Jumlah sudut trigonometri
-
Upload
petrus-fendiyanto -
Category
Education
-
view
98 -
download
3
Transcript of Jumlah sudut trigonometri
Hasil-Hasil Trigonometri:
)(tan)360(tan)180(tan)180(tantan
))(cos)360(cos)180(cos)180(coscos
)sin()360(sin)180(sin)180(sinsin
)90(sincos
)90(cossin 0
oo
ooo
ooo
o
Tanda Fungsi Trigonometri Dalam Berbagai
Kuadran:
Kuadran I II III IV
Tanda Positif semua sin tan cos
Rumus Trigonometri Jumlah dan
Selisih Sudut
Lingkaran dengan
pusat O dan r = 1
satuan
xA (1,0)
CB
b
a
y
-1
-1
O
Koordinat B (cos a, sin a)
Koordinat C (cos b, sin b)
Jarak dari B ke C adalah sebagai berikut:
)(....)sinsincos(cos22
)sinsincos(cos211
)sinsin2coscos2
)sin(cos)sin(cos
)sinsinsin2(sin
)coscoscos2(cos
)sin(sin)cos(cos
2222
22
22
222
ibaba
baba
baba
bbaa
bbaa
bbaa
babaBC
Lingkaran kita putar sehingga titik C tepat
di dititik A:y
xC (1,0)
A
B
b
a
-1
-1
O
Koordinat B sekarang
menjadi (cos (a-b), sin (a-b))
Koordinat C (1,0)
)(....)(cos22
)(cos211
)(cos2
1)(cos2))(sin)(cos(
)(sin
)(cos21)(cos2)(cos
)0)((sin)1)((cos
22
2
2
222
iiba
ba
ba
bababa
ba
bababa
babaBC
Dari (i) dan (ii), maka:
2 – 2 (cos a cos b + sin a sin b) = 2 – 2 cos (a-b)
Cos (a – b) = cos a cos b – sin a sin b
Sehingga Rumus Cos (a + b) adalah:
Cos (a + b) = Cos (a – (-b))
= Cos a Cos (-b) + Sin a Sin (-b)
= Cos a Cos b – Sin a Sin b
Contoh:
1. Hitunglah nilai cos ! o15
2. Diketahui sin a = dan cos b = , dengan
a dan b merupakan sudut lancip. Tentukan
nilai cos (a + b) !
13
5
5
3
Jawab:
1.
oooo
ooo
30sin45sin30cos45cos
)3045(cos15cos
2. Untuk mendapatkan cos (a + b) kita membu-
tuhkan cos a dan sin b.
24
16
4
1
2
12
2
13
2
12
2
115cos
o
5
4sin
25
16
)5
3(1
sin1sin
2
22
b
bb
13
12cos
169
144
)13
5(1
sin1cos
2
22
a
aa
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih
Dua Sudut
Ingat !!!!
Sin (a + b) = Cos ( - (a + b))
= Cos (( - a) – b)
= Cos ( - a) Cos b + Sin ( - a) Sin b
2
2
2
2
Sin ( - a) = Cos a
Cos ( - a) = Sin a
2
2
Jadi
Sin (a + b) = Sin a Cos b + Cos a Sin b
Dengan cara demikian akan diperoleh:
Sin (a – b) = Sin a Cos b – Cos a Sin b
Rumus Sin (a - b) dapat dicari dengan mengubah
Sin (a – b) menjadi Sin (a + (-b)).
Contoh:
Hitunglah nilai Sin ! o75
Jawab:
24
16
4
1
2
12
2
13
2
12
2
1
30sin45cos30cos45sin
)3045(sin75sin
oooo
ooo
Rumus Tangen Jumlah dan Selisih
Dua Sudut
b
b
a
a
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
baba
baba
ba
baba
cos
sin
cos
sin1
cos
sin
cos
sin
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
coscos
coscos
cossin
sinsincoscos
sincoscossin
)(cos
)(sin)(tan
Dengan menggunakan cara yang sama, tan (a –b)
diperoleh sebagai berikut :
Jadi
ba
baba
tantan1
tantan)(tan
ba
baba
tantan1
tantan)(tan
Contoh:
33
33
33
111
33
11
30tan45tan1
30tan45tan
)3045(tan15tan
oo
oo
ooo
Latihan
Dengan menggunakan rumus trigonometri
jumlah dan selisih sudut, tentukan:
1.
Diketahui a dan b adalah dua sudut dikuadran
III dan II dengan sin a = dan cos b =
tentukan:
a. Cos (a – b) c. Tan (a – b)
b. Sin ( a + b)
o75
a. Cos d. Sin
b. Sin e. Tan
c. Tan f. Cos
o165
o195 12
5
12
11
12
17
2.
5
4
17
8
Sin 2a = Sin (a + a)
= Sin a Cos a + Cos a Sin a
= 2 Sin a Cos a
Jawab:
Rumus Sinus Sudut Rangkap
Contoh:
Jika sin a = 3/5 dan a sudut dikuadran I, tentukan
nilai sin 2a !
Sin a = 3/5, maka y = 5 dan r = 5
Sehingga cos a = 4/55
3
4
aSin 2a = 2 sin a cos a
= 2 (3/5) (4/5)
= 24/25
Cos 2a = Cos (a + a)
= Cos a Cos a - Sin a Sin a
= Cos2a – Sin2a
Cos 2a = 2Cos2 a – 1 atau Cos 2a = 1 – 2sin2 a
Rumus Kosinus Sudut Rangkap
Dengan menggunakan identitas cos2 + sin2 a = 1
diperoleh:
Jawab:
Contoh:
Cos 2a = 1- 2sin2a
= 1 - 2 (0,8)2
= 1 – 2(0,64)
= 1 – 1,28
= -0,28
Diketahui sin a = 0,8, tentukan nilai cos 2a
Rumus Tangen Sudut Rangkap
Jawab:
Contoh:
Tentukan tan 50o jika diketahui tan 25o = p!
tan 2a = tan (a + a)
tan a + tan a =
1 – tan a tan a2 tan a
=1 – tan2a
Tan 50o = 2 tan 25o
1 – tan2 25o
2 tan 25o
1 – tan2 25o
=2p
1 – p2
=
Rumus Sudut Tengahan
Cos 2a = 2 cos2 a – 1 Cos2 a = 1 + cos 2a
2
Cos 2a = 1 – sin2 a Sin2 a = 1 - cos 2a
2
Misalkan 2a = b, maka a = . Bila disubstitusikan
ke persamaan diatas diperoleh:
b
2
Cos2 1 + cos b
2
b
2)( =
2
cos1 b=
Sin2 1 - cos b
2
b
2)( =
2
cos1 b=
Jawab:
Contoh:
Tan = sin
cos
=b
2( )
b
2( )
b
2( )
b
b
cos1
cos1
Tentukan nilai sin .8
24
cos1
8sin
22
21
222
1
Latihan
Diketahui sin a = 5/13, dan a terletak dikua-
dran II
tentukan:
a. Cos (a /2) c. Tan (a/2)
b. Sin (a/2)
2.
Dengan menggunakan perbandingan trigono-
metri sudut 30o hitunglah:
1.
a. Cos
b. Sin
c. Tan
o15
o15
o15