Kalkulus I

Click here to load reader

  • date post

    15-Aug-2015
  • Category

    Education

  • view

    47
  • download

    12

Embed Size (px)

Transcript of Kalkulus I

  1. 1. qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas KALKULUS I By. Andrian Runtius Lalang 1301033072 MATEMATIKA ANGKATAN 2013
  2. 2. Andry Thymoty_Kalkulus I 2 BAB I Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Bilangan Bulat dan Rasional Diantara sistem bilangan, yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (1,2,3,4,5,...). Jika digandengkan negatifnya dengan nol, maka kita peroleh bilangan- bilangan bulat (...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...). bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan-bilangan bulat dengan n 0, disebut bilangan-bilangan rasional. Bilangan-bilangan Riil Sekumpulan bilangan (rasional dan tak rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan riil. Terdapat lambang-lambang baku untuk mengenal kelas bilangan yang telah dibahas: a. N akan menyatakan himpunan bilangan asli (bilangan bulat positif) b. Z (dari bahasa Jerman, Zahlen) akan menyatakan himpunan bilangan bulat c. Q (hasil bagi bilangan bulat) menyatakan himpunan bilangan rasional d. R menyatakan himpunan bilangan riil Empat Operasi Hitungan Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan riil baru x + y dan x.y. penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang telah kita kenal sebagai sifat-sifat medan: 1. Hukum Komulatif : x + y = y + x dan xy = yx 2. Hukum Asosiatif : x + (y +z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z 3. Hukum Distribusi : x(y + z) = xy + xz 4. Elemen Identitas Terdapat dua bilangan riil yang berlainan (0 dan 1) yang memenuhi x + 0 = x dan x.1= x 5. Balikan (Invers) Setiap bilangan x mempunyai balikan aditif, -x yang memenuhi x + (-x) = 0. Juga setiap bilangan x kecuali nol mempunyai kebalikan x-1 yang memenuhi x.x-1 = 1 Pembagian dan pengurangan didefinisikan dengan: x y = x + (-y) dan = x.y-1
  3. 3. Andry Thymoty_Kalkulus I 3 Sifat-sifat Urutan 1. Trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku: x < y atau x = y atau x > y 2. Ketransitifan. x < y dan y < z x < z 3. Penambahan. x < y x + z < y + z 4. Perkalian. Bilangan z positif, x < y xz < yz, dan z negatif x < y xz > yz 5. Relasi urutan. x y y x, positif atau nol Desimal dan Kerapatan Desimal Berulang dan Tak Berulang Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir seperti dalam 3 8 = 0,375 atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya seperti dalam 13 11 = 1,181818 Kerapatan Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y, terdapat suatu bilangan riil lain. Khususnya bilangan z = ( + ) 2 adalah bilangan pertengahan antara x dan y. Ketaksamaan Selain persamaan yang kita temui dalam matematika terdapat juga ketaksamaan yang menggunakan tanda yaitu , , dan . Ketaksamaan ganda a < x < b memberikan selang terbuka sedangkan ketaksamaan a x b memberikan selang tertutup. Tabel di bawah ini menunjukan besar kemungkinan dan cara penulisan Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik Contoh {x: a < x < b} Terbuka (a,b) ( ) a b (-2, 3) {x: a x b} Tertutup [a.b] [ ] a b [-1, 2] {x: a x < b} Setengah Terbuka [a,b) [ ) a b [ 1 2 , 3) {x: a < x b} Setengah Terbuka (a,b] ( ] a b ( 1 2 , 3] {x: x b} (-,b] ] b (-, - 1 2 ) {x: x < b} (-,b) ) b (-, -1)
  4. 4. Andry Thymoty_Kalkulus I 4 {x: x a } [a, -) [ a [-1, ) {x: x > a} (a, -) ( a (2, ) R (-,) Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, & Kuadrat Nilai mutlak suatu bilangan riil dinyatakan dengan x didefinisikan sebagai x = { a x < -a atau x > a AKAR KUADRAT Secara umum dapat ditulis 2 = x Ingat bahwa penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 diberikan oleh: 1,2 = 2 4 2 Terdapat dua penyelesaian riil jika b2 4ac > 0, a. Penyelesaian jika b2 4ac = 0 b. Penyelesaian tak riil jika b2 4ac < 0 Dengan rumus kuadrat, dapat diselesaikan ketaksamaan-ketaksamaan kuadrat yang tidak mudah difaktorkan.
  5. 5. Andry Thymoty_Kalkulus I 5 KUADRAT : Kita perhatikan bahwa ||2 = 2 berasal dari sifat | || | = || Jika kita bekerja dengan bilangan-bilangan tak negatif, maka a < b a2 + b2 . Salah satu dari bentuk varian ini adalah | | < || x2 + y2 Sistem Koordinat Siku-empat Rumus Jarak : ( , ) = (2 1)2 + (2 1)2 Persamaan Lingkaran : (x - h)2 + (y k)2 = r2 Garis Lurus Kemiringan Garis : = 21 21 Garis yang melalui titik (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan y y1 = m(x x1) Bentuk Kemiringan Berpotongan : y = mx + b Garis-garis Sejajar : jika dua garis mempunyai kemiringan sama, maka keduanya sejajar. Grafik Persamaan Untuk menggambar suatu persamaan, kita ikuti prosedur sederhana tiga langkah: 1. Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan 2. Rajah titik-titik tersebut di bidang 3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus
  6. 6. Andry Thymoty_Kalkulus I 6 BAB II Fungsi dan Limit A. Fungsi Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A ke B adalah aturan memasangkan (memadankan) setiap elemen di A dengan satu elemen di B. Bila elemen- elemen dari A lebih banyak dari elemen-elemen B, dapatkah kita membuat fungsi dari A ke B ? Sebuah fungsi disebut fungsi real bila B R. Pembahasan selanjutnya akan dibatasi untuk A, B R. Notasi fungsi: y = f (x) dengan: x elemen A, f (x) aturan pemadanannya, dan y adalah elemen B yang merupakan pasangan dari x. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Jika f(-x) = f(x), maka grafik simetri terhadap sumbu y. Fungsi demikian disebut fungsi genap barangkali karena fungsi yang merinci f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat genap x adalah genap. Jika f(-x) = -f(x) simetri terhadap titik asal. Kita sebut fungsi demikian adalah fungsi ganjil. Fungsi yang memberikan f(x) sebagai jumlah dari pangkat-pangkat ganjil x adalah ganjil. Operasi Pada Fungsi a. (f + g) (x) = f(x) + g(x) b. (f g) (x) = f(x) g(x) c. (f . g) (x) = f(x) . g(x) d. ( ) = () ()
  7. 7. Andry Thymoty_Kalkulus I 7 Fungsi Trigonometri Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari satu di sebelah kiri. Posisi titik P=(x, y). Sudut t-positif dihitung berdasarkan arah yang berlawanan jarum jam dengan satuan radian. 10 = 1 180 rad. Denisi: f (t) = sin t = y dan g(t) = cos t = x. Df = Dg = . . . Rf = Rg = . . . Sudut t + 2 dan t menentukan posisi titik P yang sama, sehingga sin(t + 2) = sin t dan cos(t + 2) = cos t. Dikatakan fungsi tersebut periodik dengan periode 2. Empat Fungsi Trigonometri Lainnya. Kita dapat lewat cukup dengan sinus dan kosinus saja, tetapi penting juga untuk memperkenalkan empat fungsi trigonometri tambahan. f(x) = tan = sin cos f(x) = cot = cos sin f(x) = sec = 1 cos f(x) = csc = 1 sin Ringkasan Kesamaan-Kesamaan Penting. Kita tidak akan menghabiskan halaman untuk memeriksa kebenaran semua kesamaan trigonometri. Kita cukup menegaskan kebenarannya dan menekankan bahwa kebanyakan dari kesamaan ini akan diperlukan di suatu tempat dalam makalah ini Kesamaan Trigonometri Kesamaan ganjil-genap Kesamaan fungsi ko sin () = sin . sin 2 = cos cos (-x) = cos x cos 2 = sin tan (-x) = -tan x tan 2 = cot
  8. 8. Andry Thymoty_Kalkulus I 8 Kesamaan Pythagoras sin2 x + cos2 x = 1 1 + tan2 x = csc2 x 1 + cot2 x = csc2 x Kesamaan Penambahan sin(x + y) = sin x cos y + cso x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y tan(x + y) = tan + tan 1tan tan Kesamaan Sudut Ganda sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x sin2 x = 2 cos2 x 1 = 1 2 sin2 x Kesamaan Setengah Sudut sin2 x = 1cos2 2 cos2 x = 1+cos2 2 Kesamaan Jumlah sin x + sin y = 2 sin + 2 cos 2 cos x + cos y = 2 cos + 2 cos 2 Kesamaan Hasil Kali sin x sin y = - 1 2 [cos( + ) cos( )] cos x cos y = 1 2 [cos( + ) + cos( )] sin x cos y = 1 2 [cos( + ) + sin( )]
  9. 9. Andry Thymoty_Kalkulus I 9 B. LIMIT Konsep Limit Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c I . Fungsi f (x) dikatakan terdenisi di I kecuali mungkin di c, artinya f (x) terdenisi disemua titik pada I{c} dan di c boleh terdenisi boleh juga tidak. Definisi Limit (Pengertian persis tentang limit). Mengatakan bahwa lim ( ) = berarti bahwa untuk tiap > 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian sehinggaf(x) - L < asalkan bahwa 0 < x - c < , yakni 0 < x - c < f(x) - L <
  10. 10. Andry Thymoty_Kalkulus I 10 Gambar di bawah ini kiranya dapat membantu dalam menyerap definisi di atas Teorema Limit Teorema A (Teorema Limit Utama). Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Maka: , asalkan lim ( ) 0 Teorema B (Teorema Penggantian). Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka lim ( ) = () Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak nol di c.
  11. 11. Andry Thymoty_Kalkulus I 11 Limit takhingga: Bagian ini mengamati perilaku fungsi f (x) bila x tanpa batas. Ilustrasi: Perhatikan f (x) = 1 1+ 2 Bila x membesar terus tanpa batas, ditulis x , nilai f (x) cenderung menuju 0. Fenomena ini mendasari konsep limit di takhingga Misalkan f terdenisi pada [c, ). Lim = L artinya untuk setiap > 0, x dapat dicari bilangan M sehingga x > M |f (x) L| < Misalkan f terdenisi pada (, c). lim = L artinya untuk setiap > 0, x dapat dicari bilangan M sehingga x < M |