MATERI 4MATERI 4

KALKULUS PREDIKAT/KALKULUS PREDIKAT/

KALIMAT KALIMAT BERKUANTORBERKUANTOR

PendahuluanPendahuluan

Telah dibahas kalimat-kalimat yang Telah dibahas kalimat-kalimat yang dihubungkan dengan kata dihubungkan dengan kata penghubung tertentu. Akan tetapi, penghubung tertentu. Akan tetapi, kalimat yang dibicarakan tidak kalimat yang dibicarakan tidak memandang banyaknya obyek yang memandang banyaknya obyek yang terlibat di dalamnya.terlibat di dalamnya.

Akan dibahas konsep logika yang Akan dibahas konsep logika yang diperluas dengan cara menyertakan diperluas dengan cara menyertakan jumlah (kuantitas) obyek yang jumlah (kuantitas) obyek yang terlibat di dalamnya.terlibat di dalamnya.

Predikat (1)Predikat (1) Dalam tata bahasa, predikat menunjuk Dalam tata bahasa, predikat menunjuk

pada bagian kalimat yang memberi pada bagian kalimat yang memberi informasi tentang subjek. informasi tentang subjek.

Contoh:Contoh:– “… “… terbang ke bulan”terbang ke bulan”– “… “… lebih tebal dari kamus”lebih tebal dari kamus”kedua contoh kalimat tersebut merupakan kedua contoh kalimat tersebut merupakan kalimat tidak lengkap. Agar menjadi suatu kalimat tidak lengkap. Agar menjadi suatu kalimat yang lengkap, haruslah kalimat yang lengkap, haruslah disubstitusikan subyek di bagian depan disubstitusikan subyek di bagian depan kalimat. kalimat.

Misalnya, subyek “Buku ini” disubstitusikan Misalnya, subyek “Buku ini” disubstitusikan pada kalimat “… lebih tebal dari kamus”, pada kalimat “… lebih tebal dari kamus”, menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”.menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”.

Predikat (2)Predikat (2) Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang

memerlukan subyek disebut predikat. Jadi, misalkan :

– p : “terbang ke bulan” – q : “lebih tebal dari kamus”, maka baik p maupun q adalah predikat.

Untuk menyatakan perlunya substitusi subyek (yang tidak diketahui), maka dituliskan p(x) dan q(y).

Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.

Predikat (3)Predikat (3) Misalkan :Misalkan :

p(x) : “x habis dibagi 5” dan p(x) : “x habis dibagi 5” dan x disubstitusikan dengan 35, maka x disubstitusikan dengan 35, maka p(x) menjadi kalimat benar karena :p(x) menjadi kalimat benar karena : 35 habis dibagi 5. 35 habis dibagi 5.

Cara lain adalah dengan menambahkan Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada kalimat. kuantor pada kalimat.

Kuantor adalah kata-kata seperti Kuantor adalah kata-kata seperti “beberapa”, “semua”, dan lain-lain yang “beberapa”, “semua”, dan lain-lain yang menunjukkan berapa banyak elemen yang menunjukkan berapa banyak elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.dibutuhkan agar predikat menjadi benar.

KuantorKuantor

2 macam kuantor untuk menyatakan 2 macam kuantor untuk menyatakan jumlah obyek yang terlibat yaitu jumlah obyek yang terlibat yaitu – Kuantor Universal (simbol Kuantor Universal (simbol ) ) – Kuantor Eksistensial (simbol Kuantor Eksistensial (simbol ).).

Kuantor UniversalKuantor Universal Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap

obyek dalam semestanya mempunyai sifat obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.kalimat yang menyatakannya.

Kata yang digunakan: semua atau setiapKata yang digunakan: semua atau setiap Misalnya: Misalnya:

p(x) : “x dapat mati”. p(x) : “x dapat mati”. Karena semua manusia dapat mati, maka hal Karena semua manusia dapat mati, maka hal tersebut dinyatakan dengan :tersebut dinyatakan dengan :

((x) x x) x manusia, x manusia, x p(x). p(x). Kalau semesta sudah jelas, maka dapat Kalau semesta sudah jelas, maka dapat dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di bumi, maka dituliskan: (bumi, maka dituliskan: ( x) p(x). x) p(x).

