SEJARAH MATEMATIKA

ISLAM, PENELANTARAN, DAN PENEMUAN

KELOMPOK 5

KASMAWATI 1111140015

AMALIA RAHMAH 1111140016

NURFAJRIANI 1111140048

YETNI PASAURAN 1111140049

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2013/2014

ISLAM, PENELANTARAN, DAN PENEMUAN

1. Pendahuluan

Harus jelas pada bab ini bahwa pandangan tradisional terhadap bangsa

Arab hanya sebagai pemelihara pembelajaran Yunani dan pemancar pengetahuan

merupakan salah satu yang parsial dan terdistorsi. (Joseph 1992, hal. 344)

Sejumlah pemikir pada abad pertengahan dan para ilmuwan hidup di

bawah pemerintahan Islam, tetapi tidak berarti bahwa mereka semua adalah kaum

'Muslim' baik nominal maupun substansial, memainkan peran yang sangat penting

dalam transmisi Yunani, Hindu, dan pengetahuan Islam yang lain terhadap bangsa

Barat. Mereka berkontribusi membuat Aristoteles dikenal oleh orang-orang

Kristen Eropa. Namun dalam melakukannya, mereka juga membagi apa yang

telah mereka terima dari sumber- sumber non-Muslim.

Sejarah matematika Islam jelas merupakan area yang diperebutkan, dan

sejarah yang baru diterima mempertajam perpecahan. Pandangan Yusuf

menggambarkan: 13 tahun yang lalu anak manusia hidup di beberapa kalangan

akademisi, seperti kebenaran yang tak dapat disangkal oleh anti kolumnis Islam

sebagai salah satu yang 'parsial dan terdistorsi'. Mungkin alam dalam keadaan saat

ini bahkan pertanyaan tentang aljabar di Baghdad pada abad kesembilan harus

diisi dengan keperluan politik, dan pengaruh-pengaruh dari golongan pinggiran

harus mengabadikan mitos lama. Sejauh ini, aliran utama sejarawan terkait

dengan hal-hal yang dibuat oleh Joseph hampir secara universal diakui, seperti

yang baru-baru ini dijelaskan oleh Katz dalam bukunya, bahwa:

Matematikawan Islam sepenuhnya mengembangkan sistem angka desimal

untuk memasukkan nilai pecahan desimal, menyusun studi aljabar dan mulai

mempertimbangkan hubungan antara aljabar dan geometri, membawa aturan

kombinatorika dari India dan mengolahnya kembali ke sistem abstrak, belajar dan

membuat kemajuan pada risalah geometris utama Yunani pada Euclid,

Archimedes dan Apollonius, dan membuat perbaikan yang signifikan pada

trigonometri bola dan bidang. (Katz 1998, hal. 240)

Satu-satunya dalih yang bisa dilakukan terhadap penilaian yang sangat

banyak ini yaitu bahwa Katz tidak menyebutkan kesulitan yang dialami oleh para

sarjana sebelumnya dalam mendapatkan hak / tuntutan yang layak mereka

terima. Hambatan utamanya adalah dari segi pandangan seperti yang disebutkan

oleh Joseph, yang melihat bangsa Arab sebagai pemancar daripada inovator.

Mengapa begini? Dilihat dari bab terakhir bahwa matematika Cina yang jelas di

luar tradisi Barat akan dijadikan sebagai kumpulan masalah belaka yang terisolasi

tanpa koherensi dan tanpa ide pembuktian. Dengan matematika yang

dikembangkan di dunia Islam dari abad kesembilan ke abad kelima belas masehi,

masalahnya adalah sebaliknya. Pekerjaan ini bisa saja dengan beberapa keadilan

dipandang sebagai bagian dari matematika ' Barat', melihat kembali ke Yunani

dan maju ke Eropa, dan adanya pengaruh-pengaruh yang tidak menjadi masalah.

Namun, karena hal itu merupakan studi di bidang ahli dan teks asli yang sering

tidak dapat diakses, bisa saja 'lupa' cara bagaimana para penulis Islam mengubah

matematika dan mengklaim bahwa mereka tidak melakukan apapun kecuali

menyebarkannya (seperti yang dilakukan Trifkovic.)

