FISIKA STATISTIKSTATISTIK BOSE-EINSTEIN

DISUSUN OLEH:MUHAMMAD YUSRIADI DAHLANMUHAMMAD ALI RESKY M.RIFQAH B.RIRIN IMBARWATI

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR2015

STATISTIK BOSE-EINSTEINPada awal 1920-anSatyendra Nath Bose, seorang professor Universitas DhakadiBritish Indiatertarik oleh teori einstein mengenai gelombang cahaya yang diumpamakan sebagai partikel yang disebutfoton. Bose tertarik untuk menurunkan rumus radiasi Planck, yang Planck diperoleh sebagian besar dengan menebak. Pada tahun 1900Max Plancktelah diperoleh formula dengan memanipulasi matematika agar sesuai dengan bukti empiris. Menggunakan gambar partikel Einstein, Bose mampu menurunkan rumus radiasi dengan sistematis mengembangkan statistik partikel tak bermassa tanpa kendala konservasi partikel angka. Penemuan Bose berasal dari Hukum Radiasi Planck oleh mengusulkan keadaan-keadaan yang berbeda untuk foton. Daripada kebebasan statistik partikel, partikel Bose dimasukkan ke dalam sel dan menggambarkan kemandirian statistik selruang fase. Sistem tersebut memungkinkan duapolarisasikeadaan, dan menunjukkan benar-benarsimetrisfungsi gelombang. Ia mengembangkan hukum statistik yang mengatur pola perilaku foton cukup berhasil. Namun, ia tidak bisa menerbitkan karyanya, tidak ada jurnal diEropaakan menerima makalahnya, karena tidak dapat memahaminya. Bose mengirimkan papernya kepada Einstein, yang melihat pentingnya dan menggunakan pengaruhnya untuk mendapatkannya diterbitkan.Syarat Berlakunya Hukum Distribusi Bose Einstein 1. Partikel partikel adalah identik (tidak dapat dibedakan) karena setiap pertukaran partikel tidak menghasilkan keadaan baru.2. Berlaku untuk partikel partikel boson yaitu semua partikel yang memiliki fungsi gelombang simetrik.3. Tidak memenuhi larangan Pauli (di dalam satu atom, tidak boleh ada 2 elektron yang mempunyai ke-4 bilangan kuantum yang sama)4. Tidak ada batasan jumlah untuk menempati satu keadaan.5. Tunduk pada fisika kuantum 6. Statistika Bose-Einstein menentukan distribusi statistik bagi boson pada berbagai tingkat energi di dalam kesetimbangn termal. 7. Boson adalah zarah berspin bulat sehingga tidak mematuhi asas larangan Pauli ; sejumlah besar zarah boson dapat menempati keadaan yang sama pada saat yang sama pula. Contoh dari Boson itu sendiri adalah: atomHelium-4, atomSodium-23, Foton, yang menengahi gaya elektromagnetik, gluon, boson Higgs, Fonon, Nulei dengan spin "integer", boson W dan Z, yang menengahi gaya nuklir lemah

1.1 Sifat Dasar BosonSifat sistem sub atomic yang tidak dapat dibedakan dapat dipahami dari konsep gelombang sistem. Panjang gelombang de Broglie sistem-sistem tersebut memenuhi dengan m massa sistem dan laju sistem. Karena m untuk sistem sub atomic sangat kecil maka panjang gelombang cukup besar. Panjang gelombang yang besar menyebabkan fungsi gelombang dua sistem yang berdekatan menjadi tumpang tindih. Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindih maka kita tidak dapat lagi membedakan dua sistem yang memiliki fungsi-fungsi gelombang tersebut.Kondisi sebaliknya dijumpai pada sistem klasik seperti molekul-molekul gas.massa sistem sangat besar sehingga sangat kecil. Akibatnya tidak terjadi tumpang tindih fungsi gelombang sistem-sistem tersebut, sehingga secara prinsip sistem-sistem tersebut dapat dibedakan.Pada suhu yang sangat tinggi sistem sub atomic dapat berperilaku seperti sistem klasik. Pada suhu yang sangat tinggikecepatan sistem sangat besar sehingga panjang gelombangnya sangat kecil.Akibatnya, tumpang tindih gelombang sistem-sistem menjadi hilang dan sistem menjadi terbedakan.Sistem kuantum yang akan kita bahas ada dua macam yaitu boson dan fermion.Boson adalah sistem yang memiliki spin kelipatan bulat dari . Sistem ini tidak memenuhi prinsip eksklusi Pauli sehingga satu tingkat energi dapat ditempati oleh sistem dalam jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermion memiliki spin yang merupakan kelipatan ganjil dari . Sistem ini memenuhi prinsip eksklusi Pauli. Tidak ada dua sistem atau lebih yang memiliki keadaan yang sama.

