Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik...

17

Transcript of Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik...

Page 1: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,
Page 2: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Istilah Penting

Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk

setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi, 2005).

Fungsi probabilitas adalah seluruh output yang mungkin dari variabel X

(Harinaldi, 2005).

Diskrit

Probability Mass Function

Cumulative Mass Function

Kontinu

Probability Density Function

Cumulative Density Function

Page 3: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM DISKRIT

Page 4: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli terbentuk dari percobaan Bernoulli.

Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi:

a. Percobaan hanya dilakukan sebanyak 1x pengulangan

b. Percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses dan gagal,

benar dan salah, dan lainnya. Hasil percobaan tersebut bersifat mutually

exclusive.

c. Peluang (probabilitas) sukses dinyatakan dengan p

d. Peluang (probabilitas) gagal dinyatakan dengan q = 1-p

Fungsi Peluang, Mean, dan Varians dari Distribusi Bernoulli

Varible random X dinyatakan berdistribusi Bernoulli dengan parametr p, dan

ditulis dalam bentuk : X ~ B (1,p)

X 1 (sukses) 0 (gagal)

P(X=x)=f(x) p 1-p

Fungsi peluang untuk distribusi Bernoulli berdasarkan tabel :

P(X=x) = f(x) = {

Mean (rata-rata) dari distribusi Bernoulli adalah

µ = E(X) = ∑ –

Varians dari distribusi Bernoulli adalah

σ2 = E(X

2) - µ

2 = ∑

Page 5: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika

berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli. Oleh karena itu distribusi binomial

ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli. Distribusi Binomial berasal dari

percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan

saling bebas. Suatu Distribusi Bernoulli yang dibentuk oleh suatu percobaan

Bernoulli harus memenuhi syarat: keluaran (outcome) yang muungkin hanya salah

satu dari “sukses” atau “gagal”, jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gaga;

q = 1- p (Kaharuddin, 2018). Ciri-ciri dari Distribusi Binomial adalah sebagai

berikut:

1. Setiap percobaan hasilnya dapat dibedakan dalam 2 macam kejadian:

berhasil (probabilitas dinyatakan dengan notasi p) atau gagal (probabilitas

dinyatakan dengan notasi q = 1 – p).

2. Masing-masing percobaan merupakan peristiwa yang bersifat bebas, yaitu

peristiwa yang satu tidak mempengaruhi peristiwa yang lain.

3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nillai p ini tetap dari satu

percobaan ke percobaan berikutnya atau dari satu kejadi ke kejadian

lainnya.

Distribusi probabilitas Binomial atau fungsi massa probabilitas (pmf) dari

distribusi Binomial dinyatakan sebagai:

f ( x | n, p ) = P ( X = x ) = (n ) p -p

n-

= n

(n- ) p -p

n-

Dimana:

p = probabilitas sukses

q = probabilitas gagal

n = jumlah total percobaan

x = jumlah sukses dari n kali percobaan, = 0, ,2,3,….,n

Page 6: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi Binomial

merupakan jumlahan dari fungsi-fungsi probabilitasnya dan dinyatakan sebagai:

F ( x | n, p ) = ∑ (ni) pi -p

n-i i=0

= ∑n

i (n-i) pi -p

n-i i=0

Untuk mean dan varians dari distribusi Binomial dinyatakan sebagai berikut:

Mean : E(x) = np

Varians : Var (x) = npq

Distribusi Multinomial

Percobaan binomial dapat menjadi percobaan multinomial jika setiap

percobaan tersebut memiliki lebih dari dua kemungkinan. Secara umum, jika

percobaan tertentu dapat menghasilkan salah satu dari k kemungkinan hasil E1,

E2,. . . , Ek dengan probabilitas p1, p2,. . . , pk, maka distribusi multinomial akan

memberikan probabilitas bahwa E1 terjadi x1 kali, E2 terjadi x2 kali ,. . ., dan Ek

terjadi xk kali dalam n uji coba independen dengan dirumuskan sebagai berikut

(Walpole dkk, 2012).

f( , 2,.., k;p ,p2,..,pk;n) = (n

, 2,…, k) p

p

2 2…p

k k

dengan

∑ i=n dan ∑ pi=

k

i=

k

i=

Page 7: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi probabilitas hipergeometrik memberikan model realistik untuk

beberapa jenis data yang enumeratif (dapat dihitung). Karakteristik dari distribusi

hipergeometri adalah:

1) Eksperimen meliputi n elemen yang diambil secara acak tanpa

penggantian dari sejumlah N elemen, r, dimana adalah S (untuk

keberhasilan) dan (N - r) yang mana adalah F (untuk kegagalan).

2) Variabel acak hipergeometrik x adalah jumlah S dalam pengambilan n

elemen.

Distribusi probabilitas, dapat ditulis secara matematis:

f ; ;n;k =(k

)( -k

n- )

(

n)

, untuk x = 0, , 2, 3, …, k.