Untuk mengadakan diskusi yang tepat tentang sejarah seperti yang telah

dipahami, hal ini berguna untuk menoleh ke bangsa Barat, dunia Islam, dan

perubahan interaksi mereka. (Sejarawan punya masalah tentang pilihan antara

'matematika Arab' dan 'matematika Islam. Benar-benar akurat untuk

mempraktekkan matematika di dunia Islam , katakanlah di antara 800 dan 1500

masehi karena pilihan harus dibuat, kita harus memilih lebih banyak lagi termasuk

yang 'Islami'.) Pemahaman tentang matematika Islam di Eropa Barat telah melalui

berbagai transformasi. Pada awal Abad Pertengahan, dari abad kesebelas sampai

abad ketigabelas, untuk alasan yang baik sangatlah dihormati bahwa tingkat

pencapaian itu tampak lebih canggih. Karya-karya yang ditemukan paling

dipahami atau berguna yang diterjemahkan dari bahasa Arab ke dalam bahasa

Latin seperti terjemahan kontemporer dari klasik Yunani ke dalam bahasa Arab.

Dengan Renaissance untuk alasan yang kompleks (kira -kira tahun 1550) telah

terjadi perubahan pandangan, meskipun bangsa Barat tidak secara keseluruhan

mencapai tingkat prestasi dunia Islami, apalagi mengalahkannya.1 Praktek

terjemahan dari bahasa Arab masih kurang, sedangkan penerbitan teks Yunani asli

dan terjemahan mereka dalam bahasa Latin, memungkinkan suatu tuntutan bahwa

Kaum modern adalah pewaris langsung dari zaman purbakala. Meskipun, sejauh

ini aljabar dan sistem angka telah dikaitkan yang jelas tidak benar, itu adalah

mitos yang berguna dalam mengangkat suatu pandangan tentang dunia

Renaissance yang dibangun di atas sastera kuno sebagai suatu sumber legitimasi.

Kita akan lihat nanti berapa banyak karya-karya Viète, Stevin, Descartes, dan

sepanjang hidup yang mereka berikan kepada prekursor Islam, yang penting untuk

saat ini bahwa tidaklah wajar untuk mengakui utang. Hal ini tidak berlebihan jika

dikatakan bahwa garis besar sejarah Eurocentric dimana Yusuf mengkritik yang

ditetapkan pada abad keenam belas, dan versi dominan sejarah sampai relatif baru.

Namun sejumlah hal-hal penting, karya Islam telah diterbitkan dan dipelajari di

Eropa Barat selama 200 tahun terakhir. Pemahaman mereka, dan penggabungan

mereka ke dalam sejarah umum akan berguna untuk melestarikan para ahli dengan

tidak berdampak pada pandangan aliran utama. Pemahaman lebih lanjut mengenai

tujuan matematika Islam adalah sebagai berikut:

• Suatu permintaan motivasi politik sebagai pengakuan dari dunia Islam dari

tahun 1950-an2;

• Program penelitian terpadu yang sebagian terkait dengan politik, yang

dengan cepat diperdalam dan memperluas karya studi dan terjemahan pada

tahun 1950-an dan 1960-an.

Kita akan lebih banyak membahas tentang materi yang tersedia dan tidak

tersedia dalam Bagian 2. Perubahan penting tidak begitu banyak mengalami

peningkatan sumber aksesibilitas sebagai kesadaran meningkatnya prestasi

matematika Islam. Dua puluh tahun lalu,3 Roshdi Rashed, salah satu peneliti

sejarah terkemuka, mengemukakan beberapa poin yang sama seperti Yusuf:

Representasi yang sama merupakan waktu temu dan lagi: ilmu klasik, baik dalam

modernitas maupun historisitas, muncul di akhir hitungan sebagai karya

kemanusiaan Eropa saja, lebih jauh lagi, pada dasarnya sarana dari cabang

kemanusiaan ini telah didefinisikan. Bahkan, hanya prestasi ilmiah kemanusiaan

Eropa yang merupakan obyek sejarah. (Rashed 1994, hal. 333)

Teks-teks baru, penelitian baru, dan argumen yang meyakinkan dari para

sarjana agung sebagian besar telah mengijinkan matematika Islam untuk

mengambil tempat yang sah dalam sejarah, dan di kalangan para sarjana dengan

kemampuan akademis yang serius tidak akan lagi merasa diabaikan atau dinilai

rendah. Masalah utama dalam membangun suatu gambaran yang tepat merupakan

yang pertama dengan kesenjangan besar dalam pengetahuan kita yang tentu saja

juga ada untuk budaya Yunani dan Cina dan kedua oleh keragaman kegiatan

(aritmatika, aljabar, geometri klasik, astronomi, trigonometri, dan banyak lagi).

