikan bahwa persamaan eksak untuk periode, bila simpangan sudut

maksimum θ, diberikan oleh deret tak terhingga

T ≈ 2 π √ Lg (1+ 12

22 sin2 ∅2

+ 12. 32

22 . 42 sin4 ∅2

+…) (11-21)

Periode dapat dihitung sampai tingkat ketelitian yang diinginkan dengan

mengambil suku secukupnya dalam deret itu. Bila ∅=15o, periode sejati akan

berbeda dari periode berdasarkan persamaan (11-20); bedanya kurang dari 0,5%.

Penetapan ayunan itu untuk pencatat waktu (jam), adalah berdasarkan bahwa

periodenya praktis tidak bergantung pada amplitudonya. Jadi, jika sebuah jam

bandul semakin lambat ayunannya dan jika amplitudonya semakin kecil, jam itu

tetap akan meninjukkan waktu yang sangat hamper tepat.

Ayunan matematis juga merupakan suatu metode yang teliti dan mudah untuk

mengukur percepatan gaya berat,g, tanpa memanfaatkan benda jatuh bebas,

karena L dan T dapat mudah diukur. Ayunan yang dibuat lebih seksama banyak

dipakai dalam bidang geofisika. Endapan bijih besi atau minyak di suatu tempat,

jika kerapatannya berbeda dengan kerapatan bahan-bahan di sekelilingnya,

mempengaruhi harga g di tempat itu, dan hasil pengukuran yang teliti harga g ini

diseluruh daerah yang sedang di selidiki, sering memberikan informasi tentang

sifat endapan itu.

Gambar 11-9 merupakan foto multiflash atas satu kali gerak ayunan matematis

Gambar,11-9. Satu kali gerak ayunan matematis

11-7 Gambar Lissajous

Garis-garis lengkung yang dikenal dengan nama gambar Lissajous merupakan

tempuhan sebuah partikel yang berosilasi sekaligus dalam dua arah yang saling

tegak lurus. Pada umumnya, amplitude dan frekuensi getaran dalam tiap arah

dapat berbeda, dan kedua getaran dapat pula mempunyai beda fase awal.

Gambar, 11-10. Ayunan berganda untuk menghasilkan gambar Lissanjous

Bola ayunan dalam gambar 11-10, yang tergantung pada tiga tali yang

membentuk huruf , melukiskan salah satu cara menghasilkan gerak osilasi

semacam itu, bila bergetar dalam arah x, seperti pada (a), frekuensinya sama

seperti ferkuensi ayunan sederhana yang panjangnya L1. Dalam arah y,

frekuensinya sama seperti frekuensi yang ayunan panjangnya L2. Jika serentak

disimpangkan kea rah x dank e arah y lalu dilepaskan, bola itu akan bergetar

sekaligus dengan kedua frekuensi.

Bintik pada layar tabung sinar-katode, yang terjadi akibat tumbukan arus electron

yang bergerak cepat, juga akan bergerak membentuk gambar Lissanjous bila pelat

penyimpangan horizontal dan vertical sekaligus diberi tegangan bolak-balik

sinusoidal.

Rumus umu untuk koordinat x dan koordinat y partikel yang bergetar itu ialah :

x=A x sin ( ωx t+θ1 ) , y=A y sin (ω y t+θ2 ) ,

Dimana Ax dan Ay ialah amplitudonya, ωx dan ω y ialah frekuensi angular yang

sesuai, dan θ1 dan θ2 adalah sudut awalnya. Ini merupakan persamaan lintasan

dalam bentuk parameter.

Gambar,11-11. Gambar Lissajous dijelaskan secara grafik

Persamaan-persamaan diatas dijelaskan secara grafik oleh diagram rotor pada

Gambar 11-11. Koordinat x ujung rotor pada diagram sebelah bawah memberikan

koordinat x partikel yang sedang bergetar, dan koordinat y ujung rotor diagram

diatas memberikan koordinat y nya. Jadi dengan memproyeksi keatas, dan

menyilang dari ujung-ujung rotor ini, maka posisi partikel itu pada setiap saat

ditentukan. Diagram itu memperlihatkan posisi parrtikel pada saat t = 0 pada suatu

saat t kemudian.

