BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika merupakan sebuah ilmu yang sangat penting dalam membantu

perkembangan pemikiran dan menciptakan sesuatu yang baru yang membantu

segala aktivitas manusia.Matematika merupakan alat yang sangat penting dalam

mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Oleh karena itu, mahasiswa dituntut

untuk mengetahui berbagai konsep matematika. Mata kuliah Matematika

Ekonomi dirancang untuk memenuhi kebutuhan ini, yaitu membekali Anda

dengan berbagai konsep matematika dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan

bisnis. Penjelasan dan uraian dalam setiap kegiatan belajar dikemukakan dengan

penjelasan konsep dan kemudian diikuti dengan contoh serta penggunaannya

dalam ilmu ekonomi dan bisnis. Materi pembahasan mata kuliah ini merupakan

pendalaman dan perluasan terhadap materi yang telah dipelajari pada mata kuliah

sebelumnya, yaitu mata kuliah Matematika Ekonomi.

Bertujuan untuk memberikan konsep-konsep dan teknik-teknik dalam

matematika terapan yang sering digunakan untuk analisis ekonomi, bisnis dan

keuangan. Materi yang dibahas adalah himpunan permutasi dan kombinasi

derivatif fungsi yang terdiri dari banyak variabel bebas, matriks, nonlinier

programming, diferensial, integral, serta perkenalan materi yang menyangkut ke

dalam matematika ekonomi. Mahasiswa diharapkan dapat melakukan

1

perbandingan antara permutasi dan kombinasi, persamaan fungsi linier, integral

tertentu dan tak tentu, dan matriks, dsb.

B. Rumusan Masalah

Apa saja pengertian dan contoh dan penyelesainya dari

Tentang Himpunan

Tentang Permutasi dan Kombinasi

Fungsi

Aplikasi dalam Ekonomi

Limit dan Kesinambungan Fungsi

Difensial Fungsi Sederhana Fungsi Sederhana

Difensial Fungsi Sederhana Fungsi Majemuk

Intergral

C. Tujuan

Penyusunan makalah ini memiliki beberapa tujuan yang ingin di capai,

diantaranya:

Untuk memebrikan pemahaman mengenai materi yang ada dalam makalah

ini, semoga kita semua bisa benar-benar memahami tentang materi apa yang

dibahas dalam makalah ini dan dapat menjadikan kita lebih giat dan teliti dalam

belajar terutama dalam mencapai tujuan apa yang kita inginkan.

2

BAB II

PEMBAHASAN

HIMPUNAN

Teori himpunan bersifat sangat mendasar dalam matematika. Ia mendasari hampir

semua cabang ilmu hitung moderen. Berkenaan dengan sifat mendasarnya itu, maka

pada bagian buku ini terlebih dahulu dibahas hal ikhwal yang berhubungan dengan

teori himpunan (set theory)

1.1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Obyek-

obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut aggota, atau

elemen, atau unsur. Obyek-obyek suatu himpunan sangat bervariasi; bisa berupa

orang-orang tertentu, hewan-hewan tertentu, tanam-tanaman tertentu, benda-

benda tertentu, buku-buku tertentu, angka-angka tertentu dan sebagainya.

1.2 Operasi Himpunan : Gabungan, Irisan, Selisih Dan Pelengkap

Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A

B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A atau obyek-

obyekl milik B.

3

A B = { x: x A atau x

Irisan (intersection)dari himpunan A dan B, dituliskan dengan notasi A B

adalah himunan yangberanggotakan baik obyek milik A maupun obyek milik B;

dengan perkataan lain, beranggotakan obyek-obyek yang dimiliki Adan B secara

bersama.

Dalam hal A B = , yakni jika A dan B tidak mempunyai satupun anggota

yang dimiliki bersama, maka A dn B dikatakan (disjoint).

Selisih himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A – B atau A|B,

adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A yang bukan obyek

milik B

Notasi

a. Dengan mendaftar seluruh anggotanya di antara kurung kurawal buka dan

tutup (tabular form)

b. Dengan menyatakan sifat anggotanya

c. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh : A = {1,2,3,4,5}

= himpunan bilangan asli yang lebih kecil daripada 6

= {x|x adalah bil. Asli yang lebih kecil dari 6}

4

A B = { x: x A dan x

A B A|B ={ x: x A tetapi x

Himpunan kosong

Himpunan yang tidak memiliki anggota, dilambangkan dengan { } atau

Himpunan berhingga dan tak berhingga

Himpunan bagian (subhimpunan)

A adalah himpunan

bagian B

-Syarat:

Tiap x A, maka x B

-Notasi

A B atau B A

- Himpunan kosong juga merupakan himpunan

bagian dari suatu himpunan

Kesamaan himpunan

Himpunan A sama dengan himpunan B bila seluruh elemen himpunan A ada

dalam himpunan B dan seluruh elemen himpunan B ada dalam himpunan A

Himpunan yang berpotongan

Himpunan A dan B memiliki elemen bersama

5

A12

B1234

A B

S

Himpunan saling lepas

Himpunan A dan B tidak memiliki elemen bersama

G = { 4, 5, 6 }

H = { 7, 8, 9 }

Himpunan semesta

super himpunan dari himpunan yang bersangkutan

atau

Himpunan dari himpunan-himpunan

Disebut juga dengan keluarga himpunan

Himpunan Kuasa

Keluarga himpunan yang beranggotakan semua sub himpunan dari suatu

himpunan A disebut dengan himpunan kuasa A

Contoh : Jika K = {1,2}, maka himpunan kuasa K adalah 2k = {{},{1},{2},{1,2}}

Operasi Dasar Himpunan

1. Gabungan (Union)

6

US

Notasi Union antara himpunan A dan B dilambangkan A B

2. Irisan (Intersection)

Notasi interseksi antara himpunan A dan B dilambangkan A B

3. Komplemen

Notasi komplemen himpunan A adalah A`

4. Selisih (difference)

Notasi selisih himpunan A dan B adalah A-B

7

S

A B

S

A B

S

A

NB : dalam kasusu ini , hasilnya adalah elemen yang termasuk

anggota himpunan A namun tidak termasuk himpunan B

5. Jumlah (symmetry difference

Notasi juga A-B, tapi yang dihasilkan adalah himpunan elemen-elemen A

dan B namun tidak termasuk irisan keduanya

Sifat Operasi Himpunan

1. Komutatif

A B = B A , berlaku pula utk irisan

(A B) C = A (B C)

2. Distributif

(A B) C = (A B) (A C)

8

S

A B

S

A B

3. Idempoten

A A = A

A A = A

4. Identitas

A U = A dan A = A, berlaku pula untuk irisan

5. Komplementer

A A` = U

A A` =

6. De Morgan

(A B)` = A` B`

(A B)` = A` B`

7. Penyerapan

A (A B) = A

A (A B) = A

9

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Coba perhatikan contoh-contoh di bawah untuk memahami Permutasi dalam konsep

Peluang pada pelajaran Matematika.