Akan mudah bagi siswa untuk memahami matematika Islam, seperti bangsa

Yunani yang membuat evaluasi yang baik. Dengan asumsi ini mungkin,

masyarakat bisa memperbaiki ide-ide, serta mengajukan beberapa pertanyaan:

• Dapatkah seseorang memberikan deskripsi terpadu mengenai 'matematika

Islam‘, mengingat lamanya waktu dan ruang dan berbagai cakupan

bidang, haruskah kita mencoba untuk melakukannya?

• Bagaimana kita akan mengevaluasi 'kontribusi Islam' terhadap

perkembangan pemikiran matematika?

2. Akses ke literatur

Satu hal yang secara alamiah akan direkomendasikan sebagai tindak lanjut

kesepakatan umum tentang pentingnya matematika Islam adalah bahwa siswa

dapat berkonsultasi dan memeriksa teks dan sejarah misalnya pertanyaan yang

diajukan di atas. Sayangnya, ini belum terjadi, dan di sini tuduhan 'pengabaian'

masih dapat dibuat, akses terhadap bahan yang relevan masih sangat sulit . Jika

kita mulai dengan teks kedua, yaitu Berggren (1986) yang lengkap, menarik, dan

bagus. Ya, dalam situasi seperti ini, para pembaca seharusnya memulai. Karya

Rashed (1994) lebih spesialis ditujukan pada eksposisi titik-titik tertentu dalam

aritmatika dan aljabar, tetapi mahal dan jarang terdapat di perpustakaan-

perpustakaan. Sementara tulisan lama milik Youschkevitch (1976) merupakan

yang lebih lengkap dibanding yang lain dan mengandung banyak hal tentang apa

yang mereka hilangkan, yakni (a) dalam bahasa Perancis dan (b) cetakan panjang.

Keadaan dimana siswa memasuki lapangan bisa lebih buruk dan ini tidak bagus.

Berkenaan dengan sumber-sumber primer, apa yang tersedia

mencerminkan terjemahan sejarah panjang dan merata dari penggemar individu.

Bagian yang relevan dalam Fauvel dan Gray relatif singkat, meskipun

mengandung beberapa teks penting, sedangkan karya-karya Euclid, Archimedes,

dan matematikawan besar Yunani lainnya bisa ditemukan di perpustakaan dan

bisa pula dicetak ulang, ini masih jauh dari kebenaran klasik dunia Islam. Satu

masalah awal adalah bahwa tidak ada lagi peraturan dari beberapa penulis besar,

baik kumpulan besar teks dengan kontribusi yang berbeda masih dalam proses

penilaian.4 Terjemahan lain sedang dikembangkan sekarang, tetapi ada

kesenjangan besar. Dengan mengambil beberapa contoh berikut :

• Pada awalnya, pendiri buku tentang aljabar yang mendasari semua

karya selanjutnya adalah (Muhammad ibnu Musa) al-Khwarismi

Hisab al-jabr wa al-muqabala ('Aljabar', kepustakaan 'menghitung

dengan mengembalikan dan membandingkan', sekitar tahun 825).

Ini ada dalam terjemahan F. Rosen, pada tahun 1831 (aljabar dari

Muhammed ben Musa, London, Oriental Translations Fund). Telah

dicetak ulang oleh Olms (1986), dan karena itu dalam situasi yang

lebih baik daripada kebanyakan (kutipan berfaedah dalam Fauvel

dan Gray).

• Masih banyak lagi dan sama pentingnya, yaitu aljabar Omar

Khayyam (Umar al-Khayyami) sekitar tahun 1070. Hal ini telah

diketahui sejak lama, dan pertama kali diterjemahkan pada abad

kesembilan belas oleh Woepcke (ke dalam bahasa Prancis), ada

pula terjemahan Inggris yang lebih 'modern' (Khayyam 1931).

