Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik...
Transcript of Istilah Penting...Istilah Penting Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik...
Istilah Penting
Variabel acak adalah variabel yang memilki sebuah nilai numerik tunggal untuk
setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas (Simbol X) (Harinaldi, 2005).
Fungsi probabilitas adalah seluruh output yang mungkin dari variabel X
(Harinaldi, 2005).
Diskrit
Probability Mass Function
Cumulative Mass Function
Kontinu
Probability Density Function
Cumulative Density Function
DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM DISKRIT
Distribusi Bernoulli
Distribusi Bernoulli terbentuk dari percobaan Bernoulli.
Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi:
a. Percobaan hanya dilakukan sebanyak 1x pengulangan
b. Percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses dan gagal,
benar dan salah, dan lainnya. Hasil percobaan tersebut bersifat mutually
exclusive.
c. Peluang (probabilitas) sukses dinyatakan dengan p
d. Peluang (probabilitas) gagal dinyatakan dengan q = 1-p
Fungsi Peluang, Mean, dan Varians dari Distribusi Bernoulli
Varible random X dinyatakan berdistribusi Bernoulli dengan parametr p, dan
ditulis dalam bentuk : X ~ B (1,p)
X 1 (sukses) 0 (gagal)
P(X=x)=f(x) p 1-p
Fungsi peluang untuk distribusi Bernoulli berdasarkan tabel :
P(X=x) = f(x) = {
Mean (rata-rata) dari distribusi Bernoulli adalah
µ = E(X) = ∑ –
Varians dari distribusi Bernoulli adalah
σ2 = E(X
2) - µ
2 = ∑
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika
berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli. Oleh karena itu distribusi binomial
ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli. Distribusi Binomial berasal dari
percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan
saling bebas. Suatu Distribusi Bernoulli yang dibentuk oleh suatu percobaan
Bernoulli harus memenuhi syarat: keluaran (outcome) yang muungkin hanya salah
satu dari “sukses” atau “gagal”, jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gaga;
q = 1- p (Kaharuddin, 2018). Ciri-ciri dari Distribusi Binomial adalah sebagai
berikut:
1. Setiap percobaan hasilnya dapat dibedakan dalam 2 macam kejadian:
berhasil (probabilitas dinyatakan dengan notasi p) atau gagal (probabilitas
dinyatakan dengan notasi q = 1 – p).
2. Masing-masing percobaan merupakan peristiwa yang bersifat bebas, yaitu
peristiwa yang satu tidak mempengaruhi peristiwa yang lain.
3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nillai p ini tetap dari satu
percobaan ke percobaan berikutnya atau dari satu kejadi ke kejadian
lainnya.
Distribusi probabilitas Binomial atau fungsi massa probabilitas (pmf) dari
distribusi Binomial dinyatakan sebagai:
f ( x | n, p ) = P ( X = x ) = (n ) p -p
n-
= n
(n- ) p -p
n-
Dimana:
p = probabilitas sukses
q = probabilitas gagal
n = jumlah total percobaan
x = jumlah sukses dari n kali percobaan, = 0, ,2,3,….,n
Sedangkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi Binomial
merupakan jumlahan dari fungsi-fungsi probabilitasnya dan dinyatakan sebagai:
F ( x | n, p ) = ∑ (ni) pi -p
n-i i=0
= ∑n
i (n-i) pi -p
n-i i=0
Untuk mean dan varians dari distribusi Binomial dinyatakan sebagai berikut:
Mean : E(x) = np
Varians : Var (x) = npq
Distribusi Multinomial
Percobaan binomial dapat menjadi percobaan multinomial jika setiap
percobaan tersebut memiliki lebih dari dua kemungkinan. Secara umum, jika
percobaan tertentu dapat menghasilkan salah satu dari k kemungkinan hasil E1,
E2,. . . , Ek dengan probabilitas p1, p2,. . . , pk, maka distribusi multinomial akan
memberikan probabilitas bahwa E1 terjadi x1 kali, E2 terjadi x2 kali ,. . ., dan Ek
terjadi xk kali dalam n uji coba independen dengan dirumuskan sebagai berikut
(Walpole dkk, 2012).
f( , 2,.., k;p ,p2,..,pk;n) = (n
, 2,…, k) p
p
2 2…p
k k
dengan
∑ i=n dan ∑ pi=
k
i=
k
i=
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi probabilitas hipergeometrik memberikan model realistik untuk
beberapa jenis data yang enumeratif (dapat dihitung). Karakteristik dari distribusi
hipergeometri adalah:
1) Eksperimen meliputi n elemen yang diambil secara acak tanpa
penggantian dari sejumlah N elemen, r, dimana adalah S (untuk
keberhasilan) dan (N - r) yang mana adalah F (untuk kegagalan).
2) Variabel acak hipergeometrik x adalah jumlah S dalam pengambilan n
elemen.
Distribusi probabilitas, dapat ditulis secara matematis:
f ; ;n;k =(k
)( -k
n- )
(
n)
, untuk x = 0, , 2, 3, …, k.
