Kasicna Mehanika

of 183

  • date post

    03-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    225
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Kasicna Mehanika

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    1/183

    1

    Prirodoslovno matematiki fakultetSveuilite u Splitu

    Klasina mehanika

    Skripta

    Prof. eljko Antunovi

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    2/183

    2

    KLASINA MEHANIKA1. Newtonova mehanika 4

    1.1Koordinatni sustavi 41.2Galilejeve transformacije 6

    1.3Newtonovi postulati 91.4Zakoni ouvanja 111.5Neinercijalni referentni sustavi 181.6Linearni harmoniki oscilator 25

    2. Lagrangeov formalizam 342.1Veze, sile reakcije, dAlembertov princip, Lagrangeove jednadbe 342.2 Zakoni ouvanja 52

    3. Hamiltonov formalizam 553.1Hamiltonov princip 553.2Hamiltonove (kanonske) jednadbe 61

    3.3Zakoni ouvanja 643.4Poissonove zagrade 663.5Analogija sa kvantnom mehanikom 683.6Kanonske transformacije 693.7Invarijantnost Poissonovih zagrada pri kanonskim transformacijama 723.8Hamilton-Jacobieva jednadba 75

    4. Centralne sile 784.1Problem dva tijela 784.2Keplerov problem 804.3Runge-Lenz vektor 904.4Mehanika tijela konanih dimenzija 92

    4.5Rasprenje estica u centralnom polju sila 954.6Kinematika rasprenja 954.7Dinamika rasprenja 994.8Rutherfordovo rasprenje 104

    5. Gibanje krutog tijela 1085.1Tenzor inercije (tromosti) krutog tijela 1115.2 Eulerovi kutovi i Lagrangeove jednadbe 121

    6. Male oscilacije 1306.1Male oscilacije sustva 1306.2Jednadba svojstvenih vrijednosti 133

    6.3

    Normalne koordinate 1386.4Male oscilacije trostrukog njihala 1416.5Titranje linearne troatomske molekule 1466.6Titranje molekule vode 152

    7. Mehanika kontinuuma 1597.1Prijelaz na kontinuirani sustav 1597.2Lagrangeova formulacija za kontinuirane sustave 1627.3Jednadbe gibanja u teoriji polja 1667.4Ouvane veliine 8struje) u teoriji polja 1717.5Jednadbe gibanja u mehanici kontinuuma 177

    Popis rjeenih primjera 181Literatura 183

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    3/183

    3

    Klasina mehanika izuava problem gibanja materijalnih objekata i predstavlja temeljklasine fizike. Tehnoloka primjena zakona klasine fizike izazvala je industrijsku revolucijui omoguila razvoj modernog drutva.

    Poetkom XX stoljea domena primjenjivosti klasine mehanike znaajno se smanjila

    otkriem teorije relativnosti i kvantne mehanike. Tako je klasina mehanika odfundamentalne fizikalne teorije postala aproksimativno tona teorija gibanja makroskopskihobjekata nerelativistikim brzinama. Ali, unutar svoje domene valjanosti, klasina mehanika

    je izuzetno tona teorija ije predikcije se izvrsno slau s eksperimentalnim rezultatima. ak, iu uvenom primjeru perihelija Merkura koji dokazuje ispravnost Ope teorije relativnostinasuprot Newtonova zakona gravitacije, relativna pogreka klasine mehanike je manja od10 7, a za sve ostale planete pogreka je jo i puno manja. Matematika i logika strukturaklasine mehanike pretstavlja model za bilo koju fizikalnu teoriju.

    U teorijskoj fizici kaemo da klasina mehanika izuava problem gibanja fizikalnihsustava. Pod fizikalnim sustavom podrazumjeva se bilo koji skup (klasinih) estica. estica

    je matematika generalizacija jako malog tijela, tj. materijalna toka tijelo mase m, bezikakve unutarnje strukture, ije su sve tri prostorne dimenzije nula. Prema tipu sustava kojeizuava klasina mehanika se dijeli na:

    mehaniku sustava estica sustavi s maksimalno prebrojivo mnogo stupnjeva slobodegibanja i

    mehaniku kontinuuma sustavi s neprebrojivo mnogo stupnjeva slobode gibanja(fluidi i elastina tijela).

