Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

22
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit). TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi yang diberikan 2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A. Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A B. Himpunan A disebut domain (daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f. Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu : 6

description

silahhkan

Transcript of Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Page 1: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

BAB II

FUNGSI DAN GRAFIK

Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas

(besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan dalam 4 cara

yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus

eksplisit).

TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan grafik

fungsi yang diberikan

2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi

Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam satu

himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua, misalkan

B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A.

Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu

anggota B, maka f ditulis sebagai f : A B. Himpunan A disebut domain (daerah asal,

daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f.

Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :

a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran tersebut.

Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A = r2.

Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah fungsi

dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit.

b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut memberikan

taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu.

6

Page 2: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Tabel taksiran populasi penduduk dunia (dalam jutaan)

Tahun (t) Populasi (P)1900 1650

1910 1750

1920 1860

1930 2070

1940 2300

1950 2520

1960 3020

1970 3700

1980 4450

1990 5300

1996 5770

Untuk setiap nilai t terdapat nilai padanannya P, sehingga kita katakan bahwa P

merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut disajikan dalam bentuk tabel.

c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak

terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai aturan

tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata – kata) untuk menentukan C bila w

diketahui. Aturan yang digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat tahun 1998

sebagai berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai dengan satu ons,

ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11 ons.

d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah fungsi

dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan hubungan antara a

dan t.

7

t (detik)

a (cm/det2)

Page 3: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

2.2. Domain dan Kodomain Fungsi

Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f mendapat nilai

(suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang anggota-anggotanya merupakan

nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f disebut range (daerah hasil) dari fungsi f.

Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam fungsi

karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna.

f

Domain Range

Keterkaitan antar variabel

Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain f disebut

variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan pada range f disebut

variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian fungsi di atas, apabila fungsi disajikan

dalam bentuk rumus eksplisit berikut A = r2 maka r merupakan variabel bebas,

sedangkan A adalah variabel terikat.

Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya

terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk eksplisit

ditulis y = f(x).

Contoh :

a. y = 3 sin x + cos x

b. y = x2 - 8 x + 10

Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikat

letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi

bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.

Contoh :

a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0

b. x2 – x y2 + 6 x y – 7 x = 0

8

x

a

f(x)

f(a)

Page 4: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas dan variabel

terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan parameter. Jika x variabel

bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka notasi bentuk fungsi implisit dapat di tulis

sebagai berikut : , t sebagai parameter

Contoh :

a. , a sebagai parameter

b. , t sebagai parameter

Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel yakni x,

sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua varibel yaitu x dan y.

Contoh :

a. Fungsi satu variabel

1. y = 3 x – 2

2. z = sin y + cos y

b. Fungsi dua variabel

1. z = x3 + 4 x2 y - 8

2. c = a2 b2 + a b4

Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat dianggap bahwa

domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga fungsi tersebut bernilai

bilangan real. Domain tersebut disebut daerah asal alamiah.

Contoh :

a. Tentukan domain dan range f(x) =

b. Tentukan domain dan range g(x) =

Penyelesaian :

9

Page 5: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

a. Domain fungsi f(x) = adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai

bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 0. Jadi

D(f) = {x R : 25 - x2 0}

= {x R : x2 25 }

= {x R : -5 x 5}.

Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D(f). Jadi

R(f) = {y R : y = , -5 x 5} = {y R : 0 y 5}∎

b. Domain fungsi g(x) = adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real. Fungsi

g(x) bernilai real apabila x – 5 0, jadi D(g) = {x R : x 5}.

Range fungsi g(x) adalah R(g) = {y R : y = , x 5}

R(g) = {y R : y 10}∎

Latihan :

Carilah domain dan range dari fungsi f

1. f(x) = 6. f(x) =

2. f(x) = 7. f(x) =

3. f(x) = 8. f(x) = |x| + x

4. f(x) = 9. f(x) = |2 x + 3|

2.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi

2.3.1. Operasi Fungsi

10

Page 6: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka fungsi

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara kedua fungsi itu

didefinisikan sebagai berikut :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A B

2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A B

3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A B

4. ( daerah asal adalah { x A B ; g(x) 0 }

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan f + g, f – g, fg, dan daerah asalnya

Penyelesaian :

Daerah asal f(x) adalah [0, + ) 0 ≤ x dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2] -2 ≤ x ≤ 2

sehingga

irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, + ) [-2, 2] = [0, 2].