1.2 Konfigurasi BosonStatistik untuk menurunkan boson dinamakan statistik Bose-Einstein.Untuk menentukan fungsi distribusi Bose-Einstein, kita terlebih dahulu harus menentukan konfigurasi dengan probabilitas paling besar.Konfigurasi ini memiliki probabilitas yang jauh lebih besar daripada konfigurasi-konfigurasi lainnya sehingga hampir seluruh waktu sistem boson membentuk konfigurasi tersebut. Sifat rata-rata assembli dapat dianggap sama dengan sifat pada konfigurasi maksimum tersebut.Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistem dalam assembli atas M kelompok sebagai berikut :Kelompok-1 memiliki jumlah keadaan dan eneri rata-rata Kelompok-2 memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rata --Kelompok-s memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rata ---Kelompok-M memiliki jumlah keadaan dan energi rata-rata Kita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika :Terdapat sistem di kelompok-1Terdapat sistem di kelompok-2---Terdapat sistem dikelompok-s---Terdapat sistem di kelompok-MJika ditinjau kelompok-1 di mana terdapat keadaan dan sistem. Mari kita analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem dianalogikan sebagai sebuah benda yang akan diletakkan dikursi tersebut. Satu kursi dapat saja kosong atau menampung benda dalam jumlah beberapa saja. Untuk menghitung jumlah penyusun benda, dapat dilakukannya sebagai berikut :

Gambar 1.1Penyusunan benda dan kursi analog dengan penyusunan boson dalam tingkat-tingkat energi.Untuk merepresentasikan sistem boson, bagian paling bawah harus selalu kursi.Dari gambar 1.1, apa pun cara penyusunan yang dilakukan, yang berada di ujung bawah selalu kursi karena benda harus disangga oleh kursi (sistem harus menempati tingkat energi). Oleh karena itu, jika jumlah total kursi adalah maka jumlah total kursi dapat dipertukarkan dengan harga karena salah satu kursi harus tetap di ujung bawah. Bersama dengan sistem banyak , maka jumlah total benda yang dipertukarkan dengan tetap memenuhi sifat boson adalah ( Akibatnya, jumlah cara penyusunan yang dapat dilakukan adalah .Karenna sistem boson tidak dapat dibedakan satu degan lainnya, maka pertukaran sesame sistem dan sesame kursi tidak menghasilkan penyusunan yang berbeda. Jumlah penyusunan sebanyak ! Secara emplisit memperhitungkan jumlah pertukaran antara sistem dan antar kursi. Jumlah pertukaran antar sistem adalah dan pertukaran jumlah antar kursi adalah Oleh karena itu, jumlah penyusunan yang berbeda untuk boson di dalam keadaan hanyalah

Hal yang sama berlaku untuk kelompok-2 yang mengandung keadaan dengan populasi sistem. Jumlah cara penyusunan yang berada sistem-sistem, ke dalam keadaan-keadaan tersebut adalahTerakhir hingga kelompok energi ke-M, jumlah cara penyusunan yang berbeda untuk sistem dalam keadaan adalah

