Kalkulus Satu Teknik Mesin
-
Upload
iyrha-auriliand -
Category
Documents
-
view
467 -
download
11
Transcript of Kalkulus Satu Teknik Mesin
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
1/160
11/21/15
11
H W ARE YOU
TO DAY
Garuda dengan sayapmu kibarkan sang merahputih
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
2/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
3/160
UMI LEADERSHIP 2010 2014
RectorProf. Dr. Hj. Masrurah Mokhtar, MA
Vice Rector for AcademicAair
Prof. Dr. H. Syahnur Said, MSi
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
4/160
UMI LEADERSHIP 2010 2014
Vice Rector for Administrationand
Financial AairDr. Ir. H. Iskandar BP, MSc
Vice Rector for Student AairProf. Dr. H. Achmad Gani, SE, MSi
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
5/160
UMI LEADERSHIP 2010 2014
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
6/160
MENJADI
SARJANA TEKNIK MESIN DAN PERTAMBANGANUNIVERSITAS MUSLIM INDONESIA
MEMILIKI MOTIVASI & INOVASI BERKELANJUTAN
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
7/160
ANDA MEMULAI NYADARI
SINI ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
8/160
11/21/15
8
JUMLAH SKS = 151 SKS
BILA RERATA 20 SKS/ SEMISTER, MAKA
151/ 20= 7,5-8 SEMISTER (3,5 - 4 TAHUN)
ATAU IPK MENCAPAI 3-3,5 AN RERATA 22-24
SKS/ SEMISTER, MAKA
151/24= 7 SEMISTER (3,5-4 TAHUN)
!"#2 $%"!& $!'!!
APA *AN+ PERLU IMILIKI SEBA+AI
MAHASISA .
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI
8
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
9/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI9
JENIS MATA KULIA
1. CIRI K AS-MULOK
2. DASAR KEA LIAN
3. KEA LIAN
4. PILI AN KONSENTRASI/ BA
5. KP - KKN
TOTAL 151 SKS
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
10/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI10
JENIS MATA KULIA
1. CIRI K AS-KEUMIAN
2. DASAR KEA LIAN
3. INTI/ KEA LIAN
4. PILI AN KONSENTRASI/ BA
5. KP - KKN
TOTAL 151 SKS
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
11/160
11/21/1511
UNTUK MATA KULIAH EN+AN1 BBT 1 SKS IPERLUKAN AKTU
TATAP MUKA I KELAS 1 JAM MATA
KULIAH = 50 MENIT2 BBT 2 SKS = 100 MENIT
3 BBT 3 SKS = 150 MENIT
4
BBT 4 SKS = 200 MENIT5!% #!!' "6 '%!& 66!
4 9 5 !/ &!'62!! %6!&
11/21/15MAHMUDDIN - TAMBANG UMI11
ALOKASI WAKTU
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
12/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI12
CARA BELAJAR
11/21/1512
KELMPK : TERIRI 4-5 RAN+/ KLPKELAS : 40 R+ / 10-8 KELMPK
- IN;RMASI
- SALIN+ MEN+UNTUN+KAN- LEBIH MUAH - RIN+AN
- SALIN+ MEMTI
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
13/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI13
INILAH YANG PERLU DIMILIKI MAHASISWA ?
- KNSENTRASI
- ;KUS
- PERHATIAN *AN+ TIN++I
- EIKASI
- BERPIKIR L+IS
- IN
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
14/160
S*ARAT KELULUSAN NB KEHADIRAN MINIMAL 75 !"GA# MANDIRI $5
"%IAN !ENGAH #EMI#!ER &"!#' I (5
"%IAN !ENGAH #EMI#!ER II (5
"%IAN #EMI#!ER &"#' )5
#IKA*+M,!I-A#I +.
Bila nilai UTS baik, bebas US
dengan nilai A
JURU
SAN
TEKNIK
MES
IN
UMIMAKASSAR
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
15/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
16/160
PERTEMUANAWAL
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
17/160
PENAHULUAN
*ertama mempe/a0ari KALKULUS I1 maka akan timbu/beberapa pertanyaan da/am benak kita diantaranya ada/ah2
$3 Apa yang dimaksud dengan ka/ku/us
(3 Mengapa kita harus mempe/a0arinya
)3 Mengapa kita ingin mempe/a0arinya
43 agaimana hubungan dengan i/mu+i/mu /ain yang pernahkita pe/a0ari maupun kaitannya dengan kenyataan+kenyataan yang ita hadapi sehari+hari
53 Apa man6aat mempe/a0arinya
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
18/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
19/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
20/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
21/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
22/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
23/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
24/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
25/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
26/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI27
P#'$!!! L6#!' "! P#'$!!!
L6#!' S6%!
P#'$!!! "! 6"#6!$ *ersamaan ada/ah pernyataan kasamaan antara dua ekspresi
a/0abar yang 8989k untuk bi/angan ni/ai :ariabe/ tertentu atau
:ariabe/ yang diketahui1 dan penye/esaian persamaan ada/ah
dengan pr9ses menentukan ni/ai tertentu ini33 %ika pernyataanpersamaan benar untuk semua ni/ai yang tidak diketahui1
pernyataan itu 6"#6!$
C&:
&;(
< y(
'=&; < y'&; . y' benar untuk semua ni/ai ; dan y danidentitas3
&a . )'(= a(. 4a . $7 ada/ah persamaan benar hanya 0ika a=4
&a . )'(= a(. >a . ? ada/ah identitas1 benar untuk semua ni/ai a3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
27/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI28
P#'$!!! L6#!' (PL)*L men8akup hanya satu :ariabe/ yang tidak diketahui dengan
pangkat tidak /ebih tinggi daripada yang pertama3 *L 0ugadia8u sebagai persamaan sederhana3
S%$6 >#'$!!! $#"#&!!
+ *enyederhanaan persamaan pada masing+masing ruas
persamaan yang mengandung persamaan da/am bentuk1&a; . b' = &8; . d' menghasi/kan &a; < 8;' = &d < b' dan
sehingga diper9/eh ; = &d < b'@ &a < 8'
11/21/1528
9nt9h /ainada/ah:
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
28/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI
29
*ersamaan yang dianggap bukan persamaan yangsederhana seringka/i dikembangkan men0adi persamaansederhana se/ama penyederhanaan3 Misa/nya ada/ah2
?= -1Dengan ;= +$ saudara men8ek hasi/ dengan
subtitusi harga ; ke persamaan yang dimaksud
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
29/160
Dengan 8ara yang sama se/esaikan persamaan ini2
Diperole:
Dengan persamaan sederhana men8akup pe8ahan
a/0abar1 /angkah pertama ada/ah untuk penge/iminasi
penyebut dengan menga/ikan semua dengan ke/ipatanKPK&persekutuan terke8i/ penyebut'
Co!o"#
KPK 2$ %$ 4
&' (
'&')'" 12
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
30/160
Perdengarkanlah !ara"! #$la #er#$$k ?