Bagaimanapun, ini merupakan cetakan panjang dan tidak mudah

ditemukan. Sekali lagi, ada kutipan berfaedah Fauvel dan Gray.

• Yang baru-baru ini mengejutkan adalah ditemukannya teks aljabar

inovatif al-Bahirfi-ljabr ('The Shining Treatise on Aljabar') al-

Samaw'al (abad kedua belas). Hal ini telah banyak dibahas, dan

ringkasan yang baik dari apa yang dikatakan dalam beberapa

bagian kunci berkaitan dengan jumlah seri dan dengan polinomial

dapat ditemukan dalam Rashed (1994) dan dalam Berggren (1986).

Namun, ada teks Arab modern sekitar tahun 1976 dengan

pengenalan dan beberapa catatan kaki dalam bahasa Prancis oleh

Rashed, tidak ada terjemahan dan memang tidak ada kutipan

terjemahan. Dan edisi itu sendiri, yang diterbitkan di Damaskus,

tidak mungkin akan disediakan di luar perpustakaan ahli.

• Terakhir, salah satu karya yang paling terkenal yang sering disebut

sebagai perhitungan canggih, khususnya penggunaan pecahan

desimal yakni al-Kashi miftah al-hisab ('The Kalkulator Key'),

ditulis di Samarkand pada abad kelima belas yang telah dikenal

dan dipelajari selama lebih dari satu abad. Selain beberapa edisi

dalam bahasa Persia (karya itu cukup terkenal di Iran), dan

terjemahan ke dalam bahasa Rusia oleh B.A. Rosenfeld pada tahun

1956, ada edisi bahasa Arab modern , diterbitkan di Kairo pada

tahun 1967, dan dengan cetakan panjang. Saya tahu tidak ada

terjemahan bahasa Inggris, atau bahkan rencana untuk masyarakat,

meskipun mereka dapat belajar sesuatu dari fitur yang tidak biasa

atas karya tersebut dari deskripsi di Berggren (dan Youschkevitch).

Saat ini sudah ada beberapa terjemahan yang berlangsung, dan karena

bidang cakupannya sangat besar, maka pasti harus selektif. Versi A.S. saidan itu

(baru ditemukan) aritmatika al-Uqlidisi, sebuah karya menarik dan berbagai

terjemahan dalam bahasa Prancis oleh Rashed, terutama karya-karya Shara

(1986), dan ibnu al-Haytham (proyek besar yang sedang berlangsung). Para

penerjemah (dan lain-lain) menjadi peneliti aktif, tentu akan memilih penulis yang

paling menarik bagi mereka, sehingga tindakan mengedit dan menerjemahkan

sering menjadi bagian dari pembuatan aturan-aturan pribadi mengenai apa yang

penerjemah anggap sebagai karya-karya besar. Namun, dalam situasi yang sangat

memprihatinkan ini sudah dijelaskan bahwa pekerjaan tersebut sangat berharga.

Dapat dikatakan bahwa keterlibatan penelitian yang serius dengan ilmu

pengetahuan Islam harus mencakup akuisisi kemampuan untuk membaca tulisan

Arab (yang mungkin sudah dimiliki oleh beberapa pembaca). Hal ini tampaknya

salah paham, sejauh karya bersangkutan dianggap sebagai teks sejarah besar.

Waktu adalah masa lalu ketika siswa diharapkan dapat memiliki waktu luang

untuk belajar bahasa sebagai bagian dari pendidikan liberal umum, sementara para

ahli mungkin perlu membaca Euclid dalam bahasa Yunani atau Principia dalam

bahasa Latin, tidak ada yang akan mengharapkan pelajar mengambil kursus

sejarah.

Sebagaimana telah dinyatakan sebelumya bahwa dalam kasus apapun,

edisi Arab modern tidak mudah tersedia, dan mengartikan naskah yang sulit yang

masih merupakan sumber utama kami (Gambar 1) yang merupakan keterampilan

penelitian lanjutan sebanding dengan membaca Sumerian.Jika karya besar

matematikawan Islam layak dipelajari pada kedudukan yang sama dengan zaman

klasik yang lain, maka keduanya harus sama-sama dapat diterima. Mereka yang

meneliti Yunani klasik berada dalam posisi beruntung, dalam keadaan kritis dan

terjemahan telah disediakan oleh para sarjana yang (seabad yang lalu)

menganggapnya sebagai bagian penting dari pekerjaan mereka. Sebuah komitmen

untuk perlakuan yang adil untuk klasik Islam kini mengendarai upaya serupa

sejauh mereka prihatin. Dalam semangat optimisme, kita bisa berharap untuk

suatu bagian penting dari literatur yang luas ini, bersama-sama dengan berbagai

sejarah analitis agar dapat dibaca oleh siswa dalam waktu 20 tahun. (Dan mungkin

suatu bantuan telah dibuat oleh al- Kashi , lihat butir 4.)