Akhirnya jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan sistem di dalam keadaan, sistem di dalam ., sistem dalam keadaan adalah

Harus juga diperhitungkan jumlah cara membawa N sistem dari luar untuk didistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. Jumlah cara pengambilan N sistem adalah N! cara. Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlah tersebut harus dibagi dengan N!,sehingga jumlah total cara membawa N sistem ke dalam tingkat-tingkat energi di dalam assembli adalah N!/N!=1.Akhirnya, kita dapatkan jumlah penyusunan sistem-sistem dalam assembli boson adala

1.3 Konfigurasi MaksimumSelanjutnya kita akan menentukan konfigurasi dengan peluang kemunculan paling besar. Ambil logaritma ruas iri dan kanan persamaan (1.5)

Kemudian kita gunakan pendekatan Stirling untuk melakukan penyederhanaan sebagai berikut :

Dengan pendekatan tersebut maka persamaan (1.6) menjadi :

Jumlah total sistem serta energi total assembli memenuhi

Untuk assembli yang terisolasi sehingga tidak ada pertukaran sistem maupun energi antara assembli dan lingkungan.Jumlah sistem maupun energi assembli constant.Pembatasan ini dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial berikut ini :

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan memaksimumkan ln W. Dengan memperhatikan konstrain pada persamaan (1.8) dan (1.9) maka konfigurasi dengan probabilitas maksimum memenuhi(1.10)Selanjutnya dengan mengambil diferensial persamaan (1.7) diperoleh

Hitung suku per suku yang terkandung dalam persamaan (1.11)i)

ii) iii) iv) Persamaan (1.11) selanjutnya menjadi

Karena dan maka sehingga persamaan (1.12) dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi

Subtitusikan persamaan (1.8), (1.9), dan (1.13) ke dalam persamaan (1.10) diperoleh

Atau

Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua variasi . Ini dijamin ika bagian di dalam kurung selalu nol, yaitu

Dan akhirnya ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiap tingkat energi sebagai berikut

Ternyata untuk assembli boson, parameter juga berbentuk Dengan demikian, bentuk lengkap fungsi Bose-Einstein untuk assembli boson adalah

1.4 Parameter untuk foton dan fononParameter pada persamaan (1.16).ada satu kekhususan untuk assembli foton (kuantisasi gelombng elektromagnetik) dan fonon (kuantitasi getaran atom dalam Kristal) dan ini berimplikasi pada nilai parameter Dalam suatu kotak, foton bias diserap atau diciptakan oleh atom-atom yang berada pada dinding kotak. Akibatnya, jumlah foton dalam satu assembli tidak harus tetap. Jumlah foton bias bertambah, jika atom-atom di dinding memancarkan foton dan bias berkurang jika atom-atom di dinding menyerap foton. Untuk sistem semacam ini pembatasan bahwa jumlah total sistem dalam assembli konstan sebenarnya tidak berlaku. Pada penurunan fungsi distribusi Bose-Einstein kita telah mengamsusikan bahwa jumlah sistem dalam assembli selalu tetap, yaitu . Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan memperkenalkan faktor pengali Langrange . Oleh karena itu, agar konstrain ini tidak diberlakukan untuk assembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti foton dan fonon maka nilai harus diambil nol. Dengan nilai ini maka fungsi distribusi untuk sistem semacam ini menjadi

APLIKASI STATISTIK BOSE-EINSTEIN2.1 Radiasi Benda HitamTeori tentang radiasi benda hitam menandai awal lahirnya mekanika kuantum dan fisika modern.Benda hitam merupakan penyerap sekaligus pemancar kalor terbaik.Benda hitam dapat dianalogikan sebagai kotak yang berisi gas foton.Jumlah foton dalam kotak tidak selalu konstan.Ada kalanya foton diserap oleh atom-atom yang berada di dinding kotak dan sebaliknya atom-atom di dinding kotak dapat memancarkan fotonn ke dalam ruang kotak. Karena jumlah foton yang tidak konstan ini maka faktor Bose-Einstein untuk gas foton adalah

