KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS KALKULUS VARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASIVARIASI

B

Bidang Bentuk kurva apakah yang menunjukkan jarak terpendek yang menghubung-kan titik A dan titik B dalam bidang datar

Simak Pertanyaan

A

dalam bidang datar di samping ?

B

Bidang

Simak Pertanyaan

Tentu mudah jawabnya, yaitu kurva C yang berbentuk garis

C

A

lurus yang menghubungkan langsung A dan B.

C

Persoalan kurva yang menandai jarak terpendek yangmenghubungkan dua titik dalam bidang yang dikenal sebagai “Geodesic” tercakup dalam persoalan nilai “maksimum” atau“minimum” suatu fungsi, atau lebih umum disebut sebagaipersoalan nilai “Stasioner”.

Menurut kalkulus dasar, syarat perlu suatu fungsi f(x) bernilaistasioner adalah :

0=dx

df

Dalam Fisika, persoalan nilai stasioner (maksimum/minimum)suatu fungsi banyak dijumpai, dan analisis sifat stasioner suatukuantitas fisika banyak menghasilkan hukum dan prinsip.

ContohA B

Sinar datang dari titik A menuju cermin

Cermin datar

A menuju cermin datar dan dipantulkan ke titik B. Dari sekian banyak lintasan yang dapat dilalui sinar, hanya satu lintasan yang sesungguhnya akan dilalui sinar.

Lintasan manakah itu ???

Prinsip Fermat : Sinar datang dari titik A menuju cermin dandipantulkan ke titik B akan menempuh satu lintasan tertentuyang jaraknya terpendek atau waktu tempuhnya tersingkat

Dari prinsip ini lahirlah hukum Snelius tentang pemantulancahaya

Sudut Datang = Sudut PantulSudut Datang = Sudut PantulSudut Datang = Sudut PantulSudut Datang = Sudut Pantul

Bukti

Cermin datar

A B

θ θ’

ba l2l1

x d-x

N

d

21 lll +=

( )2222 xdbxal −+++=

Menurut Fermat l harus terpendek

Bukti

( ) 02222 =

−+++= xdbxa

dx

d

dx

dl

Menurut kakulus syarat perlu suatu kuantitas minimum adalah turunan pertama bernilai nol (0), dalam hal ini :

0=dx

dl

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2/12/1 −−( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 01222/122

21

2/1222

1 =−−−+++−−

xdxdbxxa

( )( )

02222

=−+

−−+ xdb

xd

xa

x

( )( )2222 xdb

xd

xa

x

−+

−=+

Sin θ = Sin θ’ θ = θ’ Hukum Snellius

( )∫ ==2

1

';',,x

x dx

dyydxyyxFI

Dalam Kalkulus Variasi, kuantitas atau fungsi yang dibuatstasioner dinyatakan dalam notasi integral (I) sebagai berikut :

Pada persoalan awal yaitu kurva yang menandai jarakterpendek yang menghubungkan dua titik dalam bidang

∫== dSSI y∫dS

dy

dx

x

∫ +== 22 dydxSI

dxdx

dySI ∫

+==2

1

dx

dyydxySI =+== ∫ ';'1 2 ( )

dx

dyyyyyxF =+= ';'1',, 2

Penanganan persoalan ini dilakukan dengan Prinsip Variasisehingga teknik ini disebut Kalkulus Variasi :

dx

dyydxySI =+== ∫ ';'1 2

Dalam persoalan ini ingin diketahui kurva y = f(x) yang menandai jarakterpendek atau kuantitas berikut bernilai paling kecil :

Dengan prinsip Variasi, kurva y(x) divariasikan nilainya di atas maupundi bawah nilai sesungguhnya. Variasi ini diwakili oleh suatu fungsi

sembarang η(x) seperti pada gambar berikut.

