Kalkulus Repaired)

download Kalkulus Repaired)

of 24

  • date post

    13-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    268
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Kalkulus Repaired)

Metode Numeric secara umumPage 1 METODE NUMERIK SECARA UMUM Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Kalkulus 2 Disusun oleh Febby N. Livandia 1209207024 Pend. Fisika/A/II FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2010 Metode Numeric secara umumPage 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI ................................................................................................................. 1 BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................................ 2 BAB 2 ISI ...................................................................................................................... 4 A.APROKSIMASI TAYLOR TERHADAP FUNGSI ....................................... 4 a.Aproksimasi Taylor .............................................................................................. 4 b.Polinom ............................................................................................................... 4 B.SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN (ERROR) ................................. 5 a.Penyajian Bilangan Bulat .................................................................................... 5 b.Penyajian Bilangan pecahan ................................................................................ 5 c.Nilai Signifikan, Akurasi dan Presisi .................................................................. 6 d.Penaksiran Kesalahan .......................................................................................... 6 1.Kesalahan dalam Metode ................................................................................ 6 2.Kesalahan Perhitungan ................................................................................... 7 C.DIFERENSIAL NUMERIK ............................................................................. 7 a.Permasalahan Differensial Numeric .................................................................... 7 b.Metode Selisih Maju ........................................................................................... 8 c.Metode Selisih Tengahan .................................................................................... 8 d.Differnsiasi Tingkat Tinggi ................................................................................. 9 e.Pemakaian Differensiasi untuk Menentukan Titik Puncak Kurva ...................... 9 f.Metode Penyelesaian Metode Taylor .................................................................. 10 D.INTEGRASI NUMERIK .................................................................................. 10 a.Aturan Trapezium ................................................................................................ 12 b.Aturan Simpson ................................................................................................... 14 1.Aturan Simpson 1/3 ........................................................................................ 14 2.Aturan Simpson 3/8....................................................................................... 16 E.Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik .................................................. 17 a.Metode Bagi Dua ................................................................................................. 17 b.Metode Newton ................................................................................................... 19 F.Metode Titik Tetap ............................................................................................ 20 BAB 3 PENUTUP ......................................................................................................... 22 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 23 Metode Numeric secara umumPage 3 BAB 1 PENDAHULUAN Persoalanyangmelibatkanmodelmatematikabanyakmunculdalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, ataupadapersoalanrekayasa(engineering),sepertiTeknikSipil,Teknik Mesin,Elektro,dansebagainya.Seringkalimodelmatematikatersebutmuncul dalam bentukyangtidakidealaliasrumit.Modelmatematika yang rumitiniadakalanyatidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitikyang sudah umum untuk mendapatkansolusi sejatinya(exact solution). Maka dari itu digunakan metode analitik untuk dapat menyelesaikannya. Metodeanalitikadalahmetodeanalitikadalahmetodepenyelesaian modelmatematikadenganrumus-rumusaljabaryangsudahbaku(lazim). Sedangkan,MetodeNumerikadalahTeknikmenyelesaikanmasalahmatematika dengan pengoperasian hitungan.Metodeartinyacara,sedangkannumerikartinyaangka.Jadimetode numeriksecaraharafiahberarticaraberhitungdenganmenggunakanangka-angka. Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyakdanmenjenuhkan.Karenaitudiperlukanbantuankomputeruntuk melaksanakannya.Ada 2 Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik yaitu: 1.Solusidenganmenggunakanmetodenumerikselaluberbentukangka. Bandingkandenganmetodeanalitikyangbiasanyamenghasilkansolusi dalambentukfungsimatematikyangselanjutnyafungsimateamtiktersebut dapat dievaluasiuntuk menghasilkannilaidalambentukangka. 2.Denganmetode numerik, kita hanyamemperolehsolusiyangmenghampiriataumendekatisolusisejatisehinggasolusinumerikdinamakanjuga solusihampiran(approxomation)atausolusipendekatan,namunsolusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran tidak Metode Numeric secara umumPage 4 sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Galat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian : Galat Mutlak Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan. Kesalahan = Nilai eksak Nilai perkiraan Contoh:x=3,141592danx*=3,14,makagalatmutlaknyaadalah,E= 3,141592 3,14 = 0,001592 Galat relatif e dari a

