Keliling dan Luas

Materi modul ini diuraikan dalam dua kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 berkaitan dengan Keliling segibanyak berupa persegi panjang, persegi, segitiga, janjar genjang, belah ketupat, trapesium, layang layanng, segibanyak beraturan, lingkaran, dan tangram. Kegiatan belajar 2 berhubungan dengan Luas Daerah Bangun Datar. Pada keiatan belajar 2 ini diuraikan dan dibahas luas daerah segibanyak berupa persegi panjang, persegi, segitiga, janjar genjang, belah ketupat, trapesium, layang layanng, segibanyak beraturan, lingkaran, serta daerah tangram. Selain itu, disajikan juga tentang bagaimana mengajarkan konsep keliling dan luas tersebut kepada anak didik di Sekolah Dasar.

Kompetensi khusus yang diharapkan dicapai setelah mempelajari modul ini adalah Anda dapat :

Menjelaskan keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat – sifatnya.

Menjelaskan cara menyelesaikan soal-soal tentang keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat – sifatnya .

Menjelaskan salah konsep tentang keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat – sifatnya jika ada dilihat dari segi guru dan siswa.

Melakukan pembelajaran keliling dan luas segibanyak, lingkarn, dan tangram dengan sifat – sifatnya kepada siswa SD menggunakan media dan pendekatan yang tepat.

Mengevaluasi hasil belajar siswa tentang keliling dan luas segibanyak, lingkaran, dan tangram dengan sifat – sifatnya .

Agar anda berhasil dengan baik mempelajari modul ini, ikuti petunjuk belajar sebagai berikut :

Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan modul ini sampai anda memahai betul apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini.

Baca sepintas bagian demi bagian dan temukan kata – kata kunci dan kata – kata yang anda anggap baru. Cari dan bacalah pengertian kata – kata kunci dalam daftar kata – kata sulit modul ini atau dalam kamus yang ada.

Tangkap dan pahamilah pengertian demi pengertian dari isi modul ini melalui penelaahan atau pengkajian sendiri dan lakukanlah tukar pikiran dengan mahasiswa atau guru lain serta dengan tutor anda.

Mantapkan pemahaman anda melalui diskusi mengenai pengalaman simulasi dalam kelompok kecil atau klasikal pada saat tutorial.

Keliling SegibanyakPengukuran adalah suatu proses membandingkan suatu

objek yang akan diukur dengan suatu objek yang telah diketahui ukurannya. Kedua objek tersebut adalah sejenis atau serupa. Objek yang telah diketahui ukurannya itu biasanya disebut satuan. Satuan ini ada yang standar dan tidak standar. Dengan kata lain ada satuan standar dan satuan tisak standar.

Satuan standar atau standar unit ini biasanya ditentukan oleh pemerintah atau oleh definisi matematik.

Satuan tidak standar biasanya tidak ditentukan atau tidak di tetapkan secara formal. Kita bisa memilih dan menetapkan satuan tidak standar ini sesuai dengan objek yang akan di ukur.

Keliling dari suatu segibanyak merupakan jumlah panjang dari sisi – sisinya, yaitu jarak mengitari segi banyak tersebut.

Keliling SegitigaKeliling segitiga

merupakan jumlah panjang ketiga sisi segitiga tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di samping.

Jika panjang sisi – sisi segitiga pada gambar ini adalah a,b,dan c satuan maka keliling segitiga tersebut adalah (a+b+c) satuan.

Contoh :Jika suatu segitiga mempunyai sisi sisi dengan panjang

3cm, 4cm, dan 5cm maka keliling segiti tersebut adalah (3+4+5)cm atau 12cm.

a b

c

Keliling PersegipanjangKeliling persegi panjang

juga merupakan jumlah panjang dari keempat sisi segi empat tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di samping.

Jika panjang sisi – sisi persegi panjang pada gambar ini adalah a, b, a, b satuan maka keliling persegi panjang tersebut adalah (a+b+a+b) satuan atau 2x(a+b).

Contoh :Jika suatu persegi panjang mempunyai sisi sisi dengan

panjang 3cm, dan 4cm maka keliling persegipanjang tersebut adalah 2x(3+4)cm atau 14cm.

a

b

b

a

Keliling PersegiKeliling persegi juga

merupakan jumlah panjang dari keempat sisi segi empat tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di samping.