Lak!kan $n$ dengan %ara ang "a
KPK 'ene#!( adalah )*) + ,-*) + .-
Ker/akan dengan %ara a"a0
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
31/160
#eg$n$ %arana a ha ha ha ?
Tak k!angka d$a da(ang ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
32/160
P#'$!!! 6#!' $6%! "#@! "%! !%
*ersamaan /inear simu/tan ada/ah persamaan dengan dua:ariabe/ atau /ebih persamaan dengan bi/angan yang
sama ada/ah bi/angan :ariabe/ yang terhadap diper/ukan
untuk men8apai 0aBabannya3
Ada dua met9de penye/esaikan persamaan ini 2
$a'a'!n d$a ?
12 S3l!$ dengan!#($(!$ #e/esaikan persamaan berikut ini
$
(
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
33/160
Ak! (e(a' d$ ha($"! ha ha ha
%ika ;=4 disubtitusi ke
persamaan asa/ /ain1 misa/nya3
Dengan demikian kita mempunyai ;= 4 dan y= +)3
#ebagai 8ek bahBa ni/ai ; tersebut disubtitusi ke persamaan$ atau (3
Dan hasi/nya ada/ah 2
Maka1 ;= 4 dan y= +) ada/ah
s9/usi yang diper/ukan3
X=
X=!"
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
34/160
#9/usi ini /ebih sederhana1 yakni 0ika menga/ikan persamaan &$'dengan k9e6isien y dari persamaan &(' dan menga/ikan persamaan&(' dengan k9e6isien y dari persamaan &$'3 Atau dengan k9e6isiendari ;
Ker0akan dengan 8ara sama23
$
(
1. Solusi dengankoefisien persamaan
$
(
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
35/160
C!!! $:
ahBa 0ika suku y dan ; mempunyai tanda yang sama1 memang
kita dapat mengurangkan satu baris dari yang /ain untuk
menge/iminasi satu :ariabe/3
#,L"#INCA ADALAH1
43n(3h la$n$
(
#9/usinya ada/ah1
Ker0akan sepeti sebe/umnya
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
36/160
#9/usinya ada/ah1
Ker0akan sepeti sebe/umnya
P#'$!!! 6#!' $6%! "#@! 6@! !%
Dengan tiga anu1 maka diper/ukan tiga persamaan yangmengandung 0aBaban yang diper/ukan3 Met9de
penye/esaiannya ada/ah pengembangan dari penye/esaian
dengan dua anu33
#9/usinya ada/ah1
Co!o":
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
37/160
Lak!kan !/$(erhada'
'era"aan *1-5*6- a(a! *,-
3l!$na a'a ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
38/160
Co!o" )'*#
Jangan "eraa '$n(ar dan (ah! ?
P " &
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
39/160
P##"#'&!!! !!i/a ditemukan suatu persamaan seperti berikut1 makadisederhanakan ter/ebih dahu/u sehingga diper9/eh persamaan
yang /ebih sederhana3
"ntuk = 3 disubtitusi ke persamaan &)' atau &4' dan
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
40/160
"ntuk = 3 disubtitusi ke persamaan &)' atau &4' dan
diper9/eh = 5 #e/an0utnya 8ek dengan subtitusikan ni/ai ;
dan y dan hasi/nya bagaimana
C& #'6%
#@6@!!
#' !@6
K!K " 20
K!K 12
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
41/160
K!K " 12
De#$%# &e'o(e )*+'i'*)i
%'%* ,oei)ie#
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
42/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
43/160
Telah berlalu ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
44/160
LATIHAN SAL-SALSele)%i,%# per)%&%%# li#e%r +eri,*'
Sele)%i,%# per)%&%%#-per)%&%%# )i&*l'%#
+eri,*'
De#$%# )*+'i'*)i
De#$%# eli&i#%)i
Masih ingatkah ?
Selea$kan kel3"'3k ($ga 'era"aan dengan ($ga 7ar$a#el (ak
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
45/160
Selea$kan kel3"'3k ($ga 'era"aan dengan ($ga 7ar$a#el (akd$ke(ah!$
Sederhanakan dan elea$kankel3"'3k 'era"aan $"!l(an
#er$k!(2
Adakah dihatimu ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
46/160
Selea$kan 'era"aan #er$k!(2
Mestinya bisa ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
47/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI.8
Lan/!(an2
Tak kusangka dia ?
Selea$an 'era"aan $"!l(an
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
48/160
Selea$an 'era"aan $"!l(an2
Selea$an 'aangan 'era"aan $n$2
Selea$an2
#ns$aAlla%
&'
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
49/160
11/21/15TEKNIK MESIN - !ETAMBANGAN B MAHMUDDIN50
PER TEMU
AN(E)UA bahasan :persamaan
parsialdilanjutkan limit,
diferensial
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
50/160
PECAHAN PARSIAL
"ntuk menyederhanakan persamaan
aritmatika yang terdiri bi/angan pe8ahan
pertama+tama kita k9n:ersi pe8ahan
masing+masing ke bentuk baru yangmempunyai penyebut persekutuan yang
ada/ah K*K penyebut indi:idu
MARI KITA SIMAK CNTH BERIKUT INI
6! 6&! 6%$'!$6 66
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
51/160
6! 6&! 6%$'!$6 66
ahBa pe8ahan a/0abar dapat dik9mbinasikan dengan
mengk9n:ersi ke penyebut baru yang ada/ah K*K penyebut
masing+masing3 9nt9h3
K*K penyebut ada/ah ; < )F; < $F
Da/am praktek1 pr9ses keba/ikan sering diper/ukan yaitu yang dinyatakan dengan
pe8ahan a/0abar yang ada1 kita per/u menun0ukkan sebagai bi/angan pe8ahan
k9mp9nen yang pa/ing sederhana3
dari 89nt9h sebe/ mn a 0e/as bah a pada kas s ini
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
52/160
dari 89nt9h sebe/umnya 0e/as bahBa1 pada kasus ini
&(;( + (; + 5'@ &;). );(< >; < ' = )@ &;.4' < 5@ &;
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
53/160
86
2883
86
4103
22
2
+
+=
+
xx
x
xx
xx
(3 Kemudian kita 6akt9rkan penyebut ke 6akt9r+6akt9r primanya3 Inipenting ketika 6akt9r yang dimi/iki menentukan bentuk pe8ahanparsia/
( ) ( )..............862 =+ xx
Lembar berikutnya simak /an0utan s9a/ ini
288 x
24183
410386
2
22
+
+
xx
xxxx
( )( )42862 =+ xxxx
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
54/160
#etiap 6akt9r /inear &a; . b' pada pe8ahan memberikan pe8ahanparsia/ bentuk A@ &a; . b'F1 dengan A k9nstan untuk ditentukan3
%adi3
#e/an0utnya1 ka/ikan kedua ruas dengan penyebutnya &; +('&; + 4' yang menghasi/kan 33
3
4286
288
2
+
=
+
x
B
x
A
xx
x
( )( )42
288
86
288
2
=
+
xx
x
xx
x
( )( )4286 + xxxx
PERHATIKAN # #!' #'6%!