Jadi menurut definisi diperoleh

(f + g)(x) = f(x)+g(x)= + , dan daerah asal : [0, 2].

(f – g)(x) = - , dan daerah asal : [0, 2].

(f g)(x) = = , dan daerah asal : [0, 2].

( = = , dan daerah asal : [0, 2) ∎

Latihan :

Tentukan f + g, f – g , f g , dan daerah asalnya.

1. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 – 1

2. f(x) = , g(x) =

11

Page 7: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

3. f(x) = , g(x) =

4. f(x) = x2 + x , g(x) =

5. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1

6. Jika f(x) = x2 + x , g(x) = , carilah (f – g)(2), ( )(1), g2(3)

7. Jika f(x) = , g(x) = , carilah f 4(x) + g 4(x)

8. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2)

2.3.2. Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f g (disebut juga komposisi dari f dan

g), didefinisikan oleh

(f g)(x) = f(g(x))

Daerah asal f g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah asal g sedemikian

hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f g)(x) akan terdefinisi jika

g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penjelasan f g dapat dilakukan dengan gambaran

diagram mesin berikut :

x g(x) f(g(x))

(masukan) (keluaran)

Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g dan akan diperoleh hasil g(x),

selanjutnya g(x) akan menjadi masukan bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan komposisi fungsi berikut

a. f g c. f f

b. g f d. g g

Penyelesaian :

12

g f

Page 8: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

a. (f g)(x) = f(g(x)) = f( ) = = .

b. (g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = .

c. (f f)(x) = f(f(x)) = f( ) = =

d. (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 - ) = .

Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f g h, adalah dengan

memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya diproses pada g, dan

terakhir hasil dari proses g diproses pada f, rumusannya adalah sebagai berikut

(f g h)(x) = f(g(h(x)))

Contoh :

Carilah f g h jika f(x) = , g(x) = x5 dan h(x) = x + 3

Penyelesaian :

(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5) = ∎

Latihan :

1. Tentukan (a). f g , (b). g f, (c). f f, (d). g g

a. f(x) = , g(x) = x2

b. f(x) = , g(x) = x3 + 2 x

c. f(x) = , g(x) =

d. f(x) = , g(x) =

2. Tentukan f g h jika

a. f(x) = x – 1, g(x) = , h(x) = x – 1

b. f(x) = , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2

3. Tentukan f dan g sedemikian hingga g f =

13

Page 9: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

4. Tentukan f dan g sedemikian hingga f g =

5. Tentukan f, g dan h sedemikian hingga

a. f g h = 1 -

b. f g h =

2.3.3. Invers Fungsi.

Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A dengan nilai

tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B diperoleh kembali nilai x

yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai y

dengan x, dilambangkan dengan f -1 dan disebut invers dari f. Daerah asal f -1 adalah B

dan daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan berarti .

Hal ini dapat dituliskan

y = f(x) x = f -1(y)

Contoh :

Tentukan f -1(x) dari f(x) = 2 x + 6

Penyelesaian :

Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x = = f -1(y)

Sehingga f -1(x) = ∎

Latihan :

Tentukan f -1(x) dari

1. f(x) = - + 5 6. f(x) = -

2. f(x) = 5 – 4 x3 7. f(x) =

3. f(x) = (x – 4)3 8. f(x) =

4. f(x) = x3/2 9. f(x) =

14

Page 10: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

5. f(x) = 10. f(x) =

.2.4. Macam-macam Fungsi

Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah fungsi tangga,

fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial

2.4.1. Fungsi Tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong Fungsi-

fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang sangat khusus yaitu fungsi nilai

mutlak , dinotasikan | |, dan fungsi bilangan bulat terbesar, dinotasikan

.

Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | =

Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut :

y

-x 0 x

15

Page 11: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Fungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai , yaitu bilangan bulat terbesar

yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat pada tiap bilangan bulat.

Contoh :

Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut.

