KARYA ILMIAH

BILANGAN / ALJABAR KOMPLEKS PADA ARUS BOLAK BALIKDAN TEGANGAN PHASOR

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Tugas Akhir

MATEMATIKA 2

OLEH M. WAHYU NAZLI 5113331026

JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS NEGERI MEDAN2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah tugas akhir MATEMATIKA 2 ini tepat pada waktunya. Adapun isi dari makalah ini yaitu berisikan tentang karya ilmiah, mengenai penerapan Bilangan Kompleks Pada Arus Bolak Balik dan Pada Tegangan Phasor.Oleh karena itu saya menyadari bahwa makalah ini jauh dari kata sempurna, sehingga saya membutuhkan segala macam bentuk kritik dan saran yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.Pada kesempatan ini saya mengucapkan banyak terima kasih kepada segala pihak yang membantu saya dalam menyelesaikan makalah ini secara langsung dan tidak langsung.Saya menyadari sepenuhnya bahwa telah berupaya untuk memberikan yang terbaik, namun makalah ini masih banyak terdapat kekurangannya. Oleh sebab itu, saya sangat mengharapkan kritik maupun saran dari semua pihak demi membangun kesempurnaan makalah ini.Akhir kata, saya sangat berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membacanya.

Medan, Mei 2015Penulis,

M. Wahyu Nazli

BILANGAN / ALJABAR KOMPLEKS PADA ARUS BOLAK BALIK DAN TEGANGAN PHASOR

Bentuk Rectangular dari Phasor

Y=Zsin jz

X= Zcos j2z z

j3z

Gambar secara grafis phasor z = x +jzGambar diatas menunjukkan phasor z membentuk sudut dengan sumbu x positif. Phasor ini dapat diuraikan ke arah sumbu horizontal atau sumbu real dan sumbu vertikal atau sumbu imajiner, sehingga diperoleh komponen x dan komponen y. Phasor tersebut dituliskan dengan persamaan bilangan kompleks Z = x + jy, dimanaX = z cos adalah bagian riel dari zY = z sin adalah bagian imajiner 1 dari zDari gambar tersebut panjang phasor z adalah : Z = Sedangkan sudut polar dari z atau argumen besarnya :

Notasi j merupakan operator yang menimbulkan perputaran 900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam. Phasor dengan bentuk Z = disebut rectangular phasor. Apabila phasor dikalikan dengan operator j, kita memperoleh phasor baru jyang arahnya terputar 900 berlawanan dengan arah putaran jarum jam.

Dengan mengalikan operator j pada phasor baru ini, kita akan memperoleh phasor j2 yang berputar sebesar 900 lagi. Berarti phasor j2 adalah phasor yang besarnya sama dengan phasor tetapi berlawanan arah atau membentuk sudut 1800 dengan phasor . Ini berarti : j2 = -.Berarti operator j adalah i, sehingga j2 = 1 j3 = -j j4 = 1 = -jBentuk Polar dari Phasor

Z Z X

Phasor pada gambar diatas membentuk sudut dengan sumbu x positif dan dalam koordinat polar dinyatakan dengan notasi : . Simbol adalah panjang phasor, sedangkan < menunjukkan phasor z terhadap sumbu x positif yang diputar melalui sudut berlawanan arah putaran jarum jam, maka kedudukan phasor diberi simbol < - .Berdasarkan persamaan persamaan pada bentuk rectangular phasor dan persamaan , phasor dapat dinyatakan sebagai :

Dimana : L + L

Bentuk Eksponensial dari Phasor Phasor dalam bentuk eksponensial dapat dinyatakan sebagai berikut : Z = . Dalam matematika kita mengenal penderetan dengan deret phasor sebagai berikut : Sin Cos

Dari penderetan fungsi fungsi tersebut diperoleh persamaan persamaan Sin Cos

Dengan demikian kita dapat menuliskan phsor z :

