Jurnal Matematika “L O G -...

.

Jurnal Matematika “L O G ! K @” ISSN 1978 – 8568

Volume 6, Nomor 1, Januari 2016

Terbit dua kali setahun pada bulan Januari dan Juli. Berisi tulisan yang diangkat dari hasil

pemikiran dan hasil penelitian di bidang matematika.

Penanggungjawab

Nina Fitriyati

Penelaah (Mitra Bestari)

Agus Salim (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta), Hengki Tasman

(Universitas Indonesia), Subanar (Universitas Gajah Mada Yogyakarta), Nuning Nuraini

(Institut Teknologi Bandung), Hardi Suyitno (Universitas Negeri Semarang), Slamin

(Universitas Jember), Fatmawati (Universitas Airlangga), Adhitya Ronnie Effendi

(Universitas Gajah Mada Yogyakarta), Ardhasena Sopaheluwakan (BMKG), Pardomuan

Sitompul (Universitas Negeri Medan).

Penyunting

Nur Inayah

Desain Grafis

Irma Fauziah

Kesekretariatan

Yanne Irene

Alamat Penyunting dan Tata Usaha : Pusat Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Jakarta Jl. Ir. H. Juanda No. 95 Ciputat Jakarta 15412, Telepon

0818269377 atau 082118429870, Fax. (021)7493315, Email: [email protected].

Website: math.fst.uinjkt.ac.id.

Jurnal Matematika Log!k@ diterbitkan sejak 1 Juli 2008 oleh Pusat Studi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

Penyunting menerima sumbangan tulisan yang belum pernah diterbitkan dalam media lain.

Naskah diketik diatas kertas A4 spasi satu sebanyak 13 halaman, dengan format tercantum

pada FORMAT PENULISAN NASKAH Jurnal Matematika “LOG!K@” di bagian belakang

jurnal ini. Naskah yang masuk dievaluasi dan disunting untuk keseragaman format, istilah,

dan penulisan lainnya.

mailto:[email protected]

.



KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Alhamdulillahi Robbil ‘Alamin dengan pertolongan Ilahi Rabbi, Jurnal Matematika

LOG!K@ Volume 6 Nomor 1 dapat terbit pada Bulan Januari 2016. Sesuai dengan visi

Program Studi Matematika, yakni menjadi pusat keunggulan dan pengembangan matematika

maka jurnal ini hadir untuk menambah wawasan dan aplikasi dari berbagai bidang ilmu

matematika. Jurnal Log!k@ diharapkan dapat menjadi wadah aspirasi dan informasi dari

berbagai hasil penelitian dan hasil pemikiran dari seluruh civitas akademika UIN Syarif

Hidayatullah Jakarta pada khususnya dan matematikawan Indonesia pada umumnya.

Jurnal Matematika LOG!K@ menyajikan beberapa topik yang berkaitan dengan

Matematika Murni, Komputasi, Statistika, Matematika Keuangan dan Riset Operasi, dengan

tidak menutup kemungkinan munculnya beberapa penelitian di bidang matematika yang lain.

Beberapa bidang yang muncul dalam edisi ini antara lain dalam bidang statistika, aljabar,

graf, komputasi, dan lain-lain.

Akhirulkalam, penyunting memberikan apresiasi yang tinggi kepada para penulis

naskah, penyunting dan juga pelanggan yang terus berkarya dan turut menghidupkan jurnal.

Secara sangat khusus, kami menyampaikan penghargaan setinggi-tingginya dan terima kasih

sebesar-besarnya kepada para Penyunting Ahli atau Mitra Bestari yang kesetiaannya kepada

tugas-tugas kemitrabestarian sungguh sangat mengagumkan. Mudah-mudahan peran mereka

dapat semakin membesarkan Jurnal Matematika LOG!K@ di masa mendatang.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Penyunting

.



DAFTAR ISI

Pengenalan Lafal Hukum Nun Mati menggunakan Hidden Markov Model 1 – 10 Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda, dan Rini Cahyandari (Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung)

Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung 11 – 22 Afo Rakaiwa dan Suma’inna (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah

Jakarta)

Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 ∪ Pn 23 – 31 Yanne Irene (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)

Prediksi Pergerakan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Serikat 32 – 41 Menggunakan Hidden Markov Model Mahmudi dan Ardi (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)

Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn 42 – 52 Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)

Optimasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah menggunakan Firefly 53 – 61 Algorithm Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)

Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U 62 – 70 Gustina Elfiyanti (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)

Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi 71 – 82 Pelabelan Graf Anti Ajaib Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)

Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 1 - 10

ISSN 1978 – 8568

PENGENALAN LAFAL HUKUM NUN MATI

MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV MODEL

Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda, dan Rini Sahyandari

Program Studi Matematika UIN Sunan Gunung Djati Bandung

Email: [email protected]

Abstract: Reading the Qur'an obligatory for every Muslim, as the word of Allah

QS Al-Ankabut: 45. Additionally, the Qur'an has rules in reading. This rules

relating to the pronunciation of the letter and recitation. The world of technology is

growing so rapidly. One was the discovery of the speech recognition system in

which a machine can understand the information conveyed by the human voice.

Many methods are used in speech recognition systems: feature extraction or

recognition method. Feature extraction methods are often used is Mel Frequency

Cepstral Coeficient (MFCC). This method combines the linear and nonlinear

because of human auditory perception are not on a linear scale in the form of

frequency but measured in the form of mel-frequency scale. In the feature

extraction stage, the sound signal is formed into a characteristic vectors. Therefore,

in the next stage, it will be in the feature vector quantization or mapped into a

codeword and collected into a set of codebook. Codebook is then used in the

training process of the HMM models. In the HMM training process, the parameters

of transition opportunities (A), opportunities of initialization (π), and observation

opportunities (B) counted and selected the best parameters to form an optimum

model and then this model will be used in the classification process. In this study,

we apply the Hidden Markov Model (HMM) to recognize the nun mati law

pronounciation. The best model in our experiment is obtained when the codebook

are M = 128 and state S = 6 with 51,7% accuracy rate.

Keywords: Speech Recognition, Feature Extraction, MFCC, HMM, Vector

Quantization

Abstrak: Membaca Al-Qur’an wajib bagi setiap umat muslim sebagaimana firman

Allah SWT Q.S. Al-Ankabut ayat 45. Selain itu, Al-Qur’an mempunyai aturan

dalam membacanya. Aturan tersebut berhubungan dengan pelafalan huruf atau

makhrojul huruf dan hokum tajwid. Dunia teknologi berkembang begitu pesat.

Salah satunya penemuan sistem pengenalan suara dimana sebuah mesin dapat

memahami informasi yang disampaikan oleh manusia melalui suara. Banyak

metode yang digunakan pada sistem pengenalan suara baik itu metode ekstraksi ciri

ataupun metode pengenalannya. Metode ekstraksi ciri yang sering dipakai adalah

Mel Frequency Cepstral Coefficient (MFCC). Metode ini menggabungkan cara

linier dan non linier. Hal ini disebabkan oleh persepsi pendengaran manusia yang

tidak berada pada skala linier dalam bentuk frekuensi melainkan diukur dalam

bentuk skala frekuensi mel. Pada tahap ekstraksi ciri ini sinyal suara dibentuk

menjadi vektor-vektor ciri, kemudian pada tahap berikutnya vektor ciri ini akan

dikuantisasi atau dipetakan menjadi codeword dan dikumpulkan menjadi codebook.

Codebook ini kemudian digunakan pada proses pelatihan model Hidden Markov

Model (HMM). Pada proses pelatihan HMM, parameter peluang transisi (A),

peluang inisialisasi (), dan peluang observasi (B) dihitung dan di cari parameter

yang palik baik sehingga membentuk sebuah model yang optimum. Kemudian

model ini digunakan pada proses kualifikasi. Pada penelitian ini diterapkan metode

HMM pada pengenalan lafal hokum nun mati. Model terbaik didapat pada


Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda dan Rini Sahyandari

2

percobaan yang dilakukan adalah pada saat besar codebook M=128 dan banyak

state S=6 dengan tingkat akurasi 51,7%.

Kata Kunci: Pengenalan Suara, Ekstraksi Ciri, Mel Frequency Cepstral Coefficent

(MFCC), Hidden Markov Model, Kuantisasi Vektor

1. PENDAHULUAN

Al-Qur’an merupakan kitab umat islam dan wajib dibaca bagi setiap muslim. Sebagai

mana firman Allah SWT :

Artinya: “Bacalah apa yang telah diwahyukan kepadamu, yaitu Al-Kitab (Al-Qur’an) dan

dirikanlah shalat” (Q.S. Al-Ankabut :45).

Berbeda dengan bacaan lainnya, Al-Qur’an memiliki aturan dalam membacanya. Firman

Allah SWT :

Artinya: “Atau lebih dari seperdua itu, dan bacalah Al-Qur’an itu dengan tartil” (Q.S. Al-

Muzzammil:4).

Pada ayat di atas Allah SWT memerintahkan setiap muslim untuk membaca A-Qur’an

dengan tartil. Secara umum tartil dapat diartikan perlahan-lahan dan tidak tergesa-gesa. Ilmu

yang mempelajari aturan dalam membaca Al-Qur’an adalah tajwid. Banyak orang yang belum

menerapkan tajwid dalam membaca Al-qur’an padahal menurut Imam Ibnu al-Jazari

membaca Al-qur’an tidak dengan tajwidnya itu adalah dosa karena Allah SWT menurunkan

Al-Qur’an dengan tajwidnya.

Pada jaman sekarang ini teknologi berkembang dengan pesat. Teknologi banyak

membantu manusia dalam menyelesaikan masalah. Salah satu nya adalah teknologi

pengenalan suara yang sudah banyak digunakan orang untuk menggali informasi dari suara.

Untuk mendapatkan sistem pengenalan suara yang baik dibutuhkan metode ekstraksi ciri dan

klasifikasi yang baik. Suara merupakan sebuah data yang berorientasi pada waktu. Hidden

Markov Model (HMM) merupakan proses probabilistik yang juga berorientasi pada waktu

dan bisa digunakan untuk klasifikasi. HMM terdapat pada hampir semua sistem pengenalan

suara dan merupakan metode yang baik dalam klasifikasi sinyal suara [1]. Berhubungan

dengan kasus pada pembacaan Al-Qur’an teknologi pengenalan suara bisa digunakan untuk

mengenali pelafalan huruf hijaiyah dan hukum-hukum tajwid. Pada makalah ini HMM akan

digunakan sebagai metode untuk mengklasifikasi atau mengenali lafal hukum nun mati.

2. PENGENALAN SUARA

Pengenalan sinyal suara merupakan suatu proses dimana suara yang dihasilkan oleh

pembicara direkam oleh computer, kemudian sinyal suara yang berbentuk sinyal analog

dirubah menjadi sinyal digital agar bisa diproses kemudian di indentifikasi. Sinya suara

Pengenalan Lafal Hukum Nun Mati menggunakan Hidden Markov Model

3

biasanya di identifikasi apa yang diucakan yang biasa disebut speech recognition atau di

identifikasi siapa yang mengucapkan yang biasa disebut speaker recognition.

Pada penelitian ini penulis mencoba untuk mengidentifikasi apa yang diucapkan.

Ucapan yang dikenal adalah pelafalan hukum nun mati. Berikut adalah alur dari sistem yang

dibuat:

Gambar 1. Desain Sistem

Setiap data masukan diekstraksi ciri menggunakan ekstraksi ciri MFCC. Data penelitian

akan masuk ketahap pelatihan. Data dimodelkan dengan basis HMM yaitu data masukan

dikuantisasi bedasarkan codebook yang dibuat sebelumnya . Kemudan data pelatihan dilatih

menggunakan algoritma baum-welch. Hasil pelatihan dari HMM ini adalah model-model

HMM. Model-model ini disimpan sebagai dictionary pada proses pengenalan. Data yang

merupakan data pengujian akan masuk pada proses pengujian dan dikuantisasi berdasarkan

codebook. Kemudian masuk proses pengenalan suara menggunakan algoritma forward

berdasarkan model yang dihasilkan dari proses pelatihan. Hasil dari pengenalan ini adalah

tulisan berdasarkan kelas yang dikenali oleh sistem.

3. EKSTRAKSI FITUR

Ekstraksi fitur merupakan suatu proses untuk mengkstraksi informasi inti dari sebuah

sinyal suara. Ekstraksi fitur ini bertujuan agar sinyal mudah dikenali pada saat proses

pengenalan suara oleh sistem. Langkah-langkah utama dari ekstraksi fitur adalah

preprocessing, frame blocking and windowing, ekstraksi fitur, dan post processing [2].

Gambar 2. Bagan proses utama ekstraksi fitur.

Dari sampel sinyal suara menghasilkan vektor ciri , dengan

dan , artinya terdapat M vektor dengan ukuran masing-masing vektor

sebesar N.

3.1. PREPROCESSING

Preprocessing adalah langkah pertama untuk membuat vektor ciri. Tujuan dari

preprocessing adalah untuk memodifikasi sinyal suara, , sehingga akan lebih mudah


4

untuk dianalisis. Hal yang biasanya dilakukan pada preprocessing diantaranya, noise

cancelling, preemphasis, Voice Activation Detection (VAD)

3.2. FRAME BLOCKING DAN WINDOWING

Selanjutnya adalah membagi sinyal suara ke dalam frame-frame suara dan dilakukan

windowing untuk setiap framenya. Setiap frame mempunyai panjang K sampel, dengan

frames yang berdekatan dipisahkan oleh P sampel [2].

Gambar 3. Frame Blocking

Biasanya nilai untuk K dan P adalah 320 sampel dan 100 sampel koresponden dengan

20 ms frame, dipisahkan oleh 6.25 ms dengan sampling rate dari suara 16 KHz [2].

Selanjutnya yang harus dilakukan adalah windowing setiap frame dengan tujuan agar

mengurangi diskontinuitas sinyal di kedua ujung blok. Windowing yang biasa digunakan

adalah Hamming Window yang dihitung sebagai berikut [2]:

Maka hasil dari windowing-nya adalah:

dengan adalah sinyal suara sebelum windowing, dengan adalah panjang frame dan

dalah frame ke-m.

3.3. MEL FILTER BANK

Bagian ini adalah satu bagian yang paling penting yaitu untuk mendapatkan informasi yang

relevan dari blok ucapan. Banyak metode yang digunakan pada tahap ini. Namun, pada

penelitian ini digunakan metode Mel Frequency Cepstral Coefficient (MFCC). Pada metode

MFCC sinyal yang telah melalui proses frame blocking dan windowing kemudian dihitung

koefisien mel cepstrum dari sinyal tersebut dengan menggunaan rumus sebagai berikut [2]:

(2)

(1)


5

dengan N merupakan panjang frame, adalah koefisien mel cepstrum ke-k.

adalah sebuah filter triangular. Untuk mendapatkan filter triangular kita harus

mengubah suara dengan frekuensi Hz menjadi frekuensi mel (Fmel). Persepsi manusia untuk

sinyal suara tidak mengikuti skala linier. Jadi untuk suara dengan frekuensi yang sebenarnya

diukur dalam Hz. Skala frekuensi mel merupakan frekuensi linier dengan batas bawah 1000

Hz dan logaritmik dengan batas atas 1000 Hz. 1 Hz biasanya dikatakan juga 1000 mels.

Sebagai transformasi frekuensi nonlinier, rumus berikut digunakan [2];

Setelah frekuensi mel (Gambar 6) didapat kemudian dibagi menjadi K bagian. Setelah

membaginya menjadi K bagian sekarang kita bisa menemukan triangular filter dengan

menghitung sebagai berikut [2]:

(a)

(b)

Gambar 4. (a) Skala Mel, (b) Mel Scale filter bank.

Setelah koefisien spektrum mel dihitung tahap selanjutnya adalah Discrete Cosine Transform

(DCT). Pada tahap ini akan dikonversi spektrum mel ke dalam domain waktu. DCT ini sama

dengan IFFT atau invers dari FFT. Hasilnya adalah :

dengan

(3)

(4)

(5)

(6)


6

3.4. POSTPROCESSING

Langkah terakhir dari proses ekstraksi fitur adalah postprocessing. Pada proses ini

biasanya suara dinormalisasi, yaitu dengan mengurangi sampel suara dengan rata-rata (

dari 2] seluruh sampel suara, atau bisa dirumuskan sebagai berikut [2]:

dengan M adalah banyak frame untuk cepstrum ke-n. Sampel suara dinormaslisasi dengan

cara [2]:

dengan adalah cepstrum sebelum normalisasi hasil dari DCT dan adalah

cepstrum hasil normalisasi.

4. HIDDEN MARKOV MODEL

Markov model adalah salah satu metode probabilistik yang digunakan untuk

memprediksi kejadian berikutnya berdasarkan kejadian sebelumnya atau yang biasa disebut

dengan rantai markov dimana kejadian sebelumnya teramati. Misalkan, terdapat N kejadian

(q) yang berbeda dengan setiap kejadiannya memiliki indeks waktu atau

kejadian kejadian-kejadian itu biasa dinotasikan dengan . Kejadian-kejadian tersebut

dihubungkan dengan peluang transisi. Rantai markov didefinisikan sebagai berikut :

Persamaan di atas biasa disebut juga dengan first order markov assumption. Peluang transisi

biasanya dinotasikan dengan , atau bisa ditulis juga sebagai berikut :

dimana memenuhi sifat peluang, yaitu :

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)


7

atau bisa dituliskan dalam sebuah matriks :

Selain itu, pada rantai markov terdapat kejadian awal yang disebut dengan initial state.

Kejadian awal ini biasa didefinisikan sebagai suatu vektor :

Contoh penerapan metode ini adalah pada kasus cuaca. Misalkan suatu hari terjadi cuaca yang

bisa kita amati seperti pada gambar 6.

Dengan model pada gambar 6 kita bisa memprediksi urutan cuaca yang terjadi. Misalkan,

terdapat urutan kejadian pada 6 hari berturut-turut sebagai berikut :

Maka peluang cuaca pada hari ke-7 sebagai berikut :

Hidden Markov Model (HMM) atau model markov tersembunyi adalah model markov

dengan asumsi bahwa kita tidak mengetahui kejadian yang terjadi tapi bisa memprediksi

dengan melihat fenomena yang terjadi. Contohnya adalah pada kasus cuaca sebelumnya,

ketika kita berada di dalam ruangan kita tidak bisa mengetahui cuaca diluar. Tetapi, kita bisa

mengetahuinya dengan melihat fenomena yang terjadi. Misalnya, dengan melihat orang yang

masuk ke ruangan apakah memakai paying atau tidak. Gambar 7 adalah arsitektur dari HMM.

Gambar 6. Model markov pada kejadian cuaca dengan state: 1: berawan, 2: cerah, 3: hujan

4: berangin [5].

(14)

(15)


8

Gambar 7. Arsitektur HMM [8].

B merupakan peluang kemunculan peubah yang terobservasi pada suatu state. Sedangkan Y

merepresentasikan notasi untuk nilai teramati pada waktu t. Suatu HMM dapat dilambangkan

dengan :

HMM memiliki tiga masalah mendasar, yaitu [6]:

1. Mencari P(O|), peluang dari barisan observasi jika diberikan HMM;

. Peluang ini dapat ditentukan secara induksi dengan menggunakan algoritma

forward.

2. Mencari barisan state yang optimal jika diberikan barisan observasi

dan model . Barisan state terbaik yang akan ditentukan

yaitu berupa lintasan tunggal yang mungkin. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan

algoritma viterbi.

Mengatur parameter model agar P(O|) maksimum jika diberikan sebuah

HMM, , dan barisan obserbasi O. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan algoritma

Baum-Welch.

5. KUANTISASI VEKTOR

Kuantisasi adalah proses aproksimasi sinyal ampitudo kontinyu dengan simbol diskrit.

Kuantisasi dari nilai sinyal tunggal atau parameter disebut kuantisasi skalar. Sebaliknya,

kuantisasi gabungan beberapa nilai sinyal atau parameter disebut kuantisasi vector. Sebuah

quantizer vektor digambarkan oleh codebook, yang merupakan himpunan vektor prototipe

tetap atau vektor reproduksi. Masing-masing vector prototipe ini juga disebut sebagai

codeword. Untuk melakukan proses kuantisasi, vektor masukan adalah pencocokkan ulang

codeword di codebook menggunakan beberapa ukuran distorsi. Vektor masukan kemudian

digantikan oleh indeks dari codeword dengan distorsi terkecil. Oleh karena itu, deskripsi dari

proses kuantisasi vektor meliputi [10]:

a. Mengukur distorsi,

(16)


9

b. Generasi setiap codeword di codebook.

Karena vektor diganti dengan indeks dari codeword dengan distorsi terkecil, data yang

dikirimkan dapat dipulihkan hanya dengan mengganti urutan indeks kode dengan urutan

codeword yang sesuai. Ini pasti menyebabkan distorsi antara data asli dan data yang

ditransmisikan. Bagaimana untuk meminimalkan distorsi demikian tujuan utama vektor

kuantisasi. Bagian ini menjelaskan beberapa tindakan distorsi yang paling umum. Ada

beberapa algoritma yang digunakan pada proses vektor kuantisasi, yaitu k-means dan LBG.

Pada percobaan ini digunakan algoritma LBG.

