Jadwal Ulangan Harian:

11 IPA 1 : Kamis, 5 Mei 2011

11 IPA 2 : Selasa, 3 Mei 2011

11 IPA 3 : Rabu, 4 Mei 2011

KD 6.3. Garis singgung, Fungsi naik-turun,

Nilai maks-min, dan Titik stasioner

Menggunakan turunan

untuk menentukan karakteristik suatu fungsi

dan memecahkan masalah

Turunan I:

- Gradien & pers. garis singgung

- Fungsi naik-turun

- Nilai maks-min

Turunan II:

- Titik stasioner

SMA Pahoa, April 2011

GARIS SINGGUNG hal. 326 - 328

Gradien garis singgung dapat dicari dengan Turunan I di absis titik yg diminta

Geogebra

Contoh:

1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva

y = x2 – 4x di titik (3, –3)

4(3, –3)

y = x2 – 4x

yI = 2x – 4

m = 2 . 3 – 4 = 2

Cek: garis naik grad positif

cek apakah titik pada kurva

2. Tentukan grad grs sgu pd y = 2x3 + x2 – 7 di absis –1.

yI = 6x2 + 2x m = 6 (–1)2 + 2 (–1) = 4

3. Tentukan pers grs sgu pd y = x3 – 3x + 2 di titik (2, 4)

yI = 3x2 – 3 m = 3 . 22 – 3 = 9

Pers grs: y – y1 = m (x – x1)

y – 4 = 9 (x – 2) y = 9x – 14

Kerjakan Exercises hal 327 - 328 no. 2, 12, 22, 31, 36, 40, 41, 44

Buku Mandiri hal. 127 no. 85 - 103

FUNGSI NAIK TURUN hal 329 - 339

Pada interval ttt, grafik fungsi: bisa naik, tetap, atau turun.

–1–3–5 1 3

Pada x < –3 fungsi naik

x = –3 fs tetap

–3 < x < 1 fs turun

x > 1 fs naik

x = 1 fs tetap

+ +–

–3 1

ditentukan dgn uji Turunan I

Contoh:

1. Tentukan interval dimana fungsi y = 4 – x2 naik dan turun.

Jawab:

y = 4 – x2 yI = –2x

artinya di sekitar x = 0 tanda berubah (fungsi naik/turun)

–2 2

4

0

Cek tanda: ambil angka x = –1

lalu masukkan ke yI

buat –2x = 0 x = 0

yI = –2 (–1) = +2 positif

(artinya grafik naik)

+

cek tanda di x = 1 negatif

– jadi x < 0 fs naik, x > 0 fs turun

Cara lain: dgn uji turunan I

dimana fungsi y = 4 – x2 naik dan turun ?

Jawab:yI = –2x

–2x > 0 bagi –2 x < 0

–2 2

4

Kurva naik yI > 0

–2x < 0 x > 0

Kurva turun yI < 0

2. Tentukan interval dimana y = x3 – 3x2 – 9x + 8 a.

selalu turun b. tak pernah turun Jawab:

yI = 3x2 – 6x – 9

3x2 – 6x – 9 = 0 bagi 3

x2 – 2x – 3 = 0 (x +1) (x – 3) = 0

–1 3

cek tanda: x = 0 –9 , x = 10 pos

+– + a. selalu turun: –1 < x < 3

b. tak pernah turun: x ≤ –1 dan x ≥ 3

Cara lain: selalu turun yI < 0

tak

pernah turun yI ≥ 0 dst.

3. Tentukan dimana y = 3x4 – 16x3 + 30x2 – 24x selalu naik.

Jawab:

yI = 12x3 – 48x2 + 60x – 24 buat yI = 0

12x3 – 48x2 + 60x – 24 = 0 bagi 12

x3 – 4x2 + 5x – 2 = 0 dgn polynoms: (x – 1) (x –

1) (x – 2) = 0

1 20

– – +

Kurva selalu naik pada x > 2

Kerjakan Exercises hal. 332 no. 3, 6, 8, 24, 30, 36, 40, 42 dan dari buku Mandiri hal. 129 no. 104 - 116

NILAI MAKSIMUM & MINIMUM

Mrpk lanjutan dari fungsi naik-turun.

Nilai maks & min terjadi di interval yg diminta

saja. Contoh:

1. Tentukan nilai maks dan min kurva y = x2 – 2x – 3

pada interval –3 ≤ x ≤ 4

Jawab:

yI = 2x – 2 2x – 2 = 0 x = 1

1

– +

x = –3 y = (–3)2 – 2(–3) – 3 = 12

x = 1 y = (1)2 – 2(1) – 3 = –4

x = 4 y = (4)2 – 2(4) – 3 = 5

nilai maks = 12 , nilai minimum = –4

2. Tentukan nilai maks dan min kurva y = x3 – 6x2 + 5

pada interval –1 ≤ x ≤ 5

Jawab:

yI = 3x2 – 12x 3x2 – 12x = 0 3x (x – 4) = 0

0 4

– + +

x = –1 y = –2

x = 0 y = 5

x = 4 y = –27

x = 5 y = –20

Nilai maks = 5 Nilai min = –27

Kerjakan soal buku Mandiri hal. 131 no. 127 - 136

TITIK STASIONER / EKSTRIM

Pada fungsi y = f(x)

jika yII > 0 maka kurva cekung ke atas

yII < 0 maka kurva cekung ke bawah

kurva cekung ke atas kurva cekung ke bawah

cekung ke bawah

cekung ke atas

titik dimana terjadi perubahan kecekungan, disebut titik belok

Contoh:

1. Tentukan interval dimana kurva y = x3 + 6x2 + 12x – 11

cekung ke bawah dan cekung ke atas.