Contoh I:

{a,b,c}

Jika dipilih 2 dari 3 unsur tersebut, maka banyaknya permutasi dari 3 unsur setiap

pengambilan 2 unsur adalah 6, yaitu ab, ba, ac, ca, bc, cb.

Ditulis 3P2 = 6.

Contoh II:

{a,b,c}

maka, banyaknya permutasi dari 3 unusr setiap pengambilan 3 unsur adalah 6, yaitu

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Ditulis 3P3 = 6

RUMUS

10

Catatan: Notasi Faktorial

3! = 3x2x1

5! = 5x4x3x2x1

1! = 1

Def 0! = 1

Permutasi Siklis

{a,b,c}

Maka, jika menggunakan permutasi siklis, hasil dari pengambilan 3 unsur dari 3

unsur dapat digambarkan seperti gambar di samping.

RUMUS: banyaknya permutasi = (n-1)!

1.1. KOMBINASI

Kombinasi adalah bentuk lain dari permutasi yang tidak memperhatikan

urutan kemunculan. Kombinasi dapat ditentukan dengan cara:

n : banyak anggota ruang sampel

r : banyak anggota yang ingin dibentuk

11

Misalkan sebuah kelompok paduan suara terdiri dari 20 orang anggota. Akan dipilih

15 orang untuk ikut dalam lomba. Banyak cara untuk memilih susunan peserta

lomba adalah :

Koefisien Binomial

Teorema binomial adalah cara untuk menjabarkan bentuk (p+q)n (n bilangan positif).

Cara ini digunakan sebagai alternatif dari segitiga Pascal.

Gambar 2.4 Segitiga Pascal

Aturan penjabaran bentuk perpangkatan (p+q)n adalah:

1. Suku pertama adalah pn dan suku terakhir adalah qn.

2. Pada suku berikutnya, setiap pangkat p akan berkurang 1 dan pangkat q akan

bertambah 1.

3. Koefisien untuk pn-kqk adalah C(n,k). Bilangan C(n,k) disebut koefisien

binomial.

12

Contohnya:

(p+q) 3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3

(p+q) 4 = p4 + 4p3q + 6 p2q2 + 4 pq3 + q4

Secara umum, nilai kombinasi dari n objek selalu lebih sedikit dari nilai permutasi n

objek. Hal ini dapat kita buktikan dengan rumus kombinasi :

Kombinasi juga disebut bentuk khusus dari permutasi karena persamaan di atas

diturunkan dari rumus permutasi:

1.2. PELUANG

Ada beberapa istilah yang perlu diketahui untuk memahami teori peluang.

Istilah-istilah tersebut adalah percobaan, ruang sampel, titik sampel, dan kejadian.

Percobaan adalah kegiatan yang dilakukan berulang untuk mendapatkan suatu hasil

percobaan tertentu. Ruang sampel atau ruang contoh adalah himpunan dari semua

hasil yang mungkin pada sebuah percobaan. Titik sampel atau titik contoh adalah

13

anggota-anggota dari ruang sampel. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang

contoh. Ada dua macam kejadian :

Kejadian sederhana, yaitu kejadian yang hanya memiliki satu titik sampel

Kejadian majemuk, yaitu kejadian yang memiliki titik sampel lebih dari

satu.

Peluang adalah perbandingan antara banyaknya anggota kejadian (titik

sampel) dengan anggota ruang sampel. Peluang suatu kejadian A adalah

n(A) : banyak anggota kejadian A

n(S) : banyak anggota ruang sampel

Kisaran nilai peluang adalah antara 0 (kemustahilan) sampai dengan

(kepastian), atau dapat ditulis dengan notasi 0 _ P(A) _ 1.

1.3. Permutasi

Definisi permutasi dari beberapa literatur antara lain:

An ordered arrangement of distinct object

Jumlah urutan berbeda dari pengaturan objekobjek

Permutation is the rearrangement of objects or symbols into distinguishable

sequences. Each unique ordering is called a permutation.

Dari definisi-definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa permutasi merupakan

penyusunan objek-objek yang urutannya diperhatikan. Berikut ini representasi

permutasi dalam simbol-simbol :

14

Dalam perkembangannya, ada bermacam-macam jenis permutasi, di

antaranya permutasi yang memuat unsur sama, pemutasi siklis dan permutasi

berulang. Namun, ketiga jenis permutasi tersebut tidak dibahas dalam makalah ini

karena di luar batasan topik.

15

FUNGSI

A. Pengenalan Tentang Fungsi

Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam setiap cabang matematika, sehingga

merupakan suatu yang sangat penting artinya dan banyak sekali kegunaannya. Akan

tetapi pengertian dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam

kehidupan sehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau

manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz

(1646-1716) digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas

antara dua himpunan.

B. Pengertian Fungsi

Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikanlah gambar di bawah ini :

A Berat badannya B

16

Diagram panah pada gambar menyatakan hubungan berat badannya dari himpunan A

ke himpunan B dengan A = { Yuli, Desi, Ratna, Rizki, Putri } dan B = {40, 38, 32, 50

} yang merupakan berat badan.

Setiap anak hanya mempunyai sartu berat badan, sehingga dapat dikatakan setiap

anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Relasi yang mempunyai sifat

seperti ini disebut pemetaan atau fungsi.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan :

Definisi Fungsi: Suatu relasi yang memasangkan setiap anggota dari A

secara tunggal, dengan anggota pada B.

Dinyatakan sebagai : dibaca “f adalah fungsi

dari A ke B jika dan hanya jika .

Dibaca “untuk setiap x anggota A terdapat y anggota B sehingga f(x) = B” dan

. Dibaca “untuk setiap dua

unsur sama di A petanya sama.

C. Domain, Kodomain, dan Range

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

- Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

- Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

- Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain.