C(w) =

Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78, C(2,7) = 0,78 dan

seterusnya

Latihan :

Ubahlah menjadi fungsi tangga untuk fungsi nilai mutlak di bawah ini

1. f(x) = | 2x – 1|

2. f(x) = 3 + | x + 2 |

3. f(x) = | 1 – x | - 2

4. f(x) =

5. f(x) = | x | + x

2.4.2. Fungsi Genap dan Fungsi Gasal

Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x )

Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x )

Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi gasal simetri

terhadap titik asal.

Contoh :

a. Apakah f(x) = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 genap, gasal , atau bukan keduanya ?

b. Apakah f(x) = x3 – 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ?

Penyelesaian :

a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 – 2 (-x)4 + 11 (-x)2 – 5 = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 = f(x)

16

Page 12: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

maka f(x) adalah fungsi genap.

b. Karena f(-x) = (-x)3 – 2 (-x) = -x3 + 2 x = -( x3 – 2 x) = - f(x) maka f(x) adalah fungsi

gasal ∎

Latihan :

Nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap, gasal, atau bukan keduanya

1. f(x) = 3 x2 + 2 x -1 6. f(x) =

2. f(x) = 7. f(x) =

3. f(x) = 8. f(x) =

4. f(x) = 9. f(x) = | 2 x2 + 2|

5. f(x) = 2 x5 – 3 x3 + x 10. f(x) = - | x + 3 |

2.4.3. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan menggunakan operasi

aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar). Fungsi

aljabar dikatakan rasional jika variabel x tidak terdapat di bawah tanda akar dan

dikatakan irrasional jika x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi aljabar dikatakan bulat

rasional jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan dikatakan pecah rasional jika x

terdapat sebagai penyebut.

Contoh :

a. f(x) = x3 – x2 + 4 x + 1 dan g(x) = x2 + 5 x + 7 adalah fungsi aljabar bulat rasional

b. f(x) = dan g(x) = adalah fungsi aljabar pecah rasional.

c. f(x) = merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) = adalah

fungsi aljabar bulat irrasional.

2.4.4. Fungsi Eksponensial

17

Page 13: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Fungsi f(x) = 2x disebut fungsi eksponensial karena variabel x merupakan

eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk

f(x) = ax

Sifat-sifat fungsi eksponensial

Jika a, b > 0 dan x , y , maka

1. ax + y = ax ay

2. a x - y =

3. (ax) y = xx y

4. (a b) x = ax bx

Jika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial natural,yaitu

y = ex

2.4.5. Fungsi Logaritma

Fungsi eksponensial f(x) = ax mempunyai invers yang disebut fungsi logaritma

dengan bilangan pokok a, dilambangkan dengan .

Sifat fungsi logaritma

Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka

1. (x y) = x + y

2. (xr) = r x

3. ( ) = x – y

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural dan

mempunyai lambang khusus

x = ln x

18

Page 14: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

e ln x = x untuk setiap x > 0

Untuk x = 1, diperoleh

ln e = 1

Sifat-sifat logaritma Natural

Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka

1. ln (x y) = ln x + ln y

2. ln ( ) = ln x – ln y

3. ln (xr) = r ln x

2.5. Grafik Fungsi

Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan bilangan real, maka

fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. grafik fungsi f

adalah grafik dari persamaan y = f(x).

Contoh :

a. Sketsa grafik y = x

b. Sketsa grafik y = x2 – 3 x + 2

Penyelesaian :

a. Jika diambil beberapa nilai x akan diperoleh pula beberapa nilai y berikut

x y = x

-2

-1

0

2

1

0

19

Page 15: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

1

2

1

2

Sehingga grafiknya adalah

b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke atas. Untuk

menggambarkan grafik y = x2 – 3 x +2, maka dilakukan langkah-langkah sebagai

berikut :

Titik potong dengan sumbu x, y = 0

x2 – 3 x +2 = 0

(x – 1) (x – 2) = 0

x = 1 atau x = 2

Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).

Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = 02 – 3.0 + 2 = 2

Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2)

Sumbu simetri y =

Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .

20

Page 16: Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Latihan

Gambarkan grafik fungsi-fungsi di bawah ini

1. f(x) = - 1 2.

3. f(x) = 2 x2 – 4 x + 2 4.

5. f(x) =

21