!%! #!' $##%!
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
55/160
!%! #!' $##%!
P#'&!6! !%'! 2 "! 3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
56/160
Ini ada/ah identitas dan benar untuk semua ni/ai ;3 #angat mudah memi/ih ni/ai ;
yang membuat sa/ahsatu kurung men0adi n9/3 #ebagai 89nt9h1 dengan
menerapkan ;= 4 memberikan 3 Lembar berikutnya
Dari persamaan ini1
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
57/160
ahBa untuk = 4,maka B= 2dan untuk = 2,maka A= 3
dengan demikian dapat ditu/iskan bahBa persamaan aBa/berubah men0adi2
SIMAK ATURAN PECAHAN
PARSIAL
( )( )42
2883
86
2883
86
4103
22
2
+=
+
+=
+
xx
x
xx
x
xx
xx
4
2
2
63
86
4103
2
2
+
+=
+
xxxx
xx
ATURAN PECAHAN PARSIAL
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
58/160
ATURAN PECAHAN PARSIAL
$3 *embi/ang 6ungsi yang duberikan harus berdera0at
/ebih rendah daripada penyebutnya3 %ika tidak kitakemudian membanginya dengan pembagian
pan0ang untuk mendapat p9/in9mia/ dan sisanya
dibagi penyebut yang dapat ditun0ukkan sebagai
pe8ahan parsia/3(3 akt9risasikan penyebut ke da/am 6akt9r prima3 Itu
menetukan bentuk pe8ahan parsia/ yang dipunyai3
)3 akt9r /inear (! )memberikan pe8ahan parsia/
berbentuk A/ (! )D
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - !ETAMBANGAN59
43 "/angi 6akt9r &a; . b'(memberikan pe8ahan parsia/
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
59/160
A/ (! ) D B/ (! )2D
53 #erupa dengan di atas &a; . b')memberi
A/ (! ) D B/ (! )2D C/ (!
)3D
>3 #ebuah kuadrat irredu8ibe/ yaitu 6akt9r kuadratik yang tidak
dapat di6akt9rkan /ebih /an0ut ke 6akt9r /inear (!2
F) memberikan pe8ahan parsia/1 A B D / !2 F D
73 "/angi 6akt9r kuadratik tipe yang sama1 (!2 F)21
memberi pe8ahan parsia/1
A BD/ !2
F D C D/ !2
F D2
BEBERAPA CNTH LEMBAR BERIKUT :
Nyatakan da/am pe8ahan paersia/3
*ertimbangan pertama ada/ah pembi/ang
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
60/160
aturan $
/an0utkan
aturan (
dan )
$3 *embi/ang 6ungsi yang dIberikan harus berdera0at /ebihrendah daripada penyebutnya3 %ika tidak kita kemudian
membanginya dengan pembagian pan0ang untuk
mendapat p9/in9mia/ dan sisanya dibagi penyebut yang
dapat ditun0ukkan sebagai pe8ahan parsia/3
g p p g
dera0at yang /ebih rendah daripada penyebutnya
%adi1 kita harus membagi dengan pembangian pan0ang berikut3
(3 akt9risasikan penyebut ke da/am 6akt9r prima3 Itu
menetukan bentuk pe8ahan parsia/ yang dipunyai
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
61/160
menetukan bentuk pe8ahan parsia/ yang dipunyai3
)3 akt9r /inear (! ) memberikan pe8ahan parsia/
berbentuk A/ (! )D
sehingga penyebutnya (2 9 2 9 3) diuraikan
men0adi ( 1)( - 3),se/an0utnya diper9/eh3
/angkah se/an0utnya dibuat men0adi
dengan menyamakan
ruas kiri dan kanan1
ada/ah
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
62/160
sete/ah menyamakan ruas kiri dan kanan1 kumpu/kan
semua suku yang sama dan diper9/eh ni/ai A dan
seperti berikut3
subtitusi n/ai A dan ke
da/am persamaan akan
diper9/eh
diper9/eh penye/esaian
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
63/160
berikut ini
#9/usi dari pe8ahan parsia/ ada/ah
9nt9h /ain26@! #!62
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
64/160
6@! #!62*embi/ang 6ungsi yang diberikan harus
berdera0at /ebih rendah daripada penyebutnya3
%ika tidak kita kemudian membanginya dengan
pembagian pan0ang untuk mendapat p9/in9mia/
dan sisanya dibagi penyebut yang dapat
ditun0ukkan sebagai pe8ahan parsia/3
perhatikan aturan ( dan )
se/an0utnya penyebutnya diuraikan men0adi
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
65/160
se/an0utnya1 penyebutnya diuraikan men0adi
aturan ) ditu/iskan
penye/esaiannya
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
66/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
67/160
No+o, 4
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
68/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
69/160
No+o, -
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
70/160
Subtitusi harga
A dan B
No+o, (
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
71/160
S*+'i'*)i %r$%
A (%# B
No+o,
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
72/160
S*+'i'*)i %r$%
A (%# B ,e
./,'+'' '')
No+o, 3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
73/160
S*+'i'*)i %r$%A (%# B ,e
./,'+'' '')
Selea$kan dala" 'e%ahan'ar$al #er$k!(5
No+o,
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
74/160
"ntuk kasus ini ada/ah pembi/ang berdera0at /ebih rendah daripada