6. HASIL DAN ANALISIS PERCOBAAN

Pada penelitian ini dilakukan percobaan pengenalan lafal hukum nun mati dengan

menggunakan data suara dari 5 orang pembicara. Setiap pembicara mengucapkan 28 lafazh

yang merupakan potongan ayat dalam Al-Qur’an yang mengandung hukum nun mati. 1 lafazh

diucapkan sebanyak 5 kali. Sample rate yang dipilih adalah 11025 Hz. Format data suara

yang hasil perekaman adalah wav.

Data penelitian dibagi menjadi dua bagian, yaitu data pelatihan dan data pengujian. Data

pelatihan digunakan untuk melatih sistem, sedangkan data pengujian digunakan untuk

menguji tingkat pengenalan sistem. Adapun persentase pembagian data pelatihan dan data

pengujian ditentukan berdasarkan hasil percobaan dengan hasil terbaik.

Gambar 8. (a) Alur proses pelatihan HMM, (b) alur proses pengujian HMM.


10

Gambar 8 adalah alur proses pelatihan dan pengujian HMM dan hasil dari percobaan

ditunjukkan oleh Gambar 9.

Akurasi tertinggi didapat pada saat besar codebook M=64, terlihat jelas pada grafik

bahwa untuk setiap state yang diambil menghasilkan tingkat pengenalan yang baik. Namun,

kembali lagi pada hasil dari proses pelatihan bahwa untuk model dengan besar codebook

M=64 memiliki rata-rata tingkat akurasi 90% sehingga modelnya masih diragukan. Jika kita

perhatikan lagi akurasi pengenalan data pengujian yang paling tinggi dengan tingkat akurasi

pengenalan data training 100% terdapat pada saat besar codebook M=128 dengan jumlah state

S=6. Tingkat akurasi pada saat besar codebook M=128 dan jumlah state S=6 adalah 51,79%.

Gambar 9. Grafik rata-rata akurasi pengenalan data pengujian dan data pelatihan

7. KESIMPULAN

Hasil percobaan menunjukkan bahwa codebook untuk pelatihan HMM didapat saat

besar codebook M=128 dengan jumlah state S=6 karena memiliki tingkat akurasi pengenalan

data testing tertinggi dengan akurasi pengenalan data pelatihan 100%, yaitu 51,79%. Dengan

tingkat akurasi pengenalan data pengujian 51,79% ini, sistem yang dibuat bisa dikatakan

kurang baik atau sistem tidak bisa dengan tepat mengenali.

REFERENSI

[1] Gales, Mark dan Steve Young. (2007). The Aplication of Hidden Markov Models in

Speech Recognition. Hanover, USA: NOW.

[2] Nillson, Mikael, Ejnarrson, Marcus. 2002. Speech Recognition Using Hidden Markov

Model Performance evaluation in noisy environment. Blekinge Tekniska Hogskola,

Sweden.

[3] Firdaniza dkk. (2006). Hidden Markov Model.

[4] Huang, Xuedong dkk. (2000). Spoken Languange Processing, A Guide to Theory,

Algorithm, and System Development. Redmond, WA: Prentice Hall.


ISSN 1978 – 8568

SOLUSI ANALITIK MASALAH KONDUKSI PANAS

PADA TABUNG

Afo Rakaiwa dan Suma’inna

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta


Abstract: In this study, we discussed the application of integral method of heat

balance to solve the heat conduction problems on the cylinder analytically. In this

method, function of temperature is approached by polynomials. Degree of the

polynomial can be to be added but it required the additional boundary conditions that

found from the governing di§erential equation and the basic boundary conditions.

These boundary conditions are used to determine the coefficients of this polynomial.

Shortcoming of this method is only applicable to cylinder which has a constant initial

temperature.

Keywords: heat conduction, cylinder, integral method of heat balance, additional

boundary conditions.

Abstrak: Pada penelitian ini, dibahas mengenai penerapan metode integral dari

keseimbangan panas untuk memecahkan masalah konduksi panas pada silinder secara

analitik. Dalam metode ini, fungsi temperatur didekati oleh polinomial. Derajat

polinomial dapat ditambahkan namun diperlukan syarat batas tambahan yang didapat

dari pengaturan persamaan diferensial dan syarat batas dasar. Kondisi batas ini

digunakan untuk menentukan koefisien dari polinomial ini. Kelemahan dari metode ini

hanya berlaku untuk silinder yang memiliki suhu awal konstan.

Kata kunci: Konduksi Panas, Persamaan differential, Solusi Analitik.

PENDAHULUAN

Konduksi adalah cara perpindahan panas berlangsung pada benda padat atau pada

keseluruhan cairan dari daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah akibat adanya gradien

suhu pada benda tersebut tanpa disertai perpindahan bagian-bagian benda tersebut. Aliran

panas tidak dapat diukur secara langsung, tetapi konsep pengukuran panas mempunyai arti

fisik karena berhubungan dengan pengukuran kuantitas skalar yang disebut suhu. Oleh karena

itu, saat distribusi suhu di sebuah benda ditentukan sebagai fungsi posisi dan waktu, maka

aliran panas dapat dihitung dari hukum yang berhubungan dengan aliran panas sampai

gradien suhu.

Dalam persoalan perpindahan panas, khususnya konduksi panas, persamaan konduksi

panas dilinearkan dengan mengasumsikan bahwa sifat panas tidak ber-gantung pada suhu,

lebih jauh syarat batas juga diasumsikan linear. Tetapi tidak semua persoalan konduksi panas

dapat diselesaikan dengan pendekatan persamaan linear. Sebagai contoh jika suhu dalam

benda padat bervariasi di berbagai titik, dengan kata lain dengan adalah koordinat benda, maka sifat panas bergantung pada suhu dan persamaan panas menjadi nonlinear.

Goodman [4] memperkenalkan sebuah penyelesaian matematis, yang disebut metode

integral keseimbangan panas, dimana pendekatan solusi terhadap persamaan konduksi panas



12

nonlinear dapat diselesaikan. Dengan metode ini, pemanasan (pendinginan) dari sebuah benda

dibagi menjadi 2 tahap [1]. Tahap pertama, suhu gangguan depan (temperature perturbation

front) secara bertahap meningkat dari permukaan ke pusat benda. Tahap kedua, suhu

menyebar ke seluruh volume benda sampai mencapai keadaan stabil. Metode ini

menggunakan asumsi polinomial untuk pendekatan fungsi suhu. Derajat polinomial dapat

ditambahkan namun diperlukan adanya syarat batas tambahan untuk menentukan koefisien

dari polinomial tersebut. Syarat batas tambahan ini didapat dari pengaturan persamaan

diferensial dan syarat batas dasar, termasuk yang terperinci pada suhu gangguan depan.

Kelemahan dari metode ini adalah tidak dapat diterapkan pada permasalahan dengan suhu

awal berbeda-beda di setiap titik tabung [1]. Sehingga diperlukan asumsi suhu awal konstan

di setiap titik. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan solusi analitik masalah konduksi

panas untuk tabung dengan menggunakan metode integral keseimbangan panas yang telah

diperkenalkan oleh Goodman pada [4].

TINJAUAN PUSTAKA

Persamaan Diferensial Konduksi Panas untuk Tabung

Persamaan yang mengandung unsur derivatif disebut dengan persamaan diferensial [2].

Persamaan diferensial biasa orde satu mempunyai bentuk [2]:

Persamaan diferensial biasa orde dua mempunyai bentuk [2]:

(1)

Syarat awal untuk persamaan (1) adalah

dengan dan adalah konstanta.

Persamaan konduksi panas tidak tetap satu dimensi pada silinder tak terhingga seperti

diilustrasikan pada Gambar 1 adalah sebagai berikut [3]

dengan

adalah difusivitas panas, adalah jari-jari, adalah posisi terhadap jari-jari,

adalah suhu yang bergantung pada posisi dan waktu, dan adalah waktu.

Dengan menggunakan besaran tak berdimensi berikut [3],

menyatakan koordinat tak berdimensi untuk suhu;

menyatakan koordinat tak berdimensi jarak dari pusat tabung;

menyatakan koordinat tak berdimensi untuk waktu,

persamaan konduksi panas tidak tetap untuk silinder tak terhingga menjadi

Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung

13

Gambar 1. Koordinat tabung tak terhingga

Integral Keseimbangan Panas

Goodman [4] memperkenalkan sebuah metode pendekatan pada masalah konduksi

panas yang disebut integral keseimbangan panas. Permasalahan konduksi panas tersebut tidak

harus linear karena metode ini juga mencakup masalah nonlinear. Metode integral ini

mengurangi masalah batas nilai nonlinear menjadi masalah nilai awal biasa yang solusinya

dapat dinyatakan dalam bentuk analitik tertutup (closed analytical). Metode ini juga dapat

digunakan untuk mendapatkan solusi pendekatan masalah linear dengan sifat panas rumit

yang bergantung secara spasial, dan masalah yang melibatkan konveksi.

Dalam metode ini, pemanasan (pendinginan) dari sebuah benda dibagi menjadi dua

tahap. Pertama, suhu gangguan depan maju dari permukaan ke pusat benda; kedua, suhu

tersebut berubah pada seluruh volume benda sampai mencapai keadaan setimbang. Metode ini

menggunakan asumsi polinomial untuk fungsi suhu. Koefisien dari suku banyak ditentukan

menggunakan syarat batas tambahan, yaitu pengaturan persamaan diferensial dan syarat batas

dasar, termasuk yang terperinci pada suhu gangguan depan. Kelemahan dari metode ini

adalah tidak dapat diterapkan pada permasalahan dengan suhu awal berbeda-beda di setiap

titik tabung. Sehingga diperlukan asumsi suhu awal konstan di setiap titik.

Langkah-langkah metode integral keseimbangan panas adalah sebagai berikut:

a. Persamaan konduksi panas diintegralkan terhadap , yang disebut kedalaman

penetrasi, sehingga didapat integral keseimbangan panas.

b. Representasi fungsi suhu dengan polinomial. Koefisien polinomial diperoleh dari syarat

batas dasar dan syarat batas tambahan.

c. Setelah fungsi suhu dikonstruksikan dan disubstitusi pada integral keseimbangan panas

diperoleh persamaan diferensial biasa untuk dan . solusinya berupa fungsi

yang bergantung pada


14

d. Setelah diperoleh fungsi , dapat ditentukan juga distribusi suhu sebagai

fungsi posisi dan waktu.

PEMBAHASAN


Misalkan sebuah tabung tak terhingga dengan suhu awal konstan dan suhu pada

permukaan tabung adalah konstan . Setiap titik pada tabung saat kondisi awal diasumsikan

konstan , sedangkan pada permukaan tabung diasumsikan . Tabung juga diasumsikan

simetri terhadap pusat tabung.

Gambar 2. Koordinat tak berdimensi pada tabung tak terhingga

Masalah konduksi panas yang tidak tetap pada tabung tak terhingga seperti pada Gambar 2

dimodelkan sebagai berikut:

(2)

(3)

(4)

(5)

dengan:

adalah koordinat tak berdimensi untuk suhu;

adalah suhu awal;

adalah suhu permukaan;

adalah koordinat tak berdimensi untuk posisi terhadap jari-jari;

adalah jari-jari tabung;

adalah koordinat tak berdimensi untuk waktu;

adalah difusivitas termal;

adalah waktu.


15

Persamaan (3) menyatakan suhu awal setiap titik pada tabung adalah sehingga . Persamaan (4) menyatakan gradien suhu antara 2 titik yang simetri dengan pusat tabung adalah nol. Persamaan (5) menyatakan suhu pada permukaan tabung

adalah sehingga .

Proses pemanasan dibagi menjadi dua tahap: , yaitu waktu yang

diperlukan untuk pemanasan mencapai pusat lingkaran dan , yaitu waktu yang diperlukan untuk suhu mencapai keadaan setimbang di semua titik tabung. Untuk tujuan ini,

diperkenalkan batas waktu bervariasi yang membagi domain asli menjadi dua

subdomain dan , dengan adalah kedalaman

penetrasi terhadap waktu dan tidak ada aliran panas setelah titik . Tahap pertama dari pemanasan selesai saat batas bergerak mencapai pusat dari tabung. Para tahap kedua, suhu

berubah pada seluruh volume benda: .

Dengan mengganti variabel dari pusat lingkaran menjadi dari permukaan

tabung dan mengenalkan kedalaman lapisan panas sebagai koordinat umum, didapatkan persamaan untuk tahap pertama:

(6)

(7)

(8)

syarat batas (4) tidak diperlukan pada persamaan (6)-(8), karena tidak mempengaruhi

perpindahan panas pada tahap pertama.

Setelah memperkenalkan , diperlukan syarat berikut pada suhu gangguan depan:

(9)

Syarat pertama dari (9) berarti suhu dari benda pada batas bergerak sama dengan suhu awal,

sedangkan syarat kedua berarti tidak ada aliran panas di luar suhu gangguan depan.

Misalkan solusi yang diinginkan pada persamaan (6)-(7) tidak memenuhi persamaan

panas asli (6) melainkan persamaan tersebut diratakan berdasarkan kedalaman lapisan panas

. Integralkan persamaan (6) terhadap dari nol sampai dan

memperhatikan syarat kedua dari (9) menghasilkan integral (integral keseimbangan panas)

(10)

Representasi suhu asli dapat berbentuk polinomial berderajat :


16

(11)

Menggunakan ,

(12)

Substitusi (12) ke persamaan (8) dan (9) didapatkan koefisien tak diketahui , yaitu

Dengan menggunakan koefisien yang didapat, persamaan (12) menjadi

(13)

Substitusi persamaan (13) ke persamaan (10), didapat

(14)

Penyelesaian dari (14) menghasilkan persamaan diferensial biasa dengan untuk

menentukan fungsi tak diketahui :

Dengan memisahkan variabel dan integralkan terhadap menghasilkan suku banyak dengan bentuk

Nilai dari yang memenuhi persamaan di atas untuk beberapa angka Fourier adalah

Untuk , didapatkan waktu penyelesaian proses tahap pertama: .

Akurasi dari solusi yang diinginkan dapat ditingkatkan dengan meningkatkan derajat

suku banyak pada persamaan (11). Saat terdapat lebih dari tiga koefisien , koefisien tersebut dapat ditentukan menggunakan syarat batas tambahan. Syarat batas tersebut didapat

menggunakan syarat batas (8) dan (9) dan persamaan (6). Untuk itu, persamaan (6)

diturunkan secara berurutan terhadap . Karena dan turunannya adalah fungsi

kontinu, maka orde diferensiasi dapat diubah untuk mendapatkan

(15)


17

Untuk memperoleh syarat batas tambahan pertama, diferensiasikan persamaan (8)

terhadap dan persamaan (6) dituliskan untuk :

(16)

Untuk mendapatkan syarat batas tambahan kedua, diferensiasikan syarat pertama dari (9)

terhadap , persamaan (6) dituliskan untuk , dan menggunakan syarat kedua dari

(9):

(17)

Untuk memperoleh syarat batas tambahan ketiga, diferensiasikan syarat kedua dari (9)

terhadap , menggunakan relasi (15) pada , dan menggunakan syarat kedua dari (9):

(18)

Syarat batas awal (8) dan (9) dan syarat batas tambahan (16), (17), dan (18) dapat

digunakan untuk menentukan 6 koefisien dari suku banyak (11). Substitusi persamaan (11) ke

semua syarat batas menghasilkan sistem persamaan linear berikut untuk koefisien tak

diketahui , :

(19)

Penyelesaian sistem persamaan (19) adalah

0 1 1

3

2 1 3 1 1

4 5

4 1 1 5 1 1

1, 20 / ( ),

10 / ( ), 20 2 / ( ),

5 8 3 / ( ), 4 3 / ( ),

a a Aq

a Aq a q Aq

a q Aq a q Aq

dengan .

Koefisien ( ) yang didapat disubstitusikan ke persamaan (11) untuk

mendapatkan

(20)


18

Substutusikan persamaan (20) ke persamaan (10) akan menghasilkan persamaan diferensial

biasa untuk fungsi tak diketahui :

(21)

Dengan memisahkan variabel pada persamaan (21) dan integralkan dengan syarat awal

didapatkan

(22)

Untuk beberapa angka Fourier, nilai dari didapat dari persamaan (22) adalah

Untuk , didapatkan waktu penyelesaian proses tahap pertama: .

Pada kasus tabung metode penambahan syarat batas berdasarkan integral keseimbangan

panas juga dapat diaplikasikan pada tahap kedua dari proses pemanasan (pendinginan). Pada

tahap kedua, dan suhu bervariasi pada seluruh penampang tabung sampai keadaan

setimbang didapat. Pada tahap ini, koordinat umum adalah suhu pada sumbu tabung.

Persamaan matematika untuk permasalahan pada tahap kedua adalah

(23)

(24)

(25)

dengan syarat awal (24) ditentukan dengan distribusi suhu di akhir tahap pertama (persamaan

(13) saat ).

Meratakan persamaan panas (23) terhadap seluruh volume benda menghasilkan integral

keseimbangan panas

(26)

Sebuah solusi yang memenuhi syarat integral (26) dicari dengan bentuk polinomial

(27)


19

Menggunakan ,

(28)

Substitusi (28) ke syarat batas (25) didapat koefisien untuk polinomial (28), yaitu

sehingga

(29)

Substitusi persamaan (29) ke persamaan (26), diperoleh

(30)

Dengan memisahkan variabel dalam persamaan (30) dan integralkan dengan syarat awal

menghasilkan

(31)

Hubungan (29) dan (31) menentukan solusi untuk masalah (23)-(25) di pendekatan pertama.

Substitusi langsung memperlihatkan bahwa relasi (29), digabung dengan (31), sangat

memenuhi integral keseimbangan panas (26), syarat batas (25), dan syarat awal (24).

Akurasi dari solusi dapat ditingkatkan dengan menambah jumlah suku pada persamaan

(27). Untuk itu diperlukan syarat batas tambahan. Untuk memperoleh syarat batas tambahan,

syarat (25) diturunkan terhadap ,

(32)

Persamaan (23) diaplikasikan di titik dan menggunakan relasi pertama pada persamaan (32) menghasilkan syarat batas tambahan pertama

(33)

Persamaan (23) ditulis pada titik dan menggunakan relasi kedua pada (32) menghasilkan syarat batas tambahan kedua

(34)

Untuk mendapatkan syarat batas tambahan ketiga, persamaan (23) didiferensiasikan terhadap

dan ditulis pada titik dan menggunakan relasi ketiga pada (32) menghasilkan syarat batas tambahan ketiga

(35)


20

Dengan menggunakan syarat batas (25), (33), (34), dan (35), enam koefisien dari suku banyak

(27) dapat ditentukan. Substitusi (27) ke syarat batas tersebut menghasilkan persamaan linear

untuk koefisien tak diketahui , :

(36)

Penyelesaian sistem persamaan (36) adalah

(37)

Substitusi koefisien ini ke persamaan (27) menghasilkan

(38)

Masukkan (38) ke (26), diperoleh persamaan diferensial biasa homogen orde dua untuk

fungsi tak diketahui :

(39)

Syarat awal untuk persamaan (39) mempunyai bentuk

(40)

Persamaan karakteristik untuk persamaan (40) adalah

Akar dari persamaan ini adalah dan . Oleh karena itu, solusi umum untuk persamaan (39) adalah


21

(41)

dengan konstanta dan ditentukan dari syarat awal (40), yaitu

Masukkan dan ke (41) menghasilkan

Substitusi ke (38), didapatkan hasil akhir solusi untuk masalah (23)-(25) dengan pendekatan kedua pada tahap kedua dari proses pemanasan:

(42)

dengan adalah angka yang didapat dari pendekatan kedua pada tahap pertama: .

Misalkan pemanasan pada tabung tak terhingga dengan jari-jari m dan difusivitas

termal m2/s. Jika suhu dalam tabung adalah C dan suhu permukaan

tabung adalah C, maka dapat ditentukan suhu pada pemanasan tahap pertama dengan

waktu penyelesaian ( ) adalah

dan

Untuk

,

sehingga

dengan s dan

m. Selanjutnya akan dicari

suhu pada posisi m (

) pada waktu ke s ( ) dengan

menggunakan persamaan (42)


22

Sehingga

Dapat disimpulkan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan tahap pertama adalah

s dan pada waktu ke-40 s, suhu pada posisi tabung m dari pusat lingkaran

adalah sebesar C.

KESIMPULAN

Hasil dari penelitian berikut memberikan kesimpulan bahwa metode integral

keseimbangan panas digunakan untuk mendapatkan pendekatan solusi analitik untuk masalah

konduksi panas untuk pemasasan (pendinginan) pada tabung dengan langkah sebagai berikut:

a). Persamaan konduksi panas diintegralkan terhadap , yang disebut kedalaman

penetrasi, sehingga didapat integral keseimbangan panas.

b). Representasi fungsi suhu dengan polinomial. Koefisien polinomial diperoleh dari

syarat batas dasar dan syarat batas tambahan.

c). Setelah fungsi suhu dikonstruksikan dan disubstitusi pada integral keseimbangan

panas diperoleh persamaan diferensial biasa untuk dan . solusinya berupa

fungsi yang bergantung pada .

d). Setelah diperoleh fungsi , dapat ditentukan juga distribusi suhu

sebagai fungsi posisi dan waktu.

Kelebihan dari metode integral keseimbangan panas yaitu dapat diterapkan pada

permasalah konduksi panas nonlinear, sehingga asumsi yang digunakan dapat berupa

persamaan nonlinear. Sedangkan kelemahan dari metode ini adalah perlunya asumsi suhu

awal konstan di setiap titik pada tabung.