Range fungsi f dilambangkan dengan Rf.

17

Misalkan suatu fungsi dinyatakan dengan diagram panah berikut :

Dari diagram panah tersebut dapat dikatakan bahwa :

- himpunan A = {1, 2, 3} disebut domain.

- himpunan B = {2,4, 6, 8} disebut kodomain.

- himpunan semua peta, yaitu {2, 4, 6} disebut range.

D. Sifat-Sifat Fungsi

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi

satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan

dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat

dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat

f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.

2. Surjektif

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil

f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) =B. Apabila f(A)

18

= B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-

kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif.

Contoh:

1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi

yang surjektif karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil

fungsi tersebut.

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A → B yang

didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif karena

daerah hasil f adalah sama dengan kodomain dari f (himpunan B).

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang

injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang

bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh:

19

1. Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p,q, r} yang

didefinisikan sebagai diagram di samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

1. Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota

negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif),

karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang

berlainan.

E. Jenis-Jenis Fungsi

1. Fungsi Konstan

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi

konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

Contoh :

f: R→R didefinisikan oleh f(x) = 3 dengan R = bilangan real.

Grafik fungsi f(x) =3 adalah sebagai berikut :

20

1

23

1 32

f(x)=3

f(1) = 3 f(2) = 3 f(3) = 3

2. Fungsi Identitas

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika

dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

3. Fungsi Linear

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan

dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear.

4. Fungsi Kuadrat

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈

R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

21

12 2 31

3

f(1) = 1

f(2) = 2

f(3) = 3

APLIKASI FUNGSI DALAM EKONOMI

1. Fungsi Dan Curve Permintaan ( Demand )

Seperti yang kita ketahui bahwa permintaan adalah berbagai jumlah barang

yang diminta akan suatu barang pada berbagai tingkat harga. Dalam hukum

permintaan kita lihat bahwa besar kecilnya jumlah yang diminta akan sangat

tergantung pada tingkat harga barang tersebut. Apabila keadaan lainnya tetap

( ceteris paribus ), maka dengan tingkat pendapatan yang tetap, jika harga suatu

barang naik , maka jumlah dari sudut barang naik, maka jumlah yang diminta

akan berkurang.

Sebaliknya jika harga dari barang itu tuirun , maka jumlah yang diminta akan

bertambah. Hal ini dapat di lihat pada gambar 4.1 .

Harga

(p)

P2

permintaan

P0

P1

X2 X0 X1 KUANTITAS ( X )

Gambar 4.1 grafik / curve permintaansuatu barang

22

2. Fungsi Dan Curve Penawaran ( Supply )

Penawaran adalah jumlah yang ditawarkan pada suatu barang berbagai tingkat

harga . curve penawaran suatu barang merupakan grafik yang mengambarkan

pola hubungan antara jumlah yang ditawarkan dari barang tersebut pada tingkat

harga . Dalam hukum penawaran kita melihat bahwa besar kecilnya jumlah yang

ditawarkan suatu barang sangat tergantung pada tingkat harga barang tersebut.

Apabila keadaan lainnya (ceteris paribus), maka jika dari suatu barang naik,

jumlah yang ditawarkan akan barang harga dari suatu barang naik , jumlah yang

ditawarkan akan barang tersebut akan bertambah, karena produsen berusaha

untuk menggunakan kesempatan mempebesar keuntungannya. Sebaliknya jika

harga barang itu turun, jumlah yang ditawarkan akan berkurang, karena produsen

berusaha mengurangi kerugiannya.Gambar curve penawaran suatu barang

umumnya berbentuk seperti terlihat pada gambar 4.7

P Penawaran

P1 S P0

P2

x X2 X3 X1

Gambar 4.7 Grafik / curve penawaran sutu barang

23

Untuk menentukan penerapan fungsi dalam perekonomian , maka terlebih

dahulu kita mengenal adanya perpotongan dua buah fungsi. Dalam hal ini dua buah

fungsi dikatakan berpotongan apabila kedua buah fungsi tersebut mempunyai sebuah

titik persekutuan yang disebut titik potong. Dimana titik potong antara kedua buah

fungsi tersebut diperoleh dengan mempersamakan kedua buah fungsi itu.yang

hasilnya dinamakan titik keseimbangan (Equilibrium).

Didalam perekonomian penerapan fungsi dapat dilihat dari adanya

perpotongan demand (permintaan) dan supply (penawaran) yang dinamakan dengan

keseimbangan pasar. Untuk lebih mengetahui dengan jelas penerapan fungsi tersebut

dapat ditentukan sebagai berikut :

Fungsi Permintaan ( Demand = D ) :

a. Fungsi Linear

b. Fungsi Kuadrat

c. Fungsi Pecah

Fungsi Penawaran ( Supply = S ) :

a. Fungsi Linear

b. Fungsi Kuadrat

24

Grafik perpotongan dua buah fungsi (keseimbangan/equilibrium) :

P P S

S

E

E D

D

Q

Q

P S

E

D

AD

Q

AT

Syarat-syarat keseimbangan pasar :

1. Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk nilai-nilai yang positif

2. Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk titik yang memenuhi ketentuan

bagi kurve permintaan dan kurve penawaran.

25

Contoh Soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut :

1. Permintaan → P = 15 - 2 Q

Penawaran → P = 4 + 1,5 Q

2. Permintaan → P = 3 Q + 6

2 Q - 2

Penawaran → P = 3 Q + 2

Tentukanlah titik keseimbangan dari masing- masing soal tersebut dan gambarkan

grafiknya.

PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI DALAM PENERAPAN FUNGSI

Pajak : Adalah merupakan pungutan yang ditarik oleh pemerintah terhadap wajib

pajak, tanpa mendapatkan balas jasa secara langsung.

Pajak yang akan dimasukan dalam menentukan keseimbangan ini adalah pajak per-

unit dan pajak prosentase.

Pajak per-unit :

adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu, dimana barang

tersebut besarnya ditentukan dalam jumlah uang yang tetap untuk setiap unit

barang yang dihasilkan.

26

Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya

adalah:

Sebelum ada pajak : S → P = f ( Q )

Sesudah ada Pajak : S → Pt = f ( Q ) + t

Pajak Prosentase:

Adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu dimana pajak tersebut

diperhitungkan sebesar prosentase yang tetap dari hasil penerimaannya.

Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk fungsinya

adalah:

Sebelum ada pajak : S → P = f ( Q )

Sesudah ada Pajak : S → Pr = f ( Q ) ( 1 + r )

SUBSIDI :

Merupakan bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen / supplier

terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkannya sehingga harga yang berlaku

dipasar adalah harga yang diinginkan pemerintah yaitu harga yang lebih rendah

dengan jumlah yang dapat dibeli masyarakat lebih besar.

Besarnya subsidi yang diberikan biasanya tetap untuk setiap unit barang yang

dihasilkan atau dipasarkan.

Yang dikenakan subsidi disini adalah penawaran ( Produsen ), maka bentuk

fungsinya adalah:

27

Sebelum ada subsidi : S → P = f ( Q )

Sesudah ada subsidi : S → Ps = f ( Q ) - S

Grafik Fungsi Dari Pengaruh Pajak Dan Subsidi

1. Grafik Pengaruh Pajak

P

S1 (S sesudah ada pajak)

P1 S (sebelum ada pajak)

P0 E1

E

Q1 Q0 Q

2. GRAFIK PENGARUH SUBSIDI

P

S (S sebelum ada subsidi)

P0 S1 (sesudah ada subsidi)

P1 E

E1

Q0 Q1 Q

28

Contoh Soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut :

1. Permintaan → P = 16 – 4 Q

Penawaran → P = 5 + Q

Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak per-unit Rp 3,-, pajak

persentase 25 % , dan subsidi Rp 2,- per-unit, maka berapakah titik

keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak, serta gambarkan grafiknya.

2. Permintaan → P = 2 Q2 - 7 Q + 10

Penawaran → P = 6 Q + 3 Q2 + 8

a. Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 2 per-unit, maka

tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak.

b. Jika terhadap barang tersebut dikenakan subsidi sebesar Rp 3 per-unit,

maka tentukan keseimbangan sebelum dan sesudah ada subsidi.

c. Gambarkan grafik dari kedua soal tersebut.

Cara Menghitung Nilai Pajak dan Subsidi :

1. Pajak per-unit yang ditanggung oleh produsen

Ts = Po - f ( S )

Dimana: Po adalah Nilai P eq sebelum ada pajak

F (S) = fungsi supply yang nilai Q diambil dari nilai Q setelah

ada pajak .

29

2. Total pajak yang ditanggung oleh Produsen

Px = Ts × Qt

3. Pajak per-unit yang ditanggung konsumen

Td = Pt - Po

4. Total Pajak yang ditanggung konsumen

Kx = Td × Qt

5. Besarnya Pajak yang diterima pemerintah

Qt × t → untuk pajak per-unit

Qt × ( 1 + r ) → untuk pajak posentase

6. Besarnya subsidi yang diberikan oleh pemerintah

Gs = S × Qs

7. Besarnya Subsidi yang dinikmati Konsumen

Ks = ( Po - Ps ) (Qs)

8. Besarnya subsidi yang dinikmati Produsen

Ps = Gs - Ks

Keseimbangan pasar dua macam Produk :

Formulasi untuk fungsi permintaan dapat ditulis sebagai berikut

Qdx = a0 - a1 Px + a2 Py

Qdy = b0 + b1 Px + b2 Py

Formulasi untuk fungsi peanawaran dapat ditulis sebagai berikut

30

Qsx = - m0 + m1 Px + m2 Py

Qsy = - n0 + n1 Px + n2 Py

Dimana :

Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X

Qdy = Jumlah yang diminta dari produk Y

Qsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk X

Qsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y

P x = Harga Produk X

P y = Harga Produk Y

Variable a, b, m dan n adalah konstanta

Contoh soal :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari dua macam produk yang

mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut :

Qdx = 5 - 2 Px + Py

Qdy = 6 + Px - Py

Qsx = - 5 + 4Px - Py

Qsy = - 4 - Px + 3 Py

Carilah : Harga dan kuantitas dari keseimbangan pasar.

Jawab :

Syarat keseimbangan pasar Qdx = Qsx atau Qdy = Qsy

Qdx = 5 – 2 Px + Py

Qsx = - 5 + 4 Px – Py -

0 = 10 - 6 Px + 2 Py

31

Qdy = 6 + Px - Py

Qsy = -4 - Px + 3 Py -

0 = 10 + 2 Px – 4 Py

Masukan dalam bentuk persamaan :

0 = 10 - 6 Px + 2 Py → (X 2) → 0 = 20 - 12 Px + 4 Py

0 = 10 + 2 Px - 4 Py → (X 1) → 0 = 10 + 2 Px - 4 Py +

0 = 30 - 10 Px + 0

10 Px = 30

Px = 30 / 10 = 3

Maka Py dapat dicari dari 0 = 10 - 6 Px + 2 Py

-2 Py = - 10 + 6 Px

-2 Py = - 10 + 6 (3)

Py = - 10 + 18 → Py = 4

2

Maka Qx dan Qy dapat dicari dengan memasukan persamaan sbb :

Qx = 5 - 2 Px + Py

Qx = 5 - 2 (3) + 4 jadi Qx = 3

Qy = 6 + Px - Py jadi Qy = 6 + 3 - 4 = 5

32

Fungsi Biaya Dan Penerimaan

Biaya secara umum terdiri dari :

1. Biaya Total (Total Cost = TC ) = TFC + TVC

2. Biaya tetap Total (Total Fixed Cost = TFC ) = TC - TVC

3. Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost = TVC ) = TC - TFC

4. Biaya Tetap rata-rata (Avarage fixed cost = AFC ) = AFC / Q

5. Biaya variable rata-rata (Avarage Variabel cost = AVC ) = AVC / Q

6. Biaya rata-rata (Avarage Cost = AC ) = TC / Q

7. Biaya Marginal ( Marginal Cost = MC ) = ∆ TC / ∆ Q

Penerimaan = Revenue, terdiri dari :

1. Total Revenue (TR) = P x Q

2. Avarage Revenue (AR) = TR / Q = P

3. Marginal Revenue (MR) = ∆ TR / ∆ Q

4. TR maximum akan berada pada Q = -b / 2 a

5. Profit atau keuntungan = TR - TC

6. Break Even Point ( BEP ) akan terjadi pada saat : TR = TC

Fungsi Produksi

Bentuk fungsi produk total yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan

kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak.

