PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM

(PPDU) TELKOM UNIVERSITY

KALKULUS IMUG1A4

IV. TURUNAN

KONSEP TURUNAN

cxcfxfmPQ

)()(

Turunan di satu titikPendahuluan (dua masalah dalam satu tema )

a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQ adalah :

c

f(c) P

x

f(x)Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan

cxf(c)f(x)m

cx

lim

b. Kecepatan SesaatMisal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinatsehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan posisi

s

f(c)

f(c+h)

hcfhcfv ratarata)()(

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dankecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebutberada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi

didefinisikan sebagai bila limit diatas ada

hcfhcfvv

hrataratah

)()(limlim00

cxf(c)f(x)v

cx

lim

)(' cf

'( ) limx c

f(x) f(c)f cx c

Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan

)(',)( cydx

cdf

x)x(f 1

3 3

3 3

3

1 13 33 lim lim

3 33 ( 3)lim lim

3 3 3 31 1lim

3 9

x x

x x

x

f(x) f( ) xf'( )x x

x xx(x ) x(x )

x

)3('f

1. '( ) limx c

f(x) f(c)f cx c

0

0

0

0

0

3 33 lim

1 13 3lim

3 (3 )3(3 )lim

3(3 )lim

1 1lim3(3 ) 9

h

h

h

h

h

f( h) f( )f'( )h

hh

hh

hh

hh

h

0

( ) ( )2. '( ) limh

f c h f cf ch

TURUNAN SEPIHAKTurunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di catau jika

Jika sebaliknya, f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

)c(f)c(f ''

cxcfxfcf

cx

)()(lim)('

cxf(c)f(x)(c)f

cx

'

lim

)(' cf

)c(f)c(f)c('f ''_ dan

Contoh : Diketahui

1,211,3

)(2

xxxxx

xf

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1. Jika ya, tentukanJawab :a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x = 1 .1)1(dan ' f

)1('f

2'

1 1

2

1 1

( ) (1) 3 (1 2 1)(1) lim lim1 1

( 1)lim lim 11 1

x x

x x

f x f x xfx x

x x x xx x

'

1 1

1 1

( ) (1) 1 2 (1 2 1)(1) lim lim1 1

2 2 1lim 2 lim 11 ( 1)( 1)

x x

x x

f x f xfx xx x

x x x

Teorema : Jika f diferensiabel di cf kontinu di c.• Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

• Perhatikan bahwa

• Maka

• Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

)()(lim cfxfcx

cxcxcx

cfxfcfxf

,).()()()()(

)()()()(lim)(lim cxcx

cfxfcfxfcxcx

)(lim.)()(lim)(lim cxcx

cfxfcfcxcxcx

0).(')( cfcf = f(c). Terbukti.

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = |x| kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 JawabAkan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

0,

0,||)(

xxxx

xxf

)x(flimx 0

0)(lim0

xx

)x(flimx 0

0lim0

x

x 0)(lim0

xfx

)0()(lim0

fxfx

f(0) = 0

f kontinu di x = 0

00

00

x

)(f)x(flim)(f

x

' 1lim0lim00

x

xx

xxx

000

0

x)(f)x(flim)(f

x

' .1lim0lim00

x

xx

xxx

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x = 0

1)0()0(1 '' ffKarena

maka f tidak diferensiabel di 0.

Contoh :Cari nilai a dan b sehingga f(x) mempunyai turunan di x = 1.

1,

1,)(

2

xaxxbx

xf

).(lim)(lim)1(11

xfxffxx

Jawab :

f(x) mempunyai turunan di x = 1 jikaa. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)

f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan f kontinu kanan di x = 1, atau

11limlim1

2

1

ababaaxbxa

xx

2'

11

2 2

1 1 1 1

( ) (1)(1) lim lim1 1

( 1) 1 ( 1)( 1)lim lim lim lim 1 21 1 1

xx

x x x x

f x f x b afx x

x a a x x x xx x x

Maka a = 2 dan b = 1

'

1 11

' '

( ) (1) 1(1) lim lim lim1 1 1

(1) (1)2

x xx

f x f ax a xf a ax x x

f fa

b. Turunan kiri = turunan kanan di c (syarat cukup)

Soal Latihan

1. Apakah fungsi 2

2

3 , 1( )

4 2 , 1

x x xf x

x x x

diferensiabel di x = 1?

2. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ?)1|(|)( xxxf

3. Apakah fungsi diferensiabel di x = 2?

2,12

2,1)(

2

xxxx

xf

4. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ?

5. Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di x = 3

)3|1(|)( 2 xxxf2 1 ; 3

( )2 ; 3x x

f xax b x

ATURAN PENCARIAN TURUNANFungsi Turunan PertamaDefinisi Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

Notasi lain , bentuk dikenal

sebagai notasi Leibniz.

xxt

xftfxfxt

,)()(lim)('

xh

xfhxfxfh

,)()(lim)('0

)(,,)(,,' xfDyDdx

xdfdxdyy xx

dxdy

)(' xf

• Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka

2.

3.

4.

5. dengan

Rrxrdxxd r

r

;1

(x)g(x)fdx

g(x)f(x)d ''

)()()()()()( '' xgxfxgxfdx

xgxfd

)(

)()()()(2

'')(

)(

xgxgxfxgxf

dxd xg

xf ( ) 0g x

0)(' xf

Bukti formula 4 Misalkan h(x) = f(x)g(x)

0 0

0

0

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( )

( ) ( )lim ( )lim lim ( )lim

h h

h

h

h h h h

h x h h x f x h g x h f x g xh xh h

f x h g x h f x h g x f x h g x f x g xh

g x h g x f x h f xf x h g xh h

g x h g xf x h g xh

( ) ( )

( ) '( ) ( ) '( )'( ) ( ) ( ) '( )

f x h f xh

f x g x g x f xf x g x f x g x

13)( 2

xxxf

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1.( 1) 2 ( 3) 1 6 2 6 1'( )( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x xf xx x x

3.Tentukan turunan pertama dari

Contoh: 1. Tentukan turunan pertama dari 43)( 23 xxxfJawab :

02.33)(' 2 xxxf xx 63 2

2. Tentukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 xxxxfJawab :

)22)(1()32(3)(' 322 xxxxxxf

2222963 34234 xxxxxx

22985 234 xxxx

Jawab :

Soal LatihanTentukan fungsi turunan pertama dari

)12()1()( 3 xxxxf

11)( 2

2

xxxf

1)( 3 22/1 xxxf1.

2.

3.

xxfxxfa cos)('sin)(. xxfxxfb sin)('cos)(.

02

2 cos sinsin sin 2 2'( ) lim lim

sin( )2lim cos( ). lim

2 ( )2

cos .1 cos

t x t x

t xt x

t x t xt xf xt x t x

t xt x

t x

x x

TURUNAN FUNGSI SINUS COSINUS

BUKTIa. Misal f(x) = sin x, maka

b. Misal f(x) = cos x, maka

hxhxxf

h

cos)cos(lim)('0

0

cos cosh sin sinh coslimh

x x xh

hxx

h

sinhsin)1(coshcoslim0

hx

h

hx

h

sinhsin)

2sin(cos

lim

2

0

)sinhsin4)2/(

)2

sin(cos(lim 2

2

0 hx

h

hhx

h

hxh

hhx

hh

sinhlimsin42/

)2/sin(limcos0

2

0)2/(

xxx sinsin0.cos

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperolehdengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnyaturunan bentuk u/v

dx

ddx

xdc xx

cossintan. x

xx2

22

cossincos

x2cos

1 x2sec

dx

ddx

xdd xx

sincoscot.

xxx

2

22

sincossin

22

1 cscsin

xx

dx

ddx

xde xcos1sec.

xx

2cossin

xx

xcos

1cossin

sec tanx x

dx

ddx

xdf xsin1csc.