REFERENSI

[1] Antimonov, M. A., Kudinov, V. A., & Stefanyuk, E. V. (2008). Analytical Solutions to

the Heat Conduction Problems for a Cylinder and a Ball Based on Determining the

Temperature Perturbation Front. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. (hal. 681-692). Samara:

Pleiades Publishing, Ltd.

[2] Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2000). Elementary Differential Equations and

Boundary Value Problem. New York: John Wiley & Sons, Inc.

[3] Cengel, Y. (2002). Heat Transfer: A Practical Approach. Columbus: Mcgraw-Hill.

[4] Goodman, T. R. (1964). Application of integral Methods to Transient Nonlinear Heat

Transfer. Advances in Heat Transfer (hal. 51-122). New York: Academic.

[5] Ozisik, M. N. (1993). Heat Conduction. United States of America: John Wiley & Sons,

inc.


ISSN 1978 – 8568

PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF

Yanne Irene



Email : [email protected]

Abstract: Let G be a graph with p vertices and q edges. An edge-magic total

labelling on graph G is one-to-one mapping from onto the set

such that there exists a constant k satisfying:

For each edge xy in G. If then λ called super edge-magic

total labeling. In thisarticle we show that disconnected graph is super edge-

magic, where is a path with n vertices.

Keywords: Edge-magic total labelling, super edge-magic total labelling,

disconnected graph, path.

Abstrak: Misalkan G adalah graf dengan p titik dan q sisi. Pelabelan total sisi-

ajaib pada graf G adalah pemetaan satu-satu dan pada dari pada

sedemikian sehingga himpunan untuk suatu konstanta k berlaku:

untuk setiap sisi xy di G. Jika maka

dinamakan pelabelan total sisi-ajaib super. Pada artikel ini akan ditunjukkan

pealbelan total sisi –ajaib super pada graf tidak terhubung , dimana

adalah graf lintasan dengan n titik

Kata kunci: Pelabelan total sisi-ajaib, pelabelan total sisi-ajaib super, graf tidak

terhubung, graf lintasan.

PENDAHULUAN

Pelabelan graf adalah suatu pemetaan satu-satu yang memetakan himpunan dari elemen-

elemen graf kepada himpunan bilangan bulat positif yang disebut label. Domain dari

pemetaan tersebut dapat berupa himpunan titik, atau himpunan sisi, atau gabungan himpunan

titik dan sisi. Berdasarkan domainnya, pelabelan tersebut berturut-turut disebut pelabelan

titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total.

Salah satu macam pelabelan yang banyak mendapat perhatian adalah pelabelan ajaib.

Pelabalen ajaib adalah perumuman ide bujur sangkar ajaib. Pelabelan ini pertama kali

diperkenalkan oleh Sedlacek pada tahun 1963. Kemudian, Kotzig dan Rosa [1]

memperkenalkan pelabelan total sisi-ajaib sebagai pelabelan total yang labelnya adalah

integer dari 1 hingga , sedemikian hingga bobot sisi adalah sama untuk setiap sisi di G. Mereka juga mengemukan konjektur bahwa pohon Tn adalah total sisi-ajaib.

Dugaan ini diperkuat Enomoto yang telah menunjukkan bahwa pohon dengan titik kurang

dari 16 adalah total sisi-ajaib. K. Wijaya dan E.T. Baskoro [4] telah mengkaji pelabelan total

sisi-ajaib gabungan saling lepas n (n ganjil) buah graf, pada beberapa kelas graf. Pada tahun

1998, Enomoto dkk [3] memperkenalkan pelabelan total sisi-ajaib super. Mereka


Yanne Irene

24

mendefinisikan pelabelan total sisi-ajaib super sebgai pelabelan total sisi-ajaib, dimana

titiknya diberi label 1 hingga .

Beberapa paper yang mengkaji pelabelan total sisi-ajaib super pada beberapa graf telah

dipublikasikan. Figueroa-Centeni dkk [5] mengkaji pelabelan total sisi-ajaib super pada graf-

graf tidak terhubung. Kemudian E.T Baskoro dan A.A.G Ngurah [2] mengkaji pelabelan sisi-

ajaib super untuk gabungan saling lepas n (n genap) buah kopi graf P3.

LANDASAN TEORI

Notasi dan Definisi

Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) dimana V adalah himpunan tak kosong dan E

(mungkin kosong) adalah himpunan pasangan tak terurutdari eleman-elemen di V. Elemen-

elemen dari V disebut titik dari G. Sedangkan elemen-elemen dari E disebut sisi dari G.

Himpunan titik dari G dinotasikan V(G), dan himpunan sisi dari G dinotasikan dengan E(G).

Order dari suatu graf G menyatakan banyaknya titik di graf G.

Misalkan u dan v dua titik di graf G. Titik u dikatak tetangga dari titik v jika ada sisi

yang menghubungkan u dan v. Sisi seperti itu dinotasikan dengan uv. Titik u dan v dikatakan

menempel pada sisi uv, dan sebaliknya sisi uv menempel pada titik u dan titik v. Sebagai contoh, dalam Gambar 1., titik v2 adalah tetangga titik v3; dan titik v2 menempel pada sisi v1v2,

v2v4, dan v2v3.

Gambar 1. Graf G

Derajat dari titik v, dinotasikan d(v), pada graf G adalah banyaknya titik yang bertetangga

dengan titik v. Dalam gambar 1, d(v2)=3 dan d(v5)=1.

Jalan dari titik u ke v dengan panjang n pada graf G adalah suatu barisan u=v0,v1,v2,…,vn

sedemikian hingga vi-1vi adalah sisi di G untuk setiap i=1,2,…,n. Jalan dikatakan tertutup jika

v0=vn, dan dikatakan terbuka jika v0≠vn. Lintasan adalah suatu jalan yang semua titiknya

berbeda. Dalam Gambar 2, v1v3v4v5v4v2 adalah jalan dengan panjang 5, tetapi bukan lintasan;

v1v3v4v5 adalah lintasan dengan panjang 3.

Gambar 2. Graf H

v1

v3

v2

v4

v5

Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn

25

Gabungan dua graf G1 dan G2 dinotasikan dengan G1 G2 adalah graf dengan himpunan titik

V1 V2 dan himpunan sisi E1 E2.

Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik di G ada lintasan yang

menghubungkan kedua titik tersebut. Jika tidak demikian, maka graf tersebut dikatakan graf

tidak terhubung. Sebagai contoh, graf dalam gambar 1 dan gambar 2 merupakan graf

terhubung.

Kelas-kelas Graf

Graf lintasan Pn adalah graf terhubung n titik yang terdiri dari tepat 2 titik berderajat 1 dan n-

1 titik berderajat 2.

Graf lingkaran Cn adalah graf terhubung n titik dengan derajat semua titiknya adalah 2.

Graf roda Wn garf yang diperoleh dari Cn dengan menambahkan satu titik baru x dan

menghubungkan titik x dengan semua titik di Cn . Titik x disebut pusat dari graf roda tersebut.

Graf lengkap Kn , adalah graf dengan n titik yang setiap dua titiknya saling bertetangga.

Graf bintang Sn adalah graf terhubung yang terdiri dari 1 titik berderajat n-1 dan n-1 titik yang

berderajat 1.

Graf pohon Tn adalah graf terhubung dengan n titik yang tidak memuat lingkaran

Graf kipas Fn , adalah graf yang didapatkan dengan menghubungkan semua titik dari graf

lintasan Pn dengan suatu titik yang disebut pudat. Jadi fn terdiri dari n+1 titik dan 2n-1 sisi.

Pelabelan Total Sisi-Ajaib

Pelabelan total sisi-ajaib pada graf G=G(V,E) dengan angka ajaib k adalah pemetaan

satu-satu dan pada : dimana dan sedemikian hingga berlaku:

untuk setiap .

Selanjutnya, pelabelan total sisi-ajaib super adalah pelabelan total sisi ajaib yang pelabelan

tititknya . Suatu graf dikatakan total sisi-ajaib (TSA) jika pelabelan total sisi-

ajaib dapat dikenakan padanya, dan disebut pelabelan total sisi-ajaib super (TSAS) jika pelabelan total

sisi-ajaib super dapat dikenakan padanya.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Kotzig [1] menunjukkan bahwa bila G suatu graf trikomatrik, terhubung dan total sisi-

ajaib maka graf H=mG, yakni gabungan lepas dari m buah graf G adalah total sisi ajaib jika m

ganjil. Namun hasil ini tidak terpublikasikan dengan baik, maka beberapa paper mengkaji

ulang ketotal sisi ajaib-an dari gabungan yang saling lepas m buah yang identikal, dengan m

ganjil,lihat diantaranya [4]

Namun ke-total sisi-ajaib-an dari graf mG, untuk suatu graf G sebarang dan m genap

masih open problem. Karena alas an paritas maka graf mP2 (m genap) adalah bukan TSA.

Sedangkan E.T Baskoro dan A.A.G Ngurah [2] menunjukkan bahwa graf nP3 adalah TSAS,

untuk n genap.

Teorema berikut menunjukkan gabungan graf lintasan P3 dan Pn mempunyai pelabelan

total sisi-ajaib super.

Yanne Irene

26

Misalkan himpunan titik dan himpunan sisi dari adalah

. .

Teorema 1: Graf adalah total sisi-ajaib super untuk setiap .

Bukti:

Untuk n genap dan , definisikan pelabelan total (a,2) total sisi antiajaib super pada

seperti berikut:

Untuk n ganjil dan didefinisikan pemetaan dimana:

,

13 10 14

1 9 2 12 3

32 31 28 27 24

16 4

23 22

8

30 29 26

11

6

25

15

21

7

20

5 17

19 18

11 8 13

15 2 7 3 9 5

28 27 25 23 20

18 16

10 1

22 26

12

24

4

5\4

21 19

14

6

17

10 7 11

1 9 2 6 3

22 21 24 23 18

15 14

12 4

17 16

8

20

5

19

13

8 5 10

11 3 9 2 7 1

15 16 18 19 13

14 12

6 4

20 17

7 4 8

9 1 5 2 6 3

16 15 14 13 12

11 10

12 9

2 4 5

6 1 7 3

11 10 8


27

,

,

: pelabelan total sisi-ajaib super untuk seperti pada Gambar 3.

Maka adalah pelabelan total sisi-ajaib super.

Teorema 2 Untuk graf adalah total sisi-ajaib super dengan

angka ajaib

.

Bukti:

Tulis dan beri label titik-titk dan sisi-sisi dengan cara sebagai berikut:

Untuk titik-titik dengan indeks gannjil, definisikan:

Sedangkan untuk titik-titik dengan indeks genap, definisikan:

Yanne Irene

28

Untuk sisi-sisi didefinisikan:


29

Catatan: , dihitung dalam modulo 3.

Dari pelabelan titik-titik dan sisi-sisi di atas dapat diperiksa bahwa graf total sisi-ajaib

super dengan angka ajaib

.


angka ajaib

.

Bukti:

Beri label titik-titk dan sisi-sisi dengan cara sebagai berikut:

,

+2,

Dari pelabelan titik-titik dan sisi-sisi di atas dapat diperiksa bahwa graf adalah total

sisi-ajaib super dengan angka ajaib

.


angka ajaib

.

Bukti:

Tulis dan beri label titik-titik dan sisi-sisi dengan cara sebagai berikut:

Yanne Irene

30

Label sisi-sisi didefinisikan:


31

Catatan: , dihitung dalam modulo 3.



.


angka ajaib

.

Bukti:

Serupa dengan bukti teorema 3 dengan mengambil sebagai pelabelan pada teorema 4.



.

REFERENSI

[1] A. Kotzig dan A. Rosa, Magic Valuations of Finite Graphs, 1970, Canad. Math. Bull. 13,

451-461.

[2] E.T Baskoro dan A.A.G Ngurah, 2003, On Super Edge Magic Total Labelling on nP3,

Bull Inst. Combin, Appl. 37, 82-87.

[3] H. Enomoto, A.S Llado, T. Nakagimawa and G. Ringel, 1998, Super Edge Magic

Graphs, SUT Journal of Mathematics, 34, 105-109.

[4] K. Wijaya, E.T Baskoro, 2000, Pelabelan Total Sisi-Ajaib , Tesis S2, Departemen

Matematika ITB.

[5] R. M Figueroa-Centeno, R. Ichisima, F.A. Muntaner-Batle, 2002, On Super-Edge Magic

Graph, Ars Combin. 64, 81-96.


ISSN 1978 – 8568

PREDIKSI PERGERAKAN NILAI TUKAR RUPIAH

TERHADAP DOLAR AMERIKA SERIKAT MENGGUNAKAN

HIDDEN MARKOV MODEL (HMM)

Mahmudi dan Ardi




Abstract: This study discusses about prediction of movement of Rupiah against

US Dollar using Hidden Markov Model (HMM). The exchange rate of rupiah

which studied is exchange rate of purchasing and exchange rate of selling of US

Dollar to Rupiah. The exchange rate of purchasing and exchange rate of saling is

devided into four states, namely down large, down small, small rise, and large rise

are symbolized respectively S1, S2, S3, and S4. Probability of sequences of

observation for three days later are computed by Forward and Bacward Algorithm.

While the sequences of observation which optimized be obtained by Viterbi

Algorithm. The sequences of observation which optimized within exchange rate of

purchase is 3 2 3, ,X S S S and within exchange rate of sale is

2 3 2, ,X S S S . The last step is estimate of parameter which optimized using

Baum-Welch Algorithm.

Keywords: Hidden Markov Model, Forward Algorithm, Backward Algorithm,

Viterbi Algorithm, Baum-Welch Algorithm.

Abstrak: Penelitian ini membahas prediksi pergerakan nilai tukar Rupiah terhadap

Dolar Amerika Serikat menggunakan Hidden Markov Model (HMM). Nilai tukar

Rupiah yang dikaji adalah kurs beli dan kurs jual Dolar Amerika Serikat terhadap

Rupiah. Kurs beli maupun kurs jual dibagi menjadi empat keadaan yaitu turun

besar, turun kecil, naik kecil dan naik besar yang masing-masing disimbolkan

S1,S2, S3, dan S4. Peluang barisan observasi tiga hari ke depan dihitung dengan

algoritma Forward dan Backward. Sedangkan barisan observasi yang optimal

diperoleh menggunakan algoritma Viterbi. Barisan observasi yang optimal pada

kurs beli adalah 3 2 3, ,X S S S dan kurs jual adalah 2 3 2, ,X S S S . Tahap

terakhir yang dilakukan adalah penaksiran parameter yang optimal menggunakan

algoritma Baum-Welch.

Kata kunci: Hidden Markov Model, Algoritma Forward, Algoritma Backward,

Algoritma Viterbi, Algoritma Baum-Welch.

PENDAHULUAN

Salah satu indikator penting dalam menganalisis perekonomian Indonesia adalah nilai

tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Serikat. Nilai tukar menjadi penting karena mempunyai

dampak yang luas terhadap perekonomian secara keseluruhan. Sebagai contoh, menurut [1]

nilai tukar rupah berpengaruh signifikan terhadap pergerakan Indeks Harga Saham Gabungan

(IHSG). Hal ini dapat dijelaskan bahwa terjadinya apresiasi kurs Rupiah terhadap Dolar akan

memberikan dampak terhadap perkembangan pemasaran produk Indonesia di luar negeri,



33

terutama dalam hal persaingan harga [1]. Oleh karena itu, nilai tukar Rupiah sangat

mempengeruhi stabilitas perekonomian di Indonesia.

Pergerakan nilai tukar rupiah terhadap Dolar Amerika Serikat bersifat fluktuatif, kadang

mengalami pelemahan kadang pula mengalami penguatan, sehingga memprediksinya sangat

menarik untuk dikaji. Prediksi besarnya nilai tukar Rupiah telah banyak dilakukan sebagai

contoh dengan menggunakan model Markov Switching Vector Autoregressive (MSVAR)[2]

dan model Volatilitas Asymmetric Power ARCH (APARCH)[3]. Selain besarnya nilai tukar

Rupiah, tingkat perubahan (kenaikan dan penurunan) nilai tukar Rupiah juga menarik untuk

dikaji. Salah satu caranya menggunakan Hidden Markov Model.

Penelitian ini menganalisis bagaimana pergerakan nilai tukar Rupiah dengan meninjau

tingkat penurunan dan kenaikannya. Selain itu, menentukan besarnya peluang terjadinya

barisan perubahan tingkat penurunan dan kenaikan nilai tukar Rupiah dalam satuan waktu

tertentu. Metode yang akan digunakan pada penelitian ini adalah Hidden Markov Models

(HMM). Hidden Markov Models (HMM) adalah perluasan dari rantai Markov dimana

distribusi hasil pengamatannya bergantung pada keadaan proses Markov yang tidak teramati

(unobserved).

LANDASAN TEORI

Pengertian Kurs

Kurs adalah harga satu satuan mata uang asing dalam uang dalam negeri [4]. Dengan

kata lain kurs adalah harga suatu mata uang jika ditukarkan dengan mata uang lainnya. Nilai

tukar yang sering digunakan adalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar. Karena Dolar adalah

mata uang yang relatif stabil dalam perekonomian. Jenis kurs valuta asing :

a. Kurs jual adalah harga yang diberikan oleh bank kepada kita untuk membeli mata uang

asing.

b. Kurs beli adalah harga yang diberikan oleh bank saat kita menukarkan mata uang asing.

Definisi HMM

HMM adalah sebuah proses stokastik ganda di mana salah satu prosesnya tidak dapat

diobservasi (hidden) [5]. Proses yang tidak diobservasi ini hanya dapat diobservasi melalui

proses yang dapat diketahui. Jika adalah sebuah proses Markov, dan

adalah sebuah fungsi dari , maka adalah sebuah HMM yang dapat

diobservasi melalui , atau dapat ditulis untuk suatu fungsi . Parameter

menyatakan state process yang tersembunyi (hidden), sementara parameter menyatakan

observation process yang dapat diobservasi. Untuk ilustrasi HMM dapat dilihat pada Gambar

1 [5]. HMM didefinisikan sebagai 5-tuple (5 pasangan di mana masing-masing anggota bisa

berupa himpunan atau ukuran) sebagai berikut:

1) Banyaknya elemen keadaan tersembunyi (hidden state) pada model yang dinotasikan

dengan .

2) Matriks peluang transisi dimana adalah elemen dari yang merupakan

peluang bersyarat dari keadaan pada saat , jika diketahui keadaan pada saat ,

atau di mana . Karena itu berukuran . Hal

yang perlu dijadikan catatan adalah bahwa untuk setiap dan

untuk setiap . Artinya jumlah elemen masing-masing baru

adalah .

Mahmudi dan Ardi

34

3) Banyaknya elemen keadaan yang terobservasi, . umumnya tetap, ditentukan oleh

pengamat, tetapi juga bisa dimisalkan sebagai variabel acak. Misalkan variabel acak

dari suatu keadaan terobservasi adalah , .

4) Distribusi peluang observasi pada saat , pada keadaan , yang biasa dikenal dengan

matriks emisi , dimana

.

adalah observasi pada waktu ke- bernilai , jadi adalah matriks berukuran ,

dan seperti pada matriks transisi , jumlah elemen setiap baris adalah .

5) Keadaan awal di mana

.

Gambar 1. Ilustrasi HMM

Istilah tuple di atas berkaitan dengan himpunan dan ukuran. Pada HMM himpunannya

diwakili oleh variabel acak. Dari definisi di atas, cukup jelas bahwa dari nilai 5-tuple

, terdapat tiga komponen yang merupakan ukuran (probabilitas), yaitu

. Akibatnya HMM lebih dikenal dengan notasi dengan berukuran

dan berukuran .

Masalah-Masalah Utama dalam HMM

1. Menghitung Peluang Observasi

Bila diketahui sebuah model dan sebuah barisan observasi , kemudian akan dihitung yang dapat ditulis sebagai berikut [6]:

Di mana adalah suatu barisan, adalah probabilitas barisan

observasi untuk suatu barisan state, , dan merupakan probabilitas dari bila diberikan sebuah model. Karena HMM barisan observasi diasumsikan independen, maka


35

Sehingga diperoleh,

Untuk menghitung diperlukan kali operasi perhitungan, dengan

adalah kemungkinan hidden state yang terjadi jika barisan observasi sepanjang dan hidden

state-nya sebanyak . Sehingga meskipun untuk dan yang bernilai kecil, jumlah operasi perhitungan yang dibutuhkan secara komputasional akan sangat banyak. Karena

itulah dibutuhkan algoritma yang lebih efisien untuk menyelesaikan masalah evaluation.

Algoritma yang banyak digunakan untuk penyelesaian masalah evaluation adalah algoritma

Forward dan algoritma Backward.

2. Menentukan Barisan Keadaan Tersembunyi

Permasalahan kedua pada HMM adalah decoding problem, yaitu menentukan barisan

state terbaik (optimal) yang berasosiasi dengan barisan observasi dari sebuah model yang juga telah diketahui. Barisan state yang optimal didefinisikan sebagai barisan state

yang mempunyai probabilitas tertinggi dalam menghasilkan barisan observasi yang telah

diketahui sebelumnya. Sehingga pada akhirnya diperoleh suatu barisan state yang akan

memaksimumkan . Namun, untuk suatu barisan observasi sepanjang dan

hidden states, akan dihasilkan sebanyak barisan yang mungkin untuk .