Y(x) = y(x) + εη(x)

x

Y

(x2,y2)

(x1,y1) y(x)

Y(x)

ε Adalah suatu parameter

x

η

x1x2

η(x)

η(x) adalah suatu fungsisembarang yang berkelakuanbaik diantara x1 dan x2.nilainya nol di x = x1 dan di x =x2

ε Adalah suatu parameter

∫ +=2

1

2'1x

x

dxYI

Dengan variasi ini, maka sekarang kita menginginkan kuantitas berikut bernilai minimum

Dan I sekarang menjadi fungsi parameter ε; jika ε = 0 maka Y = y(x).Persoalan sekarang adalah membuat I(ε) memiliki nilai minimumketika ε = 0. Dengan kata lain :

0;0 == εεd

dI

ketika ε = 0. Dengan kata lain :

Jika kita lakukan diferensiasi I terhadap ε, didapat :

∫

+=

2

1

''2

1

1

2

12'

x

x

dxd

dYY

Yd

dI

εε

( )xd

dY'

' ηε

=

Dan jika kita lakukan diferensiasi persamaan Y(x) terhadap x,didapat :

( ) ( ) ( )xxyxY ''' εη+=

didapat

( ) ( )0

'1

''2

1

20

=+

=

∫

=

dxy

xxy

d

dIx

x

ηε ε

Jika hasil terakhir ini disubstitusi ke prs dI/dε dan mengambildI/dε = 0 ketika ε = 0, maka didapat :

( ) ( )0

'1

''2

1

20

=+

=

∫

=

dxy

xxy

d

dIx

x

ηε ε

( )dxxdvy

yu η=

+= ',

'1

'2

Kita dapat mengintegrasi secara by part (parsial) terhadapintegral ini, sebagai berikut :

( )xvdxy

y

dx

ddu η=

+= ,

'1

'2

dan

( ) ( ) 0'1

'

'1

'22

0

2

1

2

1

=

+−

+=

∫

=

dxy

y

dx

dxx

y

y

d

dIx

x

x

x

ηηε ε

0' =

yd

didapat

( ) ( ) 0'1

'

'1

'22

0

2

1

2

1

=

+−

+=

∫

=

dxy

y

dx

dxx

y

y

d

dIx

x

x

x

ηηε ε

= 0 ≠ 0

sehingga 0'1

'2

=

+ y

y

dx

d

Cy

y =+ 2'1

'

sehingga

atau

2'1' yCy +=

( ) 222222 ''1' yCCyCy +=+=

( ) 222 1' CCy =−

( )2

2

22

1' K

C

Cy =

−=

Ky ='

Kdx

dy =

dxKdy =

∫ +== BKxKdxy

Merupakan persamaangaris lurus linier sepertiyang diramalkan di awal

( )∫=2

1

,',,x

x

dxyyxFI

( ) ( ) ( )xxyxY εη+=

( ) ( )∫=2

',,x

dxYYxFI ε

Persamaan Euler

Tapi

sehingga

Kembali ke kuantitas

∫1x

∫

∂∂+

∂∂=

2

1

'

'

x

x

dxd

dY

Y

F

d

dY

Y

F

d

dI

εεε

( ) ( )∫

∂∂+

∂∂=

2

1

''

x

x

dxxY

Fx

Y

F

d

dI ηηε

Jika I diturunkan terhadap ε, didapat

atau

( ) ( ) 0''

2

10

=

∂∂+

∂∂=

∫

=

x

x

dxxy

Fx

y

F

d

dI ηηε ε

( ) ( ) ( )dxxy

F

dx

dx

y

Fdxx

y

Fx

x

x

x

x

x

ηηη

∂∂−

∂∂=

∂∂∫ ∫ ''

''

2

1

2

1

2

1

Untuk ε = 0 maka dI/dε = 0

Jika kita lakukan proses integrasi untuk suku kedua didapat :0

x xx 1 11

( ) 0'

2

10

=

∂∂−

∂∂=

∫

=

dxxy

F

dx

d

y

F

d

dIx

x

ηε ε

0'

