Kelas xii bab 4

25
VEKTOR

Transcript of Kelas xii bab 4

Page 1: Kelas xii bab 4

VEKTOR

Page 2: Kelas xii bab 4

A. Notasi VektorA. Notasi Vektor

Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu.

A

B

u

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real.

• Untuk vektor di bidang (R2) : u = (x, y) atau u =xy

xyz

• Untuk vektor di ruang (R3) : u = (x, y, z) atau u =

Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil. Misalnya: u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor.

u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujungArah anak panah = arah vektorPanjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor

u,

gambar 1

Page 3: Kelas xii bab 4

B. Aljabar VektorB. Aljabar Vektor

Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan berikut.

u

• Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. (Lihat gambar 2). v=

• Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v = 0; 0 adalah vektor nol. Jadi dua vektor saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah. (Lihat gambar 3).

u v = -u

Ю Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam gambar 4 dan 5.

gambar 2

gambar 3

Dua vektor yang sama

Dua vektor yang saling invers (berlawanan)

Page 4: Kelas xii bab 4

u

v

u+v

u

v

u+v

Dengan aturan segitiga:

• Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung vektor u;

• Vektor (u + v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung vektor v.

Dengan aturan jajargenjang:

• Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik pangkal vektor u;

• Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan u dan v;

• Vektor (u + v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.

gambar 4 gambar 5

Page 5: Kelas xii bab 4

Ю Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v. Perhatikan ilustrasi dalam gambar 6 dan 7.

uu-v

v

-v-v u

v-uv

-u

gambar 6 gambar 7 v - u = v + (-u)u - v = u + (-v)

Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar

Misalkan vektor u dan sebuah bilangan real (skalar) m. Hasil kali m dengan vektor u (mu) adalah penggandaan vektor u sebanyak m dan arah mu sama dengan arah vektor u.

u

gambar 8

u

v

-u

3u-2u2u

Page 6: Kelas xii bab 4

C. Vektor BasisC. Vektor Basis

Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

Vektor Basis dalam Bidang (R2) Vektor Basis dalam Ruang (R3)

X

Y

Z

X

Y

O

O i(1,0)

j(0,1)i(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam R2.

i : vektor satuan searah sumbu X+

j : vektor satuan searah sumbu Y+

Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam R3.

i : vektor satuan searah sumbu X+

j : vektor satuan searah sumbu Y+

k : vektor satuan searah sumbu Z+

gambar 9 gambar 10

Page 7: Kelas xii bab 4

D. Vektor PosisiD. Vektor Posisi

Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan.

222 zyx || r

Vektor Posisi dalam Bidang (R2)

R(x,y)

Titik R(x,y) adalah vektor posisi OR dalam R2 yaitu:

R(x,y,z)

Vektor Posisi dalam Ruang (R3)

X

Y

Z

X

Y

OO

Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR dalam R3 yaitu:

gambar 11 gambar 12

xi

yj

rr

yjxi

zk

r = (x,y) = xi + yj

r = (x,y,z) = xi + yj + zk

Panjang dari r :

22 yx || rPanjang dari r :

||rr

Vektor satuan dari r : e =

Page 8: Kelas xii bab 4

U(u1,u2, u3)

OU = u dan OV = v adalah vektor-vektor posisi.

Y

Z

O

gambar 13

v

u

V(v1,v2, v3)

UV = UO + OV

= -u + v

= v – u

=

Jarak atau panjang vektor UV adalah:

Jika dinyatakan dengan kombinasi linear maka:

X

v1 – u1

v2 – u2

v3 – u3

UV = v – u = (v1 – u1)i + (v2 – u2)j + (v3 – u3)k

23322

211 )u(v)uvu(v UV ()||

Page 9: Kelas xii bab 4

E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar.Didefinisikan:

u.v = |u||v| Cos

= sudut antara u dan v

v

u

gambar 14

Jika : 0o 90o maka u.v > 0

= 90o maka u.v = 0

90o 180o maka u.v < 0

X

Y

Z

Oi(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 15

i.i = | i || i | Cos 0o = 1 analog, maka:

i.i = j.j = k.k = 1

i.j = | i || j | Cos 90o = 0 (i j ) analog, maka i.j = j.k = k.i = 0

u.v = (u1i + u2j + u3k).(v1i + v2j + v3k)