Bentuk umum dari fungsi produksi adalah :

Produk Total : P = f (X)

33

Produk rata-rata : AP = P / X

Produk Marginal : MP = ∆P / ∆X

Secara grafik, kurve produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurve

produk marginal ( MP =0 ). Sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi

titik belok kurva P. Disamping itu kurva MP memotong kurva AP pada posisi

maksimum AP. Hal ini dapat dilihat pada grafik berikut :

P

P=f (X)

AP

0 X

MP

Contoh soal ;

Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen adalah sebesar ;

P = 9 X2 - X3

34

Buatlah persamaan produk rata-ratanya, serta hitunglah total produk dan produk rata-

rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa marginal produknya

jika masukan yang digunakan ditambah 1 unit.

Jawab :

P = 9 X2 - X3 → AP = P / X = 9 X - X2

Untuk X = 6 → P = 9 ( 62 ) - 63 = 108

→ AP = 9 ( 6 ) - 62 = 18

Untuk X = 7 → P = 9 ( 72 ) - 73 = 98

→ MP = ∆ P /∆ X = 108 - 98 = - 10

7 - 6

Kesimpulan ; produk marginal hasilnya negatif, artinya masukan tambahan yang

digunakan justru mengurangi hasil produksi.

35

LIMIT & KESINAMBUNGAN FUNGSI

1 Teorema

1. 4.

2. 5.

dengan

3. , c = konstanta 6.

2 Bentuk Tak Tentu

Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu :

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu,

misalnya : 63

04, .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya :

50

36

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :

00 1, , ,

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk

tertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar

Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim ( ) ( )x a

f x f a

Contoh : 1. lim( ) ( ( ))x

x x

3

2 22 3 2 3 9 6 15

2. lim ( )x

x xx

0 5 70 0

5 0 707

2 2

0

Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu :

00 1, ,

dan .

3.1 Bentuk 00

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan

penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan

nilai x = a.

37

Catatan :

1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh

dibagi dengan (x a)

2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 0

3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum

difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :

1. lim lim lim( )( )( )( )x

x xx x

x xx x x

xx

3

5 69 3

3 23 3 3

23

3 23 3

16

2

2

2. lim lim( )

( ) ( )x

x x xx x x

x x x

x x x x

x xx x

0

54 2

5

4 2 0

54 2

0 0 50 4 0 2

52

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

3.

lim lim lim ( ) ( )

( )x

x x

x x x

x x

x

x x

x x x

x x

x x x

1

3 5 1

1

3 5 1

1

3 5 1

3 5 1 1

3 5 1

1 3 5 1

2

2

2

2

2

2

2

2 2

lim lim lim( )

( )( )

( )( )

( )

( )x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x

x x x

1

5 4

1 3 5 1 1

1 4

1 1 3 5 1 1

4

1 3 5 1

2

2 2 2 2

1 4

1 1 4 4

32 2 2

38

38

( ) ( )

3.2 Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut

dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus :

limx

ax 0 .

38

Contoh :

1.

2.

3.

Kesimpulan:

Jika f x a x a x an nn( ) .....

0 11

g x b x b x bm mm( ) .....

0 11

maka: 1. lim ( )( )x

f xg x

ab

0

0 untuk n = m

2. lim ( )( )x

f xg x

0 untuk n < m

3. lim ( )( )x

f xg x

atau - untuk n > m

4. limx

x x xx x x

2 76 2 8

26

13

5 4 3

5 3 2 (kesimpulan (1))

39

5. limx

x x xx x x

10 8 7

12 5 22 312

0 (kesimpulan (2))

6. limx

x xx x x

3 6 22 7

7 4

6 4 3 (kesimpulan (3))

3.3 Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :

1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

2. Bentuknya berubah menjadi

3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)

Contoh:

1.

40

pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1,

sebab

2.

Secara umum:

1)b q

a

2 jika a = p

2) jika a > p

3) - jika a < p

3.

4.

5.

3.4 Limit Bentuk 1

Definisi :

41

pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

1.

2.

Contoh :

1.

2.

3.

4 Limit Fungsi Trigonometri

Teorema :

1. lim limsinsinx

xx x

xx

0 0

1

2. lim limtantanx

xx x

xx

0 0

1

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

42

x bilangan real

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa

jika f(a) terdefinisi, maka: lim ( ) ( )x a

f x f a

Contoh :

1. lim sin cos sin cosx

x x

0

2 0 0 0 1 1

2.

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :

00 0, , . .

4.1 Limit Bentuk 00

1.

2.

3.

4.2 Limit Bentuk

Limit bentuk dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 00 .

Contoh :

43

4. 3 Limit Bentuk 0.

Limit bentuk 0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 00 .

Contoh :

5 Limit Deret Konvergen

Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio

(pembanding) : 1 < r < 1.

Teorema :

44

S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen

a : U1 : suku pertama

r : rasio, yaitu r UU 2

1

Contoh :

1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :

a) 2 1 12

14 ..... b) 3 1 1

319 .....

Jawab : a) S ar 1

21

212

12

4 b) S ar 1

31

3 941

343

( )

2. Hitung limit berikut :

a) b)

Jawab : a) lim ...n

arn

1 1

41

161

4 11

1431

4

b)

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !

a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....

Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....

45

b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku

bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !

Jawab : S ar 12 121 ...... (1)

U2 + U4 + U6 + ... = 4

ar + ar3 + ar5 + ... = 4

arr

ar

rr1 1 12 4 4

...... (2)

Persamaan (1) : a

ra a1 1

12 12 612

Rasio = 12 dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat

sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah

keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk

bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua

bujursangkar itu !

Jawab :

46

RD C

S Q

52

52

55 P BA

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2.Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2.

Rasio luas = 50100

12

Jumlah semua bujursangkar = a

1 51501 1

2

200 cm2

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan

hanya jika lim ( ) ( )x a

f x f a

.

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :

1. f(a) terdefinisi (ada)

2. lim ( )x a

f x terdefinisi ada

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x)

diskontinu (tak sinambung) di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

47

y

f(a)f(x)

xa

f(x) kontinu di x = a, sebab

1.

y

f(a)

f(x)

xa

f(x) diskontinu di x = a,sebab tidak ada

2.