=∂∂−

∂∂

y

F

y

F

dx

dPersamaan Euler

Maka :

atau

∫ +=2

1

2'1x

x

dxyI

( ) 2'1',, yyyxF +=

0,' =

∂∂=

∂∂ FyF

Dalam persoalan kurva yang menandai jarak minimum yang menghubungkan dua buah titik dalam bidang, yakni :

maka

dan 0,'1' 2

=∂+

=∂ yyy

0'1

'2

=

+ y

y

dx

d

Sama seperti sebelumnya

dan

Sehingga persamaan Eulernya :

0'

=∂∂−

∂∂

y

F

y

F

dx

d

dxyxx

x∫ +2

1

2'1.1

Latihan Soal

Tentukan y=f(x) sehingga kuatitas-kuantitas berikut bernilaistasioner, dengan menggunakan persamaan Euler !

dxye

x

ds

x

x

x

x

x

∫

∫

+2

1

2

1

2'1.3

.2

Penggunaan Persamaan Euler

( )∫ = drddrrF θθθθ ';',,

a. Variabel lain

0'

=∂∂−

∂∂

θθFF

dr

d

Varibel r dan θθθθ

0'

=∂

−

∂ θθdr

Varibel s dan p

( )∫ = dsdppdsppsF ';',,

0'

=∂∂−

∂∂

p

F

p

F

ds

d

( )∫ = dtdxxdtxxtF && ;,,

Variabel t dan x

0=∂∂−

∂∂

x

F

x

F

dt

d&

dst................

Contoh SoalTentukan lintasan yang akan dilalui sinar cahaya jika indeks bias (dalam koordinat polar) sebanding dengan r-2 !

∫ ∫−= dsrdsn 2

∫ ∫ +=+ −− drrrdrdrr 2222222 '1 θθ

( )','1 222 θθ rFrrF =+= −

Persamaan Euler :

0'

=∂∂−

∂∂

θθFF

dr

d

0=∂∂

θF

Karena F bukan fungsi θ

( ) ( )

+−=∂∂ −− '2'1

2

1

'22/1222 θθ

θrrr

F

22 '1

'

' θθ

θ r

F

+=

∂∂

0=∂θ

Karena F bukan fungsi θ

00'1

'22

=−

+ θθrdr

d

Cr

=+ 22 '1

'

θθ

22 '1' θθ rC +=

( ) 22222222 ''1' θθθ rCCrC +=+=

( ) 2222 1' CrC =−θ

( )22

22

1'

rC

C

−=θ

Cr

=− 22 '1

'

θθ

( )221 rC−

221'

rC

C

−=θ

221 rC

C

dr

d

−=θ

C

drrC

Cd

221−=θ

BCrSinArc

drrC

C

+=

−= ∫

θ

θ221

b. Integral Pertama dari Persamaan Euler

0'

=∂∂−

∂∂

y

F

y

F

dx

d

0=∂F

Persamaan Euler untuk F(x,y,y’) adalah

Jika F bukan fungsi y, yakni F(x,y’), maka :

0'

=

∂∂

y

F

dx

dC

y

F =∂∂

'

0=∂∂

y

F

Sehingga persamaan Eulernya menjadi :

atau

Keadaan ini disebut integral pertama dari persamaan Euler

Integral Pertama dari Persamaan Euler

Jika suatu persoalan dapat diarahkan ke bentuk integral pertamapersamaan Euler, maka pengerjaannya akan lebih mudah dan lebihsederhana.Cara yang dapat ditempuh agar suatu persoalan mengarah keintegral pertama persamaan Euler adalah melakukan pertukaranvariabel, yaitu pertukaran variabel bebas dengan variabel terikatseperti berikut :seperti berikut :

'

1'

1

ydx

dy

dy

dxx =

==−

dyxdydy

dxdx '==

dan

∫+

= dxy

yI

2'1

( )y

yyyxF

2'1',,

+=

Tentukan dan selesaikan persamaan Euler agar kuantitas berikutstasioner !