Yang diperoleh dengan menggunakan Foton adalah kuantum gelombang elektromagnetik.Ekstensi foton direspresentasikan oleh keberadaan gelombang berdiri dalam kotak. Karena gelombang elektromagnetik memiliki dua kemungkinan arah osilasi (polarisasi) yang saling bebas, maka kerapatan keadaan foton dalam kotak merupakan dua kali kerapatan gelombang stasioner, yaitu :

Dengan demikian, jumlah foton dengan panjang gelombang antara sampai adalah

Karena energi satu foton adalah maka energy foton yang memiliki panjang gelombang antara sampai adalah

2.1.1 Hukum Pergeseran WienGambar 1.2 adalah plot E( sebagai fungsi pada berbagai suhu. Tampak bahwa E( mula-mula naik, kemudian turun setelah mencapai nilai maksimum pada panjang gelombang . Kita dapat menentukan dengan mendiferensial E( terhadap dab menyamakan dengan

Gambar 1.2Spektrum radiasi benda hitam pada berbagai suhuBerdasarkan persamaan (1.20) maka

Untuk memudahkan diferensial persamaan (1.22) persamaan diatas kita misal . Dengan pemisalan tersebut maka dapat ditulis

Agar terpenuhi maka pada persamaan 1.24 harus memenuhi

Jika didiferensiasi secara seksama akan dapat hubungan berikut

Nilai x pada persamaan (1.26)dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Jika menggunakan instruksi Wolfram Research, maka solusi untuk x yang memenuhipersamaan 91.26) adalah 0,194197. Dengan demikian, memenuhi hubungan

Ataudengan menggunakan nilai konstanta k=1,38xh= 6,625 x, dan maka kita peroleh

Gambar 1.3Spektrum energi radiasi matahari berdasarkan hasil pengukurandan prediksi dengan persamaan radiasi matahari (gari).

Gambar 1.4Warna bintang menunjukan suhu bintang. Semakain menuju kewarna biru suhu bintang semakin tinggi. Sebaliknya suhu bintang semakin rendah apabila menuju ke warna merah.Persamaan (1.28) tidak lain daripada ungkapan hukum pergeseran Wien. Hukum ini menjelaskan hubungan antara suhu benda dengan gelombang dan intensitas maksimum yang dipancarkan benda tersebut.Makin tinggi suhu benda maka makin pendek gelombang yang dipancarkan benda tersebut, atau warna benda bergeser kea rah biru.Ketika pandai besi memanaskan logam maka warna logam berubah secara terus menerus dari semula merah, kuning, hijau dan selanjutnya ke biru-biruan.Ini akibat suhu benda yang semakin tinggi.Hukum pergeseran Wien telah dipakai untuk memperkirakan suhu benda berdasarkan spectrum elektromagnetik yang dipancarkan.Energi yang dipancarkan benda diukur pada berbagai panjang gelombang.Kemudian intensitas tersebut diplot terhadap panjang gelombang sehingga diperoleh selanjutnya diterapkan pada hukum pegeseran Wien guna memprediksi suhu benda.Pada astronom memperkirakan suhu bintang-bntang, berdasarkan spectrum energy yang dipancarkan oleh bintang-bintang tersebut.