Kuantor EksistensialKuantor Eksistensial Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa di

antara obyek-obyek dalam semestanya, paling antara obyek-obyek dalam semestanya, paling sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. menyatakannya.

Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, paling sedikit satupaling sedikit satu

Contoh:Contoh:(( x x D) q(x), disingkat ( D) q(x), disingkat (x) q(x) bernilai T jhj x) q(x) bernilai T jhj paling sedikit ada satu x dalam D yang paling sedikit ada satu x dalam D yang menyebabkan q(x) benar, dan hanya bernilai menyebabkan q(x) benar, dan hanya bernilai salah jika untuk semua x salah jika untuk semua x D, q(x) bernilai salah. D, q(x) bernilai salah.

Contoh (1a)Contoh (1a) Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat.Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat.

Buktikan bahwa :Buktikan bahwa :

kalimat (kalimat ( mm D) m2 = m bernilai benar. D) m2 = m bernilai benar. Penyelesaian:Penyelesaian:

Kalimat (Kalimat (x) p(x) bernilai benar bila kita dapat x) p(x) bernilai benar bila kita dapat menunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih) menunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih) yang memenuhi sifat p.yang memenuhi sifat p.

Untuk m = 1 Untuk m = 1 D, m D, m22 = 1 = 122 = 1 = m. = 1 = m.Jadi, kalimat (Jadi, kalimat ( mm D) m D) m22 = m benar untuk m = = m benar untuk m = 11Terbukti bahwa kalimat (Terbukti bahwa kalimat ( mm D) m D) m22 = m = m benar.benar.

Contoh (1b)Contoh (1b) Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat

antara 5 dan 10.antara 5 dan 10.

Buktikan bahwa :Buktikan bahwa :

kalimat (kalimat ( mm E) m E) m22 = m bernilai = m bernilai salah.salah.

Penyelesaian:Penyelesaian:

Untuk 5 Untuk 5 mm 10, 5 10, 522 = 25 = 25 5 ; 6 5 ; 622 = 36 = 36 6 ; . . 6 ; . . . ; . ; 10 1022 = 100 = 100 10 10Berarti tidak ada satupun m Berarti tidak ada satupun m E yang E yang memenuhi relasi mmemenuhi relasi m22 = m. = m.

Jadi, kalimat (Jadi, kalimat ( mm E) m E) m22 = m salah = m salah

Contoh (2)Contoh (2) Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam

bahasa sehari-haribahasa sehari-hari

a.a. (( bilangan riil x) x bilangan riil x) x22 0 0

b.b. (( bilangan riil x) x bilangan riil x) x22 -1 -1

c.c. (( bilangan bulat m) m bilangan bulat m) m22 = m = m Penyelesaian:Penyelesaian:

a. Berikut ini diberikan beberapa cara untuk a. Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya :menyatakannya :

Semua bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatifSemua bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif Setiap bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatifSetiap bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif Sembarang bilangan riil mempunyai kuadrat tak Sembarang bilangan riil mempunyai kuadrat tak

negatifnegatif x mempunyai kuadrat tak negatif untuk setiap x mempunyai kuadrat tak negatif untuk setiap

bilangan riil xbilangan riil x Kuadrat dari sembarang bilangan riil tidaklah negatif.Kuadrat dari sembarang bilangan riil tidaklah negatif.