Dari soal dapat ditentukan F sebagai berikut :

( )y

yyxF ',, =

( ) ( )2

2/1221

'1

''2'1

' yy

y

y

yy

y

F

+=+=

∂∂

−

2/3

22/1212

2

'1'1

y

y

y

yy

y

F +−=

+−=

∂∂ −

sehingga

'1' 2

+

yyd

atau

Dengan demikian persamaan Eulernya menjadi :

0'

=∂∂−

∂∂

y

F

y

F

dx

d

02

'1

'1

'2/3

2

2=

+−−

+ y

y

yy

y

dx

d

Tampak tidak sederhana bukan ?? Dan mencarisolusinya tidak cukup mudah

dyxdyxydxy 1'''1'1 222 +=+=+

∫+= dyy

xI

2'1

Sehingga F nya sekarang berubah menjadi :

Coba sekarang lakukan pertukaran variabel bebas dengan terikat sbb:

Sekarang kuantitas yang dibuat stasioner menjadi :

0'

=∂∂−

∂∂

x

F

x

F

dy

d

Sehingga F nya sekarang berubah menjadi :

( )y

xxyF

2'1',

+=

Dengan demikian persamaan Eulernya menjadi :

0=∂∂

x

F

00'1

' =−

+ xy

x

dy

dDan

Sehingga persamaan Eulernya menjadi :

00' =−

xd

Cxy

x =+ 2'1

'

00'1

' =−

+ xy

x

dy

d

Tampak lebih mudah diselesaikan dari sebelum dilakukan pertukaran variabel

Beberapa variabel terikat; Persamaan Lagrange

Dalam persoalan nilai stasioner ini sesungguhnya tidak perlu terbataspada sebuah variabel terikat, melainkan bisa terdiri atas beberapavariabel terikat.

Ingat kembali pada kalkulus dasar, bahwa jika y = f(x), maka syarat perluagar f(x) bernilai stasioner adalah :

0=dy0=

dx

dy

0=∂∂x

z

Dan jika suatu z = f(x,y) maka untuk kondisi ini, syarat stasioner adalah :

0=∂∂y

zdan

Beberapa variabel terikat; Persamaan Lagrange

Analog dengan itu terjadi pula dalam kalkulus variasi. Misalkan kitadiberikan sebuah F yang merupakan fungsi dari :

dan kita ingin mencari dua kurva y = y(x) dan z = z(x) yang membuat :

,,,,, xzy dxdz

dxdy

( ) dy( )∫ === dxdzzdx

dyyzyzyxFI '';',',,,

bernilai stasioner. Maka nilai integral I bergantung pada y(x) dan z(x).Untuk kasus ini terdapat dua persamaan Euler, satu untuk y dan satulagi untuk z, seperti berikut

0'

0'

=∂∂−

∂∂=

∂∂−

∂∂

z

F

z

F

dx

ddan

y

F

y

F

dx

d

Prinsip Hamiltonian dalam Mekanika

Dalam Fisika Dasar, hukum II Newton merupakan persamaanfundamental dalam membahas gerak benda.

Dalam mekanika lanjut, persoalan gerak benda dianalisis dari sudutpandang yang berbeda, yang disebut prinsip Hamiltonian

∑ = amFrr

pandang yang berbeda, yang disebut prinsip Hamiltonian

∫=2

1

t

t

dtLI

Prinsip ini menyatakan bahwa suatu partikel atau sistem partikel selalubergerak pada suatu lintasan sedemikian rupa sehingga :

bernilai stasioner, dengan :

VTL −= L disebut Lagrangian, T energi kinetik partikel, Venergi potensial partikel

Persamaan Lagrange

Untuk persoalan ini terdapat persamaan Euler, yang lebih dikenalsebagai persamaan Euler-Lagrange atau persamaan Lagrange, yangjumlahnya bergantung pada jumlah variabel terikat. Untuk 3 Dimansimaka persamaan Lagrange-nya dalam sistem kartesian adalah :

0=∂∂−

∂∂

x

L

x

L

dt

d&

0

0

0

=∂∂−

∂∂

=∂∂−

∂∂

=∂

−

∂

z

L

z

L

dt

d

y

L

y

L

dt

d

xxdt

&

&

&

Contoh Soal

Sebuah benda dijatuhkan secara bebas dari ketinggian tertentu dekatpermukaan bumi. Tentukan persamaan gerak benda yang jatuh bebastersebut !