penyebutnya 0adi1 pembagian mu/a+mu/a tidak diper/ukan3
Namun1 perhatikan bahBa penyebut mengandung 6akt9r kuadrat yang
tidak dapat di6akt9rkan /ebih /an0ut men0adi 6akt9r /inear u0i yang umum
mengk9n6irmasikan1 untuk yang tidak
kuadrat sempurna3 #eperti te/ah disebutkan da/am satuan sebe/umnya1
6akt9r kuadrat yang tidak teratur memberikan
pe8ahan parsia/
0adi
M%ri ,i'% +er)%&%-)%&%
&e)i&%, %r%#% 444
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
75/160
Ka/ikan semuanya
dengan penyebut
#e/an0utnya1 kumpu/kan semua suku diruas kanan menghasi/kan1
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
76/160
Ha/ ini ada/ah identitas1 0adi dapat menyamakan k9e6isien suku di
masing+masing ruas1
Suku konstan
D%ri per)%&%%#
16 (%# 26
S%6%$6 B "! C # >#'$!!! (3),
!! "6>#'#& &!'@! A G
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
77/160
#ubtitusi di da/am &$'
#ubtitusi di da/am &)'
8arga A9 :5 B9 ,dan 49+6"engha$lkan5
#e/esaikan da/am
bentuk pe8ahan parsia/
No+o, 11
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
78/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - !ETAMBANGAN79
#ekarang1 untuk 6akt9r
yang bukan kuadrat sempurna1 ada/ah tak teratur
*e8ahan parsia/ akan berbentuk
H'*)5' '&')'"$
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
79/160
Suku konstan
S%6%$6 # (1) "! (2) ##'6! B= 1 "! C= 4
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
80/160
11/21/15
harga A1 dan yang te/ah diper9/eh disubtitusi
ke persamaan aBa/ yaitu2
Kasus berikuk ada/ah dengan memakai kemba/i 6akt9r
penyebut yang dihitung1
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
81/160
memberikan pe8ahan parsia/
dan memberikan
C&: se/esaikan da/am bentuk pe8ahan
parsia/
Diubah da/am bentuk
Kemudian ka/ikan semuanya dengan penyebut as/i1
hasi/nya ada/ah2
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
82/160
#ekarang samakan k9e6isien dan A dan ditemukan1
Dengan 8ara sama se/esaikan dengan pe8ahan parsia/
H i/ i i
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
83/160
Hasi/nya ini
menyamakan
k9e6isien suku
sama1 dan diper9/eh
A1 dan
#ubtitusi harga A= 7dan = ?1 maka
Hasi/nya ini
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
84/160
Di sini1
E:a/uasik9e6isien
#ekarang samakan k9e6isien
dan A dan ditemukan
Dengan mensubtitusi harga A= ( dan = +) dan = 71 maka
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
85/160
#9/usinya ini
Dengan 8ara sama se/esaikan dengan pe8ahan parsia/
"ntuk ha/ berikut mempe/a0ari kasus dengan penyebut ada/ah
petrsamaan kubik dengan 6akt9r /inear yang berbeda3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
86/160
!un0ukkan da/am pe8ahan parsia/1
Ka/ikan dan kumpu/kan suku se0enis1 dan 33
Suku konstan
menyamakan
k9e6isien
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
87/160
Menye/esaikan tiga persamaan simu/tan dan memberikan ni/ai A1 dan 3
&4'
&5'
Sekarang da'a( "enelea$kan *:- dan *.- !n(!k"enen(!kan A dan B dan ke"!d$an !#($(!$kanke *1- !n(!k "en%ar$ 45 akh$rna2
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
88/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - !ETAMBANGAN89
* - !n(! " n%ar 5 a h rna2
*erhatikan 8ara menye/esaikan peme8ahan parsia/ ini dan hasi/nya ada/ah1
9nt9h terakhir ini1 penyebut te/ah dise/esaikan denganbaik sebagai pr9duk tiga 6akt9r /inear3 Ini 0uga baik untukpersamaan kubik yang da/am kasus 6akt9risasi harus
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
89/160
p y gdise/esaikan menggunakan te9rima sisa sebe/um pr9gres
se/an0utnya dapat dibuat3 Di sini kemudian 89nt9h ini yangmembaBa ke pun8ak pr9gram ini3
!entukan pe8ahan parsia/
*ertama bahBa tidak ada pembagian aBa/ yang diper/ukankemudian harus 6akt9risasikan penyebut ke 6akt9r primanyaseperti pada 89nt9h sebe/umnya3
%adi1 menerapkan 6&;' = ;) < 4;( .; . >1 kita dapat
ditentukan tiga 6akt9r /inear 6&;' < 0ika ada3 %aBabannyaada/ah 33
bukan 6akt9r
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
90/160
6akt9r 6&;'
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
91/160
Dan ekarang $k!($ elan/!(na ;
Suku konstan
menyamakan
k9e6isien
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
92/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
93/160
hanya untuk mengingat contoh2penyelesaianlembar sebelumnya
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
94/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
95/160
Jangan $a+$akan har$#a$k"!
SOAL DI BAWAH INI UNTUK LATIHAN DI
RUMAH KOST ?