Kurva-kurva pada gambar 11-12 memperlihatkan beberapa gambar

lissajous untuk beberapa perbandingan frekuensi dan perbedaan fase awal ( θ2−θ1

). Amplitudo Ax dan amplitudo A y pada setiap adalah sama. Jika frekuensi-

frekuensi bersepadanan, seperti pada gambar-gambar yang diperlihatkan, maka

partikelnya akan menjalani lintasan tertutup berulang kali. Kalau tidak lintasan

tidak tertutup dan polanya menjadi sangat rumit. Kalau frekuensi-frekuensi sangat

hampir bersepadanan, lintasan akan berubah sangat lambat, dan jika gerak

berlangsung cepat, seperti sering terjadi bila gambar-gambar demikian terbentuk

pada osiloskop, bentuk yang diperoleh ialah bentuk kurva tertutup yang berubah

bentuknya perlahan-lahan. Jadi, jika frekuensi-frekuensi sangat hampir sama (

ωx /ω y ≈ 1 ), lintasan berubah secara lambat dari garis lurus pada 45o , seperti

pada gambar 11-12 (a), menjadi elips seperti pada (b), lalu menjadi lingkaran

seperti (c), kemudian menjadi elips seperti pada (d ) dengan sumbu panjangnya

tegak lurus pada sumbu panjang di ( b ), akhirnya menjadi garis seperti pada ( e )

dan seterusnya.

11-8 gerak harmonik sudut

Gerak haronik sudut tepat sekali analog secara matematik dengan gerak harmonik

linier. Andaikan sebuah benda berputar terhadap sebuah sumbu tetap dan

mengalami gaya putar pemulih yang sebanding dengan perubahan sudut ∅ dari

suatu posisi patokan. Maka

= - k`∅ ,

Di mana faktor k`, atau gaya putar pemulih persatuan perubahan sudut, dinamakan

konstanta gaya puta. Jika gaya gesekan dapat diabaikan, persamaan diferinsial

geraknya ialah :

= - k`∅ , = Iα = Iω dωdθ

Atau

Iω dωdθ + k`∅ = o,

Di mana I ialah momen kelembaman terhadap sumbu tetap. Persamaan ini sama

benar bentuknya seperti persaman ( 11-1 ) : perubahan sudut ∅ bersesuian dengan

perpindahan linier x, momen kelembaman I bersesuian dengan massa m, dan

konstanta gaya putar k` bersesuian dengan konstanta gaya k. Berdasarkan analogi,

persamaan geraknya ialah :

∅ = ∅m sin ( ωt+∅ o ),

Dimana ω = √k /I , dan ∅m ialah perubahan sudut maksimum atau amplitudo

sudut.

Contoh umum mengenai banda yang bergetar dengan gerak harmonik sudut, ialah

roda pengimbang sebuah jam. Pada kejadian yang idial, gerak dianggap isokron

(lamanya sam) dan jam akan “menunjukan waktu tepat”, sekalipun amplitudonya

berkurang akibat mengendornya pegas jam.

11-9 Ayunan fisis

Dalam gambar 11-13, sebuah benda sembarang bentuk berputar terhadap

roda poros tetap melalui o, dan garis yang menghubungkan o dan pusat berat

berpindah sebesar sudut ∅ dari vertikal. Andaikan h ialah jarak dari porosnya ke

pusat berat. Berat mg menimbulkan gaya putar pemulih

Bila dilepaskan, benda itu akan berayun terhadap posisi kesetimbangan

nya, tetapi sama seperti gerak ayuanan matematis, geraknya bukan harmonik

( sudut ), karena gaya putar T tidak propisional dengan∅ melainkan dengan sin ∅ .

Akan tetapi jika ∅ kecil, kita dapat mendekati sin ∅ dengan ∅ , dan geraknya akan

mendekati gerak harmonik. Dengan melakukan pendekatan ini, kita peroleh

≈ - (mgh ) ∅ ,

Dan konstanta gaya putar efektif ialah

k` = - T/∅ = mgh.

Frekuensi sudut ialah

ω≈√k /I ≈√mgh/ I

Dan periode T ialah

T = 1f=2π

ω≈ 2 π √ 1

mgh.