Sehingga galat relatifnya adalah

Prosentase Galat Prosentase galat adalah 100 kali galat relatif e * 100%Padaumumnyapermasalahandalamsainsdanteknologidigambarkan dalampersamaanmatematika.Persamaaninisulitdiselesaikandengantangan analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numeric. Metode Numeric secara umumPage 5 BAB 2 ISI A.APROKSIMASI TAYLOR TERHADAP FUNGSI Metodeaproksimasidiberikanolehduafactor.Pertama,Tidaksemua Perhitunganmatematikdapatmenggunakanmetodeeksak.Keduapenemuan computerdankalkulatorelektronikyangberkecepatantinggitelahmembuat metode numeric lebih praktis. a.Aproksimasi Taylor Aproksimasitaylorinidilihatdaripersamaangarissinggungpadakurva y=f(x)dai(a,f(a))adalahy=f(a)+f(a)(x-a),yangsecaralangsungmenunjuk kepada f(x)f (a) + f(a)(x-a). y= f(a) y= f(a) +f (a)(x-a) (a, f(a)) GAMBAR a.1 b.Polinom Polinom linear P1 (x) =f(a) +f (a)(x-a) disebut polinom taylor orde 1 pada auntukf(x).P1 (x)merupakansuatuaproksimasiyangbaikterhadapf(x)hanya dekat x=a. Polinomtaylororde2adalah:P2 (x)=f(a)+f(a)(x-a)+

(x-a). sedangkan Aproksimasi kuadrat yang berpadanan adalah :f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2 Metode Numeric secara umumPage 6 Polinomtaylorordenpadaayaitupolimonordeke-nPn,yangbersama-samadengannturunannyayangpertama,bersesuaiandenganfdanturunan-turunannya pada x=a, yakniPn(x)= f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2++

(x-a)n Aproksimasi yang berpadanan adalah : f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2++

(x-a)n Polinomtaylorperingkatndisederhanakanmenjadipolinommaclaurin orde n yang memberikan aproksimasi yang benar dekat x=0, yaknif0a) +f (0)x +

x2++

xn B.SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN (ERROR) a.Penyajian Bilangan Bulat Definisi bilangan bulat dalam system bilangan decimal:

Definisi Bilangan bulat dengan bilangan dasar c :

c

Bilanganbinerataubilangandasar2,didefinisikansepertiformulasi diatas dengan mengganti c dengan 2, sehingga diperoleh :

2

b.Penyajian Bilangan pecahan Bilanganpecahanxantara0s/ddalamsystembilangandecimal didefinisikan sebagai : X=(a1a2a3an)

Definisi bilangan dasar k : (a1a2a3an)k =

Metode Numeric secara umumPage 7 c.Nilai Signifikan, Akurasi dan Presisi Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Nilai akurasi atau akurat mengacu kepada dekatnya nilai pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nialai eksak. Nilaipresisimengacupadajumlahangkasignifikanyangdigunakandan sebaranbacaanberulangpadaalatukur.Pemakaianalatukurpenggarisdan jangkasorongakanmemilikiperbedaannilaipresisi.Pemakaianjangkasorong mempunyai presisi yang lebih tinggi. Darikeadaanakuratdanpresisiini,akanmunculapayangdinamakan kesalahan(error).Dalamanalisanumeric,dimanapenyelesaiandihitung menggunakannilai-nilaipendekatan,errormenjadihalyangsangatpentingdan diperhatikan. d.Penaksiran Kesalahan 1.Kesalahan dalam Metode Pengaproksimasian suatu fungsi oleh polinom taylornya, secara actual kita dapat memberikan suatu rumus untuk kesalahan. Teorema ARumus taylor dengan sisa. f adalah suatu fungsi dengan turunan ke (n+1), f(n+1) (x), ada untuk setiap x pada suatu selang bukaIyang mengandunga. maka untuk setiapdi I : f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2++

(x-a)n+ Rn(x) Dimana sisa (kesalahan) Rn(x) diberikan oleh rumusRn(x)=

(x-a)n+1 Dan c suatu titik antara x dan a. Kasusa=0,npalingseringmunculdalampraktek,danselanjutnyarumus taylor disebut rumus Maklaurin. Metode Numeric secara umumPage 8 Membatasi|

|,nilai Rnyangtepathampirtidakpernahdapatdiperoleh, karenakitamengetahuic,terkecualibahwacterletakpadasuatuselangtertentu. Untuk mencari nilai maksimum yang mungkin dari |

| untuk c pada selang yang diberikanjikasecaraeksakseringsukar,sehinggabiasanyamemusatkandiri denganmemperolehsuatubatasatasyangbaikuntuk|

|.Ketidaksamaan segitiga| ||| ||dankenyataanbahwasuatupecahansemakin membesar apabila pembilangnya semakin besar atau penyebutnya semakin kecil. Bukti dari rumus taylor, definisi Rn (x) pada I : Rn (x) = f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2++