DAN INI PP-NYANYATAKAN DALAM
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
96/160
DAN INI PP NYANYATAKAN DALAM
BENTUK PP
berpikirlah secara sistematis
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
97/160
KERJAKAN
S0AL
-S0ALINIIRUMAH
N*ATAKAN
PE
CAHAN
PARSIAL
Se&o$% %#(% 'er+%i,
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
98/160
11/21/15TEKNIK MESIN - !ETAMBANGAN B MAHMUDDIN
PER TEMU
AN(E!ti*a
bahasan : limit,diferensialdilanjutkan
integral
Limit 6ungsi ada/ah bagian dari materi pengantar
LIMIT 6UNGSI
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
99/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - !ETAMBANGAN100
Limit 6ungsi ada/ah bagian dari materi pengantar
ka/ku/us terutama bahasan di6erensia/ dan integra/Dasar+dasar /imit dirumuskan 9/eh se9rang ah/i
matematika dari *eran8is1 Augustin+L9uis au8hy
&$7?+$57'3
*engertin /imit 6ungsi dengan /imit kiri dan /imit
kanan1 pengertian /imit 6ungsi untuk ;a dan;3
Di da/am bahasan ini men8akup2 &$' /imit 6ungsia/0abar &(' /imit 6ungsi trig9n9metri3
LIMIT ;UN+SI ALJABAR
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
100/160
*erhatikan beberapa ungkapan di baBah ini1
*emberantasan k9rupsi di Ind9nesia mendekati sepurna3
Ran8angan tentang re:isi "" K*K hampir sa0a disetu0ui
Ni/ai rata+rata ke/as M$+!$ untuk M! ka/ku/us satu hampir sa0a
sama ni/ai rata+rata ke/as !(3 *en8emaran udara di k9ta Makassar sedikit /agi ambang batas3
Hampir sa0a pernikahan ini bata/
dari kata+kata tersebut seperti sedikit /agi1 hampir sa0a1 mendekati1
hampir sama dapat diana/9gikan dengan pengertiIan L I M I Tda/am ka/ku/us3
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI101
Bila seorang raja menceritakan sesuatukepada rakyatnya adalah bijaksana bila untukbersikap ragu-ragu Tetapi juga dengan sikap
'erita pendek
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
101/160
bijksana pula untuk tidak menerimapernyataan raja sebelum memeriksanyaUntuk membuktikan sesuatu haruslah kitamemahami arti kata-kata yang digunakandengan sejelas-jelasnya Terutama yang
menyangkut limit, karena kalkulus semuanyaberstandar pada arti dari kata tersebut
Untuk menyatakan limit!!o f"!#$ % berarti
bah&a selisih antara f"!# dan % dapat dibuatsekecil mungkin dengan mensyaratkan bah&a
! cukup dekat tetapi tidak sama dengan !o
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI102
ahBa 6&;' berbeda dari M /ebih ke8i/ dari sama sa0a denganmengatakan
6&;' + MJ
M J 6&;' J M .
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
102/160
M + J 6&;' J M .
Limit : %engatakan bah&a lim!!o f"!# $ %berarti bah&a untuk setiap >( yang diberikan"betapapun kecilnya#, terdapat >( yangsedemikian sehingga f+,-.M asalkanbah&a / , . ,o , yakni
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
103/160
rea/3 Ka/au m mendekati ni/ai a1 maka pr9ses
pendekatan ke ni/ai a di/akukan dari dua arah1
yakni2
$3 m mendekati a dari arah kiri1 ditu/is ma+
a ;
(3 m mendekati a dari arah kanan1 ditu/is ma.
a ;
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI10.
&%
&%-
)isimpulkan bah&a
Teorema limit utama Andaikan n bilangan bulat positif, kkonstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi, yakni f"!# dan
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
104/160
g"!# yang mempunyai limit di !o %aka,* +im !!o k $ k
+im !!o ! $ !o
+im !!o kf"!# $ k lim !!o f"!#
. +im !!o /f"!# 0g"!#1 $ lim !!o f"!# 0 lim !!o g"!#
2 +im !!o /f"!#-g"!#1 $ lim !!o f"!# - lim !!o g"!#
3 lim !!o /f"!#g"!#1 $ lim !!o "f!# lim !!o g"!#
4 +im !!o /f"!#5g"!#1 $ lim !!o f"!#5lim !!o g"!# asalkan lim
!!o g"!# (
6 lim !!o /f"!#1n $ /lim !!o f"!#1n
7 lim !!of"!# $ lim !!of"!# asalkan lim !!o f"!#>(bilamana n genap
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN TAMBANlG UMI105
# #
0onto%#
* +imit!!.$ *3 "!$ subtitusi ke !#
'aranya $ lim ! /lim! !1. $ /18.$*3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
105/160
'aranya, lim !/lim!!1. /1 . *3
+im!."!9 !#
lim!."!- !# $ lim!./!1 - lim!./!1
$ lim!./!1 - lim!. /!1 $ /lim!. !19 lim!./!1
$ /.1
9 /.1 $ .( lim!./!9 715 ! $
$ lim!. /!9 715! $ lim!./!9 715lim !. /!1
$ lim!./!9 715. $ ;lim!./!9 71(
$ lim!a/a 0 ! 9 !15/a 0 ! - .!1 /a 0 !0 !15
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
107/160
0 !15
/a0! 0 !1
$ lim!a/"a 9 !#5"a -!#1 /"a 0 ! 0 !#5
"a 0 ! 0 !#1
$*
5/.a5 a1 $1
2"
"
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI108
=alkulus adalah+ogika, maka
belajarlah denganlogika boy 1/31
Mem4a*i den*an 5an*6at tertin**i
bila f"!#5g"!# dapat dihitung dengan caramembagi f"!# dan penyebut g"!# dengan !n,dengan n adalah pangkat tertinggi dari f"!#
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
108/160
dan g"!#0onto%7
>utunglah tiap limit fungsi berikut
* +im! ".!-*#5".! 0 .# $ +im!".!5! -*5!#5
".!5! -.5!# $ /. 9 *5!15/. -.5!1 $ *
lim!" !9 ! 0 #5"!0 4! 0 4#
$ lim!"!5!9 !5!0#5"!5!0 4!5!045!#
$ " 9 *5! 05!#5"* 0 45! 0 45!# $
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI109
+im!"!-2#5 "! 0 .#
. +im!"!0 ! 0 #5"!- *(#
2 +im!".!-.! 0#5" !9 ! 0#
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
109/160
3 +im!"!-! 0#5"!#
4 +im!"! 9 #5 "! 0 *#
6 +im!"! 9 *#5 "! 9 #"!0 ! 0 *#
7 +im!"! 0 .#5"!.#*( +im!"6!0 .!0 ! 0#5"*3!0 !0
4! 0 *#
** +im!"! 0 .#.5"!. 0 .#
* +im!"!0 ! 0 #5 "! 0 *#
* +im!"!0 !#5"!.0 .#
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI110
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
110/160
+im!"*5!#5 /"* 0 5!#10 /"* 0 *5!#1
$ (5 /*0(1 0 /* 0
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
111/160
+im!/"!0!-.#1 9 /"!-!0#1
+im!/"!0!-.#1 9 /"!-!0#1 ! /"!0!-.#1 0/"!-!0#1 5
/!
0!-.1 0 /!
-!01+im!/.! 9 31 5 /"!0 ! 9 .#1 0 /"!- ! 0 #1
Selanjutnya akan dibagi dengan !, hasilnya adalah
+im!/. 9 35!1 5 /"* 0 5! - .5!#1 0 /"* 9 *5! 9 5!#1
Untuk !, akan diperoleh$ $
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI112
(1 $ (
+im!/"!- ! 0 *#1 9 /"!0 ! 9 *#1
+im!/"!- ! 0*#1 9 /"! 0 ! 9 *#1 ! ;/!- ! 0*1
0 /"!0 ! 9 *#15 /"!- ! 0*#1 0 /"!0 ! 9 *#1
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
112/160
+im!/!- .! 0 1 5 /"!- ! 0*#1 0 /"!