2.1.2 Persamaan Stefan-BoltzmannSebuah benda hitam memancarkan gelombang, elektromagnetik pada semua jangkauan frekuansi dari nol sampai tak berhingga.Hanya intensitas gelombang yang dipancarkan berbeda-beda.Ketika panjang gelombang menuju nol, intensitas yang dipancarkan menuju nol. Juga ketika panjang gelombang menuju tak berhingga, intensitas yang dipancarkan juga menuju tak berhingga. Intensitas gelombang yang dipancarkan mencapai maksimum pada saat .Energy total yang dipancarkan oleh benda hitam diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (1.20) dari panjang gelombang nol sampai tak berhingga, yaitu

Untuk menyelesaikan persamaan integral (1.29) misalkan . Dengan pemisalan tersebut maka diperoleh ungkapan-ungkapan berikut ini :

Syarat batas yang berlaku bagi y. saat maka y=~ dan saat maka y=0. Dengan demikian, dalam variable y integral (1.29) menjadi

Persamaan (1.30) merupakan kerapatan energy foton di dalam kotak. Hubungan antara kerapatan energy yang diradiasi dengan energy foton dalam kotak adalah

Persamaan (1.31) sangat mirip dengan persamaan Stefan-Boltzman. Jadi pada persamaan (1.31) kita dapat menyamakan

Dengan menggunakan instruksi matematika sederhana kita dapatkan

Selanjutnya dengan memasukkan nilai konstanta-konstanta lain kita dapatkan nilai konstanta Stefan-boltzman.

2.1.3 Cosmic Microwave Background (CMB)Salah satu gejala penting sebagai hasil peristiwa Big bang adalah keberadaan radiasi yang bersifat isotropic (sama ke segala arah) di alam semesta dalam panjang gelombang mikro. Gejala ini selanjutnya dikenal dengan icosmic microwave background (CMB). Radiasi ini benar-benar isotropic.Penyimpangan dari sifat isotropic hanya sekitar seper seribu.Dua astronom muda, Arno Penzias dan Robert Wilson yang pertama kali mengidentifikasi gejala ini tahun 1965 dengan menggunakan antene horn yang dikalibrasi dengan teliti.Dengan anggapan bahwa alam semesta berupa benda hitam sempurna dan setelah dilakukan pengukuran yang teliti intensitas radiasi gelombang mikro ini pada berbagai panjang gelombang yang mungkin, selanjutnya hasil pengukuran di-fit dengan persamaan radiasi benda hitam (1.4) disimpulkan bahwa suhu rata-rata alam semesta sekarang adalah 2,725 K.

Gambar 1.5CMB dengan persamaan radiasi benda hitam

Gambar 1.6Variasi suhu alam semesta berdasarkan posisiAda sekitar variasi suhu pada arah yang berbeda seperti ditunjukkan dalam gambar diatas. Bagian berwarna merah sedikit lebih panas dan bagian berarna biru sedikit lebih dingin dengan penyimpangan 0,0002 derajat.

2.2 Kapasitas kalor KristalDalam Kristal-kristal atom bervibrasi.Jika diselesaikan dengan mekanika kuantum maka energy vibrasi atom-atom dalam Kristal terkuantisasi.Kuantisasi getaran atom tersebut disebut fonon. Energy fonon dengan bilangan kuantum n adalah . Karena jumlah fonon tidak konstan maka fungsi distribusi untuk fonon diperoleh dengan mengambil . Fungsi distribusi tersebut persis sama dengan fungsi distribusi untuk foton.Karena frekuensi fonon umumnya merupakan fungsi bilangan gelombang, , maka secara umum energy toal yang dimiliki fonon dalam Kristal dapat ditulis

Jika fonon memiliki sejumlah polarisasi dan polarisasi kep memiliki frekuensi maka energy total fonon setelah memperhitungkan polarisasi tersebut adalah

Penjumlahan terhadap dilakukan engan asumsi bahwa adalah integer. Tetapi jika adalah variable kontinu maka penjumahan terhadap dapat diganti dengan integral dengan melakukan transformasi berikut ini

Tetapi karena merupakan fungsi maka kita dapat mengubah integral terhadap menjadi integral terhadap dengan melakukan transformasi

Akhirnya kita dapat menulis menulis ulang persamaan (1.34) menjadi

Dari definisi energy dalam persamaan (1.37) maka kita dapat menentukan kapasitas panas yang didefinisikan sebagai berikut