(x-a)n 2.Kesalahan Perhitungan Kesalahandalamperhitunganmempunyainilaiyangrelativekecil, sehinggadapatdiabaikan.Terdapat2sumberkesalahanyangmungkinberarti walaupun dalam menggunakan suatu kalkulator tangan. Perhatikan perhitungan a+b1+b2+b3++bm a bernilai lebih besar dari pada b. suatu sumber kesalahan perhitungan yang lebih mungkin, disebabkan oleh hilangnya angka signifikan dalam pengurangan dua bilangan yang nilainya hampir sama. C.DIFERENSIAL NUMERIK a.Permasalahan Differensial Numeric Diferensialyaituperbandinganperubahantinggidanperubahanjarak,

Hampirsemuafungsikontinudapatdihitungnilaidiferrensialnyadengan mudah,sehinggametodenumerictidakperludigunakan.Hanyasajapada beberapa permasalahan, nilai diferensial dapat dihitung secara manual. Contoh : f(x)=xe-x+cos x f(x)=(1-)e-x sin x Metode Numeric secara umumPage 9 sedangkan,nilaifungsisulitdiselesaikansecaramanual.Terutamajika fungsinyahanyadiketahuiberupanilaiataugrafis.Misalnyadistribusipassion jika dengan diferensial mungkin sulit, maka dari itu digunakan metode numeric. Contoh :

Definisi nilai fungsi dan perubahan fungsi : y= f(x). h(x) f(x)=

b.Metode Selisih Maju Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi diferensial dan dituliskan : f(x)=

pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecilagar errornya kecil, karena metode ini mempunyai error sebesar : e(f)=-

hf11(x) c.Metode Selisih Tengahan Metodeselisihtengahanmerupakanmetodepengambilanperubahandari duatitiksekitartitikyangdiukur.Metodeselisihtengahaninibanyakdigunakan sebagaimetodedifferensiasinumeric.Perhatikanselisihmajupadatitikx-h adalah: f11(x-h)=

dan selisih maju pada titik x adalah: f21(x-h)=

metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dua selisih maju : f1(x) =

atau f1(x)=

kesalahan pada metode ini adalah : e(f)=-

f111() Metode Numeric secara umumPage 10 d.Differnsiasi Tingkat Tinggi Differensiasitingkattinggimerupakanprosesdifferensiasisecaraterus menerus, hingga tingkatan yang ditentukan. 1.Differensial tingkat 2 : f(x)={

} 2.Differensial tingkat 3 : f(3)(x)=

{

} 3.Differensial tingkat n : f(n)(x)=

{

} dapat dituliskan :

{

} Menghitung differensial tingkat tinggi ini digunakan metode differensial yang merupakan pengembangan metode selisih tengahan yaitu: Differensial tingkat 2 : f(x)=

diambil h yang kecil, karena error dari metode ini : e(f)=-

f(4)() , kesalahan ini dinamakan kesalahan diskritisasi. e.Pemakaian Differensiasi untuk Menentukan Titik Puncak Kurva Untuk menentukan titik puncak perhatikan definisi berikut : 1.Definisi Permasalahan Differensial Numeric Suatu titik a pada kurva y= f(x) dinamakan titik puncak bila dan hanya bila f1(a)=0. 2.Definisi Metode Selisih Maju Sebuah tiik puncak a dikatakan titik maksimum pada kurva y= f(x) bila f11(x)0. f.Metode Penyelesaian Metode Taylor Metodetayloradalahsuatumetodependekatanyangmenggunakanderet taylorsebagaibentukperbaikannialifungsisecarakeseluruhanpada penyelesaianpersamaandifferensial.Hanyasajametodeinitidakbanyak digunakankarenadiperlukanperhitunganyangcukuprumitdalam penyelesaiannya.Tetapimetodeinidapatmenunjukanhasilyangbaguspada beberapa permasalahan penyelesaian persamaan differensial. Fungsi persamaan differensialyaituy=f(x,y)denganmemberikannilaipendekatanawal(x0,y0), penyelesaian dapat diperoleh dengan : y(x)= y0+(x-x0)y(x0)+

y (x0)++

y(k) (x0) D.INTEGRASI NUMERIK Integraltertentuyangpernahkitapelajaripadamatakuliahkalkulus dasar, yang dinyatakanoleh:

.(D.1) adalah bentuk integral yang dapat dipecahkansecara analitik dan pada umumnyatelahdirumuskansehinggatidakadakesulitandalammencari solusinumeriknya.Persamaan(D.1)didefinisikansebagaisebuahlimit jumlah Riemann, dan menurut teorema dasar kalkulus integral persamaantersebut dapat dihitungdenganrumussebagai,

= f(b)-f(a).(D.2) dimanaF ( x) adalahanti derivatif dari f(x), yakni f(x)=f(x). Banyakintegraltertentudapatdihitungdenganpersamaan(D.2),seperti banyakdijumpaidalambuku-bukukalkulus,tapitidaksedikitintegraltertentuyangtidakdapatdihitungdenganpersamaantersebutkarenaMetode Numeric secara umumPage 12 integrandf(x)tidakmempunyaiantiderivatifyangdapatdinyatakandalam bentukfungsi-fungsi elementer. Carayangdigunakanuntukmencarisolusiintegralsemacamitu adalahdenganperhitunganintegralsecarahampiranataupendekatan,yang hasilnyaberupanumerik.Pendekatansemacaminibanyakdigunakanpara ilmuwandaninsinyurdalammenyelesaikanperhitunganintegralyangtidak dapat diselesaikan secaraanalitik. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Cnaxdx axnn++=+}11 Caedx eaxax+ =} C b aadx b ax + + = +}) cos(1) sin(C b aadx b ax + + = +}) sin(1) cos(C x dxx+ =}| | ln1 C x x x dx x + =}| | ln | | lnFungsi yang rumit misalnyadx exxx 5 . 02023sin 5 . 0 1) 1 cos( 2}++ + Perhitunganintegraladalahperhitungandasaryangdigunakandalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral menghitung luas dan volume-volume benda putar. Integral numerik dilakukan apabila: 1)Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis. Metode Numeric secara umumPage 13 2)Fungsiyang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel). Gambar D.1 Metode integral numerik a.Aturan Trapezium Metodetrapesiummerupakanmetodependekatanintegralnumerikdengan persamaan polinomial order satu. Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f (x)digantikanolehgarislurus.Denganmetodetrapesiumintegralsuatufungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir, sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir. Apabilahanyaterdapatduadataf(a)danf(b),makahanyabisadibentuk satutrapesiumdancarainidikenaldenganmetodetrapesiumsatupias.Jika tersedialebihdariduadata,makadapatdilakukanpendekatandenganlebihdari satutrapesium,danluastotaladalahjumlahdaritrapesium-trapesiumyang terbentuk.Carainidikenaldenganmetodetrapesiumbanyakpias.dengantiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalahpendekatandariintegralfungsi.Hasilpendekataninilebihbaikdaripada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik. Metode Numeric secara umumPage 14 Fungsiyangdiintegralkandapatpuladidekatiolehfungsipolinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurveyang terbentuk tidak lagi linier, seperti dalammetodetrapesium,tetapikurvelengkung.Tigadatayangadadapat digunakanuntukmembentukpolinomialordertiga.SepertipadaGambarD.1, luasan bidang di bawah fungsi f (x) antara nilai x = a dan nilai x = b didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis lurus yang menghubungkan f (a) dan f (b) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b. Pendekatan dilakukan dengan satu pias (trapesium). Menurut rumus geometri, luas trapesium adalah lebar kali tinggi terata, yang berbentuk

Gambar D.2. Metode Trapesium PadaGambarD.2,penggunaangarislurusuntukmendekatigarislengkung menyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir. Rumus aturan trapesium yaitu :

[

Kesalahan pada aturan trafesium. Andaikan bahwa fada pada[ , maka :