Distribusi Binomial Negatif

Distribusi binomial negatif adalah sebuah distribusi probabilitas untuk

menentukan jumlah X percobaan yang diperlukan untuk menghasilkan k

keberhasilan dalam sebuah percobaan. Jika uji coba independen berulang dapat

menghasilkan sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan peluang q=1-p,

maka distribusi probabilitas variabel acak X, jumlah uji coba untuk menghasilkan

kesuksesan k terjadi dapat menggunakan rumus sebagai berikut (Walpole dkk,

2012).

b ;k;p = (

k ) pkq k, = k,k ,k 2,…

Jika X adalah variabel random binomial negatif dengan parameter p dan k,

maka berikut ini merupakan rumus untuk rata-rata dan variansi dari distribusi

binomial negatif.

= = k

p dan σ2 = =

k p

p2

Page 8: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi Geometrik

Distribusi geometrik merupakan distribusi yang berasal dari eksperimen

binomial negatif untuk mencapai peluang sukses yang pertama kalinya. Jika

variabel acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sukses tercapai, maka

dapat dibentuk distribusi probabilitas geometrik dengan menetapkan r = 1 pada

probabilitas binomial negatif. Fungsi probabilitas geometrik dinyatakan sebagai

(Harinaldi, 2005):

x = 0, , 2, …

0

Fungsi distribusi kumulatif dinyatakan sebagai:

∑ x = 0, , 2, …

0

Jika X adalah variabel random geometrik dengan parameter p, maka:

Nilai Harapan

Variansi

Skewness

Kurtosis

Page 9: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi Poisson

Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson

(1781–1840) dan diterbitkan bersama teori peluangnya, pada tahun 1838 dalam

karyanya Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en

matière civile “Penelitian Peluang Hukum Masalah Pidana dan Perdata” .

Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah

kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval

waktu tertentu (Bain dan Engelhardt, 1992). Ciri-ciri percobaan Poisson adalah

sebagai berikut:

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang tertentu atau daerah

tertentu tidak bergantung pada selang atau darah lain

2. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu yang

singkat sekali atau daerah yang kecil sebanding dengan selang waktu atau

daerah yang lain, juga tidak bergantung pada banyaknya percobaan yang

terjadi di luar selang waktu atau daerah yang lain

3. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam

selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil bisa diabaikan

Distribusi Poisson dapat digunakan untuk menentukan probabilitas dari

sejumlah sukses yang ditentukan jika kejadian-kejadian berjalan dalam kurun

waktu atau ruang kontinyu tertentu. Pada distribusi Poisson hanya ada 1 nilai yang

diperlukan, yaitu jumlah rata-rata sukses, dinyatakan sebagai

. Distribusi

Poisson efektif digunakan untuk jumlah pengamatan n yang sangat besar,

sementara probabilitas p untuk satu kejadian sangat kecil (biasanya kurang dari

0,5). Contoh penggunaan distribusi ini antara lain: pendudukan traffic telepon

dalam satu jam di 3 sentral telepon, banyaknya kesalahan ketik dalam 1 halaman

laporan, jumlah cacat dalam 1 lembar kain.

Page 10: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi massa probabilitas (pmf) dari Poisson dapat dinyatakan sebagai

berikut:

f ( x | ) = e- .

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari Distribusi Poisson adalah

sebagai berikut:

F ( x | ) = e- ∑ i

i

i=0

Mean dan varians dari distribusi Poisson dinyatakan sebagai berikut:

Mean : E (X) =

Varians : V (X) =

Distribusi Uniform

Distribusi ini merupakan distribusi yang memiliki peluang yang sama untuk setiap

kejadian, tidak dikategorikan, dan ruang sampelnya tidak dibatasi (UNIMUS,

2013).

Distribusi Uniform Diskrit

Jika variabel random x memiliki nilai masing-masing dan muncul dengan

probabilitas yang sama (Andriani).

P(x) =

; x = 1, 2, 3, ... k

P(x) = Peluang Kejadian x

k = Data Kejadian ke - k

x = Banyak Percobaan

Page 11: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KONTINU

Page 12: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi Uniform Kontinu

Jika variabel random x memiliki nilai (kontinu) dan muncul dengan probabilitas

yang sama (Andriani).