= u1v1 + u2v2 + u3v3

atau secara geometris:

u.v = |u||v| Cos

Misalkan vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k). Perkalian titik kedua vektor adalah:

Page 10: Kelas xii bab 4

Didefinisikan:

u x v = |u||v| Sin

= sudut terkecil antara u dan v

Arah u x v ditentukan berdasarkan arah putaran tangan kanan.

v

u

gambar 16

X

Y

Z

Oi(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 17 i x i = |i||i| Sin 0o = 0 analog, maka:

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = |i||j| Sin 90o = 1 ( i j )

Berdasarkan definisi maka:

i x j = k j x k = i k x i = j

j x i = -k k x j = -i i x k = -j

Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.

u x v

v

u

v x u

F. Perkalian Silang VektorF. Perkalian Silang Vektor

Page 11: Kelas xii bab 4

Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah cara Sarrus.

Vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k).

u x v =

21

21

321

321

321

321

vv

uu

vvv

uuu

vvv

uuu

jikjikji

u x v =

1221

3113

2332

vuvu

vuvu

vuvu

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

( u2v3i + u3v1j + u1v2k ) – ( u2v1k + u3v2i + u1v3j )

u x v =

Page 12: Kelas xii bab 4

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (RG. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R33))

X

YO

gambar 18Z

u

sudut antara vektor satuan i dengan vektor u.

Jika u = u1i + u2j + u3k maka :

X

YO

gambar 19

Z

Vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k maka sudut antara kedua vektor:

||||

. Cos

ba

ba

23

22

21

23

22

21

332211

bbb.aaa

bababa Cos

a

A(a1,a2,a3)

b

B(b1,b2,b3)

uiui.u 1u

Cos

ukuk.u 3u

Cos

ujuj.u 2u

Cos

sudut antara vektor satuan j dengan vektor u.

sudut antara vektor satuan k dengan vektor u.

Page 13: Kelas xii bab 4

Contoh SoalContoh Soal

1. Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2)a) Nyatakan komponen dari PQb) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basisb) Hitung panjang PQ

Penyelesaian:

X

YO

Z

q

pQ(1,5,2)

P(2,3,5)

a) PQ = PO + OQ = -p + q = q - p

3

2

1

5

3

2

2

5

1

PQ

b) Bila dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor basis, maka:

PQ = – i + 2j – 3k

222 )3(2)1(

|PQ|c)222 )52()35()21(

14

|PQ|

|PQ|

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 14: Kelas xii bab 4

Contoh SoalContoh Soal

2. Tentukan besar sudut antara vektor u = 3i – 2j + k dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:

Misalkan: sudut antara vektor u dengan sumbu X sudut antara vektor u dengan sumbu Y sudut antara vektor u dengan sumbu Z

141)2(3|| 222 u

o1 7,3614143

cosarc14143

14

3||

Cos

uu

o2 3,12214142

cosarc14142

14

2||

Cos

uu

o3 5,741414

cosarc1414

14

1||

Cos

uu

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

X

Y

Z

3

-2

(3,-2,1)

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 15: Kelas xii bab 4

Contoh SoalContoh Soal

3. Diketahui vektor a = (–1, 0, 2) dan b = (–3, 0, 1). Tentukan besar sudut antara vektor a dan b.

Penyelesaian:

Misalkan:

adalah sudut antara vektor a dan b

o45221

cosarc

222222 10)3(.20)1(

)1(2)0(0)3(1Cos

221

25

5

10.5

5Cos

Jadi besar sudut antara vektor a dan b = o45

||||

. Cos

ba

ba

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

X

Y

Zab

Page 16: Kelas xii bab 4

41

23

341

223

341

223

jikjikji

Contoh SoalContoh Soal

4. Ditentukan vektor a = –3i + 2j – 2k dan b = i – 4j + 3k. Hitunglah a x b.

Penyelesaian:

a x b =

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

a x b = ( 2(3)i + (-2)1j +(-3)(-4)k ) – ( 2(1)k + (-2)(-4)i + (-3)3j )

= ( 6i – 2j + 12k ) – ( 2k + 8i – 9j )

= – 2i + 7j + 10k

= (6 – 8)i + (– 2 + 9)j + (12 – 2)k

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 17: Kelas xii bab 4

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 18: Kelas xii bab 4

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Lihat jawaban?Lihat jawaban?Coba lagi?Coba lagi?