0 ! 9 *#1
Selanjutnya akan dibagi dengan !
+im!/* 9 .5! 0 5!15 /"5!9 *5!0 *5!.#1 0
/*5! 0 5!9 *5!.#1, subtitusi !
$ /* 9 ( 9 (15 /"(0(0(#1 0 /"( 0 ( 0 (#1, hasilnyaadalah:
$+tida6 ada limit-
'ontoh-contoh di atas membuka memori untuk penyelesaian soal selanjutnya
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI113
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
113/160
TURUNAN
+)ER#VAT#VE-
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI11.
TURUNAN+)ER#VAT#VE-
Turunan Fun*si Al:a4ar
)e;nisi9 Bila y $f"!# adalah suatu fungsi
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
114/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI115
)e;nisi9 Bila y f"!# adalah suatu fungsi?ariabel !, dan bila,
d$2d, = lim
,
/ atau 4erarti
f3+,- = lim
,
/
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
115/160
grak pada y $ f"!# dan"!*,y*# titik yang lain juga
terletak pada y $ f"!#sedangkan hubungan antara @dan diberikan
,3 = ,/ ?
,> ma6a
, = ,3 !,/
$3 = $/ ? $> ma6a $ = $3 !
$/
! $ @C dan y $ C, berartidari @ ke , bila !(bertambah
!, maka y(juga bertambahy
" 6
1
o
@
P R
1
0
=oesien arah "slope# garis sekans yangmenghubungkan titik @ dan adalah
m =
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
116/160
= f+,/?
,- . f+,/-2
,Bila, @"!(,y(# titik tetap, sedangkan "!*,y*#
adalah titik yang berjalan sepanjang grakmenuju @, maka dalam keadaan limit,
berarti !( akan memberikan koesienarah garis selama berubah menjadikoesien arah garis singgung pada grakdi titik @ "mtg#
mt*= lim@P m = lim,/
$2
,= lim,
/
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
117/160
konstanta
%aka untuk ! $ !o
! $ !o0 !
>arga y adalah tetap sama dengan
c,
%aka y $ c
y 0 y $ c
)ibagi dengan !, maka
y5! $ ( dy5d! $ lim!(/y5!1$ (
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI118
"
1 o
y $ (
Teori +1-7Turunan y $ !nterhadap ! sama dengan n!"n-*#, dimana n bilangan bulat positif
Bukti: )engan rumus Binomial, maka
y 0 y $ "! 0 !#n
! 0 ! n $ *
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
118/160
!0 ! "!# 0 "!# n $
!0 !"!# 0 ! "!#0 "!# n $
!n0 n!n-*"!# 0 "suku-suku dalam ! dan ! "!# n >
(arena $ = ,n> ma6a
! n $ * ! "!# 0 "!# n $
!"!# 0 ! "!#0 "!# n $
n!n-*"!# 0 "suku-suku dalam ! dan !#"!#n >
00
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI119
y
)ibagi dengan !
* n $ *
! 0 ! n $
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
119/160
!0 !"!# 0 "!# n $
n!n-*0 "suku-suku dalam ! dan !#"!# n >
)engan pengertian +imit untuk !(, makadiperoleh turunan
* n $ *
! n $
!n $
n!n-* n >
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI120
dy5d!
y5!
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
120/160
)en*an demi6ian 4a%8a7 ila U = ,n>dan
y $ c!n, n adalah bilangan bulat
dy5d! $ cn!n-*
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
121/160
0onto%C $ = 3/,"> $ = ",? ,"? 1,1? ", ? D
$ = ",3/> $ = ,"? ",1? ",1? , ?
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI122
Dadi, bila y $ !n
, n bilangan bulatpositif, maka
dy5d!$ n!n-*, Sehingga dy5d! disebutturunan pertama dari y $ f"!#
terhadap !, besarnya juga diberisimbol y, d5d! f"!#, f"!# atau )y
* conto%9 $ = ,> $ = ,G>1
per a an> $ = a ?4-n
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
122/160
!(, maka diperoleh y5! $ dy5d! adalah: d$2d, = n,n!3
perhatikan grak sebelumn
ma cara n 9 TURUNAN
fun*si 4eri6ut9 B6! = 2, !!
y . y = &; . ;'(
( (
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
123/160
y . y = ; . (;3; . ; Karena y = ;(1 disubtitusi ke3331
diper9/eh y =(;3; .&;'(
/ = 2 ()
karena ;1
y@; = dy@d; = (;
bi/a1 y = ;( maka dy@d; = (;
"/" !"!!& @'!"6# @!'6$
$6@@%@ %'! = 2
$ = ,"
y 0 y $ "! 0 !#
y 0 y $ "!0 !! 0 ! !0
#
Bagaimana bila fungsi
yang diberikan, $ = ,"
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
124/160
!#
=arena, y $ !, maka diperoleh
y $ !! 0 ! !0 !, dan
y5! $ !0 ! ! 0 !5!
,
/> ma6a
$2
, = ",1>
$2
,= d$2d, =
!
ila $ =,"> ma6a d$2d, =",1
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI125
ila $= ,1? Misal6an> $ = a,1? 4 perhatikan grak sebelumnya
+
-n
4
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
125/160
$ ? $ = a +, ? ,- ? 4$ ? $ = a ma6a $2,- = an,+n!3-0 ( 0 ( 0 ( 0
$2,- = d$2d, = an,+n!3-
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI12
U%, = (42 7)
y . y = 4"! 0 !#0 4
y 0 y $ . /"!0!"-*#"!# 0 ./"-*#5E1
/ " #" #1 4
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
126/160
/ !"-#"!#1 0 4
dan y $ .!0 4
y $ . /!"-*#"!# 0 ./"-*#5E1/!"-#"!#1
y5! $ 6,0 65/ !(#"!#1untuk !(, diperoleh hasil
y5! $ 6,0 65/!( "!#1
Dadi, y5! $ dy5d! $ 6,ila $ = ,1? > d$2d, = D,
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI127
Teori7Turunan dari jumlah fungsi-fungsi yang dapatditurunkan sama dengan jumlah turunan dari
i i f i b ik t
Turunan den*an 5en:umla%an dan5en*uran*an fun*si
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
127/160
masing-masing fungsi berikutU ? U = f+, ? ,- dan
V ?
V = *+, ?
,- )an 4ila $ = U ? V>ma6a
$ ?