Contoh :

1. Tunjukkan bahwa fungsi kontinu di x = 1

Jawab : 1) f ( )1 1 1 3 12 f(1) terdefinisi

2) lim ( )x

f x 1 terdefinisi

3) lim ( ) ( )x

f x f

1

1 Jadi fungsi f x x x( ) 2 3 kontinu di x =1.

2. Selidiki apakah fungsi f x xx( )

2 93

kontinu di x = 3

Jawab : 1) f ( )3 3 93 3

00

2

(tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

3. Selidiki apakah fungsi

48

f(x) diskontinu di x = a, sebab f(a)

y

f(a)f(x)

xa

3.

kontinu di x = 2

Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi)

2)

(terdefinisi)

3) , berarti f(x) diskontinu di x = 1

49

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

1. Elastisitas

Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan

sebagai:

n = Ey = lim x → 0 (y / y) = dy * x Ex (x / x) dx y

Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan

relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat

kecil atau mendekati nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga

dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase

perubahan x.

1. Elastisitas Permintaan

Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta disebabkan

karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase

perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga.

Jika fungsi puritan dinyatakan dengan Qd = f (p) maka elastisitas

permintaannya :

Nd = %Qd = EQd = lim P → 0 (Qd / Q) = dQd * P

%P EP (P / P) dP Qd

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat :

50

Elastis apabila nd > 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara

berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase

perubahan harganya.

Unitary elastis apabila nd = 1 yang artinya jika harga barang berubah

sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah

(secara berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar daripada

persentase perubahan harganya.

Inelastis apabila nd < 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara

berlawanan arah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase

perubahan harganya.

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qd = 25

– 3P². Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5.

Qd = 25 – 3P² → Qd’ = dQd = -6P

Dp

nd = dQd * P = -6P * P

dp Qd 25-3P²

= -6 (5) * 5 = 3 (elastis)25-75

nd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukam P =5, harga naik (turun) sebesar

1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak

3%.

2. Elastisitas Penawaran

Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan disebabkan

karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase

51

perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan

harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas

penawarannya :

ns = %Qs = EQs = lim P → 0 (Qs / Q) = dQs *

P

%P EP (P/P) dP Qs

Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat :

Elastis apabila ns >1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah

(secara searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase

perubahan harganya.

Unitary elastis apabila ns = 1 yang artinya jika harga berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara

searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan

harganya.

Inelastis apabila ns < 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara

searah dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan

harganya.

Contoh :

Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan

Qs = -200 +7P²

Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.

Qs = -200 + 7P² → Qs’ = dQs = 14P

dp

52

ns = dQs * P = 14P * P

dp Qs -200+7P²

= 14 (10) * 10 = 2,8 (elastis)

-200 + 700

nd = 2,8 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 10, harga naik (turun)

sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang)

sebanyak 2,8%.

3. Elastisitas Produksi

Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan

akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi

merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap

persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan

dengan P = f (x), maka elastisitas produksinya :

np = %P = EP = lim x → 0 (P / P) = dP * x %x EX (x / x) dx P

Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat :

Elastis apabila np > 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan

persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya.

53

Unitary elastis apabila np = 1 yang artinya jumlah input berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan

persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya.

Inelastis apabila np < 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar

persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan

persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya.

Contoh :

Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan

P = 6x² - x³

Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi

sebanyak 3 unit.

P = 6x² - x³ → P’ = dp = 12x – 3x² dx

np = dP * X = 12x – 3x² * x dx P (6x²- x³) = (36- 27 ) * 3 = 1 (unitary elastis)

(54-27)

np = 1 berarti bahwa apabila, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input

dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah

(berkurang) sebesar 1 %.

2. Biaya Marjinal

Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan

untuk menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya

marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya

54

total dinyatakan dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q

melambangkan jumlah produk, maka biaya marjinalnya :

Contoh :

Biaya total : C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4 Biaya Marjinal : MC = C’ = dC/dQ = 3Q² - 6Q + 4

Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga

fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat.

C , MC

C C = Q³ -3 Q² + 4Q + 46 MC = C’ = 3Q² - 6Q + 4

(MC)’ = C” = 6Q - 6

4 MC minimum jika (MC)’ = 0

MC (MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1

1 Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1

C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6 Q

0 1

3. Penerimaan Marjinal

Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit

keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan

marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi

55

MC = c’ = dC dQ

penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total

dan Q melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :

Contoh :Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka

P, R, MR

R= 16Q- 2 Q²32 Penerimaan total :

R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q²Penerimaan marjinal :MR = R’ = 16 – 4Q

16 P = 16 – 2Q Pada MR = 0, Q = 4 8 P= 16 – 2(4) = 8

R =16(4) – 2(4)² = 32

Q0 4 8

4. Utilitas Marjinal

Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu

unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal

merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total

dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan

jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :

56

MR = R’ = dR dQ

Contoh :U = f(Q) = 90Q – 5 Q² U maks = 90(9) – 5(9)²MU = U’ = 90 – 10Q = 810 – 405U maksimum pada MU = 0 = 405MU = 0; Q = 9

U, MU

405 U = 90Q – 5Q²

90 MU = 90 – 10Q

0 9 18 Q

5. Produk Marjinal

Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(x) dimana P adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk marjinalnya

57

MU = U’ = dU dQ

Contoh : Produksi total = P = f(x) = 9x² - x³ Produk marjinal = MP = P’ = 18x – 3x² P maksimum pada P’ = 0 yakni pada X = 6 dengan P maks + 108. P berada pada titik belok dan MP maks pada P” = (MP)’ = 0 ; Yakni pada X = 3

P, MP

108P = f(x)

54

27

X0 3 6 MP

58

MP = P’ = dP dX

6. Analisis Profit Maksimum

Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan

pendekatan diferensial. Karena baiak penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya

(Cost, C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran yang dihasilkan/terjual

(Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan

(π). Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit):

1. π’ = 0

2. π’’ < 0

dimana

π = R – C

Contoh 1:

Diketahui: R = – 2Q2 + 1000Q

C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000

Ditanyakan:

a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?

b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?

c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan

maksimum?

d. Berapa harga jual per unit pada saat perusahaan mencapai keuntungan

maksimum?

59

e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?

