Kalkulus 1

28
KALKULUS – I BY : RENHARD GULTOM Bil.Real, Limit, Fungsi, Petidaksamaan, dan Integral

Transcript of Kalkulus 1

Page 1: Kalkulus 1

KALKULUS – IBY : RENHARD GULTOM

Bil.Real, Limit, Fungsi, Petidaksamaan, dan Integral

Page 2: Kalkulus 1

Materi perkuliahan sampai UTS

Sistem bilangan riil Ketidaksamaan Nilai mutlak Fungsi dan operasi fungsi Fungsi Trigonometri Pendahuluan limit, Teorema limit, Fungsi Kontinu Pendahuluan Turunan, Aturan pencarian turunan,

Aturan Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Turunan Implisit

Aplikasi turunan ; max-min, kemonotonan & kecekungan,max-min lokal, limit tak hingga

Page 3: Kalkulus 1

Bilangan Real• Himpunan bilangan real adalah himpunan

bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional

• Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan q Z, dengan q 0} contoh :

• Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan bilangan rasional :* Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}* Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}

p

q

1 4 57, ,

3 9 1

Page 4: Kalkulus 1

– Himpunan bilangan irasional, iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }

contoh : , e, log 5, – Teorema :

“Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”– Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir

atau berulang dengan pola yang sama :contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….

13/11 =1.1818181818…– Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya

contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271…..

Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional– Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….

p

q2

Page 5: Kalkulus 1

Sistem Bilangan Riil

Page 6: Kalkulus 1
Page 7: Kalkulus 1
Page 8: Kalkulus 1

Garis bilangan

0-1 1 2-4 2 52 3 5

Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis bilangan, yang disebut garis bilangan real.

Page 9: Kalkulus 1

Sistem bilangan real

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :* Sifat-sifat aljabar* Sifat-sifat urutan* Sifat-sifat kelengkapan

Page 10: Kalkulus 1

*Sifat-sifat aljabar bilangan real

Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.

contoh: 2 + 5⅛ = 7⅛ 5-0,4 = 4,6 4 x ¾= 1 3 : 4 = ¾

Page 11: Kalkulus 1

*Sifat-sifat urutan bilangan real

Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0

Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b, jika b – a positifcontoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0

Page 12: Kalkulus 1

Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:

a < b a + c < b + c a < b a - c < b – c a < b, c > 0 ac < bc a < b, c < 0 ac > bc a > 0

Jika a dan b bertanda sama maka

10

a1 1

a bb a

Page 13: Kalkulus 1

*Sifat kelengkapan bilangan real

Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya

Contoh : Nyatakanlah apakah masing-masing yang

berikut benar atau salah! a. -2 < -5 b.

6 34

7 39

Page 14: Kalkulus 1

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Interval bilangan real

Untuk setiap x, a, b, c R,

1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup

atau terbuka3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka

atau tertutup4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka

Page 15: Kalkulus 1

Interval – interval tak hingga

(–∞, b] = {x | x ≤ b} (–∞, b) = {x | x < b} (a, ∞] = {x | x ≥ a} (a, ∞) = {x | x > a} (–∞, ∞] = {x | x R}

Page 16: Kalkulus 1

Ketidaksamaan• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti

mencari interval atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.

• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah

Contoh:Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan real!a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x

b. c. (x – 1)2 ≤ 4

x

x

2

42

Page 17: Kalkulus 1

Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak :

Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.

|x| dapat juga didefinisikan sebagai:

Secara Geometri: |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. |x – y| = jarak diantara x dan y

0,

0,

xx

xxx

2x x

Page 18: Kalkulus 1

Sifat nilai mutlak

|-a| = |a| |ab| = |a||b|

|a + b| ≤ |a| + |b| |x|2 = x2

|x| < a jika dan hanya jika - a < x < a |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2

aa

b b

Page 19: Kalkulus 1

Contoh :

Selesaikan persamaan berikut: |2x – 5|=9 Tentukan solusi dari ketaksamaan

berikut: x 5 9

5 12 x

Page 20: Kalkulus 1

SOAL

1. 5 2 6x x

2. 2 11 1x x

3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan

?t a a t

Page 21: Kalkulus 1
Page 22: Kalkulus 1
Page 23: Kalkulus 1
Page 24: Kalkulus 1
Page 25: Kalkulus 1
Page 26: Kalkulus 1
Page 27: Kalkulus 1
Page 28: Kalkulus 1