xx

2sincos

cos 1 csc cotsin sin

x x xx x

ATURAN RANTAI

• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,maka

Contoh : Tentukan dariJawab :Misal sehingga bentuk diatas menjadiKarena

dan

maka

dxdu

dudy

dxdy

dudy

dxdu

dxdy )1sin( 2 xy

12 xu

xdxdu 2

uy sin

ududy cos

2 2cos( 1)2 2 cos( 1)dy x x x xdx

dxdv

dvdu

dudy

dxdy

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dandxdv

dvdu

dudy ,, ada, maka

Contoh : Tentukandxdy

)5( 34 xSinydari

53 xv 23xdxdv

Jawab :

Misal )5cos(cos 3 xv

dvdu

4y u )5(44 333 xSinududy

sehingga

)5()5(12.. 3332 xCosxSinxdxdv

dvdu

dudy

dxdy

sin

Atau bisa dengan cara langsung,

)5( 34 xSiny 3 3 3 2' 4. ( 5) ( 5).3y Sin x Cos x x

2 3 3 312 ( 5) ( 5).x Sin x Cos x

72 3y x

y x sin3

xxy 24 4cos2

11

xxy

Tentukan fungsi turunan pertama dari

Soal Latihan

2 21

xyx

1.

2.

3.

4.

5.

6. 2 1y sin x tan x

TURUNAN TINGKAT TINGGI• Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

• Turunan pertama

• Turunan kedua

• Turunan ketiga

• Turunan ke-n

Contoh : Tentukan dari

Jawab :

2

2

3

3

'( )

"( )

"'( )

( )n

nn

df xf x

dxd f x

f xdx

d f xf x

dxd f x

f xdx

)()( )1()( xfdxdxf nn

xxy sin4 3

xxy cos12' 2 xsinx''ymaka 24

''y

y x sin 2 1

y x 2 3 4

yx

x

1

y x cos2

f c"( ) 0 f x x x x( ) 3 23 45 6

g x ax bx c( ) 2

3)1(' g 4)1('' g

A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5,

dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x), maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian, maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10.1 223 yxyx

1)sin(.2 22 yxxy

Jawab:

)10()()()( 223xxxx DyDxDyxD

2 2 3(3 2 ' ) 2 ' 0x y y y x x y 223 32')12( yxxyyx

1232' 3

22

yx

yxxy

3 2 21. ( ) (10)x xD x y x y D

10.1 223 yxyx 1)sin(.2 22 yxxyContoh: Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

cos( )(1. ' ) 2 2 ' 0xy y y x x yy

)cos(2')2)cos(( xyyxyyxyx

yxyxxyyxy2)cos(

)cos(2'

2 22. (sin( ) ) ( 1)x xD xy x D y

y xy sin 1

x x y y3 2 23 0

Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari bentuk implisit

Soal Latihan

xyxyx )sin(2

1.

2.

3.

4.

2 0tan xy y

GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

• Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah

• Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.

• Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah

).(100 xx

myy

0 0– –( ), 'y y yx x mm

42.42.3)6,2('43' 22 yxxy

24 xy)2(46 xy

21

416)2(

416 xyxy

1 134 2

y x

Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalfungsi di (2,6). 62 23 xxy

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva0622 xyyx di titik dengan absis (x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaangaris singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu dengan menggunakan turunan fungsi implisit'y

2 6 0 ( 3)( 2) 0 3 2y y y y y dan y

2 2 2 2( 6) (0) 2 2 ' ( ') 0 0x xD x y xy D xy x yy y xy 2 22 2 ' ' 0xy x yy y xy 2 2(2 ) ' 2x y x y y xy

xyxxyyy

2

2

22'

Di titik (1,3)

3515

13.1.29.1.23|' )3,1(

y

Persamaan garis singgung33)1(33 xxy

63 yx

Persamaan garis normal

31

31)1(

313 xxy

83 yx

Di titik (1,-2)

25

101)2.(1.24.1.22|' )2,1(

y

Persamaan garis singgung22)1(22 xxy

42 yx

Persamaan garis normal

21

21)1(

212 xxy

32 yx

Soal Latihan

sin xy y

1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di ,12

2. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

2 2 3 10x y xy y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (2, 1)

Terima Kasih