Jika panjang sisi – sisi persegi gambar ini adalah a, a, a, a satuan maka keliling persegi tersebut adalah (a+a+a+a) satuan atau 4a satuan.

Contoh :Jika suatu persegi mempunyai sisi sisi dengan panjang 5cm

maka keliling persegi tersebut adalah (4 x 5)cm atau 20cm.

a

a

a

a

Keliling Jajar GenjangKeliling jajar genjang

juga merupakan jumlah panjang dari keempat sisi segi empat tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di samping.

Jika panjang sisi – sisi jajar genjang gambar ini adalah a, b, a, b satuan maka keliling jajar genjang tersebut adalah (a+b+a+b) satuan atau 2x(a+b) satuan.

Contoh :Jika suatu jajar genjang mempunyai sisi sisi dengan

panjang 5cm dan 6cm maka keliling jajar genjang tersebut adalah 2x(5 + 6)cm atau 22cm.

a

b

b

a

Keliling TrapesiumKeliling trapesium

juga merupakan jumlah panjang dari sisi sisinya tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di samping.

Jika panjang sisi – sisi trapesium gambar ini adalah a, b, c, d satuan maka keliling trapesium tersebut adalah (a+b+c+d) satuan.

Contoh :Jika suatu trapesium mempunyai sisi sisi dengan panjang

4cm, 5cm, 6cm, dan 7cm maka keliling trapesium tersebut adalah (4 + 5 + 6 + 7) cm atau 22cm.

a

b

d

c

Keliling Belah KetupatKeliling belah ketupat

juga merupakan jumlah panjang dari sisi sisinya tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di samping.

Jika panjang sisi – sisi belah ketupat gambar ini adalah a, a, a, a satuan maka keliling belah ketupat tersebut adalah (a+a+a+a) satuan atau 4 x a satuan.

Contoh :Jika suatu belah ketupat mempunyai sisi sisi dengan

panjang 5cm, maka keliling belah ketupat tersebut adalah (4 x 5)cm atau 20cm.

a a

a a

Keliling Layang layangKeliling layang layang

juga merupakan jumlah panjang dari sisi sisinya tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di samping.

Jika panjang sisi – sisi layang layang gambar ini adalah a, a, b, b satuan maka keliling layang layang tersebut adalah (a+a+b+b) satuan atau (2 x a) + (2 x b) satuan atau 2 x (a + b) satuan.

Contoh :Jika suatu layang layang mempunyai sisi sisi dengan panjang

5cm dan 6cm, maka keliling layang layang tersebut adalah 2 x (5 + 6)cm atau 22cm.

a a

b b

Keliling LingkaranJika bangun geometrinya berupa

lingkaran, maka “jarak mengitari” lingkaran tersebut dinamakan keliling lingkaran. Untuk mencari keliling lingkaran diperlukan suatu bilangan khusus yang di beri nama π (dibaca “phi”).

Bilangan π merupakan perbandingan dari keliling lingkaran dengan diameter lingkaran. Pada setiap lingkaran perbandingan tersebut akan selalu tetap atau nilainya konstan, yaitu π. Nilai sesungguhanya π=3,14159... Yang merupakanbilangan desimal tak berulang dan tak berakhir atau bilangan tak rasional (bilangan irasional). Nilai pendekatan untuk π akan dibuat sama dengan – . Jika kita misalkan r adalah jari jari lingkaran, d adalah diameter lingkaran, dan K adalah keliling lingkaran maka hubungan yang diperoleh adalah d = 2 x r, dan K= π x d atau K = 2 x π x r.

227

rO

Bila lingkaran disamping berjari jari 3cm maka keliling lingkaran tersebut adalah 2 x π x r = 2 x π x 3cm = 6π cm

Untuk mencari keliling tangram, kita hitung jumlah panjang sisi sisi tepi dari tangram tersebut. Perhatikan gambar dibawah.

3O

Keliling Tangram

Bila bentuk tangram masih seperti disamping maka tinggal menghitung jumlah dari keempat sisi tepi tangram tersebut.