Sebuah sumber dan artikel bibliografi terbaru (yang menghilangkan karya-

karya Rusia, tetapi komprehensif) adalah oleh Richard Hogendijk di

www.math.uu.nl/people/hogend/Islamath.html.

Gambar 1, dari al-Kashi

Dan banyak studi out-of-print dan artikel dari seratus tahun terakhir

sedang dicetak sebagai bagian dari banyak seri berjudul Astronomi dan

Matematika Islam, oleh Fuat Sezgin (mahal dan jarang ditemukan bahkan di

perpustakaan terbaik). Mahasiswa yang gigih akan dapat menemukan banyak

bahan, tetapi mungkin melibatkan pustakawan yang ramah, dan beberapa biaya.

3. Dua Naskah

Tidak ada rasa ingin tahu, tidak ada metode aneh terdengar, tidak ada ide

bagus yang mereka disukai. Akan diberikan dan dijelaskan, sehingga buku ini

akan berisi tentang apa yang semua orang pertanyakan. Karena sesungguhnya

aritmatika ini sering diperdebatkan oleh orang-orang yang menanyakan tentang

asal muasal kemunculannya. (Al-Uqlidisi 1978, hal. 36)

Ini merupakan karakteristik geometri yang ketika Anda bertanya kepada

mereka tentang pembagian angka ataupun bentuk perkalian, mereka menjadi

bingung dan butuh waktu yang lama untuk menyelesaikannya. (Abu Wafa 1966,

hal. 115)

Sampai pada pengenalan alam dan keanekaragaman matematika Islam,

mari kita pertimbangkan dua teks dari tahun yang sama (abad kesepuluh masehi).

Keduanya menggambarkan masalah 'matematika praktis', yang dibesarkan oleh

kedua kutipan di atas. Untuk simetri, satu buku di cetak dalam terjemahan bahasa

Inggris oleh penulis yang tidak dikenal, yang lain adalah buku yang tidak

diterjemahkan oleh seorang penulis yang cukup dikenal. Pertama, yang relatif

mudah ditemukan adalah aritmatika, atau Kitab al fusul fi al-hisab al-hindi (bab

tentang Hindu hisab), yang ditulis oleh al Uqlidisi di Damaskus pada 951 M. ( al

Uqlidisi 1978). Buku ini adalah salah satu sumber terbaik pada aritmatika awal

yang menggunakan sistem desimal Hindu, terutama sejak awal (paling awal?)

Yang ditulis oleh al- Khwarizmi belum bertahan dalam bahasa Arab, dan berbagai

terjemahan Latin terkenal tampaknya telah ditambahkan dan dikurangi dengan

cara yang berbeda (lihat al Khwarizmi 1992). Di sisi lain, sementara al-

Khwarizmi adalah seorang sarjana terkenal, tidak ada yang diketahui tentang

kehidupan al- Uqlidisi sama sekali. Namanya yang berarti 'The Euclidean'

mungkin menunjukkan pelajaran, tapi rupanya orang mendapat julukan ini untuk

menulis salinan The Elements untuk dijual. (Abad kesepuluh Damaskus menjadi

tempat unik di mana salinan teks Euclid akan memberimu kehidupan.) Namun,

pembelajaran Yunani tidak ditunjukkan dalam teks al-Uqlidisi itu. Panjang,

terinci, dan hati-hati, dan dunianya merupakan sudut jalan kalkulator di Damaskus

yang diperlukan untuk bekerja dengan cepat dan akurat , dan yang menemukan

bahwa sistem nomor baru adalah ideal untuk tujuan mereka. Itu adalah dunia yang

kompetitif, ini mungkin tampak aneh dan satu di mana para pengikut metode

perhitungan akan menyerang yang lain. Jadi al-Uqlidisi mempertahankan

metodenya, dalam frase yang sering dikutip, sehingga memungkinkan untuk

melakukan perhitungan antara gangguan kehidupan :