Jawaban Anda Belum Benar

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 19: Kelas xii bab 4

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Lihat jawaban?Lihat jawaban?

Jawaban Anda Benar

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 20: Kelas xii bab 4

Uji KompetensiUji Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Penyelesaian:

Misalkan titik ujung vektor a adalah (a1, a2, a3)

Jadi titik ujung vektor a adalah (8, 5, 2)

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

(3, -2, 4)

(a1, a2, a3)komponen a (5, 7, -2)

Komponen suatu vektor = titik ujung – titik pangkal

2a24a5a72a8a53a

3322

11

Komponen vektor a = titik ujung vektor a – titik pangkal vektor a

275

4)2(

3

aaa

32

1

Page 21: Kelas xii bab 4

2. Diketahui vektor u = – 2i + 4j – 6k. Tentukan besar sudut antara vektor u dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:Misalkan: sudut antara vektor u dengan sumbu X sudut antara vektor u dengan sumbu Y sudut antara vektor u dengan sumbu Z

14256)6(4)2(|| 222 u

o1 5,1051414

cosarc1414

142

2||

Cos

uu

o2 7,57714

cosarc714

142

4||

Cos

uu

o3 3,14314143

cosarc14143

142

6||

Cos

uu

Uji KompetensiUji Kompetensi

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

X

YO

Z

u(-2, 4, -6)

Page 22: Kelas xii bab 4

3. Posisi sebuah pesawat pada waktu t jika disimulasikan dalam ruang ditentukan oleh vektor (t, 2t, –t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B.

Penyelesaian:

Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, –1)Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, –2)

Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah satuan panjang.6

Uji KompetensiUji Kompetensi

6))1(2()24()12(|AB| 222 Jarak A dan B:

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

X

YO

Z

A(1, 2, -1)

B(2, 4, -2)

Page 23: Kelas xii bab 4

73

24

173

124

173

124

jikjikji

Uji KompetensiUji Kompetensi

4. Ditentukan vektor a = (4, – 2, 1), b = (–2, 3, –2), dan c = (–1, 4, 3) . Hitunglah a x (b + c).

Penyelesaian:

a x (b+c) =

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

( (-2)1i + 1(-3)j + 4(7)k ) – ( (-2)(-3)k + 1(7)i + 4(1)j )

= ( – 2i – 3j + 28k ) – ( 6k + 7i + 4j )

= ( – 2 – 7)i + ( – 3 – 4)j + (28 – 6)k

b + c =

173

341

232

= – 9i – 7j + 24k

a x (b+c) =

= ( – 9, – 7, 24 )

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 24: Kelas xii bab 4

ReferensiReferensi

Ю Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999.

Ю Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.

Ю Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 3A, Erlangga, Jakarta, 2004.

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi

Page 25: Kelas xii bab 4

Biodata TimBiodata Tim

NamaNama :: Teopilus Malatuni, S.Pd.Teopilus Malatuni, S.Pd.N I PN I P :: 132 225 903132 225 903PekerjaanPekerjaan :: Guru SMA Negeri 1 Kaimana,Guru SMA Negeri 1 Kaimana,

Provinsi Irian Jaya BaratProvinsi Irian Jaya BaratTugasTugas :: Mengajar Mata Pelajaran Matematika,Mengajar Mata Pelajaran Matematika,

Teknologi Informasi & KomunikasiTeknologi Informasi & Komunikasi

AlamatAlamat :: Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654Telp/FaxTelp/Fax :: Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP 081344039940081344039940E-mailE-mail :: [email protected][email protected]

NamaNama :: Ani JuniatiAni JuniatiN I PN I P :: PekerjaanPekerjaan :: Staf Administrasi SMA Negeri 1 Staf Administrasi SMA Negeri 1 Kaimana,Kaimana,

Provinsi Irian Jaya BaratProvinsi Irian Jaya BaratTugasTugas :: Menangani dan mengoperasikan komputer Menangani dan mengoperasikan komputer pada pada bagian Tata Usahabagian Tata UsahaAlamatAlamat :: Jalan Pedesaan KaimanaJalan Pedesaan Kaimana

Telp/FaxTelp/Fax :: Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP 081344043041081344043041E-mailE-mail :: [email protected]@telkom.net

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Balik LanjutAwal KeluarAkhir

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MATEMATIKA

KELAS XII

Menu

Standar Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh SoalUjiKompetensi