    U mehanici, stanje sustava u jednom trenutku vremena potpuno je odreeno poloajem i

    brzinama svih estica.

    Klasina mehanika, kao i cjelokupna fizika uostalom, bazira se na genijalnoj Newtonovojrealizaciji da interakcije meu esticama (sile) odreuju jednadbe gibanja estica koje sudiferencijalne jednadbe drugog reda po vremenu. Rjeavanje jednadbe gibanja estice uzpoetne uvjete poetni poloaj i poetnu brzinu, kompletno odreuje putanju estice. Akoznamo sile koje djeluju na sustav i stanje sustava u jednom trenutku vremena, znat emostanje sustava u bilo kojem trenutku (naravno, uspijemo li rjeiti jednadbe gibanja).

    Jedna od najvanijih karakteristika klasine mehanike je postojanje nekoliko razliitihekvivaletnih formulacija teorije:

    Newtonova formulacija mehanike, Lagrangeov formalizam, Hamiltonov formalizam, Hamilton-Jacobijeva teorija.

    U principu, svaki problem moe se rjeiti bilo kojim od ovih formalizama, ali razliiteformulacije prilagoene su razliitim tipovima problema. Npr., gibanje sustava s vezama(constaints) lake je rjeavati Lagrangeovim nego Newtonovim formalizmom.

    Danas se Hamiltonova (kanonska) formulacija klasine mehanika smatra prototipom zabilo koju fizikalnu teoriju.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    4/183

    4

    1. Newtonova mehanika

    Definirajmo prvo neke od osnovnih matematikih koncepata neophodnih za razmatranjegibanja sustava estica.

    1.1 Koordinatni sustavi

    Poloaj estice u bilo kojem trenutku vremena je toka u trodimenzionalnom Euklidskomprostoru. Da bi odredili poloaj estice moramo specificirati prostorni koordinatni sustav(prostorni dio referentnog sustava) odreen ishoditem i trima meusobno okomitimkoordinatnim osima.

    Od razliitih moguih opih ortogonalnih koordinatnih sustava, najee se koristeKartesijev, koji je najjednostavniji, ili cilindrini ili sferni koordinatni sustav. Bazis prostoraine tri jedinina vektora koordinatnih osi sustava S, tj.

    S : { 321 e,e,e },

    koji zadovoljavaju uvjete ortonormiranosti i kompletnosti:

    ijji ee = uvjet ortonormiranosti i

    =

    =3

    1jji 1ee uvjet kompletnosti.

    Vektor poloaja ili radijus vektor rr estice je vektor iji je poetak u ishoditu, a kraj utoci u kojoj se nalazi estica. U koordinatnom sustavu S radijus vektor estice jednoznano

    je odreen razvojem po bazisu prostora, tj. svojim komponentama ri du koordinatnih osi:

    ==i

    iiii err;rerrr

    . (1.1)

    Eksplicitno, za Kartezijev sustav (x,y,z) je:

    kzjyixr ++=r

    ,

    za cilindrini sustav (,,z) je:

    z ezer +=r

    ,

    a, za sferni sustav (r,,) je:

    rerr =r

    .

