BAB I PENDAHULUAN

1.1.

Latar Belakang Saat Sekolah Menengah Atas (SMA), khususnya di mata pelajaran matematika

kita sudah di kenalkan pada materi pelajaran tentang transformasi geometri. Transformasi geometri atau sering disebut transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan tertentu. Jenis-jenis transformasi pun yang telah kita pelajari di saat SMA yaitu Translasi (pergeseran), Refleksi (pencerminan), Rotasi (perputaran), dan Dilatasi (perbesaran/perkalian). Akan tetapi ada 2 jenis transformasi yang di saat SMA belum di kenalkan dan belum di pelajari yaitu Gusuran (shear) dan Regangan (sretch). Dan pada makalah ini akan membahas Transformasi Gusuran (shear) dan Regangan (sretch) tersebut.

1.2.

Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Apa itu Transformasi Gusuran ? 2. Apa itu Transformasi Regangan ? 3. Ada berapa macam Transformasi Gusuran dan Transformasi Regangan ?

1.3.

Tujuan Tujuan makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Menjelaskan tentang Transformasi Guscuran dan Transformasi Regangan, 2. Dan agar pembaca dapat menyelesaikan persoalan yang mengenai Transformasi Gusuran dan Transformasi Regangan.

1

BAB II PEMBAHASAN

2.1.

Transformasi Gusuran Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik

menurut arah sumbu X atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran yaitu: 1. Transformasi gusuran arah sumbu X C(xc,yc) D(xd,yd) D(xd,yd) C(xc,yc)

A(xa,ya) = A(xa,ya)

B(xb,yb) = B(xb,yb)

Untuk menyelesaikan transformasi gusuran searah sumbu X bisa dengan translasi, dimana titik A(x,y) ditranslasikan oleh ( akan memperoleh : x' = x + ky y' = y Maka bayangannya adalah A(x + ky,y). Dan Matriks transformasi yang bersesuaian adalah ( ). ) atau T(ky,0). Sehingga

2

2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y

C(xc,yc)

B(xb,yb)

D(xd,yd) = D(xd,yd)

C(xc,yc)

A(xa,ya) = A(xa,ya)

B(xb,yb)

Untuk menyelesaikan transformasi gusuran searah sumbu Y bisa dengan translasi, dimana titik A(x,y) ditranslasikan oleh ( akan memperoleh : Maka akan memperoleh : x' = x y' = kx + y ) atau T(0,kx). Sehingga

3

Maka bayangannya adalah A(x,kx + y). Dan Matriks transformasi yang bersesuaian adalah ( ).

Contoh : 1. Diketahui titik A(2 , -3). Tentukan bayangan titik itu oleh :a. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4 b. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala -3

Jawab : a. x = x + ky x = 2 + 4(-3) x = -10 y = y y = -3 maka A(-10,-3) searah sumbu X. b. x = x x = 2 y = kx + y y = (-3)(2) + (-3) y = -9 maka A(2,-9) searah sumbu Y.

4

2.2.

Transformasi Regangan (Stretch) Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke

himpunan titik lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis tertentu (invariant). Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan. 1. Regangan searah sumbu X Artinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan factor regangan k. D(xd,yd) = D(xd,yd) C(xc,yc) C(xc,yc)

A(xa,ya) = A(xa,ya)

B(xb,yb)

B(xb,yb)

Dimana : AB = x AB = x AC = r Maka :

BC = y AC = r

BC = y AC = x

k = faktor skala/faktor regangan =

=

BC = BC

y = yk

x = kxDari uraian di atas memperoleh : x' = kx y' = y5

Dan matriks tarnsformasi yang bersesuaian (

).

2. Regangan searah sumbu Y Artinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan factor regangan k. D(xd,yd) C(xc,yc)

D(xd,yd)

C(xc,yc)

A(xa,ya) = A(xa,ya)

B(xb,yb) = B(xb,yb)

Dimana : AB = DC = x AB = DC = x BD = r BC = AD = y BC = AD = y BD = r

k = faktor regangan/faktor regangan = Maka :

=

DC = DC

x = x

6

y = kyDari uraian di atas memperoleh : x' = x y' = k y Dan atriks tarnsformasi yang bersesuaian ( ).

3. Regangan dalam Arah sumbu X dan sumbu Y Regangan dalam Arah sumbu X dan sumbu Y adalah regangan (tarik/tekan) dalam arah sumbu X dengan faktor skala k1 dan regangan (tarik/tekan) dalam arah sumbu Y dengan faktor skala k2 memetakan titik A(x,y) menjadi titik A(x,y). Untuk menyelesaikannya : Bisa menggunakan matriks dilatasi yaitu ( ), dengan ketentuan

k yang diatas adalah k1 dan yang di bawah adalah k2. Maka matriks regangan yaitu ( ) untuk k1 k2.