Benda yang berayun seperti itu disebut ayunan fisis, yang berbeda sekali

dengan ayunan matematis sermpurna, yang tidak lain hanyalah sebuah titik massa

yang dilekatkan pada seutas tali tnapa bobot. Sudah tentu setiap ayunan rill adalah

ayunan fisis.

Contoh.

Persamaan (11-23) dapat menentukan momen kelembaman I, yaitu

I = T2 mgh4 π2 .

Besaran-besaran di ruas kanan persamaan itu semuanya dapat diukur

langsung. Jadi, momen kelembaman benda berbentuk sembarang, dapat

ditentukan dengan menggantungkan benda seperti ayunan fisis, lalu mengukur

periode getarnya. Lokasi pusat berat dapat ditentukan dengan cara

mensetimbangkan. Karena T, m, g, dan h diketahui, maka I dapat dihitung.

Sebagai contoh, gambar 11-14 melukiskan batang penghubung yang berayun

terhadap sebuah mata-pisau horizontal. Berat batang penghubung itu 4 lb dan

letak pusat beratnya telah ditemukan dengan cara mensetimbangkan, yaitu 8 in di

bawah mata-pisau. Ketika dibuat berayun, ternyata terjadi 100 ayuanan penuh

dalam 120 sek, sehingga

T = 120/100 = 1,2 sek. Karena itu

I = ¿¿ = 0,097 slug ft2

11-10 pusat osilasi

Adalah selalu mungkin mendapatkan ayuanan sederhana ekuivalen yang

periodenya sama dengan periode suatu ayuanan fisis tertentu. Jika L ialah panjang

ayunan sederhana, maka

T = 2π √ Lg

= 2π √ Imgh

Atau

L = I

mh .

Jadi, sejauh menyangkut periode ayunan, massa ayuanan fisis dapat dianggap

terkonsentrasi suatu titik yang dinamakan pusat osilasi ayunan tersebut.

Contoh.

Sebuah batang langsing uniform yang panjangnya a diberi poros ayunan dekat

salah satu ujungnya dan berayun seperti ayunannya fisis. Tentukan pusat

osilasinya.

Momen kelembaman batang itu terhadap sumbu yang melalui slaah satu

ujungnya ialah jarak dari poros ke pusat beratnya ialah h = a/2. Panjang ayunan

matematis ekuivalen ialah

L = I

mh = 13

ma2

m(a/2) =

23 a,

Dan pusat osilasinya berada pada jarak 2a/3 dari poros.

Gambar 11-15 memperlihatkan sebuah benda yang dapat berayun terhadap

sebuah sumbu melalui 0; pusat osilasinya berada di titik c. Pusat osilasi dan titik

penyangga mempunyai sifat menarik sebagai berikut, yaitu, jika ayunan berayun

terhadap sumbu baru melalui titik c, periodenya tidak berubah dan titik 0 akan

menjadi pusat osilasi yang baru. Titik sangga dan pusat osilasi itu dikatakan

sekawan (conjugate ).

Pusat osilasi mempunyai sifat penting yang lain lagi. Gambar 11-16

memperlihatkan sebuah pemukul bola yang “berengsel” di titik 0. Jika sebuah

bola mengenai

pemukul pada pusat osilasinya, pada “engsel” itu tidak akan timbul gaya implus

dan karena tidak akan terasa “sepakan” kalau pemukul dipegang pada titik

tersebut. Akibat sifatnya demikian, pusat osilasi pemukul itu dinamakan pusat

pukulan.

Dalam gambar 11-17 yang adalah serengtetan hasil foto multiflash, pusat

berat diberi tanda dengan pita hitam. Pada (a), benda dipukul pada pusat

pukulannya relatif terhadap sebuah poros di ujung atas tali, dan dari awalnya

mengayun secara rata terhadap poros ini. Pada (b) benda dipukul dipusat bertanya.

Dapat dilihat bahwa benda samasekali tidak berotasi terhadap poros tersebut,

melainkan beroleh gerak translasi dari mulai geraknya. Artinya, pusat pukulan

tidak berimpit pusat berat. Pada (c), benda dipukul di sebelah atas pusat

pukulannya, sedangkan pada (d) disebelah bawahnya.