P(x1 < X < x2) = ∫

-

2

a = Batas Bawah

b = Batas Atas

Distribusi Normal (Gaussian)

Distribusi normal merupakan distribusi yang paling umum digunakan baik dalam

teori maupun aplikasi statistik, karena distribusi ini banyak digunakan sebagai model

bagi data riil di berbagai bidang. Distribusi ini menangani variabel diskrit, tetapi

kurva distribusi normal banyak digunakan sebagai pendekatan. Fungsi kepadatan

probabilitas distribusi ini dinyatakan sebagai (Harinaldi, 2005):

-

Dimana:

= mean

= standar deviasi

Fungsi distribusi kumulatif distribusi normal:

Nilai dari menentukan bentangan dari kurva, sedangkan menentukan pusat

simetrisnya. Pengaruh dan diilustrasikan pada Gambar 2.1. Distribusi ini

menghasilkan gambar kurva menyerupai lonceng atau dikenal juga dengan bell-

shaped distribution. Jika X adalah variabel random normal dengan E(X) = dan

V(X) = σ2 , variabel random adalah (Harinaldi, 2005):

Page 13: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Adalah variabel random normal dengan E(Z) = 0 dan V(Z) = 1. Maka Z adalah

variabel random standar normal.

Gambar 2.1 Kurva Distribusi Normal

(Sumber: Weiss, 2012)

Distribusi Gamma

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang disebut luas dalam

bidang matematika. Pentingnya Distribusi Gamma dapat diketahui pada

kenyataan bahwa Distribusi Gamma merupakan suatu keluarga distribusi yang

distribusi lainnya merupakan hal khusus. Terapan penting Distribusi Gamma ini

pada teori reliabilitas (uji keandalan) dan waktu menunggu. Peubah acak yang

fungsi padatnya diberikan Distribusi Gamma adalah waktu atau ruang terjadinya

sesuatu sampai sejumlah tertentu kejadian poisson terjadi (Walpole & Myers,

1995). Distribusi Gamma memiliki hubungan yang erat dengan Distribusi

eksponensial, karena jika t = 1 maka distribusi ini menjadi Distribusi

Eksponensial.

Pdf dari distribusi probabilitas Gamma dinyatakan sebagai:

f (x; ; t) = e

-

t-

t ; 0

dimana:

Page 14: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

t = parameter bentuk

= parameter skala

Mean dari Distribusi Gamma adalah:

E(X) = t

Varians dari Distribusi Gamma adalah:

V(X) = t

2

Fungsi distribusi kumulatif (cdf) Distribusi Gamma adalah sebagai

berikut:

Distribusi Eksponensial

Variabel acak X bernilai sama dengan jarak antara perhitungan proses

Poisson yang berurutan dengan suatu rata-rata. Variabel acak kontinu X memiliki

distribusi eksponensial, dengan parameter λ, jika fungsi kerapatannya diberikan

adalah sebagai berikut (Walpole dkk, 2012).

f = λe λ

Berikut ini merupakan rata-rata dan variansi untuk distribusi eksponensial

dengan parameter λ.

= =

λ dan σ2 = =

λ2

Page 15: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Berikut ini merupakan grafik fungsi kepadatan probabilitas distribusi

eksponensial untuk beberapa variasi nilai parameter λ Harinaldi, 2005 .

Gambar 2.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas Distribusi Eksponensial

Uji Chi-Square

Uji Chi-Square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara

frekuensi yang benar-benar terjadi atau aktual dengan frekuensi harapan atau

ekspektasi.

Kegunaannya ialah untuk menguji hubungan atau pengarus dua buah variabel

nominal dan mengukur kuatnya hubungan antara variabel yang satu dengan

variabel nominal lainnya

Karakteristiknya :

a. Nilai Chi-Square selalu positif

b. Terdapat beberapa keluarga distribusi Chi-Square, yaitu distribusi Chi-

Square dengan DK = 1,2,3 dan seterusnya.

c. Bentuk Distribusi Chi-Square adalah menjulur positif.

Rumusnya:

X2 = [

]

Dimana:

X2

= Nilai chi-square

fe = frekuensi yang diharapkan

fo = frekuensi yang diperoleh atau diamati

Derajat kebebasan (dB) = k -1

Page 16: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Distribusi Beta

Distribusi Log Normal

Sebuah variabel acak kontinu non negatif X memiliki distribusi lognormal jika

ln(X) memiliki sebuah distribusi normal (Harinaldi, 2005).

Fungsi Distribusi Kumulatif

F ln (x; μ; σ) = P (X ≤ x) = P ( ≤ - μ

σ)

Distribusi Weibull

Distribusi Weibull adalah distribusi yang memiliki peranan yang penting terutama

pada persoalan keandalan (reliability) dan analisis perawatan (mantainability). Jika

sebuah variabel acak kontinu X memiliki parameter bentuk dan faktor skala ,

dimana > 0 dan > 0, maka fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari X adalah

(Harinaldi, 2005):

(

) (

)

(

)

x 0

Page 17: Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi,

Fungsi distribusi kumulatif Weibull:

∫(

)

( )

(

)

Ukuran statistika deskriptif untuk distribusi Weibull (Harinaldi, 2005):

Nilai Harapan (Mean)

(

)

Variansi

{ (

) * (

)+

}

Skewness

{ (

) (

) (

) * (

)+

}

Kurtosis

(

) (

) (

) * (

)+

(

) * (

)+

Gambar 2.3 Fungsi Kepekatan Probabilitas Weibull