[

+En Dimana kesalahan En diberikan olehEn=

, dan c adalah suatu titik antara a dan b. Metode Numeric secara umumPage 15 b.Aturan Simpson Disampingmenggunakanrumustrapesiumdenganintervalyanglebih kecil,caralainuntukmendapatkanperkiraanyanglebihtelitiadalah menggunakan polinomial order lebih tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya,apabilaterdapatsatutitiktambahandiantaraf(a)danf(b),maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola MetodeSimpsonmerupakanmetodeintegralnumerikyangmenggunakan fungsipolinomialdenganorderlebihtinggi.MetodeSimpson1/3menggunakan tigatitikdata(polinomialorderdua)danSimpson3/8menggunakanempattitik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama. MetodeSimpson1/3biasanyalebihdisukaikarenamencapaiketelitian ordertigadanhanyamemerlukantigatitik,dibandingkanmetodeSimpson3/8 yang membutuhkanempat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3hanyaberlakuuntukjumlahpiasgenap.Apabiladikehendakijumlahpias ganjil,makadapatdigunakanmetodetrapesium.Tetapimetodeinitidakbegitu baikkarenaadanyakesalahanyangcukupbesar.Untukitukeduametodedapat digabung,yaitusejumlahgenappiasdigunakanmetodeSimpson1/3sedang3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8. 1.Aturan Simpson 1/3 Aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yangmelaluititikf(xi1),f(xi)danf(xi+1)untukmendekatifungsi.Rumus Simpson dapat diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini. dx x f x I}=xa) ( ) (Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi: Metode Numeric secara umumPage 16 ) () () ( ' x fdxx dIx I = = Gambar D.3. Penurunan Metode Simpson Dengan memperhatikan Gambar D.3, maka persamaan deret Taylor adalah: ) x ( O ) x ( ' ' ' f! 4x) x ( ' ' f! 3x) x ( ' f! 2x) x ( f x ) x ( I ) x x ( I ) x ( I54 3 21 i i i i i i i+ + + + + = + =+ ) x ( O ) x ( ' ' ' f! 4x) x ( ' ' f! 3x) x ( ' f! 2x) x ( f x ) x ( I ) x x ( I ) x ( I54 3 21 i i i i i i i + + = = Pada Gambar D.3, nilai I (xi+ 1) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi + 1. Sedangkan nilai I (xi 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi 1). Dengandemikianluasandibawahfungsiantarabatasxi1danxi+1yaitu(Ai), adalah luasan I (xi + 1) dikurangi I (xi 1). Nilaif ''(xi) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat: ) () ( ) ( 2 ) () ( ' '221 i i 1 iix Oxx f x f x fx f ++ =+ Kemudiandisubstitusikankedalam ) x ( O ) x ( ' ' f3x) x ( f x 2 A53i i i+ + = ,Untukmemudahkanpenulisan, selanjutnya notasi f (xi) ditulis dalam bentuk fi, sehingga menjadi: ) x ( O ) f f 4 f (3xA51 1i i i i+ + + =+ metode simpson 1/3. Metode Numeric secara umumPage 17 Diberitambahannama1/3karenaAxdibagidengan3.Padapemakaiansatu pias,2a bx= A,sehinggadapatditulisdalambentuk| | ) ( ) ( 4 ) (6ib f c f a fa bA + += , dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b. KesalahanpemotonganyangterjadidarimetodeSimpson1/3untuksatu pias adalah: ) ( ' ' ' ' 9015t c f x =Oleh karena 2a bx= A, maka ) ( ' ' ' '2880) (5t c fa b =2.Metode Simpson 3/8MetodeSimpson3/8diturunkandenganmenggunakanpersamaan polinomial order tiga yang melalui empat titik. dx x f dx x f I}~}=ba3ba) ( ) (Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh: | | ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) (8 33 2 1 0x f x f x f x fxI + + + =Dengan 3a bx= A , Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk: | |8) ( ) ( 3 ) ( 3 ) () (3 2 1 0x f x f x f x fa b I+ + + =Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar: ) ( ' ' ' ' 8033t c f x =Mengingat 3a bx= A , maka: ) ( ' ' ' '6480) (5t c fa b = Metode Numeric secara umumPage 18 E.Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik Ada dua metode untuk menyelesaikan persamaan secara numeric ini yaitu metode bagiduadanmetodenewton.Keduanyaituuntukmencariakar-akarriildari f(x)=0 yang memerlukan komputasi. a.Metode Bagi Dua Metode bagi-dua mensyaratkan dua titik awal a dan b sedemikian sehingga f(a)danf(b)memilikitandaberlainan.Inidinamakankurungdarisebuahakar. Menurutteoremanilaiantara,fungsifmestilahmemilikipalingtidaksatuakar dalamselang(a,b).Metodeinikemudianmembagiselangmenjadiduadengan menghitungtitiktengahc=(a+b)/2dariselangtersebut.Kecualicsendiri merupakanakarpersamaan,yangmungkinsajaterjadi,tapicukupjarang, sekarangadaduakemungkinan:f(a)danf(c)memilikitandaberlawanandan mengapitakar,atauf(c)danf(b)memilikitandaberlawanandanmengapitakar. Kitamemilihbagianselangyangmengapit,danmenerapkanlangkahbagi-dua serupa terhadapnya. Dengan cara ini selangyang mungkin mengandung nilai nol darifdikurangilebarnyasebesar50%padasetiaplangkah.Kitameneruskan langkah ini sampai kita memiliki selang yang dianggap cukup kecil. Secaraeksplisit,jikaf(a)f(c)