Suatu tegangan sesaat dinyatakan sebagai fungsi sinusoida yaitu : V(t) = Vm cos ( cos(Dimana Vm = amplitudo tegangan V = tegangan efektifBesaran V(t) tersebut dinyatakan sebagai komponen real dari suatu fungsi kompleks yaitu : V(t) = Re {Vm = Re{(V

Terlihat ada dua komponen, yaitu komponen konstanta dan komponen fungsi waktu. Komponen konstanta dinyatakan dalam phasor V yang disebut transformasi tegangan V(t) sehingga : V = V Besaran tidak dimasukkan pada saat menganalisa, namun baru diperhitungkan bila diperlukan, yaitu pada saat menyatakan hasil akhir.

Contoh : Arus listrik dnyatakan sebagai i(t) = 2 sin (100t + ), hendak dinyakan dalam repersentasi phasor. Karena defenisi phasor menggunaka fungsi cosinus, persamaan arus tersebut diubah menjadi i = 2 cos (100t + ) = 2 cos (100t atau dalam repersentasi phasor menjadi I =

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS Dua bilangan kompleks A dan Z dinyatakan sebagai berikut : A = a + j b = A ej Z = x + j y = Z ej Kesamaan Besaran kompleks A dan Z sama jika a = x dan b = y

Penjumlahan dan Pengurangan A + Z = (a + x) + j (b + y) A - Z = (a - x) + j (b - y)

Perkalian Dalam bentuk polar operasi ini jauh lebih menyenangkan, yaitu: A Z = (A ej) (Z ej) = AZ ej(+)

Namun jika dinyatakan dalam bentuk kartesia : A Z = (a + j b) (x + j y) = (ax - by) + j (bx - az)

Pembagian Dalam bentuk polar : Pangkat dan Akar An = (A ej)n = An ejn =An n = = (A ej)1/n = A1/n ej/n = A1/n /n

Contoh 1Hitung i3 =i1 + i2, jika ii = 3 cos t dan i2 = - 4 sin t, kedua besaran tersebut dinyatakan dalam satuan ampere.

Jawaban : i1 = 3 cos t = 1,52 ej0 maka, x1 = 1,52; y1 = 0i2 = - 4 sin t = 4 cos (t + /2) = 22 ej/2 maka, x2 = 0; y2 = 22Diperoleh I3 = 2,52 I3 dengan I3 = tan-1 4/3 Sehingga i3 = I3 cos (t +I3 )I3 = 2,52 2 A = 5 Aartinya i3 = 5 cos (t + 53o) A

Contoh 2 :Carilah representasi phasor untuk bentuk gelombang: v1(t) = cos t, v2(t) = - 2 sin t, v3 = - 3 cos t dan v4 = 4 sin t. Hitung : V1(t) + V2(t) V3(t) + V4(t)

Jawaban : Dengan menggunakan rumus Trigonometri : cos ( + ) = cos cos - sin sin UntukV1 = cos (t) = cos (t+0) V1 = 2 ej0 = 0,52 cos 0o + j 0,52 sin 0o = 0,52 + 0 j UntukV2 = - 2 sin t = 2 cos (t + 90o) V2 = 2 ej90 = 2 cos 90o + j 2 sin 90o = 0 + 2 j UntukV3 = - 3 cos t = 3 cos (t + 180o) V3 = 1,52 ej180 = 1,52 cos 180o + j 1,52 sin 180o = - 1,52 + 0 j Untuk V4 = 4 sin t = 4 cos (t + 270o) V4 = 22 ej270 = 22 cos 270o + j 22 sin 270o = 0 - 22 j Diperoleh: a. V1 + V2 = 0,52 + 2 j = 5 tan-1 3 atau V1 + V2 = 10 cos (t + tan-1 3) b. V3 + V4 = -1,52 - 22 j = 2,52 307o atau V3 + V4 = 5 cos (t + 307o)