Contoh (3)Contoh (3) Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta

pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat)pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat)a.a. ((x) xx) x22 – 2 – 2 0 0

b.b. ((x) xx) x22 – 10x + 21 = 0 – 10x + 21 = 0

c.c. ((x) xx) x22 – 10x + 21 = 0 – 10x + 21 = 0

d.d. ((x) xx) x22 – 3 = 0 – 3 = 0 Penyelesaian:Penyelesaian:

a. a. Jika x = 1 maka xJika x = 1 maka x22 – 2 = 12 – 2 = -1 < 0 – 2 = 12 – 2 = -1 < 0

Jadi, tidak semua x memenuhi xJadi, tidak semua x memenuhi x22 – 2 – 2 0 0

sehingga kalimat (a) bernilai salah.sehingga kalimat (a) bernilai salah.b. xb. x22 – 10x + 21 = 0 – 10x + 21 = 0

(x – 3)(x – 7) = 0(x – 3)(x – 7) = 0

x1 = 3 ; x2 = 7 x1 = 3 ; x2 = 7

Memang benar ada x yang memenuhi relasi xMemang benar ada x yang memenuhi relasi x22 – 10x + – 10x + 21 = 0 21 = 0 (yaitu 3 dan 7) sehingga kalimat (b) bernilai benar.(yaitu 3 dan 7) sehingga kalimat (b) bernilai benar.

Contoh (4)Contoh (4) Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan

menggunakan kuantor menggunakan kuantor dan dan a.a. Beberapa orang rajin beribadah.Beberapa orang rajin beribadah.

b.b. Semua bayi mempunyai wajah yang berbeda.Semua bayi mempunyai wajah yang berbeda.

c.c. Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar riil.riil.

d.d. Ada bilangan yang tidak riil.Ada bilangan yang tidak riil.

e.e. Tidak semua mobil mempunyai karburator.Tidak semua mobil mempunyai karburator. Penyelesaian:Penyelesaian:

a. a. Jika p(x) : “x rajin beribadah” Jika p(x) : “x rajin beribadah”

maka kalimat (a) dapat ditulis (maka kalimat (a) dapat ditulis (x) p(x).x) p(x).

c. c. Jika Jika p(x) : “x adalah bilangan negatif” p(x) : “x adalah bilangan negatif”

q(x) : “x mempunyai akar riil”q(x) : “x mempunyai akar riil”

Maka kalimat (c) dapat ditulis (Maka kalimat (c) dapat ditulis (x)(p(x) x)(p(x) q(x)). q(x)).

Contoh (4)Contoh (4) Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan

menggunakan kuantor menggunakan kuantor dan dan a.a. Beberapa orang rajin beribadah.Beberapa orang rajin beribadah.b.b. Semua bayi mempunyai wajah yang berbeda.Semua bayi mempunyai wajah yang berbeda.c.c. Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar

riil.riil.d.d. Ada bilangan yang tidak riil.Ada bilangan yang tidak riil.e.e. Tidak semua mobil mempunyai karburator.Tidak semua mobil mempunyai karburator.

Penyelesaian:Penyelesaian:d. Jika p(x) : “x adalah bilangan riil”d. Jika p(x) : “x adalah bilangan riil”

maka kalimat (d) dapat ditulis sebagai (maka kalimat (d) dapat ditulis sebagai (x) x) p(x).p(x). e. e. Jika q(y) = “mobil y mempunyai karburator”Jika q(y) = “mobil y mempunyai karburator”

Maka kalimat (e) dapat ditulis sebagai Maka kalimat (e) dapat ditulis sebagai ((((y) y) q(y)).q(y)).

atau kalimat (e) dapat ditulis sebagai (atau kalimat (e) dapat ditulis sebagai (y) y) q(y). q(y).

Ingkaran Kalimat Ingkaran Kalimat BerkuantorBerkuantor

Secara umum:Secara umum:– Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)”

adalah :adalah :

““Ada x yang tidak bersifat p(x)”, Ada x yang tidak bersifat p(x)”, – Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)” Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)”

adalah :adalah :

““Semua x tidak bersifat q(x)”. Semua x tidak bersifat q(x)”. Secara formal:Secara formal:

((((x x D) p(x)) D) p(x)) ( (x x D) D) p(x) p(x) ((((x x D) q(x)) D) q(x)) ( (x x D) D) q(x) q(x)

Contoh (5a)Contoh (5a) Tulislah ingkaran kalimat-kalimat berikut ini :Tulislah ingkaran kalimat-kalimat berikut ini :

a.a. Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga xhingga x2 2 = 9= 9

Penyelesaian:Penyelesaian:Untuk lebih memudahkan penyelesaian, terlebih dahulu kalimat ditulis ulang dengan menggunakan kuantor, kemudian barulah dituliskan ingkarannya.a. a. Kalimat mula-mulaKalimat mula-mula :: ((x x bulat) x bulat) x22 = 9 = 9

IngkaranIngkaran : : ((x x bulat) x bulat) x22 9 9Atau :Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama

dengan 9.dengan 9.