Misalkan didefinisikan di mana . Jika dijumlahkan

terhadap , karena merupakan partisi dari maka menurut aturan Bayes mengenai

partisi [7], hasilnya menjadi

Sehingga, bisa dinyatakan bahwa state yang paling optimal untuk masing-masing bisa

diperoleh dari :

.

Dengan demikian akan dihasilkan barisan states yang paling optimal yaitu,

untuk suatu observasi yang diberikan. Sayangnya, pencarian barisan states yang paling optimal dengan cara tersebut, berpeluang menghasilkan

barisan yang tidak valid, karena tidak mempertimbangkan probabilitas transisi state [6].

Karena itu, untuk menghindari masalah tersebut, perlu digunakan suatu metode yang

mempertimbangkan probabilitas transisi state pada proses pencarian barisan state yang

paling optimal. Metode yang banyak digunakan untuk penyelesaian masalah ini antara lain

algoritma Viterbi.

3. Menaksir Parameter-parameter HMM

Mahmudi dan Ardi

36

Permasalahan ketiga berkaitan dengan bagaimana menentukan estimasi 3 parameter

HMM dan sehingga terbentuk model baru di mana [7].

Dengan kata lain, permasalahan ketiga adalah masalah optimasi, dan permasalahan yang

harus dipecahkan adalah mengestimasi model terbaik yang dapat menjelaskan suatu barisan

observasi.Untuk menyelesaikan permasalahan terakhir pada HMM ini, biasanya digunakan

algoritma Baum-Welch yang merupakan kasus khusus dari algoritma EM (Ekspektasi

Maksimum) [6].

METODOLOGI PENELITIAN

Sumber data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kurs jual dan beli Dolar

Amerika Serikat terhadap Rupiah. Periode harian dari tanggal 23 Juni 2014 sampai 31 Juli

2015 dengan jumlah observasi 273. Data yang diambil berupa nilai tukar rupiah terhadap

dollar US.

Metode Kerja

1) Tahap Penentuan Parameter Input

Berikut ini adalah tahap-tahap penentuan parameter input :

1. Kurs jual dan beli diurutkan dari hari pertama sampai hari terakhir pengamatan.

2. Mencari selisih antara kurs jual dan beli pada saat hari ke- dengan hari ke- .

3. Nilai selisih tersebut diberi label. Jika nilainya maka beri label I, artinya naik

(increasing) sedangkan jika nilainya maka beri label D, artinya turun (decreasing). 4. Menentukan banyak state yang akan digunakan.

5. Mencari dan membagi interval antar state dengan menggunakan nilai rata-rata pada

masing-masing nilai naik dan turun.

6. Nilai selisih diberi label S1,S2,S3,S4 sesuai dengan interval masing-masing state.

7. Mencari matriks transisi dan matriks emisi dari data tersebut.

8. Mencari vektor peluang awal atau biasa disebut π.

2) Tahap Menyelesaikan Masalah-Masalah Pada HMM

A. Menghitung peluang observasi menggunakan Algoritma Forward dan Algoritma

Langkah-langkah Algoritma Forward

a) Tahap Inisialisasi

Mencari nilai .

b) Tahap Induksi

Mencari nilai

c) Tahap Terminasi

Mencari nilai .

Langkah-langkah Algoritma Backward


Menetapkan nilai .

b) Tahap Induksi

Mencari nilai

c) Tahap Terminasi

Mencari nilai .


37

B. Menentukan barisan keadaan tersembunyi menggunakan Algoritma Viterbi

Langkah-langkah Algoritma Viterbi


Mencari nilai saat t=1. Pada tahap ini, nilai .

b) Tahap Rekursi

Mencari barisan maksimum dari nilai maksimum saat waktu t.

c) Tahap Terminasi

.

d) Tahap Backtracking

Mencari barisan optimal dari hasil tahap rekursi.

C. Menaksir parameter-parameter HMM

Langkah-langkah Algoritma Baum-Welch

a) Mencari probabilitas proses berada pada state-i pada waktu t dan berada pada state-j

pada waktu j:

b) Mencari peluang proses berada pada state i pada waktu t:

.

c) Mencaripenaksir parameter

. d) Mencari penaksir

e) Mencari penaksir


1. Prediksi Pergerakan Kurs Beli Dolar Amerika tehadap Rupiah

Berdasarkan data yang diolah, diperoleh nilai rata-rata untuk kategori turun adalah

(-45,09) dan nilai terkecilnya adalah (-180). Sedangkan untuk kategori naik adalah (40,42)

dan nilai terbesarnya adalah (292). Selanjutnya menentukan interval dimasing-masing

kategori. Untuk kategori turun dibagi menjadi dua state, yaitu state1 dan state2. Interval

untuk state1 adalah -180 sampai -45,09 dan untuk state2 adalah -45,08 sampai 0. Sedangkan

untuk kategori naik dibagi menjadi dua state, yaitu state3 dan state4. Interval untuk state3

adalah 0,001 sampai 40,42 dan untuk state4 adalah 40,43 sampai 299.

Matriks transisi yang diperoleh disajikan pada Gambar 2, matriks emisi yang diperoleh

disajikan pada Gambar 3 serta didapat vektor peluang keadaan awal

.

Pada penelitian ini, peneliti memilih tiga hari untuk diprediksi. Misalkan jika ternyata

dari tiga hari prediksi hanya dua hari yang benar menurut hasil di kehidupan nyata, maka

prediksi ini dapat digunakan. Permasalahan pertama diselesaikan dengan menggunakan

Mahmudi dan Ardi

38

algoritma Forward dan algoritma Backward. Karena peneliti memilih T=3 maka terdapat 8

kemungkinan barisan observasi, yaitu O=(naik, naik, naik); O=(naik, naik, turun); O=(naik,

turun, naik); O=(naik, turun, turun); O=(turun, naik, naik); O=(turun, naik, turun);

O=(turun, turun, naik); O=(turun, turun, turun). Dari hasil algoritma Forward dan

Backward, barisan observasi yang memiliki nilai peluang terbesar adalah O=(turun, turun,

turun) dengan peluang 0.18.Karena nilai peluang barisan observasi masih di bawah 0,5 yang

berarti barisan observasi tersebut belum optimal.

Gambar 2. Matriks Transisi Pergerakan Kurs Beli Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah

1

1 2

3

4

0.49 0.51

0.67 0.33

0.58 0.42

0.48 0.52

I D

S

B S

S

S

Gambar 3. Matriks Emisi Pergerakan Kurs Beli Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah

Permasalahan kedua pada HMM adalah bagaimana menentukan barisan hidden states

yang paling optimal, dalam hal ini tingkat kurs beli Dolar yang paling mungkin menyebabkan

investor memilih pergerakan kurs beli Dolar sesuai dengan barisan observasi yang ingin

ditinjau. Permasalahan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan Algoritma Viterbi

dengan barisan observasi yang digunakan adalah hasil algoritma Forward dan Backward

yaitu O=(turun, turun, turun). Jadi, kurs beli Dolar dengan barisan observasi yang paling

optimal adalah: 3 2 3, ,X S S S .

Dari hasil tersebut, dapat dibandingkan nilai prediksi dengan nilai asli kurs beli Dolar,

yang disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1 Perbandingan Nilai Prediksi dengan Nilai Asli Kurs Beli Dolar terhadap Rupiah

Waktu Nilai Prediksi Nilai Asli

Hari Terakhir Pengamatan 13.414,00 13.414,00

Prediksi Hari Pertama [13.414,001 ; 13.454,42] 13.425,00

Prediksi Hari Kedua [13.368,921 ; 13.454,42] 13.449,00

Prediksi Hari Ketiga [13.368,922 ; 13.494,84] 13.461,00

Pada hari terakhir pengamatan, kurs beli Dolar berada pada nilai 13.414,00. Berdasarkan

barisan keadaan tersembunyi yang paling optimal di atas maka pada prediksi hari pertama

kurs beli Dolar akan mengalami kenaikan sebesar [0,001 ; 40,42]. Jadi kurs beli Dolar di hari

pertama akan berada di range [13.414,001 ; 13.454,42]. Kemudian pada prediksi hari kedua


39

kurs beli Dolar akan mengalami penurunan sebesar [-45,08 ; 0]. Jadi kurs beli Dolar di hari

kedua akan berada di range [13.368,921 ; 13.454,42]. Dan prediksi hari ketiga kurs beli Dolar

akan mengalami kenaikan sebesar [0,001 ; 40,42]. Jadi kurs beli Dolar di hari ketiga akan

berada di range [13.368,922 ; 13.494,84]. Karena nilai asli kurs beli Dolar ada pada interval

selang nilai prediksi yang diperoleh maka prediksi dari ketiga hari sudah sesuai. Oleh karena

itu, nilai kurs beli Dolar pada penelitian ini cocok jika dimodelkan dengan HMM.

Selanjutnya, agar model HMM ini dapat digunakan untuk waktu yang akan datang tanpa

menentukan ulang parameter input maka dilakukan penaksiran parameter-parameter HMM

yang optimal dari data yang diolah dengan menggunakan algoritma Baum-Welch.

Dari hasil pengolahan menggunakan algoritma Baum-Welch diperoleh:

a. Nilai taksiran peluang keadaan awal untuk , yaitu :

1 1 1 1[ (1) (2) (3) (4)] [0.2 0.3 0.3 0.2]A

Nilai diatas adalah taksiran peluang awal. Artinya agar nilai terpenuhi, maka probabilitas proses berada pada state1 adalah sebesar 0,2 ; untuk state2 adalah

sebesar 0,3 ; untuk state3 adalah sebesar 0,3 ; untuk state4 adalah sebesar 0,2.

b. Taksiran matriks transisi, yaitu

Matriks tersebut menggambarkan bahwa untuk mencapai nilai maka

probabilitas transisi dari kurs beli Dolar pada state1 ke state1 sebesar 0,37 , dari kurs beli

Dollar pada state1 ke state2 sebesar 0,15 dan seterusnya bisa dilihat pada matriks .

c. Taksiran matriks emisi, yaitu

1

1 2

3

4

0.45 0.55

0.61 0.39

0.50 0.50

0.40 0.60

I D

S

B S

S

S

Matriks tersebut menggambarkan bahwa untuk mencapai maka

probabilitas kurs beli Dolar pada state1 saat besok kurs beli Dolar naik adalah sebesar

0,45. Probabilitas kurs beli Dolar pada state2 saat besok kurs beli Dolar naik adalah

sebesar 0,61 dan seterusnya bisa dilihat pada matriks .

2. Prediksi Pergerakan Kurs Jual Dolar Amerika tehadap Rupiah

Berdasarkan data yang diolah, diperoleh nilai rata-rata untuk kategori turun adalah

(-45,56) dan nilai terkecilnya adalah (-182). Sedangkan untuk kategori naik adalah (40,83)

dan nilai terbesarnya adalah (303). Selanjutnya menentukan interval dimasing-masing

kategori. Untuk kategori turun dibagi menjadi dua state, yaitu state1 dan state2. Interval

untuk state1 adalah -182 sampai -45,56 dan untuk state2 adalah -45,55 sampai 0. Sedangkan

untuk kategori naik dibagi menjadi dua state, yaitu state3 dan state4. Interval untuk state3

adalah 0,001 sampai 40,83 dan untuk state4 adalah 40,84 sampai 303. Matriks transisi yang

diperoleh disajikan pada Gambar 4 dan matriks emisi yang diperoleh disajikan pada Gambar

5 dengan vektor peluang keadaan awal adalah .

Mahmudi dan Ardi

40

Selanjutnya, dengan cara yang sama pada kurs beli (T=3) diperoleh penyelesaian

permasalahan pertama pada kurs jual Dolar yaitu barisan observasi yang memiliki nilai

peluang terbesar adalah O=(turun, turun, turun) dengan peluang 0.18. Nilai peluang barisan

observasi masih di bawah 0,5 yang berarti barisan observasi tersebut belum optimal. Dengan

menggunakan algoritma Viterbi, diperoleh kurs jual Dolar barisan observasi yang paling

optimal adalah 2 3 2, ,X S S S . Dari hasil tersebut, dapat dibandingkan nilai prediksi

dengan nilai asli kurs jual Dolar, yang disajikan pada Tabel 2. Nilai asli pada hari kedua dan

ketiga ada diselang nilai prediksi sehingga prediksi hari kedua dan ketiga sudah tepat.

Sedangkan pada hari pertama selang prediksinya tidak memuat nilai asli sehingga prediksinya

tidak tepat.Walaupun demikian, karena terdapat dua hari yang menghasilkan prediksi tepat

dari 3 hari ke depan yang diprediksi maka kurs jual Dolar dapat dimodelkan dengan HMM.

Gambar 4. Matriks Transisi Pergerakan Kurs Jual Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah

1

2 2

3

4

0.51 0.49

0.34 0.66

0.42 0.58

0.52 0.48

I D

S

B S

S

S

Gambar 5. Matriks Emisi Pergerakan Kurs Jual Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah

Tabel 2 Perbandingan Nilai Prediksi dengan Nilai Asli Kurs Jual Dolar terhadap Rupiah

Waktu Nilai Prediksi Nilai Asli

Hari Terakhir Pengamatan 13.548,00 13.548,00

Prediksi Hari Pertama [13.502,45 ; 13.548,00] 13.559,00

Prediksi Hari Kedua [13.502,451 ; 13.588,83] 13.562,00

Prediksi Hari Ketiga [13.456,901 ; 13.588,83] 13.585,00

Hasil penaksiran parameter-parameter model HMM yang optimal dari data kurs jual

Dolar sebagai berikut

a. Nilai taksiran peluang keadaan awal saat t=1, yaitu

2 2 2 2[ (1) (2) (3) (4)] [0.13 0.31 0.36 0.20]B

b. Taksiran matriks transisi:


41

c. Taksiran matriks emisi:

1

2 2

3

4

0.55 0.45

0.39 0.61

0.51 0.49

0.60 0.40

I D

S

B S

S

S

.

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan

sebagai berikut :

1. Pengelompokan state yang diperoleh pada kurs beli adalah penurunan kurs beli sangat

kecil (S1) dengan range [-180 ; -45.09], penurunan kurs beli kecil (S2) dengan range [-

45.08 ; 0], kenaikan kurs beli besar (S3) dengan range [0.001 ; 40.42] dan kenaikan kurs beli sangat besar (S4) dengan range [40.43 ; 299].

2. Pengelompokan state yang diperoleh pada kurs jual adalah penurunan kurs jual sangat

kecil (S1) dengan range [-182 ; -45.56], penurunan kurs jual kecil (S2) dengan range [-

45,55 ; 0], kenaikan kurs jual besar (S3) dengan range [0.001 ; 40.83] dan kenaikan kurs

jual sangat besar (S4) dengan range [40,84 ; 303].

3. Barisan observasi yang paling optimal pada kurs beli Dolar adalah 3 2 3, ,X S S S dan

barisan observasi yang paling optimal pada kurs jual Dolar adalah 2 3 2, ,X S S S .

4. Kurs beli dan kurs jual Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah dapat dimodelkan dengan

Hidden Markov Model (HMM). Prediksi kurs beli dari tiga hari ke depan semuanya sudah

tepat, sedangkan kurs jual dari tiga hari prediksi hanya prediksi hari pertama yang masih

kurang tepat.

REFERENSI

[1] Pratikno, Dedy. 2006. Analisis Pengaruh Nilai Tukar Rupiah, Inflasi, SBI, dan Indeks

Dow Jones Terhadap Pergerakan Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) di Bursa

Efek Indonesia (BEI). Jurnal Riset Ekonomi dan Manajemen

[2] Permatasari, Hayuk, Budi Warsito,dan Sugito. 2014. Pemodelan Markov Switching

Vektor Autoregressive (MSVAR). Jurnal Gaussian, Volume 3, Nomor 3, Hal 421-430.

[3] Elvitra, C.W., Budi Warsito, dan Abdul Hoyyi. 2013. Metode Peramalan dengan

Menggunakan Model Volatilitas Asymmetric Power ARCH (APARCH). Jurnal Gaussian,

Volume 2, Nomor 4, Hal 289-300.

[4] Triyono. 2008. Analisis Perubahan Kurs Rupiah terhadap Dollar Amerika. Jurnal

Ekonomi Pembangunan. 9(II).

[5] Rabiner, LR. 1989.“A Tutorial in Hidden Markov Models and Selected Applications in

Speech Recognition”. Jurnal IEEE.

[6] Wijayakusuma, Intan. 2012. Model Nilai Tukar Dollar Singapura terhadap Rupiah

Menggunakan Markov Switching ARCH. Prosiding Seminar Nasional Matematika.

[7] Aditya Gupta and Bhuwan Dhingra, Non-Student members. 2012. “Stock Market

Prediction Using Hidden Markov Models”. Jurnal IEEE.


ISSN 1978 – 8568

PELABELAN TOTAL (a,d)- -ANTIAJAIB SUPER

PADA GRAF ULAR

Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene



Email : [email protected]

Abstract: An - -antimagic total labeling is a bijective function which is

mapping set of vertex and edge in graph to positive integer that constitute an arithmetic progression for two certain positive integers and , and is the amount

of subgraph in . This research discusses about super - -antimagic total

labeling of snake graph for . This research produced theorems that declare

super - -antimagic total labeling of snake graph , super - -antimagic total labeling of snake graph , and super - -

antimagic total labeling of snake graph .

Keywords: - -Antimagic Total Labeling, -covering, Super Antimagic,

Snake Graph.

Abstrak: Suatu pelabelan - -antiajaib adalah suatu fungsi bijektif yang

memetakan himpunan titik dan sisi pada graf ke bilangan positif yang memenuhi suatu barisan aritmetika

untuk dua bilangan bulat positif dan tertentu

serta adalah banyaknya subgraf di Penelitian ini membahas tentang

pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular untuk . Penelitian

ini menghasilkan teorema-teorema yang menyatakan pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular , pelabelan total - -antiajaib super

pada graf ular dan pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular

.

Kata kunci: Pelabelan Total - -Antiajaib, Selimut- , Antiajaib Super, Graf

Ular.

PENDAHULUAN

Teori Graf pertama kali diperkenalkan pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan

Swiss bernama Leonard Euler dalam menyelesaikan masalah jembatan Könisbergh di Jerman.

Masalah jembatan Könisbergh muncul ketika Euler dihadapkan pada suatu kasus dimana

terdapat tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai. Lalu

muncul pertanyaan apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan masing-masing tepat satu

kali dan kembali lagi ke tempat semula. Kemudian Euler memodelkan masalah ini ke dalam

graf dengan membuktikan bahwa hal tersebut tidaklah mungkin. Pembuktian dari kejadian

inilah yang dijadikan sebagai permulaan dari Teori Graf. Sejak saat itu, bidang penelitian

dalam teori graf terus berkembang, salah satunya adalah pelabelan graf.

Pelabelan pada graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen tertentu dari graf

tersebut dengan menggunakan bilangan bulat positif. Secara umum objek kajiannya berupa


Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn

43

graf yang direpresentasikan oleh titik, sisi dan himpunan bilangan asli yang disebut label.

Pelabelan pertama kali diperkenalkan oleh Sadlàčk (1964), Stewart (1966), Kotzig dan Rosa

(1970). Berdasarkan elemen-elemen yang dilabeli, pelabelan dibagi menjadi 3 jenis, yaitu

pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total.

Sejalan dengan era perkembangan pelabelan graf, pelabelan ajaib dan pelabelan

antiajaib merupakan jenis pelabelan graf yang sedang banyak diteliti saat ini. Pelabelan ajaib

pertama kali diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa pada tahun 1970 yang selanjutnya disebut

sebagai pelabelan total sisi ajaib [6]. Kemudian pada tahun 2000, Simanjutak dkk.

memperkenalkan pelabelan total -sisi antiajaib. Pelabelan antiajaib dipelopori oleh

Hartsfield dan Ringel pada tahun 1990. Suatu graf dengan sisi dikatakan antiajaib jika

setiap sisinya dapat dilabeli dengan sedemikian sehingga didapatkan jumlah label yang berbeda dari setiap sisi yang saling bersisian ke setiap titik dari graf tersebut [4].

Kemudian tahun 2009, Inayah dkk. memperkenalkan pelabelan selimut - -antiajaib.

Pelabelan selimut - -antiajaib merupakan pengembangan dari pelabelan total -sisi-antiajaib dan pelabelan selimut.

Dalam teori graf, banyak terdapat jenis-jenis graf salah satunya adalah graf ular. Graf

ular merupakan graf yang disusun dengan aturan pengubinan dari graf segitiga dengan

panjang . Salah satu masalah utama dalam teori graf adalah bagaimana cara memberikan label atau menandai suatu titik dan sisi, sedemikian sehingga setiap titik dan sisi yang saling

bertetangga memiliki tanda yang berbeda. Permasalahan dalam paper ini adalah bagaimana

mengkonstruksi pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular .

LANDASAN TEORI

Definisi dan Notasi pada Graf

Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan , ditulis dengan notasi , yang dalam hal ini adalah himpunan tidak-kosong dari titik-titik dan adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang titik [9]. Definisi tersebut menyatakan

bahwa tidak boleh kosong, sedangkan boleh kosong. Sehingga sebuah graf dimungkinkan

tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi titiknya harus ada minimal satu. Graf yang hanya

mempunyai satu buah titik tanpa sebuah sisi dinamakan graf trivial, sedangkan graf yang

hanya mempunyai himpunan titik dan tidak memiliki sebuah sisipun dinamakan graf kosong.

Titik adalah titik pada graf yang biasanya dinotasikan dengan huruf, seperti .