$ = +U ?
V- ? +V ?
V- dan
$ =
U ?
V
ila masin*!masin* ruas di4a*i den*an
,>ma6a di5erole%
$2
, =
U2
, ?
V2
,(eadaan limit untu6 ,/
limit
$2
, = lim
U2
, ? lim
V2
,11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI128
%aka menurut denisi, bah&a dy5d! $ dU5d! 0dF5d! Akibat dari persamaan ini, Bila U, F, G H masing-masing fungsi ! yang dapatditurunkan, dan bila
U V W I 6
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
128/160
$ = U ? V ? W ? &&&&&&&& I> a6andi5erole% turunan 5ertama dari fun*si iniadala%
d$2d, = dU 2d, ? dV2d, ? dW2d, ?
&&&&&&77 dI2d,%asing-masing diberikan, U$ !0 ! 02 dan F$ !0 .!0 .! 0 4, maka , dU5d! $ ! 0 dan dF5d! $!0 6! 0 ., dengan demikian akan diperoleh
d$2d, =
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
129/160
dI2d, = dU2d, ? dV2d,
0onto% lain9 sima6 5en$elesaiann$a & '
37 $ = +," ? 1,1? ,- ? +",1? , ? 3/-
17 $ = +,? ","! 1,1? 3/- ? + ,"! ",1? ,
! D-"7 $ = +,! ",? 1,"- ! + ","? ,1! ,-
7 $ = +,? ,"- ! + G,"! ,1-
7 $ = +1,? 1,"! ,1- ! 1+ 1,"! ,1?
,-G7 $ = 1+,"? ,1. ,- . "+,1? 1, ! -
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI130
4 y $ "!60 !4- .!3# - " !2- .!.# 0 "4! 0
! 0 !#
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
130/160
!0 !#6 y $ "!.0 !# 9 "!- .!# 0 "! 0 .#
7 y $ !.9 4!9 *!0 2
*( y $ 4! 0 *(
** y $ "*(!0 !# 0 "-*(!9 !#
* y $ "!9 ! 9 !# 9 "!9 .!-!#
* y $ "! 0 # 9 "! 0 # 9 "! 9 .# 0 "!0 .!
0 .#*. y $ "! 0 *#0 "! 0 ! 0 .# - "! 0 #
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI131
TUCUIAI JUIKSL CASLMIA+ Teori9 >asil ganda dari dua fungsi U dan F yang dapat
diturunkan adalah dapat diturunkan, dan berlaku
d"UF#5d! $ F "dU5d!# 0 U "dF5d!#
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
131/160
u6ti9 4ila y $ UF, maka
y 0 y $ "U 0 U# "F 0 F#
$ U F 0 F "U# 0 U "F# 0 "UF#
y $ F "U# 0 U "F# 0 "U F# akan dibagi!, diperoleh
y5! $ F "U5!# 0 U "F5!# 0 U "F5!#
Bila !(, maka juga U( dan F(
Dadi, lim y5! $ V lim U2, 0 U lim V2, 0 limUlim F5!
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI132
Jle% 6arena lim
U
/U lim
,
/ V2, = /
d$2d, = d +U7V-2d, = V dU2d, ? U dV2d,
)engan cara yang sama
Bila, U*, U, U, U. Un dan U
adalah masing masing fungsi ! atau U$ f"!# yang
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
132/160
adalah masing-masing fungsi ! atau U$ f"!# yangdapat diturunkan, dan bila
$ = U3 U1U"&&&&&&&&&&& Un
d$2d, = U1U"& UndU32d, ? U3U" & Un
dU12d, ? U3U1& UndU"2d, ? U3U1U"&
Un!3dUn2d,
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI133
Teori 9 ila U dan V adala% fun*si dari, $an* da5at diturun6an dan V
/>ma6a
Untuk turunan hasil bagi fungsi ! yang
dinyatakan sebagai berikut
Teori 9 ila U dan V adala% fun*si dari, $an* da5at diturun6an dan V />
ma6a
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
133/160
dinyatakan sebagai berikut$ = U2 V> den*an U dan V adala%fun*si ,> atau
U = f+,- dan V = *+,-
d2d, +U2V- =
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
134/160
Bila misalkan U dinyatakan dalam y $ U dan n $ p5N " pdan N bilangan bulat positif atau negatig dan N (#,
Ma6a> y $ Up5Ndan yN$ Up
bah&a ruas kaki masing-masing didiferensialkan terhadap
!, memberikanNyN-*dy5d! $ pUp-*dU5d!,
dy5d! $ /pUp-*dU5d!1 5 /NyN-*1 atau $ /"p5N#Up-*!y5yN!dU5d!1
>arga y $ Up5Ndan yN$ Updisubtitusi dan menghasilkan
dy5d!$ /p5N Up-* !"Up5N5Up# dU5d!1 $ /p5N U"p5N-*#dU5d!1, Dadi dUn2d, = n Un!3dU2d, danuntuk n bilangan bulat atau rasional posneg
0onto%* "!0 !# dengan tahapan adalah:
- dimisalkan bah&a U $ !0 !
- dituliskan kembali dalam y $ Un
- diferensialakn y terhadap U hasilnya
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
135/160
- diferensialakn y terhadap U, hasilnyady5dU$nUn-*
- diferensialkan U terhadap !,
Selan:utn$a>
dy5d! $
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
136/160
Teori9 Bila U adalah fungsi ! yang dapatditurunkan dan n bilangan rasional, maka
$ = Un :adi d$2d, = n Un!3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
137/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI138
0onto%9
* y $ "! 0 !# dy5d! $"!0 7!0 7!#
y $ ".! 0 *#*5 dy5d! $ 3!5".!0 *#
y $ "! 0 #5".!0 # dy5d! $ -
"*!
- *3! 9 7#5".!