Kebanyakan penulis harus menggunakannya karena mudah, cepat dan

membutuhkan sedikit tindakan pencegahan, sedikit waktu untuk mendapatkan

jawaban, dan menjaga jantung sibuk dengan kerja agar ia [penulis] harus melihat

kedua tangannya, untuk sejauh apa jika ia berbicara, ia tidak akan merusak

karyanya, dan jika dia meninggalkan dan menyibukkan diri dengan sesuatu yang

lain, saat dia berbalik kembali ke sana dia akan menemukan yang sama dan

melanjutkannya, menyimpan kesulitan menghafal dan menjaga jantungnya sibuk

dengan itu. (Al Uqlidisi tahun 1978, hal. 35)

Buku ini luar biasa dalam kedekatan, dan dalam arti bahwa al-Uqlidisi

memiliki pendengar dan apa yang mereka butuhkan. Setiap aturan dijelaskan

secara rinci:

Sebagai contoh, kita mencoba untuk menemukan akar dari 576. Kita mulai dari

enam yang menyatakan 'Apakah, tidak, ya', yang berada di bawah lima. Kita

mencari angka untuk menarik di bawah lima sehingga jika kita kalikan dengan

suka, itu menguras sebagian besar dari lima. Kami menemukan 2. Kami sisipkan

di bawah lima tahun, kalikan dengan seperti dan melemparkan bahwa dari lima.

Tetap satu di tempat lima. Kami dua kali lipat dua di tempatnya, menggeser empat

di bawah tujuh, dan mencari nomor untuk menarik di bawah enam sehingga jika

kita kalikan dengan empat dan dengan sendirinya akan menghabiskan apa yang di

atasnya. Kami merasa empat. Kita kalikan empat oleh empat, mendapatkan 16,

melemparkan bahwa keluar dari atas. Kita kalikan 4 dengan sendirinya dan drop

bahwa dari atas, tidak ada yang tersisa. Kami membagi empat yang telah kita dua

kali lipat. Hasilnya adalah 24. (Al-Uqlidisi tahun 1978, hal. 76)

Jelas dari atas bahwa kecerdasan, kemampuan numerik, dan keterampilan

dalam petunjuk berikut diasumsikan, dan tidak ada konsesi untuk gaya sastra

setelah poin awal dalam mempertahankan buku yang telah dibuat. Namun , al-

Uqlidisi tidak menghadapi kesulitan untuk menjelaskan aturan di mana ia merasa

perlu. Mengapa mengulangi ' ya, tidak, ya' untuk mengetahui dimana untuk

memulai dalam ekstraksi akar? Mengapa menggandakan akar yang diekstraksi

sebelum beralih? Pertanyaan-pertanyaan ini dijawab dalam 'Query pada Akar'

buku III pasal. Ini adalah teks serba praktis tentang cara untuk menyelesaikan

aritmatika dengan angka-angka Amerika, dan bayangan al- Uqlidisi memahami

persis apa yang dibutuhkan seperti sebuah buku. Kami bahkan tidak tahu apakah

teksnya yang populer, tidak ada penulis lain menyebutnya, dan tampaknya telah

bertahan secara kebetulan.

Ada perbedaan yang besar dalam teks geometris yang komprehensif yang

menulis tentang waktu yang sama di Mesir oleh abu Wafa al - Buzjani. Berjudul

Kitab fi ma yah taju ilayhi al sani'min a'malal handasah (buku yang memadai

tentang konstruksi geometris diperlukan untuk tukang), sampai saat ini hanya

diterbitkan di Arab dan Rusia (Abu Wafa 1966, 1979). Oleh karena itu, tidak ada

naskah yang tersedia bagi pembaca, tetapi telah dianggap penting oleh

Youschkevitch dan Høyrup (yang menggunakan versi Rusia) dan Berggren (yang

menggunakan ekstrak yang diterjemahkan oleh Woepcke di tahun 1850-an). Kami

telah melakukan yang terbaik dalam teks Rusia.