Contoh (5b - e)Contoh (5b - e) Tulislah ingkaran kalimat-kalimat berikut ini :Tulislah ingkaran kalimat-kalimat berikut ini :

b.b. Semua dinosaurus telah musnah.Semua dinosaurus telah musnah.c.c. Tidak ada ahli matematika yang malas.Tidak ada ahli matematika yang malas.d.d. Beberapa bilangan riil adalah rasional.Beberapa bilangan riil adalah rasional.e.e. Semua program COBOL mempunyai panjang lebih dari Semua program COBOL mempunyai panjang lebih dari

20 baris.20 baris. Penyelesaian:Penyelesaian:

b. b. Kalimat mula-mulaKalimat mula-mula : (: (x x Dinosaurus) (x telah musnah) Dinosaurus) (x telah musnah) IngkaranIngkaran : (: (x x Dinosaurus) (x belum Dinosaurus) (x belum

musnah) musnah) Atau :Atau : Ada dinosaurus yang belum musnah. Ada dinosaurus yang belum musnah.

c. c. Kalimat mula-mulaKalimat mula-mula : : “Semua ahli matematika tidak malas” atau “Semua ahli matematika tidak malas” atau ((x x ahli matematika) (x tidak malas) ahli matematika) (x tidak malas)

IngkaranIngkaran : : ((x x ahli matematika) (x malas) ahli matematika) (x malas) Atau :Atau : Ada ahli matematika yang malas. Ada ahli matematika yang malas.

d. d. Kalimat mula-mulaKalimat mula-mula : : ((x x Riil) (x = Rasional) Riil) (x = Rasional) IngkaranIngkaran : : ((x x Riil) (x Riil) (x Rasional) Rasional) Atau :Atau : Semua bilangan riil tidak rasional.Semua bilangan riil tidak rasional.

e. e. Kalimat mula-mulaKalimat mula-mula : (: (x x program COBOL) (panjang x > 20 baris) program COBOL) (panjang x > 20 baris)IngkaranIngkaran : (: (x x program COBOL) (panjang x program COBOL) (panjang x 20 20

baris)baris)Atau : Atau : Ada program COBOL yang panjangnya kurang dari atau sama Ada program COBOL yang panjangnya kurang dari atau sama

dengan dengan 20 baris 20 baris

Contoh (6a)Contoh (6a) Tulislah kalimat-kalimat di bawah ini dalam simbol Tulislah kalimat-kalimat di bawah ini dalam simbol

logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat)(semestanya adalah himpunan bilangan bulat)

a.a. Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka xUntuk setiap x, jika x bilangan genap maka x2 2 + + x juga genapx juga genap

Penyelesaian:Penyelesaian:Misalkan Z : himpunan bilangan bulatMisal p(x) : x bilangan genap

q(x) : x2 + x bilangan genapKalimat mula-mula : (x z) (p(x) q(x))Ingkaran : (x Z) (p(x) q(x))

= (x Z) (p(x) q(x))= (x Z) (p(x) q(x))

Atau : “Ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan genap tetapi x2 + x bukan genap”

Contoh (6e)Contoh (6e) Tulislah kalimat-kalimat di bawah ini dalam simbol Tulislah kalimat-kalimat di bawah ini dalam simbol

logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat)(semestanya adalah himpunan bilangan bulat)

e.e. Tidak ada x sedemikian sehingga x bilangan Tidak ada x sedemikian sehingga x bilangan prima dan (x+6) bilangan primaprima dan (x+6) bilangan prima