Dengan Hukum II Newton

∑ = amFrm

y

mgWF −==

ga

amgm

y

yrr

rr

−=

=−

Resultan gaya yang bekerja pada benda adalah gaya berat :

sehingga :

g

h

W

Contoh Soal

gtvy −=r

m

h

∫−= dtgvy

r

Kecepatan benda sbg fungsi waktu

v0 = 0

∫= dtvyrr

( )∫ −= dtgtyr

gW

02

21 ygty +−=r

posisi benda sbg fungsi waktu

Contoh Soal

Sebuah benda dijatuhkan secara bebas dari ketinggian tertentu dekatpermukaan bumi. Tentukan persamaan gerak benda yang jatuh bebastersebut !

Dengan prinsip Hamiltonian

VTL −=m

221 ymT &=

Dengan :

sehingga :g

h

W

mgyV =

mgyymL −= 221 &

Persamaan Lagrange

0=∂∂−

∂∂

y

L

y

L

dt

d&

ymy

L&

&=

∂∂

d

mgy

L −=∂∂

( ) ( ) 0=−− mgymdt

d&

( ) ( )ga

mgym

y −==+ 0&&

Sama seperti sebelumnya

Prinsip Variasi Van Baak dalam Rangkaian DC

Dalam Fisika Dasar, teorema simpal Kirchoff merupakan teoremafundamental dalam membahas rangkaian listrik arus searah (DC).

Dari sudut pandang lain, persoalan rangkaian arus listrik DC dapatdiselesaikan menggunakan prinsip Variasi Van Baak

∑ ∑ =+ 0iRε

diselesaikan menggunakan prinsip Variasi Van Baak

∑=

=n

kkkd RiP

1

2

gd PPS 2−=

Prinsip ini menyatakan bahwa arus listrik akan mengalir ke suatupercabangan rangkaian sedemikian rupa sehingga :

bernilai stasioner, dengan :

∑=

=n

kkkg iP

1

ε

Syarat perlu :

0=∂∂

ki

S

k = jumlah cabang dalam rangkaian

Contoh soal

Gunakan prinsip variasi untuk menyelesaikan persoalan rangkaian listrik berikut ini. Tentukan kuat arus listrik yang mengalir pada setiap cabang rangkaian di bawah ini !

R2 = 1 Ωi2

i3

i1

R1 = 2 Ω

R3 =3 Ωε2 = 1V

ε1 = 2V

ε3 = 3V

Jawab

Prinsip Variasi Baak : S = Pd – 2 Pg

2)(64)(32

26432

32

32

222

2312

22

32

1

213

231

22

23

21

2

iiiiiiiiS

iiiiiiS

iiiiiiiPg

iiiRiPd

kk

kk

−+−−+++=

−−−++=

+=

++==

++==

∑∑

ε

),(

2)(64)(32

21

22112

22

212

1

iiSS

iiiiiiiiS

=−+−−+++=

0262)(60

064)(640

2212

2111

=−−++→=∂∂

=−−++→=∂∂

iiii

S

iiii

S

Jawab

886

10610

21

21

=+=+

ii

ii

443

535

21

21

=+=+

ii

ii

Ai

i

ii

ii

11

5

511

202015

15915

2

2

21

21

=

−=−

=+

=+

−

ii

5

355 21

−=iii +=

Ai

i

i

i

11

811

405

11

15555

11

5355

1

1

1

1

=

=

−=

−=

Ai

i

iii

11

1311

8

11

5

3

3

213

=

+=

+=