Jawab:

yI = 3x2 + 12x + 12 dan yII = 6x + 12

cekung ke atas: cekung ke bawah:

yII > 0 6x + 12 > 0

x > –2

yII < 0 6x + 12 < 0

x < –2

2. Tentukan interval dimana kurva y = x4 – 8x3 + 18x2 + 24

cekung ke bawah dan cekung ke atas.

Jawab:

yI = 4x3 – 24x2 + 36x dan yII = 12x2 – 48x + 36

cekung ke atas: yII > 0 cekung ke bawah: yII < 0

12x2 – 48x + 36 > 0

x2 – 4x + 3 > 0

(x – 1) (x – 3) > 0

1 3

+ + –

x < 1 atau x > 3

x2 – 4x + 3 < 0

(x – 1) (x – 3) < 0

1 < x < 3

Kerjakan Exercises hal. 343

no. 2, 4, 17, 38, 45, 46a, 48b

buku Mandiri hal 130 no. 118 - 126

Soal persiapan Ulangan KD 6.3:

1. Tentukan pers grs sgu pd kurva:

a. y = x2 – x di x = –1

b. y = x4 + 3x – 5 di x = –2

2absisdix

2xy.c 2

1ydi4x3

2xy.d

3ydix2y.e

3ordinatdix

12y.f

2

about garis singgung

2. Sebuah parabola melalui titik (–1, 0), (1, –2), dan (0, –2). Tentukan

pers grs singgung pada parabola itu yang: a. melalui (0, 3)

b. sejajar garis y = 3x – 1

c. tegak lurus garis x – y = 3

3. Diketahui f(x) = x2 – 2x dan g(x) = –x2 – 2x.

Sketsalah kedua kurva itu dan tentukan pers grs singgung

dan grs normal pd titik potong keduanya.

4. Garis g melalui (1, –2) dan menyinggung y2 = 4x.

Garis h melalui (0, 0) dan tegak lurus garis g.

Tentukan pers garis g, garis h, dan garis normalnya.

about garis singgung

5. Tentukan pers grs sgu pada y = x2 + 2x – 8 jika: a.

garis normalnya // 6x + y = 6 b.

garis normalnya 2y = x + 3 c.

grs singgungnya membentuk sudut 45o dgn sb x positif d.

grs singgungnya membentuk sudut 120o dgn sb x positif

6. Carilah koordinat titik A pada kurva y = 2x3 – x + 5 shg

grs sgu nya bergradien 5. Lalu tentukan pers grs normalnya.

7. Carilah pers grs yg melalui (0, –1) dan menyinggung

kurva y = 3x2 – x3

about garis singgung

8. Tentukan pers grs sgu pada kurva y = x2 + 2

yg melalui titik A(0,5 ; 0)

9. Tentukan pers grs sgu pd y = x3 – 16x di absis 3.

Jika garis itu memotong sumbu x dan y di titik A dan B,

tentukan ordinat mid point AB.

10. Garis singgung kurva y = 4(x – 3)2 di titik (2, 4)

memotong sumbu x dan y di titik A dan B.

Hitunglah panjang AB dan jaraknya thd titik asal (0, 0).

11. Carilah titik-titik pada kurva y = x3 – 6x2 agar garis

singgungnya bergradien –9.

about garis singgung

12. Buktikan bahwa gradien grs sgu pada kurva: y =

x3 – 3x2 + 3x + 2 tidak pernah negatif.

Lalu carilah titik dimana gradien grs sgu nya NOL.

about fungsi naik-turun

13. Tentukan dimana interval fungsi:

a. y = 6 – x selalu turun

naikpernahtak2xxyg.

b. y = x3 selalu naik

c. y = 2 + x – x2 tidak turun

d. y = 3x4 – 8x3 tidak naik

f. y = 2x5 – 15x4 + 30x3 selalu turun

e. y = (3 – x)3 + 4 selalu naik

turunpernahtak2

yh.2x

x

14. Buktikan bahwa kurva:

a. y = x3 – 12x2 + 48x + 45 tidak pernah turun.

b. y = 9 – 3x3 – 3x2 – x tidak pernah naik.

15. Tentukan p agar y = x3 + px2 + 2px + 5 selalu naik.

16. Tentukan k agar y = –x3 + (k – 1)x2 – 3x – 3 selalu turun.

about nilai maks-min

17. Carilah nilai maks & min dari:

a. y = 9 – x2 pada –4 ≤ x ≤ 5

b. y = 4x – x2 + 1 pada –1 ≤ x ≤ 3

c. y = x (x – 3)2 pada –1 ≤ x ≤ 5

d. y = 3x4 – 4x3 pada –2 ≤ x ≤ 3

e. y = sin x + cos x pada 0 ≤ x ≤ 2

f. y = 4 sin x – 3 cos x pada 0 ≤ x ≤ 2

g. y = cos 2x – sin x pada 0 ≤ x ≤

oo 100x50pada2xcosyh.

about titik stasioner

18. Tentukan interval cekung ke atas, ke bawah, & titik stasioner dari:

a. y = x3 – 6x

b. y = x3 (x – 2) + 1

c. y = 3x4 + 4x3 – 24x2 + x + 2

e. y = x6 – 3x4

19. Buktikan bahwa kurva y = 2x2 + cos2x selalu cekung ke atas.

20. Tentukan a, b, c agar y = ax3 + bx2 + cx mempunyai titik belok

di (3, 18) dengan gradien grs sgu di titik beloknya –3.

d. y = x (x – 2)3

21. Diket y = ax3 + bx2 + cx + d mencapai titik ekstrim/stasioner

di (1, 2) dan (2, 3). Tentukan a, b, c, d, dan koord titik beloknya.

Siap Ulangan KD 6.3