Distribusi Binomial Negatif
Distribusi binomial negatif adalah sebuah distribusi probabilitas untuk
menentukan jumlah X percobaan yang diperlukan untuk menghasilkan k
keberhasilan dalam sebuah percobaan. Jika uji coba independen berulang dapat
menghasilkan sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan peluang q=1-p,
maka distribusi probabilitas variabel acak X, jumlah uji coba untuk menghasilkan
kesuksesan k terjadi dapat menggunakan rumus sebagai berikut (Walpole dkk,
2012).
b ;k;p = (
k ) pkq k, = k,k ,k 2,…
Jika X adalah variabel random binomial negatif dengan parameter p dan k,
maka berikut ini merupakan rumus untuk rata-rata dan variansi dari distribusi
binomial negatif.
= = k
p dan σ2 = =
k p
p2
Distribusi Geometrik
Distribusi geometrik merupakan distribusi yang berasal dari eksperimen
binomial negatif untuk mencapai peluang sukses yang pertama kalinya. Jika
variabel acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sukses tercapai, maka
dapat dibentuk distribusi probabilitas geometrik dengan menetapkan r = 1 pada
probabilitas binomial negatif. Fungsi probabilitas geometrik dinyatakan sebagai
(Harinaldi, 2005):
x = 0, , 2, …
0
Fungsi distribusi kumulatif dinyatakan sebagai:
∑ x = 0, , 2, …
0
Jika X adalah variabel random geometrik dengan parameter p, maka:
Nilai Harapan
Variansi
Skewness
Kurtosis
Distribusi Poisson
Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson
(1781–1840) dan diterbitkan bersama teori peluangnya, pada tahun 1838 dalam
karyanya Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en
matière civile “Penelitian Peluang Hukum Masalah Pidana dan Perdata” .
Karyanya memfokuskan peubah acak N yang menghitung antara lain jumlah
kejadian diskret (kadang juga disebut "kedatangan") yang terjadi selama interval
waktu tertentu (Bain dan Engelhardt, 1992). Ciri-ciri percobaan Poisson adalah
sebagai berikut:
1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang tertentu atau daerah
tertentu tidak bergantung pada selang atau darah lain
2. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu yang
singkat sekali atau daerah yang kecil sebanding dengan selang waktu atau
daerah yang lain, juga tidak bergantung pada banyaknya percobaan yang
terjadi di luar selang waktu atau daerah yang lain
3. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam
selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil bisa diabaikan
Distribusi Poisson dapat digunakan untuk menentukan probabilitas dari
sejumlah sukses yang ditentukan jika kejadian-kejadian berjalan dalam kurun
waktu atau ruang kontinyu tertentu. Pada distribusi Poisson hanya ada 1 nilai yang
diperlukan, yaitu jumlah rata-rata sukses, dinyatakan sebagai
. Distribusi
Poisson efektif digunakan untuk jumlah pengamatan n yang sangat besar,
sementara probabilitas p untuk satu kejadian sangat kecil (biasanya kurang dari
0,5). Contoh penggunaan distribusi ini antara lain: pendudukan traffic telepon
dalam satu jam di 3 sentral telepon, banyaknya kesalahan ketik dalam 1 halaman
laporan, jumlah cacat dalam 1 lembar kain.
Distribusi massa probabilitas (pmf) dari Poisson dapat dinyatakan sebagai
berikut:
f ( x | ) = e- .
Sedangkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari Distribusi Poisson adalah
sebagai berikut:
F ( x | ) = e- ∑ i
i
i=0
Mean dan varians dari distribusi Poisson dinyatakan sebagai berikut:
Mean : E (X) =
Varians : V (X) =
Distribusi Uniform
Distribusi ini merupakan distribusi yang memiliki peluang yang sama untuk setiap
kejadian, tidak dikategorikan, dan ruang sampelnya tidak dibatasi (UNIMUS,
2013).
Distribusi Uniform Diskrit
Jika variabel random x memiliki nilai masing-masing dan muncul dengan
probabilitas yang sama (Andriani).
P(x) =
; x = 1, 2, 3, ... k
P(x) = Peluang Kejadian x
k = Data Kejadian ke - k
x = Banyak Percobaan
DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM KONTINU
Distribusi Uniform Kontinu
Jika variabel random x memiliki nilai (kontinu) dan muncul dengan probabilitas
yang sama (Andriani).