Penyelesaian:

a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000)

π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000

π’ = – 3Q2 + 114Q – 315

Agar keuntungan maksimum:

Syarat 1. π’ = 0

π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0

Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran)

Syarat 2. π’’ < 0,

Q1 = 3, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96

Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96 √

Karena syarat ke 2 untuk Q = 35 hasilnya < 0, maka tingkat produksi

yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit.

b. Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum:

C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000

C = 353 – 59.(352)+ 1315.(35) + 2000

C = 18.625

60

c. Besarnya pendapatan:

R = – 2Q2 + 1000Q

R = – 2.(352)+ 1000.(35)

R = 32.550

d. Harga jual per unit:

R = P.Q, maka P = R/Q

P = 32550/35 = 930/unit

e. Adapun besarnya keuntungan maksimum tersebut adalah:

π = - (35)3 + 57 (35)2 – 315 (35) – 2000 = 13.925

atau:

π = R – C

π = 32.550 – 18.625 = 13.925

61

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

Fungsi dengan dua variabel atau lebih variabel bebas ini sering kita jumpai dalam

penerapan bidang ekonomi dan bisnis. Karena dalam kenyataannya, bila ditelusuri

lebih mendalam biasanya suatu variabel terikat (dependent variable) akan

dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas (independent variables). Namun, perlu

diingat bahwa di antara variabel-variabel bebas ini ada yang saling mempengaruhi

(interdependency), dan ada pula yang tidak saling mempengaruhi (independent) satu

sama lainnya. Hal inilah yang perlu diperhatikan bilamana akan membuat suatu

model ekonomi atau bisnis, aga

r dalam analisisnya nanti akan diperoleh hasil yang sesuai dan akurat.

1. Diferensiasi parsial

Misalkan, kita mempunyai suatu fungsi dengan n variabel bebas,

Y = f (X1,X2,..........................Xn)

di mana variabel bebas X1,X2, dan seterusnya sampai Xn adalah tidak saling

mempengaruhi (independent) satu sama lainnya. Jika variabel terikat Y

berubah yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu varibel bebas yang

sangat kecil (katakannlah X1), sedangkan variabel bebas lainnya katakanlah

(X2,X3, ... , Xn) tidak berubah atau konstan, maka hal ini dapat disebut sebagai

62

derivatif parsial dari Y terhadap X1. Selanjutnya , hal yang serupa bila

variabel bebas X2 yang berubah-ubah dan variabel bebas lainnya konstan,

maka kita sebut derivatif parsial dari Y terhadap X2. Dengan demikian,

derivatif parsial dapat didefinisikan sebagai tingkat perubahan seketika dari

variabel terikat Y yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu variabel

bebas X, dimana variabel bebas X lainnya dianggap konstan.

Simbol dari derivatif parsial adalah huruf kecil delta yaitu ∂ atau

dengan huruf kecil d. Jadi, derivatif parsial Y terhadap X1, dapat ditulis

menjadi,

∂ Y atau dy atau Fxx dan Fyy atau Fx’ dan Fy’

∂ X1 dx

Penulisan lain derivatif parsial dari suatu fungsi,

Y = f (X1,X2,....Xn) adalah f1,f2, ..... fn

Penulisan ini hampir sama dengan penulisan f’(X) pada fungsi dengan satu

variabel bebas. Namun, bilamana fungsi tidak ditulis dalam bentuk seperti di

atas, melainkan fungsi ditulis dalam bentuk seperti,

Y = f (U,V,W), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau

∂Y/∂U, atau ∂Y/∂V, dan ∂Y/∂W.

63

Jadi, penulisan derivatif parsial secara umum dari fungsi,

Y = f (X1,X2,....Xn) adalah,

di mana: i = 1,2,.....,n

Proses untuk mencari derivatif parsial disebut diferensial parsial. Teknik

diferensiasi parsial ini berbeda dengan aturan diferensiasi fungsi dengan satu

variabel bebas. Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas

hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu : jika y = f (x) maka y’ =

dy/dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel

bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika suatu

fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan.

Jika y = f (x,z) maka akan ada 2 y’ yaitu y’ = dy/dx dan y’ = dy/dz. Untuk

membedakan turunan terhadap x dan z maka biasanya akan diberi notasi Fx

untuk turunan terhadap x dan Fz untuk turunan terhadap z.

64

fi atau ∂Y∂Xi

Contoh :

Y = 3x² - 8xz – 5 z² maka Fx = dy/dx = 6x – 8z dan

Fz = dy/dz = -8x –10 z

2. Derivatif dari derivatif parsial

Seperti halnya dengan fungsi dengan satu variabel bebas maka fungsi yang

memiliki lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu

kali. Dengan kata lain masing-masing parsialnya masih mungkin diturunkan

lagi, namun berapa banyak turunan dari turunan parsial dapat dibentuk

tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut.

Contoh :

Y = X³ + 5 Z² - 4 X² Z – 6 XZ² + 8Z – 7

Turunan 1 Turunan 1

Fx = dy/dx = 3 X² - 8 XZ – 6 Z² Fz = dy/dz = 10 Z - 4 X² – 12 XZ

Turunan 2 Turunan 2

Fxx = d²y/dx² = 6 X – 8 Z Fzx = d²y/dzdx = -8 X – 12 Z

Fxz = d²y/dxdz = -8 X – 12 Z Fzz = d²y/dz² = 10 – 12 X

Turunan 3 Turunan 3

Fxxx = d³y/dx³ = 6 Fzxx = d³y/dzdx² = -8

65

Fxxz = d²y/dx²dz = -8 Fzxz = d³y/dz²dx = -12

Fxzx = d³y/ dx²dz = -8 Fzzx = d³y/ dz²dx = -12

Fxzz = d³y/ dxdz² = -12 Fzzz = d³y/ dz³ = 0

Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat diturunkan lagi karena

masing-masing hanya mengandung konstanta.