Sedangkan biasanya dinotasikan dengan sisi yang menghubungkan titik dengan titik ,

maka dapat ditulis sebagai .

Gambar 1. Graf


44

Misalkan diberikan graf sesuai Gambar 1. Dua titik di graf dikatakan bertetangga

bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, bertetangga

dengan jika adalah sebuah sisi pada graf . Pada Gambar 1, titik bertetangga

dengan titik dan tetapi titik tidak bertetangga dengan titik . Untuk sembarang sisi

, sisi dikatakan bersisian dengan titik dan titik . Pada Gambar 1, sisi bersisian dengan titik dan , sisi bersisian dengan titik dan , tetapi sisi

tidak bersisian dengan titik . Dua titik dan di suatu graf dikatakan terhubung jika terdapat lintasan di graf . Jika tidak terdapat lintasan maka graf tersebut disebut graf tidak terhubung [2]. Derajat suatu titik pada graf tak-berarah adalah

banyak sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Derajat dinotasikan dengan Pada

Gambar 1, titik mempunyai derajat atau dapat ditulis dengan .

Beberapa Graf Sederhana Khusus

Ada beberapa jenis graf sederhana khusus, beberapa di antaranya adalah graf lengkap,

graf lintasan dan graf lingkaran. Graf Lengkap yang tertera pada Gambar 2 merupakan graf

sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya. Graf lengkap dengan

buah titik dilambangkan dengan . Setiap titik pada berderajat .

Gambar 2. Graf Lengkap

Gambar 3 adalah graf lintasan dengan titik dinotasikan dengan , yaitu graf yang

terdiri dari path tunggal. memiliki sisi. Gambar 4 mengilustrasikan graf lingkaran

merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf lingkaran dengan titik

dilambangkan dengan dimana . adalah graf dengan titik yaitu

dan sisi-sisi .

Graf Ular

Sebuah pengubinan mosaik adalah pengubinan dari sebuah bidang menggunakan

poligon. Jika mosaik terdiri dari poligon yang kongruen, maka disebut mosaik regular. Hanya

terdapat 3 mosaik regular yaitu segitiga beraturan, segiempat beraturan dan segienam

beraturan. Misalkan terdapat suatu pengubinan pada bidang menggunakan segitiga. Dua

segitiga dikatakan terhubung jika salah satu sisinya saling beririsan. Jika adalah kumpulan

segitiga-segitiga yang terhubung, maka adalah graf planar terhubung yang terdiri dari


45

kumpulan , dimana setiap segitiga saling terhubung sisinya paling tidak satu sisi. Kumpulan

segitiga terhubung disebut triomino. Jadi disebut -triomino jika adalah pengubinan dari segitiga-segitiga yang terhubung. Graf ular merupakan graf yang disusun dengan aturan

pengubinan dari graf segitiga dengan panjang . Graf ular dengan panjang adalah 1-triomino, dengan menempatkan segitiga dengan cara yang tertera pada Gambar 2 [7].

Gambar 3. Graf Lintasan

Gambar 4. Graf Lingkaran

Gambar 5. Graf Ular

Definisi Subgraf

Suatu graf adalah subgraf dari graf dinotasikan dengan , jika dan

. Subgraf spans dan adalah spanning subgraf dari jika setiap titik dari

terdapat di atau [3].


46

Isomorfisma Graf

Dua graf dan dengan titik disebut isomorfik jika titik dari dan dapat

dilabeli dengan bilangan dari 1 sampai sehingga bila titik bertetangga dengan titik di ,

maka titik bertetangga dengan titik di dan sebaliknya [4]. Dua buah graf dikatakan isomorfik bila memenuhi syarat-syarat: mempunyai jumlah titik yang sama, mempunyai

jumlah sisi yang sama, dan mempunyai jumlah derajat yang sama.

Pelabelan Graf

Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) bijektif yang memasangkan

unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif [1]. Jika domain dari fungsi

adalah titik, maka disebut pelabelan titik (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka

disebut pelabelan sisi (edge labeling). Dan jika domainnya adalah titik dan sisi, maka disebut

pelabelan total (total labeling) [8].

Pelabelan Graf

Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) bijektif yang memasangkan

unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif [1]. Jika domain dari fungsi

adalah titik, maka disebut pelabelan titik (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka

disebut pelabelan sisi (edge labeling). Dan jika domainnya adalah titik dan sisi, maka disebut

pelabelan total (total labeling) [8].

a. Pelabelan Graf Ajaib

Misalkan dengan . Kita katakan ajaib jika sisi-sisi di

dapat dilabeli dengan bilangan sehingga jumlah dari label semua insiden sisi-sisi dengan sembarang titik adalah sama [4].

b. Pelabelan Graf Antiajaib

Pelabelan antiajaib pada graf didefinisikan sebagai fungsi yang bersifat bijektif

(satu-satu pada) dari kepada himpunan dimana dan mempunyai karakteristik bahwa tidak sama atau

bobot yang berbeda untuk setiap dengan adalah bobot dari penjumlahan dua titik diantara satu sisi [1].

i. Pelabelan Sisi -Titik-Antiajaib

Pelabelan sisi -titik-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang

memetakan himpunan sisi ke bilangan positif sedemikian sehingga

himpunan bobot titik dari semua titik di adalah , dimana , dan [1].

ii. Pelabelan Titik -Sisi-Antiajaib

Pelabelan titik -sisi-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang

memetakan himpunan titik ke bilangan bulat positif sedemikian

sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di adalah , dimana , dan [1].

iii. Pelabelan Total -Titik-Antiajaib

Pelabelan total -titik-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang

memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif


47

sedemikian sehingga himpunan bobot titik dari semua titik di adalah

, dimana , dan [1].

iv. Pelabelan Total -Sisi-Antiajaib

Pelabelan total -sisi-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang

memetakannhimpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di adalah

, dimana , dan [1].

v. Pelabelan Total - -Antiajaib

Misalkan dan graf. Suatu pelabelan total - -antiajaib dari adalah fungsi

bijektif sedemikian sehingga untuk setiap subgraf

isomorfik untuk . Himpunan dari bobot-

merupakan barisan aritmatika dengan jarak , yaitu dengan dan

bilangan bulat positif dan adalah suatu bilangan subgraf isomorfik . Dalam hal ini kita

katakana bahwa adalah - -antiajaib. Sementara untuk , kita

katakan bahwa adalah pelabelan total - -antiajaib super dan adalah - -

antiajaib super. Catatan jika , maka pelabelan tersebut menjadi pelabelan -ajaib [5].


Graf ular dinotasikan sebagai dengan (Gambar 6) dimana adalah banyaknya

segitiga pada graf ular.

Gambar 6. Graf Ular dengan .

Graf ular mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut, dimana adalah

himpunan titik atas dan adalah himpunan titik bawah pada graf ular .

,

dan


48

,

.

Konstruksi Pelabelan Total - -Antiajaib Super pada Graf Ular

Mengkonstruksi pelabelan dari suatu graf yaitu membangun atau membentuk fungsi

bijektif yang memasangkan suatu himpunan unsur-unsur graf yaitu titik dan sisi dengan

bilangan bulat.

TEOREMA 1

Untuk , graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.

Bukti:

Misalkan adalah suatu pelabelan - -antiajaib super. Didefinisikan terhadap titik dan sisinya sebagai berikut.

Dapat dilihat bahwa adalah suatu fungsi bijektif dari

Bobot

didefinisikan sebagai bobot total selimut dari pelabelan total


49

pada graf ular. Bilangan dan pada

dan

bukan pangkat, melainkan bilangan tersebut

hanya merupakan kode pembeda bobot total selimut untuk tiap selimut yang berlainan

dengan syarat batas yang berbeda. Sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut:

,

.

Karena

dan . Berdasarkan hasil diatas, dapat diperhatikan bahwa

himpunan bobot total selimut untuk , mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.

TEOREMA 2


Bukti:

Misalkan adalah suatu pelabelan - -antiajaib super. Didefinisikan terhadap titik dan sisinya sebagai berikut:


50

Dapat dilihat bahwa adalah suatu fungsi bijektif dari

Bobot didefinisikan sebagai bobot total selimut

dari pelabelan total pada graf ular. Bilangan dan pada

dan

bukan pangkat,

melainkan bilangan tersebut hanya merupakan kode pembeda bobot total selimut untuk

tiap selimut yang berlainan dengan syarat batas yang berbeda. Sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut:

,

.

Karena


himpunan bobot total selimut untuk , mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.

TEOREMA 3


Bukti:

Misalkan adalah suatu pelabelan - -antiajaib super. Didefinisikan terhadap titik

dan sisinya sebagai berikut:


51

Dapat dilihat bahwa adalah suatu fungsi bijektif

dari Bobot

didefinisikan sebagai bobot total

selimut dari pelabelan total pada graf ular. Bobot

didefinisikan sebagai bobot total

selimut dari pelabelan total pada graf ular. Bilangan dan pada

dan

bukan

pangkat, melainkan bilangan tersebut hanya merupakan kode pembeda bobot total selimut

untuk tiap selimut yang berlainan dengan syarat batas yang berbeda. Sehingga dapat

dirumuskan sebagai berikut:

,

.

Karena


himpunan bobot total selimut untuk , mempunyai pelabelan total - -

antiajaib super.

Dilihat dari ketiga teorema yang telah dibahas diatas, didapat bobot dengan masing-

masing nilai yang diperoleh. Berikut ini adalah tabel eksistensi pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular .


52

Tabel 1. Eksistensi Pelabelan Total - -Antiajaib Super pada Graf Ular

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan bahwa graf ular memuat

pelabelan total - -antiajaib super, dan penelitian ini menghasilkan tiga teorema dengan

yang berbeda pada masing-masing teorema. Pada Teorema 1, untuk graf ular

mempunyai pelabelan total - -antiajaib super. Pada Teorema 2, untuk graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super. Dan pada Teorema

3, untuk graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.

Berikut adalah tabel pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular .

REFERENSI

[1] Baca, Martin dan Mirka Miller. 2008. Super Edge-Antimagic Graph: A Wealth of

Problems and Solution. Florida: Brown Walker Press.

[2] Bondy, J. A, dan U. S. R Murty. 1976. Graph Theory With Applications. The

Macmillan Press.

[3] Harju, Tero. 1994. Lecture Notes on Graph Theory. Department of Mathematics

University of Turku, Finland.

[4] Hartsfield, N. dan Gherald Ringel. 1990. Pearls in Graph Theory. San Diego:

Academic Press.

[5] Inayah, N., A. N. M. Salman, dan R. Simanjuntak. 2009. On ( , )-H-Antimagic

Covering of Graph, The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial

Computing 71, 273-281.

[6] Kotzig, A. dan Rosa, A. 1970. Magic Valuations of Finite Graph. Canada

Mathematics Bulletin 13, 451-461.

[7] Low, Richard M dan Sin-Min Lee. 2004. On the Integer-magic Spectra of

Tessellation Graphs.

[8] Miller, Mirka. 2000. Open Problems in Graph Theory: Labeling Extremal Graph.

Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematika Indonesia X di Institut

Teknologi Bandung, 17-20 Juli.

[9] Munir, Rinaldi. 2009. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Bandung: Informatika.

…

…

…

…


ISSN 1978 – 8568

OPTIMISASI RANGE DAN ENDURANCE SAAT TERBANG JELAJAH

MENGGUNAKAN FIREFLY ALGORITHM

Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito




Abstract: Fly cruising (Cruise) is a phase of flight in which the aircraft at a certain

altitude and speed. Fly cruising has two aspects i.e. Range (mileage) and

Endurance (travel time). The maximum Range and Endurance are the maximum

distance when the aircraft can take off and landing with limited fuel. Cruise phase

fuel consumption can be influenced by the speed and weight of the aircraft.LSU-05

is an unmanned aircraft designed to developed researchers in LAPAN to help

human kind,for example in humanitarian missions and missions to fly away in the

record MURI. Therefore UAV is expected to generate maximum range and

endurance. This research used Firefly Algorithm (FA) as a method for finding the

solution of an optimization problem for Range and Endurance. By applying this

method, the LSU-05 should be operated at a cruising speed of 110 km/hour in order

to obtain the maximum range of 300.44 km. LSU-05 can also be operated with a

cruising speed of 60.12 km/s with a maximum endurance is 1.3 hours and the a fuel

consumption maximum is 16 kg or about 20.78 liters.

Keywords: UAV, Cruise, Range, Endurance, Firefly Algorithm.

Abstrak: Terbang jelajah (Cruise) merupakan fase penerbangan dimana pesawat

berada pada ketinggian dan kecepatan tertentu. Pada fase terbang jelajah terdapat

dua hal yang berkaitan yaitu Range (jarak tempuh) dan Endurance (waktu tempuh).

Range dan Endurance yang maksimal merupakan jarak dimana pesawat dapat

terbang take off dan landing dengan bahan bakar yang terbatas. Keterbatasan bahan

bakar saat cruise sangat dipengaruhi oleh kecepatan dan bobot pesawat itu sendiri.

LAPAN Survillance UAV (LSU-05) merupakan pesawat tanpa awak yang

dirancang peneliti LAPAN agar dapat membantu pekerjaan manusia, misalnya

dalam misi kemanusiaan dan misi terbang jauh pada rekor MURI. Oleh karena itu,

UAV diharapkan mampu menghasilkan range dan endurance yang maksimal saat

melakukan misinya. Penelitian ini menggunakan Firefly Algorithm (FA) sebagai

metode untuk mencari solusi dari masalah optimisasi jarak tempuh maksimum.

Hasil dari penerapan metode FA pada LSU-05 diperoleh range maksimum 300.44

km dengan kecepatan jelajah 110 km/h. LSU-05 juga dapat dioperasikan dengan

kecepatan jelajah 60.12 km/s dan diperoleh endurance maksimum 1.3 jam, dengan

masing-masing maksimum fuel consumption 16 kg atau bekisar 20.78 liter.

Kata kunci: UAV, Terbang Jelajah, Jarak, Waktu Tempuh, Firefly Algorithm.

PENDAHULUAN

Kebutuhan terhadap pesawat ringan tanpa awak atau Unmanned Aerial Vehicle (UAV)

meningkatkan minat berbagai pihak untuk mengembangkan UAV. Lembaga Penerbangan dan

Antariksa Nasional merupakan salah satu lembaga yang mengembangkan UAV dengan

produknya yang diberi nama LAPAN Surveilance UAV jenis ke-05 (LSU-05). Terbang



54

Jelajah (Cruise) merupakan fase dalam sebuah penerbangan dimana pesawat berada pada

ketinggian tertentu. Pada fase ini sering dilakukan analisis terhadap jarak dan waktu tempuh

yang diperlukan untuk terbang jelajah. Jarak dan waktu tempuh saat terbang jelajah

dipengaruhi oleh kecepatan dan bobot pesawat itu sendiri [1].

Dalam melakukan misi bencana alam dan misi terbang jauh dalam pencatatan rekor

MURI maka LSU-05 diharapkan mampu menghasilkan jarak dan waktu tempuh maksimal

dengan keterbatasan kecepatan dan bobot pesawat yang dikarenakan karakteristik pesawat

seperti aerodinamis (drag polar), propulsi (thrust) dan data struktur (weight). Dimana data

tersebut akan dimasukkan dalam persamaan range dan endurance. Persamaan tersebut yang

akan dijadikan sebagai fungsi objektif dengan variable keputusan yaitu keterbatasan

kecepatan saat cruise dan bobot awal pesawat LSU-05. Metode yang akan digunakan pada

fungsi objektif range dan endurance adalah Firefly Algorithm (FA) yang merupakan metode

optimisasi metaheuristik, dimana akan memberikan pencarian global.

TINJAUAN PUSTAKA

Firefly Algorithm (FA)

Firefly Algorithm (FA) merupakan salah satu algoritma metaheuristik yang terbaru.

Oleh karena itu telah ditulis beberapa artikel yang berkaitan dengan FA. FA mengacu pada

beberapa karakteristik dari perilaku kunang-kunang. Pada algoritma ini mengacu pada tiga

acuan dasar, yaitu:

1. Semua kunang-kunang adalah unisex jadi satu kunang-kunang tertarik dengan kunang-

kunang lain terlepas dari jenis kelamin mereka.

2. Daya tarik sebanding dengan kecerahan, maka kunang-kunang dengan kecerahan lebih

redup akan bergerak ke arah kunang-kunang dengan kecerahan lebih terang dan kecerahan

berkurang seiring dengan bertambah jarak. Apabila tidak ada kunang-kunang yang

memiliki kecerahan paling cerah maka kunang-kunang akan bergerak secara acak

(random).

3. Kecerahan atau intensitas cahaya kunang-kunang ditentukan oleh nilai fungsi tujuan dari

masalah yang diberikan.

Ada dua hal yang berkaitan sangat penting pada FA yaitu intensitas cahaya dan fungsi

ketertarikan. Tingkat intensitas cahaya pada sebuah kunang-kunang dapat dilihat sebagai:

Dengan nilai yang merupakan intensitas cahaya yang sebanding dengan fungsi tujuan yang

akan dicari solusinya . Ketertarikan yang bernilai relatif, karena intensitas cahaya yang harus dilihat dan dinilai oleh kunang-kunang lain. Dengan demikian, hasil penilaian akan

berbeda tergantung dari jarak antara kunang-kunang dengan kunang-kunang ( ). Selain

itu, itensitas cahaya akan menurun dilihat dari sumbernya dikarenakan terserap oleh media

seperti udara . Nilai keatraktifan dapat dirumuskan sebagai berikut

(1)

dengan : keatraktifan pada jarak ,

: keatraktifan pada jarak 0 , : koefisien penyerapan udara .

Optimisasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah Menggunakan Firefly Algorithm

55

Jarak antara kunang-kunang i dan j pada lokasi x, dan dapat ditentukan ketika

dilakukanya peletakan titik dimana kunang-kunang tersebut disebar secara random dalam

diagram kartesius dengan rumus [10].

, (2)

Pergerakan kunang-kunang i yang menuju intensitas cahaya yang terbaik dapat dinyatakan

dalam

, (3)

Dimana istilah 1 merupakan variabel awal yang menunjukan posisi awal kunang-kunang

yang berada pada lokasi , kemudian istilah 2 variabel ini merupakan nilai keaktratifan yang

terdapat pada persamaan (2) dan variabel selisih jarak awal antara kunang-kunang dan . Variabel adalah pembangkit bilangan acak berdistribusi seragam yang bisa

diperluas berdistribusi normal atau disrtibusi lainnya [2]. Untuk banyak kasus

implementasi nilai dan .

Pseudocode FA diilustrasikan pada Gambar 1. Pseudocode dimulai dengan menginput

parameter yaitu Max Generation, dan jumlah populasi kunang-kunang. Definisikan nilai

yang merupakan intensitas cahaya yang sebanding dengan . Jika akan

memaksimumkan fungsi tujuan maka kunang-kunang akan bergerak menuju kawanan yang

lebih terang . Selisih dari koordinat lokasi kunang-kunang i terhadap j

merupakan jarak diantara keduanya . Apabila belum ditemukan cahaya terbaik maka

kunang-kunang tetap mencari kunang-kunang yang memiliki cahaya lebih baik. Keatraktifan

yang bernilai relatif, karena intensitas cahaya yang dilihat oleh kunang-kunang lain akan

berbeda tergantung dari dan intensitas cahaya dipengaruhi oleh penyerapan udara pada

lingkungan (media). Jika kunang-kunang telah mendapatkan posisi terbaik dimana

keatraktifan pada jarak 0 maka kriteria untuk berhenti telah terpenuhi sampai batas

iterasi dan selesai. Jika tidak maka lakukan iterasi sampai mendapatkan posisi terbaik

.

Prestasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah

Terbang jelajah (Cruising Flight) atau terbang datar (Level Flight) adalah terbang

dengan lintas terbang berupa garis lurus dimana sayap sejajar dengan bidang horisontal lokal

dan sudut lintas terbang nol . Sama halnya dengan analisis prestasi terbang yang lain, analisis terbang jelajah juga menganggap bahwa pesawat terbang stasioner. Pada kondisi

terbang stasioner, persamaan kesetimbangan gaya pada pesawat diacukan pada tata acuan

koordinat angin.

Pada kondisi terbang stasioner, gaya angkat yang timbul disamakan dengan berat

pesawat dan kondisi daya yang tersedia sama dengan daya yang diperlukan, sehingga secara

ideal tidak ada kelebihan daya (excess power):

,


56

Gambar 1. Pseudocode FA

dan berlaku

.

