of 30/30
Aturan (lanjutan) Aturan Rantai Derivatif fungsi Implisit Tugas DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd , 2011 Yogyakarta Krisnawan Pertemuan 2
• date post

21-Oct-2015
• Category

Documents

• view

56

3

Embed Size (px)

description

kalkulus

Transcript of kalkulus dferensial2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

DERIVATIVE (continued)(TURUNAN)

Kus Prihantoso Krisnawan

November 25rd , 2011

Yogyakarta

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Aturan Turunan Trigonometri

ddx (sin x) = cos x

ddx (cos x) = sin x

ddx (tan x) = sec

2 x

ddx (cot x) = csc2 xddx (sec x) = sec x tan x

ddx (csc x) = csc x cot x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Aturan Turunan Trigonometri

ddx (sin x) = cos x

ddx (cos x) = sin xddx (tan x) = sec

2 x

ddx (cot x) = csc2 x

ddx (sec x) = sec x tan x

ddx (csc x) = csc x cot x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Aturan Turunan Trigonometri

ddx (sin x) = cos x

ddx (cos x) = sin xddx (tan x) = sec

2 x

ddx (cot x) = csc2 xddx (sec x) = sec x tan x

ddx (csc x) = csc x cot x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Contoh

Contoh

Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

g(x)h(x)

Jawab:

Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

g(x)h(x) =

g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Contoh

Contoh

Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

g(x)h(x)

Jawab:

Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , maka

a) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

g(x)h(x) =

g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Contoh

Contoh

Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

g(x)h(x)

Jawab:

Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

g(x)h(x) =

g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Contoh

Contoh

Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

g(x)h(x)

Jawab:

Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin x

c) ddxg(x)h(x) =

g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Contoh

Contoh

Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

g(x)h(x)

Jawab:

Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

g(x)h(x) =

g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Latihan

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikuta. f (x) = x2 sin x

b. g(x) = sin2 x + cos2 x

c. h(x) = sin x+cos xcos xd. f (x) = sin x cos x

e. g(x) = cot xsin xf. h(x) = sin xx

g. f (s) = 1+sec scsc sh. g(t) = sin t+cos tcot ti. h(s) = s

2 cos stan s

j. f (t) = t cos t+cot tsec tKrisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Aturan Rantai (chain rule)

Bagaimana menurunkan fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75?Apakah kita hitung hasil perpangkatannya dulu?

Cara yang lebih mudah adalah menggunakan aturan rantai

TeoremaJika u = g(x) dan y = f (u) masing-masing terdiferensial padax dan g(x) maka fungsi komposisi f g, didefinisikan sebagai(f g)(x) = f (g(x)) terdiferensial di x dan

(f g)(x) = f (g(x))g(x) (1)

ataudydx

=dydu

dudx

(2)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Aturan Rantai (chain rule)

Bagaimana menurunkan fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75?Apakah kita hitung hasil perpangkatannya dulu?Cara yang lebih mudah adalah menggunakan aturan rantai

TeoremaJika u = g(x) dan y = f (u) masing-masing terdiferensial padax dan g(x) maka fungsi komposisi f g, didefinisikan sebagai(f g)(x) = f (g(x)) terdiferensial di x dan

(f g)(x) = f (g(x))g(x) (1)

ataudydx

=dydu

dudx

(2)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Aturan Rantai (chain rule)

Bagaimana menurunkan fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75?Apakah kita hitung hasil perpangkatannya dulu?Cara yang lebih mudah adalah menggunakan aturan rantai

TeoremaJika u = g(x) dan y = f (u) masing-masing terdiferensial padax dan g(x) maka fungsi komposisi f g, didefinisikan sebagai(f g)(x) = f (g(x)) terdiferensial di x dan

(f g)(x) = f (g(x))g(x) (1)

ataudydx

=dydu

dudx

(2)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75.

Jawab:Misalkan y = u75 dan u = x2 + 5x 8 maka dydu = 75u74 dandudx = 2x + 5,

f (x) =dydx

=dydu

dudx

= 75u74(2x + 5)= 75(x2 + 5x 8)74(2x + 5)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75.Jawab:Misalkan y = u75 dan u = x2 + 5x 8 maka dydu = 75u74 dandudx = 2x + 5,

f (x) =dydx

=dydu

dudx

= 75u74(2x + 5)= 75(x2 + 5x 8)74(2x + 5)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi f (t) = sin (cos t + 2t)7.

Jawab:Misalkan y = sin u, u = v7, dan v = cos t + 2t makay = cos u, u = 7v6, dan v = sin t + 2 sehingga

f (t) = cos (cos t + 2t)7.7(cos t + 2t)6.( sin t + 2)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi f (t) = sin (cos t + 2t)7.

Jawab:Misalkan y = sin u, u = v7, dan v = cos t + 2t makay = cos u, u = 7v6, dan v = sin t + 2 sehingga

f (t) = cos (cos t + 2t)7.7(cos t + 2t)6.( sin t + 2)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

TeoremaContohLatihan

Latihan

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikuta. f (x) = (7x2 + 5x 2)8b. g(x) = 1

(x23x+2)9

c. h(x) = cos (3x2 2x + 1)d. f (x) = sin8 (x3 + 5x)e. g(x) = sec3 (x 2)5f. h(x) = (x+1x1)

5

g. f (x) = tan3 (1+xx2 )

h. g(x) = csc3 ( x1x2+2)2

i. h(x) = (2 3x2)4(x7 + 3)5j. f (x) = (2x

23)3(4x+7)5

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?

Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).Perhatikan bahwa

d(x 3x3)dx

=d(x2 + y4 2y)

dx

1 9x2 = 2x + d(y4)

dx d(2y)

dx

1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

dx

1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

dydx

=1 2x 9x2

4y3 2

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).

Perhatikan bahwa

d(x 3x3)dx

=d(x2 + y4 2y)

dx

1 9x2 = 2x + d(y4)

dx d(2y)

dx

1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

dx

1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

dydx

=1 2x 9x2

4y3 2

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).Perhatikan bahwa

d(x 3x3)dx

=d(x2 + y4 2y)

dx

1 9x2 = 2x + d(y4)

dx d(2y)

dx

1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

dx

1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

dydx

=1 2x 9x2

4y3 2

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).Perhatikan bahwa

d(x 3x3)dx

=d(x2 + y4 2y)

dx

1 9x2 = 2x + d(y4)

dx d(2y)

dx

1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

dx

1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

dydx

=1 2x 9x2

4y3 2

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).Perhatikan bahwa

d(x 3x3)dx

=d(x2 + y4 2y)

dx

1 9x2 = 2x + d(y4)

dx d(2y)

dx

1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

dx

1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

dydx

=1 2x 9x2

4y3 2

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).Perhatikan bahwa

d(x 3x3)dx

=d(x2 + y4 2y)

dx

1 9x2 = 2x + d(y4)

dx d(2y)

dx

1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

dx

1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

dydx

=1 2x 9x2

4y3 2

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan dydx dari sin (x + y) = cos (y2 + 1 + x2).

Jawab:

d sin (x + y)dx

=d cos (y2 + 1 + x2)

dx

cos (x + y)d(x + y)

dx= sin (y2 + 1 + x2)d(y

2 + 1 + x2)dx

cos (x + y)(1 +dydx

) = sin (y2 + 1 + x2)(2y dydx

+ 2x)

dydx

= cos (x + y) 2x sin (y2 + 1 + x2)2y sin (y2 + 1 + x2) + cos (x + y)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan dydx dari sin (x + y) = cos (y2 + 1 + x2).

Jawab:

d sin (x + y)dx

=d cos (y2 + 1 + x2)

dx

cos (x + y)d(x + y)

dx= sin (y2 + 1 + x2)d(y

2 + 1 + x2)dx

cos (x + y)(1 +dydx

) = sin (y2 + 1 + x2)(2y dydx

+ 2x)

dydx

= cos (x + y) 2x sin (y2 + 1 + x2)2y sin (y2 + 1 + x2) + cos (x + y)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan dydx dari sin (x + y) = cos (y2 + 1 + x2).

Jawab:

d sin (x + y)dx

=d cos (y2 + 1 + x2)

dx

cos (x + y)d(x + y)

dx= sin (y2 + 1 + x2)d(y

2 + 1 + x2)dx

cos (x + y)(1 +dydx

) = sin (y2 + 1 + x2)(2y dydx

+ 2x)

dydx

= cos (x + y) 2x sin (y2 + 1 + x2)2y sin (y2 + 1 + x2) + cos (x + y)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Contoh

Contoh

Tentukan dydx dari sin (x + y) = cos (y2 + 1 + x2).

Jawab:

d sin (x + y)dx

=d cos (y2 + 1 + x2)

dx

cos (x + y)d(x + y)

dx= sin (y2 + 1 + x2)d(y

2 + 1 + x2)dx

cos (x + y)(1 +dydx

) = sin (y2 + 1 + x2)(2y dydx

+ 2x)

dydx

= cos (x + y) 2x sin (y2 + 1 + x2)2y sin (y2 + 1 + x2) + cos (x + y)

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

ContohLatihan

Latihan

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikuta. y2 x2 = 1b. xy = 1

c. x2 + 2xy2 + 1 = 0

d. x2y + y2x = 1

e.

xy + 2y = y2 + xy3

f. x2y2 + 4xy = 12y

g.

xy sin y = x

h. xy + sin (xy) = 0

i. cos (xy2) = y2 + x

j. x23 y 23 2y = 2

Krisnawan Pertemuan 2

• Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

Derivatif fungsi ImplisitTugas

Tugas (Kumpul tanggal 2 Desember 2011)

1. Tentukan semua titik pada kurva y = 9 sin x cos x yangmempunyai garis singgung mendatar.

2. Tentukan persamaan garis singgung terhadapy = (x2 + x 1)3 pada titik (1, 1).

3. Sebuah kota terjangkit wabah Asian flu. Pihak yang berwenangmengestimasikan bahwa t hari setelah mulai terjangkit wabah,banyaknya orang yang terkena flu adalah p(t) = 120t2 2t3untuk 0 t 40. Pada kecepatan berapa flu menyebar saatt = 10, t = 20, dan t = 40?

4. Sebuah pesawat luar angkasa bergerak dari kiri ke kanansepanjang kurva y = x2. Jika mesin dimatikan maka pesawatakan bergerak sepanjang garis singgung pada titik saat mesindimatikan. Pada titik mana seharusnya mesin dimatikan agarpesawat bergerak melalui titik (4, 15)?

Krisnawan Pertemuan 2

Aturan (lanjutan)Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

Aturan RantaiTeoremaContohLatihan

Derivatif fungsi ImplisitContohLatihan

Tugas