P(x1 < X < x2) = ∫
-
2
a = Batas Bawah
b = Batas Atas
Distribusi Normal (Gaussian)
Distribusi normal merupakan distribusi yang paling umum digunakan baik dalam
teori maupun aplikasi statistik, karena distribusi ini banyak digunakan sebagai model
bagi data riil di berbagai bidang. Distribusi ini menangani variabel diskrit, tetapi
kurva distribusi normal banyak digunakan sebagai pendekatan. Fungsi kepadatan
probabilitas distribusi ini dinyatakan sebagai (Harinaldi, 2005):
√
-
Dimana:
= mean
= standar deviasi
Fungsi distribusi kumulatif distribusi normal:
∫
√
Nilai dari menentukan bentangan dari kurva, sedangkan menentukan pusat
simetrisnya. Pengaruh dan diilustrasikan pada Gambar 2.1. Distribusi ini
menghasilkan gambar kurva menyerupai lonceng atau dikenal juga dengan bell-
shaped distribution. Jika X adalah variabel random normal dengan E(X) = dan
V(X) = σ2 , variabel random adalah (Harinaldi, 2005):
Adalah variabel random normal dengan E(Z) = 0 dan V(Z) = 1. Maka Z adalah
variabel random standar normal.
Gambar 2.1 Kurva Distribusi Normal
(Sumber: Weiss, 2012)
Distribusi Gamma
Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang disebut luas dalam
bidang matematika. Pentingnya Distribusi Gamma dapat diketahui pada
kenyataan bahwa Distribusi Gamma merupakan suatu keluarga distribusi yang
distribusi lainnya merupakan hal khusus. Terapan penting Distribusi Gamma ini
pada teori reliabilitas (uji keandalan) dan waktu menunggu. Peubah acak yang
fungsi padatnya diberikan Distribusi Gamma adalah waktu atau ruang terjadinya
sesuatu sampai sejumlah tertentu kejadian poisson terjadi (Walpole & Myers,
1995). Distribusi Gamma memiliki hubungan yang erat dengan Distribusi
eksponensial, karena jika t = 1 maka distribusi ini menjadi Distribusi
Eksponensial.
Pdf dari distribusi probabilitas Gamma dinyatakan sebagai:
f (x; ; t) = e
-
t-
t ; 0
dimana:
t = parameter bentuk
= parameter skala
Mean dari Distribusi Gamma adalah:
E(X) = t
Varians dari Distribusi Gamma adalah:
V(X) = t
2
Fungsi distribusi kumulatif (cdf) Distribusi Gamma adalah sebagai
berikut:
Distribusi Eksponensial
Variabel acak X bernilai sama dengan jarak antara perhitungan proses
Poisson yang berurutan dengan suatu rata-rata. Variabel acak kontinu X memiliki
distribusi eksponensial, dengan parameter λ, jika fungsi kerapatannya diberikan
adalah sebagai berikut (Walpole dkk, 2012).
f = λe λ
Berikut ini merupakan rata-rata dan variansi untuk distribusi eksponensial
dengan parameter λ.
= =
λ dan σ2 = =
λ2
Berikut ini merupakan grafik fungsi kepadatan probabilitas distribusi
eksponensial untuk beberapa variasi nilai parameter λ Harinaldi, 2005 .
Gambar 2.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas Distribusi Eksponensial
Uji Chi-Square
Uji Chi-Square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara
frekuensi yang benar-benar terjadi atau aktual dengan frekuensi harapan atau
ekspektasi.
Kegunaannya ialah untuk menguji hubungan atau pengarus dua buah variabel
nominal dan mengukur kuatnya hubungan antara variabel yang satu dengan
variabel nominal lainnya
Karakteristiknya :
a. Nilai Chi-Square selalu positif
b. Terdapat beberapa keluarga distribusi Chi-Square, yaitu distribusi Chi-
Square dengan DK = 1,2,3 dan seterusnya.
c. Bentuk Distribusi Chi-Square adalah menjulur positif.
Rumusnya:
X2 = [
∑
]
Dimana:
X2
= Nilai chi-square
fe = frekuensi yang diharapkan
fo = frekuensi yang diperoleh atau diamati
Derajat kebebasan (dB) = k -1
Distribusi Beta
Distribusi Log Normal
Sebuah variabel acak kontinu non negatif X memiliki distribusi lognormal jika
ln(X) memiliki sebuah distribusi normal (Harinaldi, 2005).
Fungsi Distribusi Kumulatif
F ln (x; μ; σ) = P (X ≤ x) = P ( ≤ - μ
σ)
Distribusi Weibull
Distribusi Weibull adalah distribusi yang memiliki peranan yang penting terutama
pada persoalan keandalan (reliability) dan analisis perawatan (mantainability). Jika
sebuah variabel acak kontinu X memiliki parameter bentuk dan faktor skala ,
dimana > 0 dan > 0, maka fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari X adalah
(Harinaldi, 2005):
(
) (
)
(
)
x 0
Fungsi distribusi kumulatif Weibull:
∫(
)
( )
(
)
Ukuran statistika deskriptif untuk distribusi Weibull (Harinaldi, 2005):
Nilai Harapan (Mean)
(
)
Variansi
{ (
) * (
)+
}
Skewness
{ (
) (
) (
) * (
)+
}
Kurtosis
(
) (
) (
) * (
)+
(
) * (
)+
Gambar 2.3 Fungsi Kepekatan Probabilitas Weibull