Dalam melakukan analisis prestasi terbang jelajah pesawat LSU-05 ada dua parameter

yang akan dihitung yaitu jangkauan terbang (Range) dan lama terbang (Endurance). Untuk

menghitung parameter tersebut diasumsikan bahwa terbang jelajah dilakukan pada sudut

serang yang konstan, mesin di atur pada power tertentu dan konstant serta efisiensi propeller juga dianggap konstan. Perubahan yang terjadi ada pada perubahan berat pesawat

karena berkurangnya bahan bakar (fuel). Dengan anggapan tersebut maka faktor sistem

propulsi

dan faktor efisiensi aerodinamika

bernilai konstan, sehingga diperoleh

Persamaan Breguet (Breguet Formula)

(1)

INPUT : Fungsi Objektif dan adalah banyaknya variabel keputusan;

Banyaknya populasi ; Parameter firefly algorithm: ; Banyaknya iterasi maksimum

;

OUTPUT : solusi fungsi objektif

Bangkitkan inisial populasi

;

while ( ) do

Evaluasi fungsi objektif pada tiap kunang-kunang ;

for do

for j=1:n do

Hitung jarak antar kunang-kunang dengan menggunakan persamaan (2);

Hitung fungsi keatraktifan dengan menggunakan persamaan (3);

if then

Gerakan kunang-kunang i menuju j denhan menggunakan persamaan (3);

end

end

end

Urutkan kunang-kunang berdasarkan tingkat intensitas cahaya yang terbesar;

End


57

Sementara itu dalam menghitung parameter lama terbang jelajah (Endurance) digunakan

persamaan

dimana

sehingga dengan menggunakan asumsi yang sama dengan perhitungan parameter jangkauan

terbang (Range) diperoleh persamaan lama terbang (Endurance) adalah

Persamaan tersebut digunakan karena sistem propulsi pesawat LSU-05 menggunakan

propeller, sementara itu untuk propulsi jet mempunyai persamaan yang sedikit berbeda

dimana tidak ada efisiensi dari propeller. Efisiensi propeller yang digunakan dalam analisis

ini menggunakan persamaan yang diambil dari daya yang tersedia atau digunakan untuk

terbang jelajah. Persamaan yang digunakan adalah

Nilai efisiensi yang diperoleh dari persamaan diatas merupakan nilai batas tertinggi

efisiensi teoritik (theoritical upper limit of propeller efficiency). Selain perhitungan efisiensi

propeller, dalam menghitung prestasi terbang jelajah pesawat diperlukan data daya yang

digunakan, dalam hal ini daya yang digunakan adalah sebesar 11.5 HP [3]. Daya tersebut

adalah yang paling memungkinkan optimum digunakan untuk fasa cruise. Dengan demikian

fungsi objektif yang digunakan untuk mencari titik optimum global Endurance menjadi

(2)

Karena dalam persamaan diatas tidak terdapat variabel kecepatan. Oleh karena itu menurut

[4] kecepatan saat terbang jelajah adalah

(3)

Kemudian subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) menjadi


58

(4)

dimana adalah berat kerangka pesawat, adalah berat

muatan maksimum, adalah berat sebelum memasuki terbang jelajah, adalah berat setelah selesai melewati fase

terbang jelajah, adalah kecepatan saat terbang jelajah, adalah koefisien lift, adalah

koefisien drag, adalah efisiensi propeller.

Data yang digunakan dalam percobaan ini adalah data spesifikasi LSU-05 yang terdapat

pada Tabel 1. Pada pengoperasian terbang jelajah terdapat dua hal yang berkaitan yakni

seberapa jauh atau dekat jarak dan seberapa lama atau cepat waktu yang dihasilkan. Jarak

maksimal merupakan jarak dimana pesawat dapat terbang Take Off dan Landing dengan

bahan bakar yang terbatas. LSU-05 memiliki kendala saat terbang jelajah yakni kecepatan

yang bekisar antara 60 km/h sampai 110 km/h dan berat pesawat awal bekisar 61 kgf sampai

77 kgf.

Tabel 1 Karakteristik LSU-05 yang digunakan dalam perhitungan [5].

VCr : 60 : 0.85 atau 85%

Cp(Range) : 1,1765 CL : 0,532

CD : 0.038 W1 : Kg

W2 : 61 kg CP (Endurance) :


Optimisasi Jarak (Range) Saat Terbang Jelajah Menggunakan FA.

Berikut ini adalah fungsi objektif range yang akan dijadikan acuan sebagai intensitas

cahaya pada FA. Pada kasus ini kunang-kunang akan bergerak menuju kunang-kunang lain

yang memiliki intensitas cahaya yang lebih baik.

(6)

7.

Parameter yang digunakan dalam percobaan FA yaitu dan .

Berdasarkan hasil percobaan dengan menentukan jumlah populasi 25 kunang-kunang dan 100

MaxGeneration maka diperoleh solusi global dapat dijelaskan bahwa dengan kecepatan 110 km/h dan bobot awal pesawat 77 kg maka range

maksimum yang diperoleh LSU-05 adalah 300,44 km. Gambar 2 merupakan visualisasi dari

fungsi objektif range. Jumlah 25 populasi kunang-kunang kemudian disebar secara random

dengan posisi awal yang diperlihatkan dalam Gambar 3 kemudian bergerak sebanyak 100


59

MaxGeneration sehingga posisi akhir dapat diperlIhatkan dalam Gambar 4. Dapat dilihat

bahwa kunang-kunang bergerak berkumpul menuju garis kontur yang lebih terang warnanya.

Gambar 2. Grafik 2D Fungsi Range

Gambar 3. Posisi awal 25 kunang-kunang

Optimisasi Waktu Tempuh (Endurance) Saat Terbang Jelajah Menggunakan FA

Berikut ini adalah fungsi objektif dari optimisasi endurance.

(7)

7

Gambar 4. Posisi akhir 25 kunang-kunang setelah 100 iterasi.


60

Parameter yang digunakan dalam percobaan FA yaitu dan .

Berdasarkan hasil percobaan dengan menentukan jumlah populasi 25 kunang-kunang dan 100

Max Generation maka diperoleh solusi global dapat dijelaskan bahwa dengan kecepatan 60.12 km/h dan bobot awal pesawat 77 kg maka

endurance maksimum yang diperoleh LSU-05 adalah km. Gambar 5 merupakan visualisasi dari fungsi objektif endurance. Jumlah 25 populasi kunang-kunang kemudian

disebar secara random dengan posisi awal yang diperlihatkan dalam Gambar 6 kemudian

bergerak sebanyak 100 Max Gen sehingga posisi akhir dapat diperlihatkan dalam Gambar 7.

Posisi akhir kunang-kunang menunjukkan bahwa kunang-kunang bergerak kemudian

berkumpul menuju garis kontur yang lebih terang warnanya.

Gambar 5. Grafik 2D Fungsi Endurance.

Gambar 6. Posisi awal 25 kunang-kunang untuk Fungsi Endurance.


61

Gambar 7. Posisi akhir 25 kunang-kunang setelah 100 iterasi Fungsi Endurance

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil percobaan menggunakan FA yang telah dilakukan pada fungsi uji

optimasi, fungsi range dan fungsi endurance maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Setelah dilakukan percobaan FA dengan 25 kunang-kunang dan 100 iterasi terhadap

fungsi range solusi yang diperoleh yaitu LSU-05 mampu terbang maksimal sejauh

300.44 km dan kecepatan jelajah maksimal 30.55 m/s atau 110 km/h dengan bobot awal

(W1) sebesar 77 kgf.

2. Setelah dilakukan percobaan FA dengan 25 kunang-kunang dan 100 iterasi terhadap

fungsi Endurance solusi yang diperoleh yaitu LSU-05 mampu terbang selama 1.3 jam dan

kecepatan jelajah maksimal 60.12 km/h dengan bobot awal (W1) sebesar 77 kg.

REFERENSI

[1] Pinindriya, Sinung Tirtha. 2013. Karakteristik Aerodinamika Sayap PTA LSU-05 Dengan

Simulasi CFD. LAPAN Rumpin. Bogor.

[2] Yang, X.S. 2009. Firefly Algorithm for Multimodal Optimization. Stochastic Algorithms:

Foundations and Applications, SAGA 2009, Lecture Notes in Computer Sciences, Vol.

5792, pp. 169-178.

[3] Soemaryanto, Arifin Rasyadi. 2015. Analisis Prestasi Terbang Pesawat LSU-05 B01

dengan metode Point Performance. Technical Report LAPAN.

[4] Rujgok, G.J.J. 1990. Elements of Airplane Performance. Netherlands: Delft University

Press.

[5] Pratomo, Bangga, Hendrix Novianto & M Ardi Cahyono. 2013. Perancangan dan

Pembuatan Platform UAV Radio Control Kolibri-08v2 dengan Mesin Thunder Tiger 46

Pro. Sekolah Tinggi Teknologi Penerbangan. Yogyakarta. Volume V.


ISSN 1978 – 8568

SIFAT ADITIF KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS-U

Gustina Elfiyanti




Abstract: Davvaz and Shabbani-Solt introduced a notion of chain U-complex as a

generalization of chain complex by replacing kernels with submodules U . They

used the definitions to generalize some results in homological algebra. In this

paper we propose a generalization of homotopy category of complexes called

homotopy category of U-complexes by replacing the objects with chain U-

complexes, morphisms with U-homotopy equivalent classes of morphisms of U-

complexes. We prove that this category is an additive category.

Keywords: chain U-complex, morphisms of U-complexes, U-homotopy homotopy

category of U-complexes, additive category.

Abstrak: Davvaz dan Shabbani-Solt mengenalkan rantai rantai kompleks-U

sebagai perumuman rantai kompleks dengan mengganti kernel dengan submodul

U. Mereka menggunakan definisi tersebut untuk memperumum beberapa hasil

dalam aljabar homologi. Tulisan ini bertujuan untuk membuat perumuman kategori

homotopi kompleks yang disebut kategori homotopi kompleks-U dengan

mengganti objek dengan rantai kompleks-U dan morfisma dengan kelas ekivalen

homotopi-U dari morfisma kompleks-U. Diperoleh bahwa kategori ini merupakan

kategori aditif.

Kata kunci: rantai kompleks-U, morfisma kompleks-U, homotopi-U, kategori

homotopi kompleks-U, kategori aditif.

PENDAHULUAN

Dalam kehidupan manusia biasanya mengklasifikasikan objek-objek berdasarkan

kemiripan sifat yang dimiliki. Pengklasifikasian tersebut bertujuan untuk mempermudah

mempelajari/mengkaji objek yang diminati. Karena objek-objek yang berada dalam kelompok

yang sama memiliki sifat yang sama maka untuk mengkaji kelompok tersebut kita tidak perlu

mempelajari semua anggotanya tapi cukup perwakilannya saja.

Hal yang sama juga berlaku dalam aljabar, objek yang dibahas adalah himpunan atau

koleksi himpunan yang dilengkapi dengan suatu struktur. Metode pengklasifikasian dilakukan

dengan pemetaan, khususnya isomorfisma. Jika terdapat suatu isomorfisma antara dua objek

maka kedua objek tersebut memiliki sifat yang sama. Sehingga kajian mengenai suatu

struktur aljabar dapat dilakukan melalui kelas-kelas isomorfisma dari objeknya. Pendekatan

yang mengoptimalkan kajian sifat-sifat pemetaan ini adalah pendekatan kategori.

Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi

homomorfisma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Jika objek dari kategori berupa

rantai kompleks, yaitu rantai modul-R dan homomorfisma modul-R dengan sifat komposisi

setiap homomorfisma yang bertetanggaan adalah nol, maka kategori tersebut kategori

kompleks.


Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U

63

Suatu rantai kompleks 1 1

1 1 2

n n nd d d

n n n nX XX X

™ dikatakan barisan eksak

jika 1

1Im 0n nd d

. Suatu pertanyaan natural adalah bagaimana jika 0 diganti dengan

1nU sebuah submodul dari

1nX . Dalam [1], Davvaz dan Parnian-Garmaleky mengenalkan

perumuman dari konsep ini yang disebut barisan eksak-U , yang merupakan modifikasi dari

notasi barisan eksak biasa dan menjawab permasalahan di atas. Mereka kemudian

memperumuman beberapa hasil untuk barisan eksak biasa pada barisan eksak-U . Dalam [2],

Anvariyeh dan Davvaz melanjutkan penelitian dalam topik ini dan fokus dalam aplikasi

barisan eksak-U dan mempelajari barisan terpisah-U . Kemudian dalam [3] Davvaz dan

Shabani-Solt membuat perumuman beberapa topik dalam aljabar homologi. Mereka

mengenalkan konsep rantai kompleks-U , morfisma kompleks-U, homologi-U dan fungtor-

. Mereka menggunakan konsep tersebut untuk mencari perumuman dari Lema Lambek,

Lema Ular, Homomorfisma Penghubung dan Segitiga Eksak.

Elfiyanti dkk. [4] menggunakan penelitian Davvaz dan Shabani-Solt untuk membuat

perumuman kategori kompleks yang disebut kategori kompleks-U. Tulisan ini bertujuan

untuk melanjutkan penelitian [3] dan [4] dengan membuat perumuman kategori homotopi

kompleks, yang disebut kategori homotopi kompleks-U , diperoleh bahwa kategori ini adalah

kategori aditif.

KATEGORI KOMPLEKS

Pada bagian ini dipaparkan beberapa teori dasar yang bersumber dari [5], [6] , [7], [8]

dan [9] dengan notasi penulisan disesuaikan dengan [6].

Suatu kategori terdiri dari: kelas objek Ob yang elemennya disebut objek dari ,

koleksi himpunan Hom ,X Y satu untuk setiap pasangan terurut objek-objek dari ,X Y

dan koleksi pemetaan

: Hom , Hom , Hom ,

,

X Y Y Z X Z

f g gf

untuk setiap triple terurut , ,X Y Z . Ketiga data ini harus memenuhi:

1. Setiap morfisma f secara tunggal menentukan ,X Y sehingga , .f Hom X Y

Dengan kata lain jika , ,X Y X Y maka Hom , Hom , .X Y X Y

2. Untuk setiap X terdapat morfisma 1 Hom ,X X X dinamakan identitas pada X

sehingga jika Hom ,f X Y dan Hom ,g W X maka 1Xf f dan 1 .X g g

3. Komposisi morfisma bersifat asosiatif, yaitu jika Hom , , Hom ,f X Y g Y Z dan

Hom ,h Z W maka .h gf hg f

Jika X objek di maka 1X tunggal. Dengan demikian terdapat korespondensi satu-satu

antara kelas objek di dan kelas morfisma identitas, oleh karena itu dalam mendefinisikan

sifat-sifat pada kategori cukup melihat morfisma dan komposisi (bukan objek). Pernyataan

yang sederhana dalam kategori adalah suatu komposisi morfisma sama dengan suatu

Gustina Elfiyanti

64

komposisi lainnya, misalkan .gf g f Dalam hal ini kita katakan diagram berikut komutatif

jika .

f

gf

g

X Y

X Y

Suatu kategori dikatakan kategori aditif jika berlaku:

A1 Untuk setiap pasang objek ,X Y di maka himpunan Hom ,0X merupakan grup abel

dan komposisi Hom , Hom , Hom ,X Y Y Z X Z bilinier atas .

A2 Kategori memuat objek 0 (yaitu untuk setiap objek di maka himpunan

Hom ,0X dan Hom 0, X memuat tepat satu unsur.

A3 Untuk setiap pasang objek ,X Y di terdapat koproduk .X Y

Kategori aditif dikatakan kategori abel jika setiap morfismanya punya kernel dan

kokernel serta untuk setiap morfisma :f X Y di maka morfisma natural

koIm Im .f f

Rantai kompleks atas kategori aditif adalah barisan tak hingga ,n n nX X d

,

dengan X Ob dan nd (disebut differensial) adalah morfisma di 1Hom ,n nX X yang

memenuhi 1 0X X

n nd d untuk setiap n . Rantai kompleks dapat ditulis sebagai barisan

objek dan morfisma berikut.

1 1 1

1 1 2, :

X X Xn n nd d d

X

n n n n n nX X d X X X X

™

Morfisma antara rantai kompleks , X

n n nX X d

dan , Y

n n nY Y d

adalah barisan

morfisma n nf f

sehingga diagram di bawah komutatif, yaitu 1

X Y

n n n nf d d f untuk setiap

n .

1

1 1

1

1 1

1 1

n n

n n n

Y Yn

X X

n

d d

n n n

f f f

d d

n n n

X X X

Y Y Y

™ ™ ™ ™

™ ™ ™ ™

Koleksi semua rantai kompleks atas bersama morfisma kompleks dan operasi komposisi

membentuk kategori kompleks, dinotasikan dengan .C Jika kategori abel, yaitu

kategori aditif yang setiap morfismanya punya kernel dan kokernel serta untuk setiap


65

morfisma kompleks :f X Y maka morfisma natural koIm Imf f merupakan

isomorfisma, maka C juga kategori abel.

PERUMUMAN RANTAI KOMPLEKS

Pada bagian ini dipaparkan hasil penelitian Davvaz dan Shabani-Solt. Untuk selanjutnya

menyatakan kategori abel RMod , yaitu kategori modul atas gelanggang komutatif

dengan kesatuan .R

Definisi 1.

Rantai kompleks- XU atas kategori adalah keluarga , ,X XX X U d , ,X X

n n n nX U d

dengan X

n nU X objek di dan setiap 1: dan X

n n n nX d X X adalah homomorfisma

modul-R, sehingga untuk setiap n berlaku:

1. 1 1 1

X X X

n n n nd d X U

2. 1Im X X

n nd U

Rantai kompleks- XU dapat ditulis sebagai barisan objek dan morfisma berikut.

1 1

1 1 2, , :

X X Xn n nd d d

X X

n n n nX U d X X X X

™ ™ ™ ™

Dari definisi di atas maka jelas bahwa rantai kompleks adalah rantai kompleks-0, dengan 0

barisan submodul 0. Begitu juga dengan rantai , ,X XX U d dengan sifat 1 1 1

X X X

n n n nd d X U

juga rantai kompleks- .XU Jika , ,X XX U d rantai kompleks- XU maka 1Im X

nd

1

1 .X X

n nd U

Contoh 2

1. Pandang rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut

2 2

32 32 32 x x

™ ™ ™ ™

Maka 32 , 4 ,2X x

adalah rantai kompleks- 4 dan 32 , 2 ,2Y y adalah

rantai kompleks- 2 .

2. Untuk rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut 4 4

32 32 32 x x

™ ™ ™ ™

maka 32 , 8 ,4Z x adalah rantai kompleks 8 .

Definisi 3 (Morfisma kompleks-U)

Misalkan , ,X XX U d dan , ,Y YY U d masing-masing adalah rantai kompleks- XU dan

kompleks- YU . Morfisma kompleks-U atas adalah morfisma rantai kompleks

Gustina Elfiyanti

66

:n n n nf f X Y

dengan X Y

n n nf U U . Morfisma ini disebut juga rantai pemetaan-

, .X YU U

Contoh 4

Misalkan 32 , 4 ,2X x dan 32 , 2 ,2Y y . Definisikan 32 32:nf sebagai

: 4nf x x maka diagram berikut komutatif

2 2

32 32 32

4 4 4

2 2

32 32 32

:

:

x x

f x x x

y y

X

Y

™ ™ ™ ™

™ ™ ™ ™

karena 4 4 16 2 maka f adalah rantai pemetaan 4 , 2

Proposisi 5

Misalkan , ,X XX U d adalah rantai kompleks- XU sehingga 1 1 1

X X X

n n n nd d X U dan

, ,X YY U d rantai kompleks- YU . Jika :n n n nf f X Y

pemetaan rantai kompleks, maka

f juga rantai pemetaan- ,X YU U

Definisi 6 (Homotopi )

Misalkan , ,X XX U d dan , ,X YY U d masing-masing adalah rantai kompleks- XU dan

rantai kompleks- YU . Misalkan pula ,f g adalah dua rantai pemetaan- ,X YU U . Pemetaan

dan f g dikatakan homotop- , ,X YU U dinotasikan dengan f g jika terdapat barisan

morfisma 1:n n n nh h X Y

1

1 11

1

1 1

1 1

:

:

X Xn n

n n n

Yn

n

Y

n

n

d d

n n n

f f f

d d

n n

f h h

n

X X X X

Y Y Y Y

™ ™ ™ ™

™ ™ ™ ™

sehingga untuk setiap n berlaku:

1. 1 1

Y X

n n n n n nf g d h h d

2. 1

X Y

n n nh U U

Barisan n nh h

disebut rantai homotopi- ,X YU U . Jika 0g maka f dikatakan

homotop- ,X YU U ke 0.


67

Lema 7

Relasi homotop- ,X YU U , , adalah relasi ekivalen.

Bukti:

1. Akan dibuktikan " " bersifat reflektif.

Misalkan 0nr untuk setiap n maka 1 1 0Y X

n n n n n nd r r d f f

dan jelas 1 1( ) 0

n

X Y

n n C nr U U maka f f .

2. Akan dibuktikan " "bersifat simetris. Misalkan f g maka terdapat rantai homotopi-

, ,X YU U 1: ,n n n nr r X Y ™ sehingga

1 1

Y X

n n n n n nd r r d f g dan 1( ) .X Y

n n nr U U

Misalkan n ns s

adalah rantai homotopi ,X YU U dengan n ns r , sehingga

1 1 1 1 1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )Y X Y X Y X

n n n n n n n n n n n n n n n n

Y X

n n n n n n n n

d r r d f g d r r d f g d r r d

g f d s s d g f

Karena 1( )X Y

n n nr U U tertutup maka 1( ) ( )X X Y

n n n n nr U s U U . Jadi ,g f maka

terbukti " " bersifat simetris.

3. Akan dibuktikan" " bersifat transitif. Misalkan f g dan g h , maka terdapat rantai

homotopi ,X YU U , 1:n n n nr r X Y ™ dan 1:n n n n

s s X Y ™ sehingga

1 1 ,Y X

n n n n n nd r r d f g 1 1 Y X

n n n n n nd s s d g h dan 1 1( ) , ( )X Y X Y

n n n n n nr U U s U U .

Perhatikan.