Bila bentuk tangram seperti gambar disamping :

Maka anda harus menghitung jumlah panjang dari semua sisi tepi tangram tersebut. Untuk contoh pada gambar di atas keliling tangram tersebut adalah (a+b+c+d+d+d+e+f+g+h+h+h+i) satuan. Oleh karena itu, anda dapat melihat dan memahami bahwa keliling potongan potongan tangram belum tentu sama dengan keliling persegi awalnya, tergantung bentuk gabungan bangun yang terbentuk. Misalnya, dari dua contoh bangun yang dibentuk dari potongan potongan tangram tadi, keliling masing masing berbeda.

a b c d d

def

ghi

Luas DaerahPengukuran luas suatu daerah hampir sama dengan

pengukuran panjang suatu ruas garis. Pengukuran suatu ruas garis adalah suatu proses membandingkan suatu ruas garis yang ingin di ketahui ukurannya dengan suatu satuan standar. Ukuran suatu ruas garis AB adalah suatu bilangan yang menunjukan banyaknya satuan standar yang tercakup pada suatu ruas garis AB tersebut. Dengan demikian, pengukuran luas daerah juga merupakan suatu proses membandingkan suatu daerah tertentu yang ingin diketahui ukurannya dengan suatu satuan standar yang di tetapkan. Luas daerah A adalah suatu bilangan yang menyatakan berapa banyak satuan standar yang telah telah ditetapkan tercakup pada daerah A tersebut. Satuan standar untuk luas umumnya adalah satuan persegi atau square unit.

Sekarang bagaimana menentukan suatu metode untuk menunjuk suatu bilangan terhadap suatu daerah yang tertutup oleh suatu kurva tertutup, segi banyak, atau lingkaran? Sebelum menjawab pertanyaan ini, kita akan mendefinisikan beberapa istilah serta menyajikan beberapa postulat atau aksioma terkait.

Definisi 1 : daerah segitiga adalah gabungan antara himpunan titik titik pada segitiga dan himpunan titik titik interior segitiga tersebut.

Definisi 1 ini akan memberikan ilustrasi kepada kita bagaimana mendefinisikan daerah segiempat, segilima, atau segibanyak yang lain dan daerah lingkaran.

Definisi 2 : Luas daerah yang ditutup oleh suatu kurva tertutup atau segibanyak adalah bilangan yang menyatakan banyaknya satuan persegi yang termuat dalam daerah tersebut.

Postulat 1 : jika irisan dua segibanyak adalah suatu garis maka luas daerah yang dibatasi oleh kedua segibanyak itu sama dengan jumlah luas kedua segibanyak tersebut.

Selanjutnya untuk mempermudah pengucapan atau penyebutan, kita hanya menggunakan istilah luas segitiga dan luas persegipanjang saja berturut turut untuk luas daerah segitiga dan luas daerah persegipanjang.

Postulat 2 : Luas persegi panjang sama dengan hasil kali ukuran panjang dan lebarnya.

Selidikilah bagaimana teorema luas persegi !Contoh : carilah luas persegipanjang yang ukuran

panjang dan lebarnya berturut turut 8m dan 10m.Penyelesaian : jika luas persegipanjang itu L maka

L=8 x 10 = 80. Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah 80m²

Prostulat 3 : Jika dua segitiga adalah kongruen (sama dan sebangun), maka luas kedua segitiga tersebut adalah sama.

panjang

lebar

Berikut kita akan mempelajari lebih lanjut beberapa teorema atau dalil yang berkenaan dengan luas daerah.

Teorema 1 : Luas jajargenjang sama dengan hasil kali ukuran alas dan tingginya.

Contoh : ukuran alas dan tinggi suatu jajargenjang berturut turut adalah 10dm dan 6dm. Carilah luas jajargenjang tersebut.

Penyelesaian : jika luas jajargenjang itu A maka A=10dm x 6dm = 60dm². Jadi, luas jajar genjang tersebut adalah 60dm²

tinggi

alas

Teorema 2 : Luas segitiga sama dengan setengah kali hasil kali ukuran alas dan tingginya.

Contoh : suatu segitiga mempunyai ukuran alas 18cm dan tinggi 10cm. Berapa cm² Luas segitigaa itu?