3. Nilai ekstrim: maksimum dan minimum

Nilai ekstrim dari (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari

satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya :

Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan agar fungsinya mencapai titik

ekstrim. Untuk mengetahui apakah titik ekstrim tersebut titik maksimum atau

minimum, digunakan syarat yang harus dipenuhi yaitu:

66

Untuk y = f (x,z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :

Fx = dy/dx = 0 dan Fz = dy/dz=0

Maksimum bila Fxx = d²y/dx² < 0 dan Fzz=d²y/dz² < 0

Minimum bila Fxx = d²y/dx² > 0 dan Fzz = d²y/dz² >0

Contoh 1:

Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum

atau titik minimum ? : y = -x² + 12x -z² + 10z – 45

Jawab :

Fx = -2x + 12 = 0 y = -6² + 12 . 6 -5² + 10 . 5 – 45

= 16

-2x + 12 = 0 Fxx = -2 < 0 dan Fzz < 0 maka

titik

-2x = 12 maka x = 6 ekstrimnya adalah titik

maksimum

Fz = -2z + 10 = 0 dengan y maks = 16

-2z + 10 = 0

2z = 10 maka z = 5

4. Optimasi bersyarat : Pengganda Lagrange

Dalam kenyataan kita sering sekali harus mengoptimalkan suatu fungsi yakni

mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi

lain yang harus dipenuhi, atau dengan kata lain hendak mengoptimumkan tetapi

menghadapi kendala. Dalam kasus ekonomi hal ini banyak sekali terjadi, misalnya

hendak mengoptimalkan kepuasan tetapi terbentur oleh pendapatan yang terbatas,

67

atau ingin memaksimumkan laba tapi terbentur oleh terbatasnya jumlah produk

yang dapat dihasilkan.

Pengganda Lagrange

Adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah diatas

yaitu ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terbentur oleh adanya batasan

(kendala).

Caranya:

F = Fungsi yang hendak dioptimumkan + λ (fungsi kendala)

Kemudian cari nilai ekstrimnya dengan cara diferensiasi parsial:

Fx’ = 0

Fy’ = 0

Kemudian masukkan nilai ekstrim tersebut ke dalam fungsi kendala, sehingga

diperoleh nilai variabel x dan variabel y. Barulah dimasukkan ke dalam fungsi

yang hendak dioptimumkan.

Contoh 1:

Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan kendala x² + y² = 8

Jelas pula nilai ekstrimnya.

Jawab :

Fungsi Lagrange = F = 2x + 2y + λ(x²+ y² - 8) = 2x + 2y + x² λ + y² λ – 8 λ

68

Agar ekstrim F’ = 0

Fx = 2 + 2xλ = 0 diperoleh λ = -2/2x = -1/x………………(1)

Fy = 2 + 2yλ = 0 diperoleh λ = -2/2y = -1/y………………(2)

Berdasarkan (1) dan (2) : -1/x = -1/y atau x = y

Menurut fungsi kendala x² + y² = 8 jika x = y maka x² + x² = 8

2x² = 8

x² = 4

x = 2 berarti y = 2

karena x = y = 2 maka z = 2² + 2² = 8

penyidikan nilai ekstrim :

untuk x = y = 2. maka = -1/x = -1/y =-1/2

Fxx = 2 = 2. –1/2 = -1 < 0 karena Fxx dan Fyy < 0 maka nilai

Fyy = 2 = 2. –1/2 = -1 < 0 ekstrimnya adalah maksimum

Untuk x = y = -2 maka = -1/x = -1/y = ½

Fxx = 2 = 2. 1/2 = 1 > 0 karena Fxx dan Fyy > 0 maka nilai

Fyy = 2 = 2. 1/2 = 1 > 0 ekstrimnya adalah minimum

INTEGRAL

1.1 Definisi Integral Tak Tentu (Indefinite Integral)

69

Jika   maka y adalah fungsi yang mempunyai turunan f(x)dan disebut anti

turunan

(antiderivate) dari f(x) atau integral tak tentu dari f(x)yang diberi notasi   .

Sebaliknya, jika

 karena turunan dari suatu konstanta adalah nol, maka suatu integral

tak tentu 

mempunyai suku konstanta sembarang.

1.2 Rumus-rumus Integral Tak Tentu

70

71

BAB III

PENUTUP

A. Simpulan

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki peranan penting

dalam dunia pendidikan dan kehidupan, namun masih banyak yang kurang

72

menyukai, takut, tidak tertarik walaupun dalam kehidupan sehari-hari tidak

lepas dari persoalan matematika.

Pendidikan matematika di sekolah perlu dipahami dan dikembangkan sesuai

dengan perkembangan zaman. Hal ini dengan memperbanyak materi aplikasi

matematika dalam bidang keahlian. Karena matematika membentuk pola

berpikir kritis, kreatif, inovatis, dan mandiri serta mampu menyelesaikan

masalah secara tepat dan dapat pertanggungjawabkan.

Guru/ Dosen memiliki peranan penting dalam kegiatan pembelajaran

matematika. Sehingga Guru/ Dosen matematika harus memenuhi beberapa

kriteria yaitu :

o Menguasai materi dengan baik, hal ini berkaitan dengan latar belakang

pendidikan Guru/ Dosen tersebut.

o Menguasai teknik pengajaran matematika dengan baik, hal ini

berkaitan dengan keaktifan dan inovasi Guru/ Dosen dalam membuat

saran belajar seperti alat peraga dan trik-trik memotivasi siswa.

o Menguasai kelas dan siswa dengan baik, artinya Guru/ Dosen harus

memahami karakter dan kemampuan siswa.

Konsep-konsep matematika banyak diterapkan dalam ilmu pengetahuan lain,

hal ini sesuai dengan istilah matematika sebagai induknya ilmu pengetahuan.

Serta konsep-konsep matematika banyak diterapkan dalam menyelesaikan

masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hari.

73

Terima kasih kami ucapakan kepada para pembaca makalah ini khususnya

maha siswa dan maha siswi yang mempelajari makalah ini semoga makalah

ini dapat bermampa’at bagi kita semua. Mungkin makalah ini masih banyak di

temukan kesalahan dan mungkin masih jauh dari sempurna. untuk itu kami

memohon kritik dan sarannya yang bersifat membangun

B. SARAN

Terima kasih kami ucapakan kepada para pembaca makalah ini khususnya maha

siswa dan maha siswi yang mempelajari makalah ini semoga makalah ini dapat

bermampa’at bagi kita semua. Mungkin makalah ini masih banyak di temukan

kesalahan dan mungkin masih jauh dari sempurna. untuk itu kami memohon

kritik dan sarannya yang bersifat membangun

DAFTAR PUSTAKA

Sugiarto, “Hand Out Pengantar Dasar Matematika”, FMIPA Universitas Negeri

Semarang.

Munir, Rinaldi, Diktat Kuliah Struktur Diskrit, Departemen Teknik Informatika,

Institut Teknologi Bandung, 2004.

74

Anonim.

Soedyarto, Nugroho, Maryanto. 2008.

75