1 1 1 1 1 1 1( ) ( )Y X Y X Y X

n n n n n n n n n n n n n n n n n nf g g h d r r d d s s d d r s r s d

Definisikan n nt t

dengan n n nt r s untuk setiap n , maka n n n nf g g h

1 1 1 1 1( ) ( )Y X Y X

n n n n n n n n n n n nd r s r s d d t t d f h . Karena 1( )X Y

n n nr U U dan

1( )X Y

n n ns U U maka jelas 1( )X Y

n n nt U U . Terbukti ,f h dan " " bersifat transitif.

Lema 8 Himpunan kelas ekivalen relasi homotopi membentuk grup abel.

Bukti:

Misalkan ,Hom , ,

Uf X Y

C karena ,

, | U

f g Hom X Y f g C

subhimpunan dari

,,

UHom X Y

Ccukup dibuktikan f subgrup dari ,

, .U

Hom X YC

Misalkan ,g h f maka

terdapat 1:n n n nr r X Y dan 1:n n n n

s s X Y sehingga 1 1

Y X

n n n n n nf g d r r d

dan 1 1 .Y X

n n n n n nf h d s s d Perhatikan

Gustina Elfiyanti

68

1 1 1 1 1 1 1

Y X Y X Y X

n n n n n n n n n n n n n n n ng h d r r d d s s d d r s r s d

Definisikan 1: ,n n n n n nt t r s X Y

karena 1

X Y

n n nr U U dan 1

X Y

n n ns U U maka

1.X Y

n n nt U U Dengan demikian nt adalah rantai homotopi- , ,X YU U oleh karena itu

.g h f Terbukti f subrup dari ,

, .U

Hom X YC

Karena operasi penjumlahan fungsi

bersifat komutatif maka f grup abel.

Lema 9

Misalkan , , ,X XX U d , ,X YY U d dan , ,Z ZZ U d masing-masing adalah rantai kompleks-

XU , rantai kompleks- YU dan rantai kompleks- ZU . Jika :f g X Y dan : ,f g Y Z

maka : .f f g g X Z

Bukti:

Misalkan 1 1 ,Y X

n n n n n nf g d h h d 1 1 1,Z Y X Y

n n n n n n n n nf g d h h d h U U

dan Y

n nh U

1.Z

nU Pandang diagram komutatif berikut:

1

1 1

1

1 1 1 1 1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

:

:

:

n n n

X Xn n

n n n

Y Yn n

n n n n n n n n

Z Z

n n

n n

d d

n n n

f f f

d d

n n n

f g f g h f

f g g h g h g

g h f g

d d

n n n

X X X X

Y Y Y Y

Z Z Z Z

™ ™ ™ ™

™ ™ ™ ™

™ ™ ™ ™

Akan dibuktikan terdapat 1:n n ns X Z sehingga 1 1

Z X

n n n n n n n nd s s d f f g g

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

n n n n n n n n n n

Y X Z Y

n n n n n n n n n n

Y X Z Y

n n n n n n n n n n n n

Z X Z X

n n n n n n n n n n n n

Z

n n n n n n n n n n

f f g g f f g f g g

f d h h d d h h d g

f d h f h d d h g h d g

d f h f h d d h g h g d

d f h h g f h h g d

X

pilih 1n n n n ns f h h g

maka 1:n n ns X Z dan berlaku 1 1 .Z X

n n n n n n n nf f g g d s s d

Dengan demikian kondisi 1 pada Definisi homotopi- , ZXU U dipenuhi. Selanjutnya akan

dibuktikan .X Z

n n ns U U Karena g adalah rantai pemetaan- ,X YU U maka ,X Y

n n ng U U


69

maka 1.X Y Y

n n n n n nh g U h U U

Kemudian karena f adalah rantai pemetaan- ,X YU U

maka 1 1 1 1.X Y Z

n n n n n nf h U f U U

Jadi diperoleh .X Z

n n ns U U

PERUMUMAN KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS

Dalam (4) kategori kompleks-U atas didefinisikan analog dengan kategori

kompleks yaitu kategori yang objeknya berupa rantai kompleks-U atas , morfismanya

adalah morfisma kompleks-U atas , dan operasinya adalah komposisi pemetaan biasa.

Kategori ini merupakan kategori abelian. Selanjutnya pada bagian ini akan dipaparkan

tentang kategori homotopi kompleks-U atas .

Dari Lema 7 diketahui bahwa relasi homotop- , , ,X YU U adalah relasi ekivalen.

Kemudian berdasarkan Lema 9, komposisi dua morfisma kompleks-U yang homotop- , ,U

juga homotop- ,U maka kita dapat mendefinisikan kategori homotopi kompleks sebagai

berikut.

Definisi 10 (Kategori Homotopi Kompleks )

Kategori homotopi kompleks-U atas , dinotasikan dengan ,UK , adalah kategori yang

objeknya berupa rantai kompleks-U atas , morfismanya adalah morfisma kompleks-U atas

modulo homotopi, dan operasi komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa

Teorema 11

Kategori homotopi ,UK merupakan kategori aditif.

Bukti

Misalkan , , ,X XX U d , ,X YY U d dan

A1. Akan dibuktikan ,,

UHom X Y

K grup abel dan komposisi

, , ,, , ,

U U UHom X Y Hom Y Z Hom X Z

K K K™ bilinier atas .

Penjumlahan f g didefinisikan sebagai f g dengan ,f g masing-masing adalah

unsur di f dan .g Karena K kategori aditif maka f g memenuhi syarat

pertama homotopi- .U Karena 1

Y

nU submodul maka f g memenuhi syarat kedua

homotopi- .U Oleh karena itu ,, .

Uf g Hom X Y

KPersyaratan lainnya dari

kategori abel dapat dibuktikan dengan mudah, begitu juga dengan pembuktian sifat

bilinier.

A2. Objek nol di ,UK adalah sama dengan objek nol di ,UC yaitu kompleks-0,

0 ,0 ,0 dengan 0 adalah objek nol pada kategori .

A3. Dari (4) diketahui koproduk dari X dan Y sebagai

, ,X Y X Y

n n n n nX Y X Y U d

Gustina Elfiyanti

70

dengan X Y X Y

n n nU U U dan , ,X Y X Y

n n nd x y d x d y bersama morfisma

1 :X n n nX X Y dan 1 :Y n n nY X Y dan memenuhi sifat universal: setiap objek

Z di ,UC dan morfisma kompleks-U : ,Xf X Z :Yf Y Z adalah terdapat

tunggal : ,f X Y Z terdapat tunggal morfisma kompleks-U , yang memenuhi

1X Xf f dan 1Y Yf f sehingga diagram berikut komutatif:

1 1

X Yn n

n

X Yn n

n

f f

f

n n n n

Z

X X Y Y

™

Karena relasi homotopi-U adalah relasi ekivalen dan tertutup terhadap operasi

komposisi maka diagram dari kelas eivalen 1 ,1X Y dan f berikut komutatif.

1 1

Yn n

Yn n

X

n

X

n

n n n n

f f

f

Z

X X Y Y

™

Dan jika terdapat :g X Y Z sehingga 1X Xg f dan 1Y Yg f maka maka .f g

Terbukti bahwa kategori homotopi kompleks-U adalah kategori aditif.

REFERENSI

[1] B.Davvaz dan Y.A Parnian – Gramaleky, 1999, A Note on Exact Sequence, Bull.

Malaysian Math. Soc. (2) 22, 53-56.

[2] S.M. Anvariyeh dan B.Davvaz, 2002, U-Split Exact Sequence, Far East J. Math. Sci.

(FJMS) 4 (2), 209-219.

[3] B.Davvaz dan H.Shabani-Solt, 2002, A generalization of Homological Algebra, J.Korean

Math. Soc, 39 (6), 881-898.

[4] G. Elfiyanti, I. Muchtadi-Alamsyah, D. Nasution dan U.Amartiwi, 2015, Abelian

Property of the Category of U-Complexes, Journal of Applied Mathematical Sciences,

Hikari, submitted.

[5] C.A Weibel, 1994, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University

Press, United Kingdom.

[6] T. Holm, P. Jørgensen dan R.Rouquier, 2010, Trianglated Categories, London Math.Soc.

Lecture Note Series 375, Cambridge University Press.

[7] S. König dan Zimmermann, 1998, A. Derived Equivalences for Group Rings, Lecture

Note In Mathematics 1685. Springer.

[8] D. Nasution, 2008, The Geometri of Chain Complexes, Master Thesis, ITB, Bandung.

[9] S.I. Gelfand dan Y.U.I. Manin, 1997, Methods of Homological Algebra, 2nd Editio,

Heidelberg: Springer-Verlag.


ISSN 1978 – 8568

STRATEGI PENGAMANAN DATA PADA SERVER KOMPUTER

SEBAGAI IMPLEMENTASI APLIKASI

PELABELAN GRAF ANTI AJAIB

Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito



Email: [email protected], [email protected]

Abstract: A covering of G is a family of subgraphs with

the property that each edge of G is contained in at least one graph .

Let H be a subgraph of G, if every is isomorphic to H, such a covering is

called an H-covering of G. Then we say that G admits an H-covering. Let be a finite simple graph admits an H-covering with , and k the number of subgrahs of G isomorphic to H. Then, the graph

G is said (a,d)-H-antimagic if there exist a total labeling such that for all subgraphs isomorphic to H, the H-weight

constitute an arithmetic progression

where a and d are two positive integers. The

labeling is called a super (a,d)-H-antimagic labeling, if .

In this research we construct (a,d)-H-antimagic for H is edge, then the graph G is

said super edge-antimagic total (SEAMT) labeling for t-joint copies of wheel.

Then, we derive Affine cipher is one of the methods used for data encryption and it

can be modified using structure graph labeling SEAMT. Through this method any

data transferred more secure, so it is safe from unauthorized parties. The results

showed an FTP program as a file transfer between the server and the client is able

to perform system security by implementing the above algorithm.

Keywords: Affine, Decryption, Encryption, Graph, Labeling, SEAMT, Wheel.

Abstrak: Selimut dari G adalah keluarga subgraf dari G

dengan sifat setiap sisi di G termuat pada sekurang-kurangnya satu graf . Jika untuk setiap , is isomorfik dengan suatu subgraf H,

maka dikatakan selimut-H dari G. Diberikan graf sederhana

dan berhingga yang memuat selimut-H dengan , dan

banyak subgraf dari G yang isomorfik dengan H adalah k. Kemudian, graf G adalah

(a,d)-H-anti ajaib, jika ada asuatu pelabelan total yang memenuhi untuk dua bilangan bulat

positif a dan d tertentu. Dalam hal ini dikatakan bobot dari dan

didefinisikan sebagai . Kemudian,

dikatakan (a,d)-H-anti ajaib super jika . Pada penelitian

ini kami berhasil mengkonstruksi (a,d)-H-anti ajaib untuk H adalah suatu sisi,

sehingga graf G dikatakan edge-antimagic super total (SEAMT) labeling untuk t-

joint copies dari graf roda. Dalam penelitian ini juga diperoleh sandi Affine

menggunakan pelabelan total sisi anti ajaib super (TSAAS) dari t-rangkap graf

roda. Sandi Affine merupakan salah satu metode yang digunakan untuk enkripsi

data dan dapat dimodifikasi menggunakan struktur pelabelan TSAAS graf roda.

Melalui metode ini setiap data yang ditransfer lebih terjamin keamanannya

sehingga aman dari pihak yang tidak bertanggungjawab. Hasil penelitian




72

menunjukkan program FTP sebagai tempat transfer file antara Server dan Client

dapat melakukan system keamanan dengan menerapkan algoritma diatas.

Kata kunci: Dekripsi, Enkripsi, Graf Roda, Kriptografi, Pelabelan Graf, TSAAS

PENDAHULUAN

File Transfer Protocol (FTP) adalah protokol yang berfungsi untuk tukar menukar

informasi melalui suatu jaringan yang didukung oleh Transmission Control Protocol (TCP),

biasa disebut juga dengan TCP/IP protocol. Dua hal yang sangat penting dalam FTP adalah

FTP server dan FTP client. FTP server menjalankan software yang digunakan untuk tukar

menukar informasi data atau file yang selalu siap memberikan layanan FTP apabila mendapat

permintaan dari FTP client. FTP client adalah computer yang meminta koneksi ke server FTP

untuk tujuan tukar menukar data (mengunduh atau menggugah data). Menurut Oh, dkk

(2007), pengiriman data melalui server FTP adalah cara yang tidak aman karena informasi

tersebut disalurkan dengan terbuka (tanpa enkripsi terlebih dahulu tetapi dalam bentuk

informasi yang jelas, data sebenarnya). Oleh karena itu, username, password, data atau

informasi penting lainnya yang ditransfer maupun perintah yang dikirim dapat dicegat

(sniffing) dengan menggunakan Protocol Analyzer (Sniffer) sehingga informasi penting atau

rahasia tersebut akan mudah diketahui (terbaca).

Salah satu cara untuk mempertahankan kerahasiaan informasi yang akan dikirimkan

adalah dengan melakukan penyandian pada informasi tersebut dahulu menjadi kode yang

tidak terbaca (dipahami). Dengan demikian, bila ada pihak ketiga yang mencuri informasi

tersebut akan kesulitan dalam menterjemahkan isi dari informasi tersebut yang sebenarnya

karena yang diperoleh adalah informasi tidak terbaca. Tehnik tersebut secara umum disebut kriptografi. Salah satu teknik kriptografi klasik yang dikenal adalah sandi Affine. Sandi Affine

merupakan perluasan dari sandi geser (Caesar). Namun, menurut Rosen (2005) kunci sandi

Affine sangat mudah dipecahkan menggunakan analisis frekwensi.

Berdasarkan konsep diatas, peneliti terinspirasi memodifikasi sandi Affinemenggunakan

struktur label pelabelan anti ajaib graf yg selanjutnya akan disebut Sistem Kriptografi

Pelabelan Graf-Affine (SK-PGA). Kemudian sandi SK-PGA akan diimplementasikan dalam

pembuatan program (software) untuk mengamankan proses pengiriman informasi (data atau

file) melalui server FTP.

LANDASAN TEORI

Definisi Pelabelan Graf Total

Graf didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri atas dua

himpunan, yaitu himpunan tak kosong dan berhingga yang elemennya disebut titik dan

himpunan (mungkin kosong) . Setiap elemen di

disebut sisi. Untuk menyederhanakan penulisan, sisi ditulis .

Pelabelan total sisi anti ajaib super (TSAAS) pada graf dengan banyak titik dan banyak

sisi adalah fungsi bijektif dari himpunan titik dan sisi pada graf ke himpunan bilangan

asli , di mana semua bobot sisi , , membentuk himpunan bobot sisi berupa barisan

aritmatika dengan suku terkecil dan beda , selanjutnya

dinotasikan dengan .

Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi Pelabelan…

73

Graf roda adalah graf yang dibentuk dari graf siklus dengan titik dan menambahkan

satu titik baru yang dihubungkan ke semua titik dalam siklus tersebut, dinotasikan dengan

. Notasi menyatakan graf roda dengan titik dan sebagai pusat serta sebagai

siklus luar yang mengelilingi pusat yaitu . Graf -rangkap graf roda,

dilambangkan dengan , adalah graf yang graf yang diperoleh dengan mengambil t-

rangkap dari graf roda dan menghubungkan setiap pusat roda sedemikian sehingga

semua titik pusatnya membentuk lintasan . Berikut adalah gambar untuk contoh graf .

Struktur pelabelan dari graf secara umum akan digunakan untuk memodifikasi kunci

sandi Affine.

Sandi Affine

Sandi Affine merupakan sandi yang bekerja secara substitusi. Pada sandi Affine terdapat

karakter (huruf, angka dan notasi lainnya) sebanyak m positifdan karakter tersebut

diasosiasikan dalam angkadengan rentang ; yang umumnya dalam

implementasi pemrograman komputer berkorespondensi dengan banyaknya kode ASCII.

Adapun formula enkripsi sandi Affine berupa . Kemudian

dekripsinya menggunakan formula , dimana konstanta

sebarang yang diambil dalam rentang demikian juga untuk konstanta .

Namun dengan tambahan sifat coprime terhadap sehingga dijamin memiliki invers

perkalian, dengan notasi . Namun kunci sandi Affine sangat mudah dipecahkan

menggunakan analisis frekuensi Rosen (2005). Oleh karena itu, kunci sandi Affine akan

dimodifikasi menggunakan struktur label dari pelabelan total sisi anti ajaib super (TSAAS) -rangkap graf roda.

METODOLOGI PENELITIAN

Mengkonstruksi Graf

a. Menentukan graf apa saja yang akan dikonstruksi pelabelannya.

b. Melabeli graf yang sudah ditentukan dengan banyak titik dan banyak sisi memenuhi

fungsi bijektif dari himpunan titik dan sisi pada graf ke himpunan bilangan asli , di mana semua bobot sisi , = + + , membentuk himpunan bobot sisi

berupa barisan aritmatika dengan suku terkecil dan beda , selanjutnya dinotasikan dengan – TSAAS.

Memodifikasi Sandi Affine

Kunci sandi Affine dapat dimodfikasi pada konstanta , variasi kunci diambil dari

struktur label titik dan sisi dari pelabelan -TSAAS pada lintasan yang menghubungkan

semua titik pusat roda dalam graf . Dengan demikian, formula enkripsi dalam sandi

Affine menjadi . Sedangkan formula dekripsinya

menggunakan persamaan , dimana : karakter hasil

enkripsi dari x, : karakter yang akan dienkripsi, label titik atau sisi pada lintasan

graf , : bilangan bulat, biasanya banyaknya kode ASCII, dan : invers perkalian

dari dalam modulus .


74

Selanjutnya hasil modifikasi ini disebut Sistem Kriptografi Pelabelan Graf-Affine dan

dinotasikan dengan SK-PGA.

Implementasi Aplikasi Pelabelan Anti Ajaib dengan Memodifikasi Sandi Affine

Pada tahap pembuatan aplikasi (software) FTP dengan menerapkan algoritma SK PGA,

kode ASCII yang digunakan adalah 8-bit, yaitu “m = 256” karakter. Adapun proses

pengerjaannya mengikuti diagram alir dan pseudocode berikut ini.

A. Algoritma Enkripsi-Deskripsi SK-PGA

Langkah-langkah enkripsi dan dekripsi merupakan elemen penting dalam arsitektur

perangkat lunak yang akan dibuat. Dengan kata lain, mesin utama dalam program (sofware)

ini adalah teknik penyandian SK-PGA. Adapun langkah – langkah proses enkripsi-dekripsi

SK-PGA sebagai berikut:

Langkah-langkah proses enkripsi sebagai berikut:

1. Mulai

2. Hitung banyaknya karakter (panjang teks) pada plainteks dalam suatu file yang akan di

enkripsi, misalkan . 3. Pilih bilangan asli genap sebarang.

4. Buat graf yang bersesuaian dengan panjang teks. Apabila banyaknya karakter genap

maka bentuk graf

, sebaliknya jika ganjil maka digunakan

.

5. Buat label titik dan sisi pada lintasan dalam graf menggunakan persamaan

dan

,

untuk t genap.

dan

,

untuk t ganjil.

6. Ubah plainteks sesuai dengan decimal ASCII dalam 256 karakter

7. Enkripsikan secara berurutan setiap karakter dalam plainteks menggunakan rumus

8. Tulis hasil enkripsi dalam karakter berupa cipherteks, yaitu 9. Selesai.

Proses dekripsi adalah komponen yang berfungsi mengembalikan cipherteks menjadi

plainteks. Langkah-langkah dekripsi SK-PGA sebagai berikut:

1. Mulai

2. Hitung panjang cipherteks (file terenkripsi), misalkan 3. Ambil bilangan asli genap sebarang yang sesuai dalam proses enkripsi.

4. Buat graf yang bersesuaian dengan panjang cipherteks. Apabila banyaknya karakter

genap maka bentuk graf

, sebaliknya jika ganjil maka digunakan

5. Buat label titik dan sisi pada lintasan graf menggunakan persamaan

dan

,

untuk t genap.


75

Selanjutnya,

dan

,

untuk ganjil.

6. Hitung hasil dekripsi menggunakan rumus , dan

tulis hasil hitungan dalam decimal ASCII 256 karakter yang bersesuaian.

7. Ubah decimal ASCII yang diperoleh dalam langkah 5 menjadi karakter biasa, yaitu

plainteks . 8. Selesai.

B. Program Pengamanan FTP Menggunakan SK-PGA

Algoritma SK-PGA di atas, selanjutnya diimplementasikan dalam program (software)

untuk mengamankan data dalam proses transfer melalui FTP server. Program ini

menggunakan referensi kode ASCII dalam 8-bit, yaitu 256 karakter. Program ini bekerja

masih terbatas pada file yang berektensi txt. Alur kerja program yang dihasilkan dijelaskan

dalam sub-sub berikut:

a. Konektivitas Client dengan Server

Pada proses awal, program akan meminta proses handshacking antara client dan

server. Pada langkah ini FTP server dijalankan dengan membuat username, password dan

file direktori pada server yang akan diaktifkan dan digunakan untuk berhubungan dengan

server dan client.

b. Proses Enkripsi, Unggah dan Unduh

Proses enkripsi dijalankan dengan mengambil file (sebagai plainteks) yang berekstensi

txt. File-file yang sudah terenkripsi selanjutnya disimpan. Pada proses enkripsi ini

dilakukan oleh pihak server sekaligus mengunggahnya ke folder untuk dibagikan agar

bisa diunduh oleh pihak client.

c. Proses Deskripsi

Pada dasarnya proses ini sama dengan proses enkripsi. Semua data terenkripsi yang

sudah diunduh dapat diperbaiki langsung oleh client. Cara memperbaikinya adalah dengan

membuka dan mendekripsi file tersebut. Setelah itu, file yang sudah diperbaiki tersebut

dapat disimpan kembali dalam komputer client.

d. Pengujian Program

Pengujian hasil penelitian ini menggunakan program Sniffer yang sudah sangat

dikenal, yaitu Wireshark. Pihak penyerang masuk ke dalam jaringan, kemudian membuka

toolswireshark untuk melihat lalu-lintas (traffic) yang sedang berjalan. Setelah itu

penyerang menentukan target mana yang akan di poisoning dengan memilih ip address.