Penyelesaian:Penyelesaian:Kalimat : “Tidak ada x yang bersifat P” ekuivalen dengan kalimat : “Semua x tidak bersifat P”Misal p(x) : x bilangan prima

q(x) : x + 6 bilangan primaKalimat mula-mula : (x Z) (p(x) q(x))Ingkaran : (x Z) {(p(x) q(x))}

= (x Z) (p(x) q(x)) “Terdapatlah suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x bilangan prima dan x + 6 juga bilangan prima”

Kalimat Berkuantor GandaKalimat Berkuantor Ganda

Menambahkan beberapa kuantor Menambahkan beberapa kuantor sekaligus pada kalimat yang sekaligus pada kalimat yang sama. sama.

Contoh (7)Contoh (7) Nyatakan kalimat di bawah ini dengan Nyatakan kalimat di bawah ini dengan

menggunakan kuantor !menggunakan kuantor !a)a) Ada bintang film yang disukai oleh semua orangAda bintang film yang disukai oleh semua orang

b)b) Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah bilangan positif lain yang lebih kecil darinyabilangan positif lain yang lebih kecil darinya

Penyelesaian Contoh (7a)Penyelesaian Contoh (7a)

a)a) Ada bintang film yang disukai oleh semua Ada bintang film yang disukai oleh semua orangorang

Misalkan :Misalkan : semestanya adalah himpunan semua semestanya adalah himpunan semua

manusia manusia p(x,y) = y menyukai x. p(x,y) = y menyukai x. Maka kalimat dapat dituliskan sebagai Maka kalimat dapat dituliskan sebagai

((x)(x)(y) p(x,y).y) p(x,y).

Penyelesaian Contoh (7b)Penyelesaian Contoh (7b)

b)b) Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah bilangan positif lain yang lebih kecil darinyabilangan positif lain yang lebih kecil darinya

Kalimat mula-mula bisa dinyatakan Kalimat mula-mula bisa dinyatakan sebagai : “Untuk setiap bilangan positif x, sebagai : “Untuk setiap bilangan positif x, terdapatlah bilangan positif y sedemikian terdapatlah bilangan positif y sedemikian hingga y < x”.hingga y < x”.

Dalam simbolik logika : Dalam simbolik logika : (( bilangan positif x)( bilangan positif x)( bilangan positif y) y < x. bilangan positif y) y < x.

Jika semestanya bilangan riil, kalimat Jika semestanya bilangan riil, kalimat tersebut menyatakan bahwa tidak ada tersebut menyatakan bahwa tidak ada bilangan riil positif yang terkecil.bilangan riil positif yang terkecil.

Penggunaan Kuantor GandaPenggunaan Kuantor Ganda

Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan 2 kuantor 2 kuantor dan dan dalam 2 variabel x dan dalam 2 variabel x dan y, masing-masing adalah :y, masing-masing adalah :– ((x)(x)(y), (y), (y)(y)(x), (x), (x)(x)(y), (y), (y)(y)(x), x), – ((x)(x)(y), (y), (y)(y)(x), (x), (y)(y)(x), (x), (x)(x)(y). y).

Jika semua kuantornya sama, maka urutan Jika semua kuantornya sama, maka urutan penulisan kuantor-kuantor itu bisa dibalik. penulisan kuantor-kuantor itu bisa dibalik. Akan tetapi, jika kuantornya berbeda, Akan tetapi, jika kuantornya berbeda, urutan penulisannya tidak selalu dapat urutan penulisannya tidak selalu dapat

dibalik.dibalik.

Contoh (8)Contoh (8)

Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x”Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x” Nyatakan arti simbol logika di bawah Nyatakan arti simbol logika di bawah

ini dalam bahasa sehari-hari dan ini dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya.tentukan nilai kebenarannya.