Penyelesaian : misalkan luas segitiga itu L maka L= (½) x18cm x 10cm = 90cm². Jadi, luas segitiga tersebut adalah 90cm²

tinggi

alas

Teorema 3 : Luas trapesium sama dengan setengah kali hasil kali ukuran tinggi dan jumlah ukuran ukuran alas dan atasnya (sisi sisi yang sejajar).

Contoh : sisi alas dan atas suatu trapesium ABCD adalah AB dan CD. Jika ukuran AB dan CD berturut turut adalah 12m dan 8m serta tinggi trapesium adalah 10m maka carilah luas trapesium ABCD.

Penyelesaian : misalkan luas trapesium ABCD itu L maka L= (½) x10m x (12+8)m = 100m². Jadi, luas trapesium tersebut adalah 100m²

tinggi

Sisi alas

Sisi atas

Teorema 4 : Jika dua segitiga sisi alasnya kongruen dan garis tingginya kongruen maka luas kedua segitiga tersebut adalah sama.

Teorema 5 : Luas belah ketupat sama dengan setengah kali hasil kali ukuran ukuran diagonalnya

Contoh : suatu belahketupat mempunyai panjang diagonal berturut turut 18cm dan 12cm. Carilah luas belah ketupat tersebut.

Penyelesaian : misalkan luas belahketupat itu A maka A= (½) x 18cm x 12cm = 108cm². Jadi, luas belahketupat tersebut adalah 108cm²

Definisi 3 : Segibanyak beraturan adalah suatu segibanyak yang mempunyai sisi kongruen dan sudut kongruen.

Segibanyak Beraturan dan lingkaran mempunyai hubungan yang erat. Setiap segibanyak beraturan mempunyai suatu lingkaran luar dan suatu lingkaran dalam. Demikian juga pada setiap lingkaran terdapat suatu segi beraturan. Dengan demikian setiap segibanyak beraturan mempunyai suatu titik pusat, yaitu titik pusat lingkaran luar dan lingkaran dalam segibanyak tersebut.

Definisi 4 : Ruas garis yang titik ujungnya adalah titik pusat segibanyak beraturan dan titik tengah sembarang sisi suatu segibanyak beratusran disebut apotema segibanyak tersebut.

Teorema 6 : Luas segibanyak beraturan sama dengan setengah kali hasil kali ukuran apotema dan keliling segibanyak tersebut.

Contoh : Carilah luas suatu segiempat beraturan yang panjang salah satu sisinya 8dm.

Penyelesaian : Apotema segiempat beraturan ini adalah 4dm dan kelilingnya adalah (4 x 8)dm = 32dm. Jika luas segiempat beraturan itu L maka L= (½) x 4dm x 32dm = 64dm². Jadi, luas segiempat beraturan tersebut adalah 64dm².

Catatan : segiempat beraturan adalah suatu persegi. Jadi kita dapat mengecek bahwa luas persegi pada contoh adalah (8 x 8)dm = 64 dm².

Daerah yang dibatasi oleh lingkaran disebut daerah lingkaran. Ukuran daerah lingkaran inilah yang disebut luas lingkaran. Luas lingkaran yang berjari jari “r” adalah π x (panjang jari jari)² = π x r².

Coba anda perhatikan gambar berikut :

Gambar diatas merupakan lingkaran yang di hitamkan daerah dalamnya. Ukuran daerah yang diarsir inilah yang disebut dengan luas daerah lingkaran. Bila lingkaran diatas berjari jari 3cm maka luas lingkaran tersebut adalah π x r² = π x (3)² cm = 9π cm².

Untuk luas daerah yang berbentuk tangram, luas tangram merupakan luas persegi bentuk aslinya.

Coba anda perhatikan gambar berikut :

Bagaimanapun bangun yang dibentuk tangram maka luas tangram tetap seperti luas persegi pembentuk tangram tersebut.

Walaupun bentuknya berubah menjadi seperti pada gambar dibawah ini, tetapi tangram tersebut dibangun dari bangun bangun geometri datar yang ada pada persegi semula. Sehingga luas bangunnya tetap seperti luas persegi awalnya.