Untuk menyederhanakan persamaan (1.38) mari kita lihat suku diferensial dalam persamaan tersebut. Untuk mempermudah kita misalkan . Dengan pemisalan tersebut maka

Dengan demikian, kapasitas kalor dapat ditulis

2.2.1 Model EinsteinUntuk mencari kapasitas kalor Kristal, Einstein mengusulkan model bahwa semua fonon berisolasi dengan frekuensi karakteristik yang sama, dengan asumsi ini maka dapat ditulis

Di mana merupakanfungsi data dirac. Dengan model ini kita dapatkan kapasitas kalor Kristal untuk satu macam polarisasi saja sebesar

Untuk Kristal 3 dimensi, terdapat tiga arah polarisasi fonon yang mungkin (arah sumbu x, y, dan z).dengan menganggap bahwa ke tiga polarisasi tersebut memberikan sumbangan energy yang sama besar maka kapasitas kalor total menjadi tiga kali dari yang tampak dalam persamaan (1.41), yaitu menjadi

Tinjau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T dan T.dalam kondisi T maka exp [ sehingga exp [ akibatnya

Perhatikan suku pembilang danpenyebut pada persamaan (1.43).jika T maka suku penyebut dan suku pembilang sehingga kita dapat mengaproksimasi

Dengan aproksmasi ini maka persamaan (1.42) dapat ditulis menjadi

Dengan bilangan Avogadro, n jumlah mold an R= konstanta gas umum. Hasil ini persis sama dengan teori klasik dari dulong-petit bahwa kapasitas kalor persatuan mol semua padatan adalah konstan, yaitu 3R.Gambar 1.7 adalah perbandingan hasil pengamatan kapasitas kalor intan (symbol) dan prediksi dengan model Einstein. Terdapat kesesuaian yang baik antara prediksi model tersebut dengan pengamatan, khususnya nilai kapasitas kalor yang menuju nol jika suhu menuju nol dan nilai kapasitas kalor menuju konstanta dulong-petit pada suhu tinggi.

Gambar 1.7Kapasitas panas intan yang diperoleh dari pengamatan (simbol) dan prediksi menggunakan model kapasitas panas Einstein.Model Einstein dapat menjelaskan dengan baik kebergantugan kapasitas panas terhadap suhu. Sesuai dengan pengamatan experiment bahwa pada suhu menuju nol kapasitas panas menuju nol dan pada suhu tinggi kapasitas panas menuju nilai yang diramalkan Dulong-petit.Akan tetapi, masih ada sedikit penyimpangan antara data eksperimen dengan ramalan Einstein.Pada suhu yang menuju nol, hasil eksperimen memperlihatkan bahwa kapasitas panas berubah sebagai fungsi kubik 9pangkat tiga) dari suhu, bukan seperti pada persamaan (1.42).oleh karena itu perlu penyempurnaan pada model Einstein untuk mendapatkan hasil yang persis sama dengan eksperimen.

2.3 Kondensasi Bose-Einstein

Gambar 1.10Salah satu hasil pengukuran yang membuktikan fenomena kondensasi Bose-Einstein. Kita kembali melihat bentuk fungsi distribusi Bose-Einstein. Jumlah sistem yang menempati keadaan dengan energi pada suhu T adalah

Tampak jelas dari ungkapan di atas bahwa pada suhu yang sangat rendah sistem-sistem akan terkonsentrasi di keadaan-keadaan dengan energi sangat rendah. Jika T maka jumlah sistem yang menempati tingkat energi paling rendah, tingkat energi kedua, ketiga, dan seterusnya makin dominan. Jumlah sistem yang menempati keadaan-keadaan dengan nilai energi tinggi makin dapat diabaikan. Hampir semua sistem akan berada pada tingkat energi terendah jika suhu didinginkan hingga dalam orde . Gambar diatas memperlihatkan evolusi populasi boson pada tingkat energi terendah (bagian tengah kurva). Pada suhu T