– ((x) (x) (y) p(x,y)y) p(x,y)– ((y) (y) (x) p(x,y)x) p(x,y)

Penyelesaian Contoh (8)Penyelesaian Contoh (8)

a)a) Untuk setiap orang x, terdapatlah Untuk setiap orang x, terdapatlah seorang y sedemikan, hingga y adalah seorang y sedemikan, hingga y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : setiap ibu dari x. Dengan kata lain : setiap orang mempunyai ibu. (nilai orang mempunyai ibu. (nilai kebenarannya : benar)kebenarannya : benar)

b)b) Terdapatlah seorang y sehingga untuk Terdapatlah seorang y sehingga untuk semua orang x, y adalah ibu dari x. semua orang x, y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : Ada seseorang yang Dengan kata lain : Ada seseorang yang merupakan ibu dari semua orang di merupakan ibu dari semua orang di dunia ini. (nilai kebenarannya: salah)dunia ini. (nilai kebenarannya: salah)

Penempatan Kuantor GandaPenempatan Kuantor Ganda

Secara umum, hubungan antara Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :sebagai berikut :– ((x)(x)(y) p(x,y) y) p(x,y) ((y)(y)(x) p(x,y)x) p(x,y)– ((x)(x)(y) p(x,y)y) p(x,y) ((y)(y)(x) p(x,y)x) p(x,y)– ((x)(x)(y) p(x,y)y) p(x,y) ((y)(y)(x) p(x,y)x) p(x,y)

Ingkaran Kalimat Berkuantor Ingkaran Kalimat Berkuantor GandaGanda

Secara formal:Secara formal:– { ({ (x)(x)(y) p(x,y) }y) p(x,y) } ( (x)(x)(y) y)

p(x,y)p(x,y)– { ({ (x)(x)(y) p(x,y) }y) p(x,y) } ((x)(x)(y) y)

p(x,y)p(x,y)

Contoh (9)Contoh (9)

Apakah ingkaran kalimat berikut ini ?Apakah ingkaran kalimat berikut ini ?a.a. (( bilangan bulat n) ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n = 2k bilangan bulat k) n = 2k

Atau : Semua bilangan bulat adalah bilangan Atau : Semua bilangan bulat adalah bilangan genap.genap.

b.b. (( masalah P) ( masalah P) ( program komputer C) C tidak program komputer C) C tidak dapat menyelesaikan P.dapat menyelesaikan P.

Atau : Ada suatu masalah yang tidak dapat Atau : Ada suatu masalah yang tidak dapat diselesaikan oleh semua program komputer.diselesaikan oleh semua program komputer.

Penyelesaian Contoh (9)Penyelesaian Contoh (9)

a.a. Ingkaran : (Ingkaran : ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat n) ( bilangan bilangan bulat k) n bulat k) n 2k. 2k.

– Atau : Ada bilangan bulat yang tidak sama dengan Atau : Ada bilangan bulat yang tidak sama dengan 2 kali bilangan bulat lain.2 kali bilangan bulat lain.

– Dengan kata lain : Ada bilangan bulat yang tidak Dengan kata lain : Ada bilangan bulat yang tidak genapgenap

b.b. Ingkaran : (Ingkaran : ( masalah P) ( masalah P) ( program program komputer C) C dapat menyelesaikan P.komputer C) C dapat menyelesaikan P.

– Atau : Semua masalah dapat diselesaikan dengan Atau : Semua masalah dapat diselesaikan dengan program komputer.program komputer.

Aplikasi Logika Matematika Aplikasi Logika Matematika dalam Bahasa dalam Bahasa PemrogramanPemrograman

Logika matematika banyak Logika matematika banyak digunakan dalam program-digunakan dalam program-program logika, seperti bahasa program logika, seperti bahasa Prolog.Prolog.

Pelacakan program dalam bahasa Pelacakan program dalam bahasa Prolog dilakukan secara analog Prolog dilakukan secara analog dengan penelusuran logika.dengan penelusuran logika.

