Kalkulus i
-
Upload
song-eun-soo -
Category
Documents
-
view
360 -
download
55
Transcript of Kalkulus i
Kalkulus I
Oleh :
Epha Diana Supandi, M.Sc
Pokok Bahasan
Sistem Bilangan Real Pertaksamaan dan Nilai Mutlak Fungsi Real Limit Fungsi Kekontinuan Fungsi Limit Tak Hingga Bentuk tak tentu Limit Fungsi Aplikasi Turunan (Masalah maksimum, minimum,
laju, nilai ekstrim, kemonotonan, kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)
Daftar Referensi
Martono, K.1999. Kalkulus. Erlangga.Jakarta Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8. Erlangga. Jakarta Leithod,L. 1996. The Calculus with Analytic Geometry.Harper and Row Publisher. New York.
Sistem Penilaian
UTS = 30% UAS = 30% Tugas = 20% Tugas Kelompok = 20%
Pendahuluan Untuk mempelajari kalkulus diperlukan berbagai
sifat bilangan real dan fungsi. Konsep utama kalkulus tentang limit, kekontinuan, turunan, differensial dan integral dikaitkan dengan fungsi real sebagai obyeknya.
Dalam kalkulus bilangan real diperlukan untuk dapat memberi ruang gerak pada berbagai operasinya
Pada perrtemuan 1, dipelajari sistem bilangan real, pertaksamaan, nilai mutlak dan fungsi yang merupakan pengetahuan dasar untuk mempelajari konsep limit fungsi.
Sistem Bilangan RealSistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan
beserta sifat2nya.
Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …} Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …} Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang
dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk rasional
Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.
Sistem BilanganBil Real
Bil Rasional
Bil Bulat
Bil Asli
Selang Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
Penulisan Himpunan Selang Grafik
{x| a < x < b} (a,b)
{x| a ≤ x < b } [a, b)
{x | a < x ≤ b } (a, b]
{x| a ≤ x ≤ b } [a, b]
{x | x ≤ b } (-∞, b]
{x | x < b } (-∞, b)
{x | a ≤ x } [a, +∞)
{x | a < x } (a, +∞)
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
Pertaksamaan
Bentuk Umum Pertaksamaan :
banyaksukuDCBAxD
xC
xB
xA,,,;
)(
)(
)(
)(
Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan yang benar)
Prosedure Baku menyelesaikan pertaksamaan adalah :
1. Ubahlah bentuk menjadi :
dengan P dan Q adalah suku banyak
2. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positif
3. Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis bilangan
4. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam bentuk selang
0)(
)(
xQ
xP
Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai berikut :
;|| 0,0,
xbilaxxbilaxx
Sifat-sifat Nilai Mutlak1. Untuk setiap bilangan real x berlaku
a) |x| 0b) |x| = |- x|c) - |x| ≤ x ≤ |x|d) |x|2 = |x2| = x2
2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :
a) |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2
b) |x – y | = |y – x |
Sifat-sifat Nilai Mutlak3. Jika a 0, maka
a) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ ab) |x| a ↔ x a atau x ≤ - a ↔ x2 a2
4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :
a) |x + y| ≤ |x| + |y| b) |x – y| ≤ |x| + |y|
c) |x| - |y| ≤ |x – y |d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |
Sifat – sifat nilai mutlak
5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku:
a) |xy| = |x| |y|
b) |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0
FUNGSI
DefinisiFungsi f adalah suatu aturan
korespodensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.
Jenis – jenis Fungsi
Fungsi linier Fungsi kuadrat Fungsi trigonometri Fungsi eksponential Fungsi logaritma
Fungsi linier
Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:
y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0
contoh : y = 4x + 3
a1 disebut gradien atau koefisien kemiringan
Fungsi kuadrat
Grafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk rumusnya adalh:
y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0
Contoh : y = x2 – 4x + 3
Fungsi Eksponential
Persamaan umum fungsi eksponen :y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1
Fungsi Logaritma
Fungsi ligaritma didefinisikan dengan persamaan :
y = f(x) = logax , a > 0 , a ≠ 1
Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan merupakan invers dari fungsi eksponen.
Operasi Fungsi
1. Jumlah dan SelisihMisalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :(f + g) (x) = f(x) + g(x)(f – g) (x) = f(x) – g(x)
catatan :Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari daerah asal f dan g
Operasi Fungsi
2. Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat
Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal, maka(f • g) (x) = f(x) • g(x)(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0
Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali.
Komposisi Fungsi
3. Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua fungsi yang berurutan artinya fungsi yang kedua dioperasikan setelah setelah fungsi yang pertama bekerja.
Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (g◦f)
Jadi (g◦f) (x) = g (f(x)) dan
(f ◦ g) (x) = f(g(x))