Jadi A(x,y) = A(k1x,k2y) Bisa juga dengan mencari dahulu bayangan titik A(x,y) menggunakan regangan bayangan terhadap sumbu X maka akan menjadi A(x1,y1) lalu hasil bayangan terhadap sumbu X di regangkan lagi dengan regangan terhadap sumbu Y, maka menghasilkan A(x2,y2) dan A(x2,y2) itulah hasil regangan dalam arah sumbu X dan sumbu Y. Catatan : 1. Dalam kasus k1 = k2 = k, maka itu menyatakan transformasi dilatasi. 2. Regangan tarik atau ekspansi, jika k 3. Regangan tekan atau kompresi, jika 0 1. k 1

7

Contoh : 1. Diketahui titik A(2 , -3). Tentukan bayangan titik itu oleh a. Regangan searah sumbu X dengan faktor skala 4 b. Regangan searah sumbu Y dengan faktor skala 3

2.

Carilah bayangan titik Q(-3,4) oleh transformasi regangan searah : a. Regangan searah sumbu X dengan faktor skala 3 dan sumbu Y dengan faktor skala 2. b. Regangan searah sumbu X dengan faktor skala dengan faktor skala dan sumbu Y

.

Jawab : 1. a. x = kx = (4)2 x = 8 y = y y = (-3) y = -3 maka A(8,-3) searah sumbu X. b. x = x = 2 x = 2 y = ky y = (-3)(-3) y = 9 maka A(2,9) searah sumbu Y. 2. a. x = k1x = (3)(-3) x = -9 y = k2y y = (2)(4) y = 88

maka Q(-9,8).

b. x = k1x = ( x = ( y = k2y y = ( y = 1 maka Q(

)(-3)

)

) (4)

,1).

9

3.3.

Latihan Soal1. Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu oleh : c. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala 3 d. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4

2. Tentukan titik koordinat bayangan dari sebuah bangun segitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4). Jika segitiga tersebut di shear terhadap sumbu X dengan faktor skala 3 serta sketsakan bayangan yang terbentuk.

3. Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan (

)!

4. Jika persegi GHIJ dengan koordinat titik-titik sudutnya adalah G(5,5), H(5,5), I(-5,-5), J(5,-5). Carilah bayangan persegi GHIJ oleh transformasi regangan : a. Searah sumbu X dengan faktor skala 3, dan searah sumbu Y dengan faktor skala 2. b. Searah sumbu X dengan faktor skala 4. c. Searah sumbu Y dengan faktor skala 3.

10

BAB III PENUTUP

3.1.

Kesimpulan Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik

menurut arah sumbu X atau sumbu Y, dan ada 2 macam transformasi gusuran yaitu searah sumbu X dan searah dengan sumbu Y. Dimana jika searah sumbu X memiliki matriks ( ) dan jika searah sumbu Y memiliki matriks ( ). Maka jika searah

sumbu X bayangan titik A(x,y) di transformasikan oleh transformasi gusuran akan menghasilkan A(x+ky,y), dan jika searah sumbu Y bayangan titik A(x,y) di transformasikan oleh transformasi gusuran akan menghasilkan A(x,kx+y). Transformasi regangan merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke himpunan titik lainnya dengan cara

memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis.searah sumbu X atau searah sumbu Y (garis invariant). Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan (faktor skala). Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan. Dimana jika searah sumbu X memiliki matriks ( ( ) dan jika searah sumbu Y memiliki matriks

). Maka jika searah sumbu X bayangan titik A(x,y) di transformasikan oleh

transformasi gusuran akan menghasilkan A(kx,y), dan jika searah sumbu Y bayangan titik A(x,y) di transformasikan oleh transformasi gusuran akan menghasilkan A(x,ky).

11

DAFTAR PUSTAKA

Tampomas, Husein. 2007. Seribupena Matematika SMA Kelas XII. Jakarta. Erlangga http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=22+transformasi+geometri&source=web&cd=1 &ved=0CCAQFjAA&url=http%3A%2F%2Fvidyagata.files.wordpress.com%2F2011%2F04 %2F22-transformasi-geometri.pdf&ei=CA1_Tv7M8XwrQeG4Mj5BQ&usg=AFQjCNGqhoAy5t4efgF1zZDhlJuekXxh2w&cad=rja

12