Contoh (10)Contoh (10)

Contoh (10)Contoh (10) Statemen di bawah ini menggambarkan Statemen di bawah ini menggambarkan

keadaan tumpukan kotak dan warnanya keadaan tumpukan kotak dan warnanya dalam bahasa Prolog:dalam bahasa Prolog:

Atas (g, b1); Warna (g, abu-abu); Warna (b1, biru)Atas (g, b1); Warna (g, abu-abu); Warna (b1, biru)

Atas (b1, w1); Warna (b2, biru); Atas (b1, w1); Warna (b2, biru); Warna (b3, biru)Warna (b3, biru)

Atas (w2, b2); Warna (w1, putih); Atas (w2, b2); Warna (w1, putih); Warna (w2, Warna (w2, putih)putih)

Atas (b2, b3)Atas (b2, b3)

Atas (x, z) if Atas (x,y) and Atas (y,z)Atas (x, z) if Atas (x,y) and Atas (y,z)

Contoh (10)Contoh (10) Statemen di bawah ini menggambarkan Statemen di bawah ini menggambarkan

keadaan tumpukan kotak dan warnanya dalam keadaan tumpukan kotak dan warnanya dalam bahasa Prolog:bahasa Prolog:

Atas (g, b1); Warna (g, abu-abu); Warna (b1, biru)Atas (g, b1); Warna (g, abu-abu); Warna (b1, biru)

Atas (b1, w1); Warna (b2, biru); Atas (b1, w1); Warna (b2, biru); Warna (b3, biru)Warna (b3, biru)

Atas (w2, b2); Warna (w1, putih); Atas (w2, b2); Warna (w1, putih); Warna (w2, putih)Warna (w2, putih)

Atas (b2, b3)Atas (b2, b3)

Atas (x, z) if Atas (x,y) and Atas (y,z) analog dengan:Atas (x, z) if Atas (x,y) and Atas (y,z) analog dengan:

(Atas(x,y)) (Atas(x,y)) (Atas(y,z)) (Atas(y,z)) Atas(x,z) Atas(x,z) Apakah jawaban program terhadap pertanyaan-Apakah jawaban program terhadap pertanyaan-

pertanyaan di bawah ini ?pertanyaan di bawah ini ?– ?Warna(b1,biru)?Warna(b1,biru)– ?Atas(x,w1)?Atas(x,w1)

Penyelesaian Contoh (10a)Penyelesaian Contoh (10a)

Apakah jawaban program terhadap Apakah jawaban program terhadap pertanyaan-pertanyaan di bawah ini ?pertanyaan-pertanyaan di bawah ini ?

– ?Warna(b1,biru)?Warna(b1,biru) Prolog akan melacak jawaban pertanyaan Prolog akan melacak jawaban pertanyaan

berdasarkan fakta-fakta yang ada :berdasarkan fakta-fakta yang ada :– Jawaban “yes” karena sesuai dengan fakta (b1 Jawaban “yes” karena sesuai dengan fakta (b1

berwarna biru).berwarna biru).

Penyelesaian Contoh (10b)Penyelesaian Contoh (10b) Apakah jawaban program terhadap pertanyaan-Apakah jawaban program terhadap pertanyaan-

pertanyaan di bawah ini ?pertanyaan di bawah ini ?– ?Atas(x,w1)?Atas(x,w1)

Prolog akan melacak jawaban pertanyaan Prolog akan melacak jawaban pertanyaan berdasarkan fakta-fakta yang ada :berdasarkan fakta-fakta yang ada :

– Program menanyakan, untuk blok x yang manakah Program menanyakan, untuk blok x yang manakah sehingga predikat “x di atas w1” bernilai benar.sehingga predikat “x di atas w1” bernilai benar.

– Jawaban yang dikeluarkan adalah x = b1 dan x = gJawaban yang dikeluarkan adalah x = b1 dan x = g– Jawaban x = b1 didapat dari kenyataan secara langsung Jawaban x = b1 didapat dari kenyataan secara langsung

pada blok Atas(b1,w1).pada blok Atas(b1,w1).– Jawaban x = g didapat dari statemen :Jawaban x = g didapat dari statemen :

Atas (g,b1)Atas (g,b1) Atas (b1,w1), sertaAtas (b1,w1), serta Atas (x,z) if Atas(x,y) and Atas(y,z)Atas (x,z) if Atas(x,y) and Atas(y,z)

END OF TOPIC 1END OF TOPIC 1

LOGIKALOGIKA