Kalkulus 2

download Kalkulus 2

of 87

  • date post

    06-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    265
  • download

    0

Embed Size (px)

description

kalkulus 2

Transcript of Kalkulus 2

TUGAS PORTOFOLIO MATEMATIKA DASAR

Dosen Pengampu : Riza Arifudin S.Pd ,M.Cs

Nama :Emas Agus Prastyo WibowoNIM :4311413013Prodi:Kimia

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2013

BAB IISISTEM BILANGAN REAL

A. Kompetensi dan IndikatorA.1 Standar KompetensiMenggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.A.2 Kompetensi DasarMemahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akarkuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem persamaan linearA.3 Indikator PembelajaranMahasiswa mampu mengerjakan soal-soal

Kalkulus-1 : Sistem Bilangan RealA. Sistem BilanganB. PertidaksamaanC. Nilai Mutlak

A. Sistem BilanganBILANGAN REALHimpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasionalBilangan RasionalAdalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk di mana p, q Z, dengan q 0. Notasinya: Q = {x|x = , p dan qZ, dengan q 0}.

Bilangan Irrasional (Tak Rasional)

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }contoh : , e, log 5 Sistem Bilangan / Himpunan BilanganHimpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, }Himpunan Bilangan Bulat: Z = { ,2,1, 0, 1, 2, 3, }Himpunan Bilangan Rasional: Q = { | p, q Z, q_= 0}

Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnyaadalah 2. Apakah bilangan tersebut merupakanbilangan rasional .Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilanganreal, disimbolkan R. Jelas N Z Q R.

1) Sifat-sifat Bilangan Real Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalianx+y= y + x dan xy =yx

Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian(x+y)+z = x +(y +z) dan (xy)z = x(yz)

Distributif, perkalian terhadap penjumlahan(x+y) = xz+yz Unsur identitasTerhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = xTerhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x.1 = x

InversTerhadap penjumlahan yaitu x sehingga x +(-x) = 0Terhadap perkalian yaitu sehingga x . = 1

2) Sifat-sifat Urutan Bilangan Real

Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z

Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real)

-30 1

Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real

INTERVAL BILANGAN REAL

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:{ x|a xb,xR} =[a,b ] disebut selang tutup{x|a =(a,b ) disebut selang buka{ x|a= [ a,b) keduanya disebut selang setengah buka / setengah tutup{ x|a =(a,b ]{x |x=[ b, ) keduanya disebut selang tak terbatas{x |x=(-,a]

B. Pertidaksamaan

Notasi Interval: Misalkan a, b R,1. (a, b) = { x |a < x < b} 2. [a, b] = { x | a x b } 3. [a, b) = { x | a x < b}

4. (a,) = { x |x > a}5. [a,) = { x | x a }6. (, b) = { x |x < b} b7. (, b] = { x | x b }b8. (,) = R

B. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa bernilai positif atau negatif.Pertidaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai negatif.

Bentuk umum:

A(x),B(x), C(x), dan D(x) masing-masing polinom.

Catatan: Tanda < dapat juga berupa , > atau

Contoh:

Himpunan dari semua titik x R yang memenuhi pertaksamaan tersebut disebut solusi.

Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari ) Tentukan daerah definisi dari pertaksamaan tersebut Tambahkan kedua ruas dengan sehingga diperoleh bentuk Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor-faktor linier & kuadrat definit. Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x). Pada setiap subinterval yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa tanda dari

+--+

Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut.

Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan tanda dari sepanjang suatu subinterval, mengapa cukup kita uji pada satu titik saja ? Jelaskan !

Latihan Tentukan solusi dari:a) 2 x2 x < 6b) (x 1)2 c) 5x 3 7 - 3x

Hati-Hati:Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanyailustrasi: Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi:

C. Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak

Nilai mutlak x dengan notasi |x | didefinisikan sebagai:

Contoh: | 6 | = 6 ,karena 60 | -4| = - ( - 4) = 4,karena 4 | 0 | =0

Akibat definisi nilai mutlak x

Sifat-sifat Nilai Mutlaka. |x.y | = |x | .|y |b. c. | x+y| |x |+ | y|d. |x | |y |e. |x y| | |x| |y| |

Contoh:

|x+5| < 6

Latihan a) |x 3| = x 3b) |x 1| = 2.c) |x 5 ||2 x 6|d) |2x 7| < 3e) |x 2| + |x + 2| > 7f) |x 2| < 3 |x + 7|

Sistem Koordinat Kartesius / Persegi PanjangPelopor: Pierre de Fermat (1629) & Rene Descartes (1637)

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Adabeberapa macam system koordinat yaitu: Sistem Koordinat Cartesius; Sistem Koordinat Kutub; Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola.

Sistem Koordinat CartesiusKoordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garisyang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan denganbilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV

Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannyaLetak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing masing adalah |y| dan |x|. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Jarak dua titik di bidangMisalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya adalah d(P,Q) =

Garis LurusBentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yangmemenuhi persamaan tersebut.Hal-hal khusus: Bila A = 0, persamaan berbentuk y = , grafiknya sejajar sumbu-x. Bila B = 0, persamaan berbentuk x =, grafiknya sejajar sumbu-y. Bila A,B tak nol, Ax + By + C = 0 y =

Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan sebagai m =

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :y y1 = m(x x1)

Misalkan garis _1 dan _2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2. Kedua garis tersebut sejajar m1 = m2

Kedua garis tersebut saling tegak lurus m1 m2 = 1 (mengapa?)

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titiktertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusatdi (0, 0) dan jari-jari r adalah: Bila pusat lingkaran berada di titik (p, q) maka persamaannya menjadi + =

Contoh 1:Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).Jawab:Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalahatau.

Contoh 2.Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya = = 27.Jawab:Pusat lingkaran = 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = = 3 satuan.

Contoh 3:Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik (2,4).Jawab:Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah+ atau +

Persamaan Lingkaran + A x + B y + C = 0.Ini adalah persamaan lingkaran denganPusat : P(

Jari-jari : r =

Contoh:Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya - 6 x + 4 y - 12 = 0.Jawab:Pada persamaan - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12.Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.Pusat : P( = (3,-2)

Jari-jari : r = r = = 5 satuan

Latihan

a. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung garis y = dan sumbu X di titik (4,0).b. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran -10x 14y -151 = 0.c. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran + = 16. Hitung jarak terdekat P kelingkaran.

KOORDINAT KUTUBDalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat kutub. Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

A(