Traffic yang sedang berjalan tersebut difiltering sehingga dapat dilihat, dibaca dan diambil

oleh penyerang (Sniffer). Karena semua file tersebut dienkripsi dengan teknik SK-PGA

maka walaupun file dapat ambil oleh Sniffer tetapi semuanya sudah tidak terbaca. File

yang didapatkan sudah rusuk seperti yang diperlihatkan dalam gambar berikut.


76


Modifikasi Sandi Affine

Sandi Affine dapat dimodifikasi pada konstanta b, variasi b dapat diambil dari struktur

label titik dan sisi pada pelabelan TSAAS dari lintasan yang menghubungkan graf roda dalam

graf . Dengan demikian, formula enkripsi dalam sandi Affine menjadi:

.

Sedangkan formula dekripsinya menjadi:

dimana : karakter hasil enkripsi dari , : karakter yang akan dienkripsi, :

struktur label titik dan sisi pada lintasan graf , : bilangan bulat, biasanya banyaknya

kode ASCII, : invers perkalian dari a dalam modulus m.

Contoh Cara Kerja SK-PGA:

Misalkan suatu file berisi kata “KRIPTOGRAFI” akan di enkripsi menggunakan

modifikasi SK-PGA. Langkah yang perlu dilakukan yaitu dengan menghitung panjang

karakter. Karena kata KRIPTOGRAFI memiliki 11 karakter, maka jumlah roda dalam

struktur pelabelan dibuat sebanyak 6 rangkap. Selanjutnya dari struktur pelabelan graf pada

Gambar 2, masing-masing label titik dan label sisi dari lintasan pada 6 rangkap graf

mewakili nilai pada setiap entri karakter kata KRIPTOGRAFI. Adapun proses enkripsi

untuk KRIPTOGRAFI menjadi ciphertext dengan mengambil contoh spasi bernilai 0, awal

abjad yaitu huruf “A” bernilai 1, huruf kedua “B” bernilai 2, dan seterusnya hingga huruf

terakhir dalam abjad yaitu huruf “Z” bernilai 26. Selanjutnya, ambil nilai yang coprime

dengan m, dimana m merupakan banyak karakter (termasuk spasi) yaitu 27 sehingga invers

dari adalah . Kemudian dari Gambar 2 untuk nilai label titik pusat dari lintasan graf

secara berurutan adalah

dan nilai label sisi lintasan yang menghubungkan graf

masing-masing yaitu

.

Proses diatas dilakukan secara berulang untuk menghitung ciphertext dari tiap-tiap huruf pada

kata KRIPTOGRAFI adalah NT...

Selanjutnya untuk proses dekripsi atau disebut juga proses pengembalian ciphertext

menjadi plaintext semula adalah sebagai berikut:

.


77

.

Proses dekripsi diatas dilakukan secara berulang menggunakan formula yang sama pada

setiap entri karakter enkripsi dengan menggunakan nilai yang merupakan invers

dari nilai a. Perhitungan tersebut di atas jika diteruskan memberikan hasil plaintext semula

yaitu KRIPTOGRAFI.

Rangkaian Performansi GUI Program

Pada bagian ini algoritma SK-PGdiimplementasikan dalam program (software) untuk

koneksi FTP. Dalam program tersebut, digunakan referensi banyaknya karakter adalah kode

ASCII dalam 8-bit, yaitu 256. Alur kerja program yang dihasilkan mengacu pada deskripsi

berikut.

Konektivitas Client dengan Server

Langkah awal yang dilakukan yaitu file server dijalankan dengan membuat username,

password dan file direktori server yang akan diaktifkan dan digunakan untuk dihubungkan

dengan client. Setelah FTP server telah di aktifkan, selanjutnya tiba saatnya bagi FTP client

untuk melakukan koneksi dengan FTP server menggunakan alamat ip/host, username,

password dan port yang sebelumnya telah di buat oleh FTP server untuk client. Untuk lebih

jelasnya dapat dilihat pada Gambar dibawah ini.

Gambar 6: Koneksi Server dan Client Telah Dijalankan

Untuk penerimaan koneksi dari client oleh server dapat dilihat pada status bar koneksi to FTP

server.


78

Proses Enkripsi File

Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjalankan proses enkripsi yaitu dengan

mengambil file plaintext berekstensi .txt.

Gambar 7. File Plaintext

Setelah file plaintext terbuka pada aplikasi, selanjutnya dilakukan proses enkripsi file

dengan menekan tombol encrypt yang telah menggunakan aplikasi keamanan Affine dan

pelabelan TSAAS dari t-rangkap graf roda, maka dapat dihasilkan sebuah file ciphertext.

Hasil dari enkripsi adalah sebagai berikut:

Gambar 8. File Ciphertext

File ciphertext pada Gambar 8 selanjutnya disimpan dengan menekan tombol save file

encrypt. Pada proses enkripsi ini pihak server sebagai penyedian file-file yang akan di


79

download oleh client maupun pihak client sebagai pengguna untuk melakukan proses upload

pada direktori server telah melakukan pengamanan sebelumnya dengan melakukan enkripsi

pada file-file tersebut.

Proses Upload File

Sebelum proses ini berjalan, terlebih dahulu melakukan handshacking antara client dan

server. Setelah client dan server terhubung maka proses selanjutnya adalah pemilihan file

yang sebelumnya telah dilakukan proses enkripsi dan kemudian file tersebut akan di upload

pada direktori server. Berikut adalah proses upload file.

Gambar 9: Proses File yang telah di upload

Setelah proses pemilihan file selesai, maka selanjunya file dengan nama coba Enk.txt

tersebut di upload oleh client ke dalam direktori server. Terlihat pada Gambar 9 muncul

message box menunjukkan bahwa proses upload telah sukses dilakukan oleh pihak client dan

file tersebut secara otomatis akan tersimpan pada direktori server.

Proses Download File

Proses download pada tahap ini adalah proses pengambilan file oleh client dari direktori

server yang sebelumnya file-file tersebut telah disediakan dan sudah terenkripsi. Setelah

aplikasi menampilkan file direktori FTP server yang berisi kumpulan file, client dapat

langsung memilih file-file mana saja yang akan di download. Untuk prosesnya, client dapat

meng-klik kanan pada file yang di inginkan, file tersebut secara otomatis akan ter-download.

Apabila proses tersebut berhasil aplikasi akan menampikan pesan pada status bar koneksi to

FTP server bahwa proses download file telah sukses dilakukan.

Proses Dekripsi File

Pada proses ini, langkah – langkahnya sama seperti pada proses enkripsi. Pengembalian

file ciphertext dilakukan pada tahap ini. Setelah client mendownload file dari server, tiba

saatnya client membuka file tersebut dan melakukan proses dekripsi. Setelah file ciphertext


80

telah terbuka, selanjutnya dengan menekan tombol decrypt, file tersebut akan dikembalikan

ke file plaintext semula.

Proses Pengujian Program

Pengujian dilakukan dalam dua tahap, yaitu tahap pertama menguji program yang tidak

menggunakan aplikasi pengamanan dengan sandi pelabelan graf roda dan tahap kedua

menguji program yang menggunakan aplikasi keamanan.

1. Pengujian Tanpa Aplikasi Keamanan

Pihak penyerang masuk kedalam jaringan, kemudian membuka tools wireshark untuk

melihat traffic yang sedang berjalan. Setelah itu penyerang menentukan target mana yang

akan di poisoning dengan memilih ip address. Trafik yang sedang berjalan tersebut di

filtering dan kita lihat apakah paket yang lewat dapat terbaca oleh penyerang (Sniffer).

Hasil dari seluruh aktivitas TCP (Transfer control protocol) dimana file asli tanpa

menggunakan aplikasi keamanan dapat dibuka dan diambil oleh penyerang pada saat

terjadi proses upload maupun download antar client dan server.

2. Pengujian Dengan Menggunakan Aplikasi Keamanan sandi pelabelan graf roda

Untuk menguji program menggunakan aplikasi keamanan, langkah-langkah yang

dilakukan sama seperti menguji program tanpa aplikasi kemanan. Pada saat penyerang

membuka tools wireshark, penyerang akan men-filtering trafik yang sedang berjalan.

Setelah penyerang melihat paket TCP, maka penyerang akan meng-klik kanan pada salah

satu paket TCP, lalu memilih menu follow TCP stream. Hasil dari seluruh aktivitas TCP

yang telah dipoisoning dapat dilihat pada Gambar 10.

Dari Gambar 10 terlihat bahwa penyerang mendapatkan file pada saat terjadi proses

upload maupun download, namun file tersebut telah aman karena sebelumnya sudah

dilakukan proses enkripsi file. Dengan demikian penyerang tidak dapat membaca isi asli

dari file transfer.

Analisis Performansi Program

Kecepatan enkripsi dan dekripsi menggunakan aplikasi ini cukup baik, dengan file

enkripsi yang dapat dijamin keamanannya. Aplikasi ini juga tidak terbatas peggunaannya

pada satu client namun telah di uji bahwa aplikasi ini dapat digunakan oleh beberapa client

saat melakukakan proses upload maupun download. Adapun proses download dan upload file

pada program ini dapat di lakukan juga oleh pihak server sebagai pusat penyimpanan data.

Konektivitas yang digunakan untuk melakukan login maupun proses transfer file pada

aplikasi ini yaitu menggunakan jaringan WIFI (Wireless Fidenity).


81

Gambar 10: Aktivitas TCP Dengan Aplikasi Keamanan

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Didapat teknik SK-PG menggunakan rumus berikut ini:

Rumus Enkripsi

Rumus Dekripsi

2. Teknik SK-PG dapat di implementasikan untuk pengamanan data pada saat transfer file

dalam server FTP.

Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan menambah objek enkripsi

berextensi lain untuk memperoleh teknik enkripsi file yang lebih, misalkan dengan

menambahkan file berextensi doc, pdf, mp3 dan jpg.

REFERENSI

Buku

[1] Ba a, M. dan Holl nder, I. (1998), ‘On (a,d)-antimagic prisms’, Ars Combin 48, 297–306.


82

[2] Ba a, M., Y Lin, M. M. dan Simanjuntak, R. (2001), ‘New constructions of magic and

antimagic graph labelings’, Utilitas Math 60, 229–239.

[3] Bodendiek, R. dan Walther, G. (1995), ‘On number theoretical methods in graph

labelings’, Res. Exp. Math. 21, 3–25.

[4] Chartrand, G. dan Lesniak, L. (2004), Graphs and Digraphs, Boca Raton, Florida

33431.

[5] Hartsfield, N. dan Ringel, G. (1990), Pearls in Graph Teory, Academic Press, San

Diego.

[6] Kotzig, A. dan Rosa, A. (1970), ‘Magic valuations of finite graph’, Canada Mathe-

matics Bulletin 13, 451–461.

[7] Liang, Z. (2012), ‘Cycle-supemagic decompositions of complete multipartite graphs’,

Discrete Mathematics 312, 3342–3348.

[8] Llad , A., Inayah, N. dan Moragas, J. (2012), ‘Magic and antimagic H-decompositions’, Discrete Mathematics 312, 1367–1371.

[9] Llad , A. dan Moragas, J. (2007), ‘Cycle-magic graphs’, Discrete Mathematics 13, 2925–2933.

[10] MacDougall, J., Miller, M., Slamin dan Wallis, W. D. (2002), ‘Vertex-magic total

labeling’, Utilitas Mathematics 61, 3–21.

[11] Maryati, T., Salman, A. dan Baskoro, E. (2013), ‘Supermagic coverings of the union

graphs and amalgamations’, Discrete Mathematics313, 397–405.

[12] Maryati, T., Salman, A., Baskoro, E., Ryan, J. dan Miller, M. (2010), ‘On H-supermagic

labelings for certain shackles and amalgamations of a connected graph’, Utilitas

Mathematica 83, 333–342.

[13] Ngurah, A., Baskoro, E. dan Simanjuntak, R. (2007), ‘On the new families of (super)

edge-magic graphs’, Utilitas Mathematics 74, 111–120.

[14] Ngurah, A., Salman, A. dan Susilowati, L. (2010), ‘H-supermagic labelings of graphs’,

Discrete Mathematics 310(8), 1293–1300.

[15] Salman, A., Ngurah, A. dan Izzati, N. (2010), ‘On (super)-edge-magic total labelings of

subdivision of stars ’, Utilitas Mathematics 81, 275–284.

[16] Sedl k, J. (1963), ‘Problem 27 in theory of graphs and its applications’, Proceeding

of the Symposium held in Smolenice Praha 163, 163–167.

[17] Simanjuntak, R., Miller, M. dan Bertault, F. (2000), ‘Two new (a; d)-antimagic graph

labelings’, Proceeding of the Eleventh Australasian Workshop of Combinatorial

Algorithm (AWOCA) 179–189.

[18] Stewart, B. M. (1967), ‘Super complete graph’, Canadian J. Math 19, 427–438.

Jurnal

[19] Guti rrez, A. dan Llad , A. (2005), ‘Magic coverings’, The Journal of Combina-torial Mathematics and Combinatorial Computing 55, 43–56.

[20] Maryati, T., Baskoro, E. T. dan Salman, A. (2008), ‘ -super magic labelings of some trees’, The Journal of Combinatorial Mathematics andCombinatorial Computing 65,

197–204.

[21] Ngurah, A., Salman, A. dan Sudarsana, I. (2010), ‘On supermagic coverings of fans and

ladders’, SUT Journal of Mathematics 46(1), 67–78.

.



FORMAT PENULISAN NASKAH

JUDUL Huruf kapital Time New Roman 14 untuk semua kata

Untuk tulisan bahasa Indonesia maksimal 14 kata. Untuk tulisan bahasa Inggris maksimal 10 kata

Nama Penulis Tanpa Gelar

Awal kata huruf kapital dan tebal Afiliasi penulis dilengkapi dengan alamat Instansi dan email ketik di catatan kaki

Jika penulis terdiri dari 2 orang atau lebih, yang dicantumkan di bawah judul artikel adalah, nama penulis utama; nama penulis-penulis lainnya

Contoh : Bulan Oktrima1 dan Nur Inayah2

Abstract: Dalam Bahasa Inggris, maksimum 100 kata, berisi tujuan, metode, hasil pemikiran atau penelitian. Key Word: Dalam Bahasa Inggris, minimal 3 kata kunci, maksimal 5 kata kunci, istilah huruf miring dan huruf awal kata kapital. Contoh: Point Space, Edge Space, Complex Field, Basis, Dimension. SISTEMATIKA 1. Hasil Pemikiran

PENDAHULUAN (10%)

Berisi latar belakang dan tujuan atau ruang lingkup tulisan

BAHASAN UTAMA (80%) Dapat dibagi ke dalam beberapa sub-bagian Judul bagian (huruf kapital setiap kata, tebal dan font 12 ) Judul sub-bagian (huruf awal kapital setiap kata, tebal dan font 12) Judul bagian dan judul sub-bagian jenis huruf yang berbeda KESIMPULAN DAN SARAN (10%) REFERENSI

.

2. Hasil Penelitian

PENDAHULUAN (10%)

Berisi latar belakang dan tujuan atau ruang lingkup tulisan

LANDASAN TEORI (25%) Dapat dibagi ke dalam beberapa sub-bagian

Judul bagian (huruf kapital setiap kata, tebal dan font 12)

Judul sub-bagian (huruf awal kapital setiap kata, tebal dan font 12)

Judul bagian dan judul sub-bagian jenis huruf yang berbeda

METODOLOGI (10%)

HASIL DAN PEMBAHASAN (45%)

KESIMPULAN DAN SARAN (10%)

REFERENSI

FORMAT UMUM

Hal terpenting mengenai format penulisan adalah konsistensi dari elemen dalam setiap

jurnal matematika. LOGIK@ menetapkan aturan penulisan paper ditulis berkolom tunggal

dengan MS Word pada format kertas A4 dengan margin atas 4 cm, margin kiri 3 cm, kanan 2

cm, dan bawah 3 cm. Font yang digunakan adalah Times New Roman untuk semua bagian

paper, termasuk variabel pada persamaan (kecuali simbol).

REFERENSI

a. Perujukan dan pengutipan menggunakan aturan IEEE.

b. Referensi diberi nomer dengan urutan sesuai dengan munculnya rujukan pada paper dan

bukannya urutan abjad nama pengarang.

c. Setiap nomer diawali dan akhiri oleh kurung siku, dengan sebelumnya dipisahkan dengan

spasi: “…akhir dari kalimat [12].”

d. Menyebutkan nama pengarang tidak diperlukan, kecuali hal tersebut relevan dengan

teks/kalimat. Tidak perlu menyebutkan tanggal referensi dalam teks.

e. Tidak perlu untuk mengatakan “…dalam referensi [27]”, tapi cukup “…dalam [27]”.

f. Referensi ganda dituliskan dalam bentuk [1] [3] [5] dan bukannya [1, 3, 5].

g. Seluruh nama pengarang harus disebutkan dalam daftar referensi, kecuali saat nama

pengarang lebih dari enam (dituliskan dengan et al. setelah nama pertama).

h. Setiap kata (penting) dalam judul buku diawali dengan huruf capital.

i. Setiap kata (penting) dalam judul jurnal atau conference diawali dengan huruf capital.

j. Nama jurnal tidak disingkat kecuali merupakan singkatan yang memang sudah umum.

k. Untuk mengindikasikan range halaman: pp. 111-222, namun jika hanya satu halaman

dituliskan p:p.111.

l. Untuk memperjelas, berikut adalah berbagai contoh pereferensian IEEE.

.

Buku [1] S. M. Hemmingsen, Soft Science. Saskatoon: University of Saskatchewan Press, 1997.

[2] A. Rezi and M. Allam, "Techniques in array processing by means of trans-formations," in

Control and Dynamic Systems, Vol. 69, Multidimensional Systems, C. T. Leondes, Ed.

San Diego: Academic Press, 1995, pp. 133-180.

[3] D. Sarunyagate, Ed., Lasers. New York: McGraw-Hill, 1996.

Periodicals

[4] G. Liu, K. Y. Lee, and H. F. Jordan, "TDM and TWDM de Bruijn networks and hufflenets

for optical communications," IEEE Transactions on Computers, vol. 46, pp. 695-701,

June 1997.

[5] J. R. Beveridge and E. M. Riseman, "How easy is matching 2D line models using local

search?" IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 19,

pp. 564-579, June 1997.

Artikel dari konferensi terpublikasi (prosiding)

[6] N. Osifchin and G. Vau, "Power considerations for the modernization of ecommunications

in Central and Eastern European and former Soviet Union (CEE/FSU) countries," in

Second International Telecommunications Energy Special Conference, 1997, pp. 9-16.

[7] S. Al Kuran, "The prospects for GaAs MESFET technology in dc-ac voltage conversion,"

in Proceedings of the Fourth Annual Portable Design Conference, 1997, pp. 137-142.

Skripsi atau Desertasi

[8] H. Zhang, "Delay-insensitive networks," M.S. thesis, University of Waterloo, Waterloo,

ON, Canada, 1997.

Manual

[9] Bell Telephone Laboratories Technical Staff, Transmission System for Communications,

Bell Telephone Laboratories, 1995.

Catatan Kuliah

[10] "Signal integrity and interconnects for high-speed applications," class notes for ECE

497-JS, Department of Electrical and Computer Engineering, University of Illinois at

Urbana-Champaign, Winter 1997.

Hasil Wawancara

[11] T. I. Wein (private communication), 1997.

Internet

[12] Computational, Optical, and Discharge Physics Group, University of Illinois at Urbana-

Champaign, "Hybrid plasma equipment model: Inductively coupled plasma reactive

on ching reactors," December 1995, http://uigelz.ece.uiuc.edu/Projects/HPEM-

ICP/index.html.

[13] D. Poelman ([email protected]), "Re: Question on transformerless power

supply," Usenet post to sci.electronics.design, July 4, 1997.

Untuk informasi lebih lengkap, penulis dapat mengacu pada halaman website berikut:

http://standards.ieee.org/guides/style/

.

ADMINISTRASI

Sebagai prasyarat bagi pemrosesan artikel, para penyumbang artikel wajib menjadi pelanggan

minimal selama satu tahun.

Penulis yang artikelnya dimuat wajib membayar kontribusi biaya cetak sebesar Rp150.000,00

(tiga ratus ribu rupiah) perjudul.

Sebagai imbalannya, penulis menerima nomor bukti pemuatan sebanyak 2 (dua) eksemplar

dan cetak lepas sebanyak 2 (dua) eksemplar.

Artikel yang tidak dimuat tidak akan dikembalikan, kecuali atas permintaan penulis.

Jurnal Matematika “L O G -...

Documents

Transcript of Jurnal Matematika “L O G -...