0 #
. y $ "!9 .!#5 "*3 9 !# dy5d! $ -"!. -..! 0 3.#5"*3 - !#
$ 9 $ -
* @ersamaan lintasan dari suatu partikel adalah s $ !0 t 0 2, s dalam cm dan t secondsBerapakah kecepatan rata-rata dari partikel dalaminter?al t$* dan t$2
@ersamaan lintasan dari suatu partikel adalah s $ t -
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
138/160
@ersamaan lintasan dari suatu partikel adalah s t 7t0 *2t -4 Tentukan harga s dan ? jika percepatan $(, dan untuk harga-harga t yang manakah ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
139/160
1.0
u * a d$2d da 37 ,1$ ? ,$1 = G> masing-masing suku didifrensialkan
terhadap !, akan memberikan
d5d!"!y# 0 d5d!"!y# - d5d!"3# $ (
!y 0 !dy5d!0 y0 !y dy5d! 9 ( $ (
kumpulkan suku yang mengandung d$2d,, danmenghasilkan
"!0 !y#dy5d!$ -"!y 0 y#
Dadi, dy5d! $ -/"!y 0 y#5"!0 !y#1O untuk ,1? 1,$
/
contoh berikutnya
17 $ = ,2 +,1? 3-"7 ,$ ? +, ? $ ? 3-1= /
> +", ? -F= 1$"
$" = +, . $-2 +, ? $-
#imak bersama+sama
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
140/160
7 $"= +, . $-2 +, ? $-
G7 +, ? $-"? +, . $-"= ,? $
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI1.1
TURUNAN FUNKS# (JMPJS#T+COMPOSITE-
ila fun*si $ = F+,- ditulis dalam 4entu65ersamaan 5arameter dalam t> $a6ni , = f+t-dan $ = *+t-> ma6a
$ = F+,- = F
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
141/160
d$2d, =
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
142/160
Bila suatu fungsi dinyatakan dalam y $f"!# dan P $ g"!# atau
$ = F+,- = *
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
143/160
5 * >
dF2d,= dan dF2 d$
Misaln$a9
H$ !
0 y
, disini H merupakan fungsi dari ! dan y)engan demikian,
dI2d,> dapat dicari dengan mendiferensialkan Hterhadap !, dengan y konstan
dI2d$> juga dapat dicari mendiferensialkan Hterhadap y,,dengan ! konstan
0onto%9
* Untuk memperoleh du5d!, kita anggap ykonstan
)iferensialkan !terhadap ! adalah !)if i lk i l t h d d l h
u = ,1? ,$ ? $1
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
144/160
p)iferensialkan parsial !y terhadap ! adalah ydan "y adalah faktor konstan#
)iferensialkan parsial yterhadap ! adalah ( "y
adalah suku konstan#, jadi du2d,= 1, ? $ Untuk memperoleh du5dy, kita anggap !
konstan, diferensialkan parsial ! terhadap y$("! adalah suku konstan#
)iferensialkan parsial !y terhadap y$! "! adalahsuku konstan#
)iferensialkan parsial yterhadap y$ y,
%aka diperoleh du2d$= , ? 1$
Bila H adalah fungsi ! dan y atau H $ f"!,y#dinyatakan "!-y#"!0y#
Bentuk ini merupakan bentuk perkalian "ingat kuliahsebelumnya# Aturan perkalian yang biasa dapatditerapkan disini dengan mengingat bah&a untukmencari dH5d!, dan y konstan dan dalam mencari
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
145/160
dH5dy, dan ! konstan %aka,
dI2d, = +1,!$- ? 1+,?"$- = , ? $
dI2d$ = !+,?"$- ? "+1,!$- = , . G$
I = +,!1$-+",?$- dI2d, = 1, ? 3$
Sedangkan, dI2d$ = 3, . 1/$
H $ "!-y#5"!0y# tentukan dH5d! dan dH5dy =arena
bentuk ini adalah pembagian, maka
$
, ? 3= "$ +, ? $- dan
1, ? = !",2 +, ? $-
,2$ = +,"? ", ? $"! "O-
, ? $ = +,$ ? ,1$1! , ! $-
I = + , ? $-2 +, . $-
I = +,1? $1-2 +,1. $1-
I = +$1
? ,1
-2 +$1
. ,1
- I = +,1? $1-2+,1! $1-
678* I+.)**!
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
146/160
I =
+,1! $1-2
+,1? $1-
I = +, ? $-12 +, . $-1
4a%asan turunan funs*i tida6la% susa% dan sulit> 6ecuali6esulitan itu datan* dari 6ita sendiri
&77 o$
678* .',*')
I = +, ? $- den*an , = 1t ? dan $ = . 1t
I = 1,1 ? , ? $"!"$- den*an , = t1? t
dan $ = t . t"
SOAL9SOAL PENTING : ?
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
147/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI1.8
$
I = +,"? ", ? $". "$- den*an , = 1t1dan $ = . 1t1
I = +,$ ? ,1
$1
! , ! $- den*an , ="t1? 1 dan $ = . "t1 ! 1
I = + , ? $-2 +, . $- den*an , =+1t ?3-1dan $ = +1t ! 3-1
W = +,1? $1? B1- den*an , = 1t . > $ =1t ? dan B = t1? 1t
$ = +,1? 1,-32"2 +,1. 1,-32"
" "
TA( (USANK(A )ATANKLAK# &7 '
onsu as an a e um
dimengertiboys (*
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
148/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI1.9 WAAMU #)A)AR#(U& '
)#FERENS#AL PJL#NJM#AL
MENI;ERENSIALKAN %@$6 >66! !"!!&
#"6#'#$6!! !$6@-!$6@ $%%
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
149/160
TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI150
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
150/160
Notasi alternatif . (oe;sien diferensial
= 22 9 5 31 maka dy@d; = 4; < 53 ini ada/ah pernyataan
pada yang dapat ditu/is sebagi pernyataan tungga/ dengan
menempatkan y dan dy@d;1 yaitu "/" (22 9 5 3) dengan
8ara yang sama1 maka "/" (439 72 2 9 5)1229 14 2 Met9de I dan II
ada/ah pi/ihan
=emiringan grakgaris lurus
KEMIRINGAN GRA6IK GARIS LURUS
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
151/160
garis lurusdinyatakan
m = d$2d, = t*
Bila titik P+1>"- dan@+G>-, maka kemirinagngrak garis lurus adalahm= + . 1-2+G . 1- = />
dan dari titik koordinat @dan dapat dituliskan
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
152/160
ppersamaan garis lurusyang dinyatakan dalam
$ . = />-, makakemirinagn grak garislurus adalah
m = +3 . -2+ . "- =!3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
153/160
dan dari titik koordinat @dan dapat dituliskanpersamaan garis lurus
yang dinyatakan dalam
$ . 3 = !3
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
154/160
Bagaimana m bisa diperoleh dan tuliskan persamaan garislurus yang menghubungkan titik koordinat @ dan
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
155/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI15
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
156/160
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
157/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI158
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
158/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI159
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
159/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI10
TUCUIAI JUIKSL KMILM%QTCL
-
7/24/2019 Kalkulus Satu Teknik Mesin
160/160
11/21/15TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG
UMI11