    Ponekad je korisno radijus vektor prikazati kao ureenu trojku realnih brojeva, tj. na jeziku

    linearne algebre, kao vektor stupac ( 31 matricu):

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    5/183

    5

    =

    3

    2

    1

    r

    r

    r

    rr

    . (1.2)

    Gibanje estice je promjena njenog poloaja u prostoru, to znai da radijus vektor esticepostaje funkcija vremena (t)rr

    . Brzina vr

    i akceleracija ar

    estice su prva i druga derivacija povremenu radijus vektora estice respektivno, tj.

    vdt

    rdra;

    dt

    rdrv

    2

    2&r

    r

    &&rrr

    &rr ===== . (1.3)

    Pravac brzine estice je tangenta na putanju u svakoj toci, tj. tvv =r

    , dok akceleracija ima

    tangencijalnu i radijalnu (centripetalnu) komponentu: nR

    vtvnataa

    2

    rt +=+= &r

    , gdje su

    nit jedinini vektori tangente i glavne normale na putanju, a R je radijus zakrivljenostiputanje.

    Za raunanje komponenti brzine i ubrzanja estice, tj. pri deriviranju izraza (1.1) treba voditirauna o derivacijama bazisnih vektora jer je:

    +=i

    iiii )rere(r &&&r . (1.4)

    Samo u Kartezijevom sustavu su sva tri jedinina vektora koordinatnih osi konstantnivektori ije derivacije su nula. Npr., za komponente kvadrata brzine estice u opem

    ortogonalnom koordinatnom sustavu S ije su koordinate (q1, q2, q3) dobija se:

    v2 =i

    2i

    2i qh & , (1.5)

    gdje su Lameovi koeficijentii

    i dq

    rdh

    r

    = .

    Eksplicitno je:

    Kartezijev sustav: hx =hy = hz = 1,cilindrini sustav: h = hz = 1 ; h = ,

    sferni sustav: hr = 1 ; h = r ; h = rsin.

    Razmotrimo sad rotaciju koordinatnog sustava.

    Neka imamo dva prostorna koordinatna sustava S i S koji su zarotirani jedan u odnosu nadrugi. Jednostavnosti radi zamislimo da su im ishodita u istoj toci prostora. Komponentenekog vektora r

    ru dva sustava odreene su izrazima:

    ==i

    iii

    ii rererr . (1.6)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    6/183

    6

    Pri rotaciji koordinatnog sustava intenzitet vektora ostaje nepromjenjen, odakle slijedi dameu bazisnim vektorima dva sustava postoji matrina relacija:

    jiijj j

    Tjijijiji eeR;Ree;Ree === ; (1.7)

    gdje je:

    RRT = RT R = 1 i detR = 1, (1.8)

    tj. matrica rotacije R je realna ortogonalna 33 matrica iji elementi su kosinusi pravacakoordinatnih osi jednog sustava u odnosu na drugi. Relacija koja povezuje koordinate vektorarr

    u dva sustava je onda:

    ====i ji, j i

    ijijjjijijii rRrrerRererr

    .

    Zadnja relacija u matrinoj notaciji daje vezu izmeu vektora u dva koordinatna sustava:

    rRrilirRr Trrrr

    == . (1.9)

    1.2Galilejeve transformacijeU mehanici u SI sustavu sve veliine mogu se derivirati iz tri osnovne fizikalne veliine:

    Duljina, osnovna jedinica metar: m

    Vrijeme, osnovna jedinica sekunda: s Masa, osnovna jedinica kilogram: kg.

    Kako je svako gibanje relativno, razmatranje problema gibanja bilo kojeg fizikalnogsustava zahtijeva definiranje referentnog sustava. Klasa referentnih sustava u kojima zakonimehanike imaju najjednostavniju formu su inercijalni referentni sustavi.

    Definicija: Inercijalni referentni sustav

    Homogenost znai da nema specijalnih toaka u prostoru ili trenutaka u vremenu, dokizotropnost prostora znai ekvivalentnost svih pravaca. Time se osigurava da se bilo kojatoka prostora ili vremena moe odabrati za ishodite, kao i da bilo koji pravac u prostorupromatra moe odabrati za koordinatnu os.

    Definicija: Inercijalni referentni sustav

    Referentni sustav u odnosu na koji je:

    prostor homogen i izotropan, vrije