Abu Wafa berada di ujung lain dari skala dari al - Uqlidisi, sebuah

pengadilan matematika dan astronom yang bekerja di Baghdad yang menulis

(hilang) uraian tentang karya-karya klasik Euclid dan Diophantus dan banyak

karya lainnya pada matematika, astronomi , dan ilmu-ilmu lainnya. Dia pikir itu

akan lebih berguna jika meluangkan waktu untuk menulis buku pelajaran yang

lebih signifikan khusus bagi pengrajin. Seperti yang dikatakan ibnu Khaldu,

dalam bagian yang mendahului kisah Euclidas sebagai ilmu ukur (yang kami

kutip di Bab 3):

Dalam pandangan asal-usulnya, pertukangan membutuhkan banyak

geometri dari semua jenis. Hal ini membutuhkan pengetahuan umum atau

pengetahuan khusus tentang perbandingan dan pengukuran, untuk membawa

bentuk (hal-hal) dari potensialitas ke aktualitas dengan cara yang tepat, dan untuk

pengetahuan tentang perbandingan seseorang harus meminta bantuan kepada ahli

ilmu ukur. (Ibnu Khaldun 1958, II, hal. 365)

Sedangkan dunia kalkulator yang mungkin telah menggunakan buku al-

Uqlidisi cukup mudah untuk membayangkan teksnya, para perajin yang

membutuhkan 'Buku tentang konstruksi geometris' tampak lebih misterius. Jelas

bahwa abu Wafa ada dalam pikiran pendengar yang sebenarnya, tapi ia ingin

menaikkan levelnya:

Metode dan masalah geometri Yunani ... dan kecerdikan matematika yang

dimiliki Abu Wafa sendiri digunakan untuk memperbaiki metode praktisi, tapi ...

para perspektif praktisi juga diingat sebagai koreksi terhadap teori dunia lain.

Bagian menarik termasuk Bab 1 pada instrumen konstruksi, dan 10.I dan 10.xiii ,

yang membahas kegagalan serta kekurangan dari pengrajin geometri ( terlalu

teoritis ). ( Høyrup 1994 , hlm 103 , 312 )

Memang , kutipan yang membuka bagian ini merupakan kritik geometri.

Sebagai contoh metode Abu Wafa, berikut ini adalah konstruksi yang sangat

klasik dari segilima beraturan (Gambar 2 ) .

Jika seseorang bertanya bagaimana membuat segilima beraturan pada garis

AB, maka dari titik B, kita buat garis tegak lurus BC [ke AB] sama dengan garis

AB. Kita membagi dua garis AB di titik D, dengan D sebagai pusat dan jari-jari

DC busur CE, kemudian tarik garis AB ke titik E. Kemudian tarik busur masing-

masing di titik A, B sebagai pusat dan dengan jari-jari sama dengan AE. Mereka

bertemu pada titik G. Kemudian gabungkan garis AG dan BG. Maka jadilah

segitiga ABG, yang merupakan segitiga dari segilima tersebut. (Abu-l-Wafa 1966,

hal. 71-2)

Dari titik ini, cara pembuatannya mudah (lihat Bab 2, Lampiran B); AGB

adalah segitiga sama kaki dengan sudut kakinya adalah 720, dan segitiga sama

kaki BFG dan AHG yang melengkapi segilima memiliki sisi pendeknya sama

dengan AB. Ada, seperti komentar Høyrup, tanpa bukti, dan Yunani 'Kami ...'

dicampur dengan pengrajin '' Jika seseorang meminta Anda, ... lakukan '. Dan kita

bertanya-tanya seberapa sering pengrajin mungkin diperlukan untuk membuat

sebuah segilima beraturan. Ada keinginan jelas untuk mempublikasikan geometri

Yunani dan menyebarkan kepada penontonnya, seperti al-Uqlidisi ingin

melakukan propaganda/dakwah terhadap angka-angka Hindu. Matematika 'Real',

diuraikan secara sistematis dalam buku-buku, yang tiba-tiba memasuki ranah

pempopuleran untuk buatan praktis manusia .

4. Zaman keemasan

Sarjana yang paling dihormati Abu Bakr Ibn Muhammad al-yafrashi

bahwa Zabid dikisahkan sebagai berikut : Diriwayatkan bahwa sekelompok orang

dari Fars dengan pengetahuan tentang aljabar tiba selama kekhalifahan Umar ibn

al-Khattab [634-644]. Ali ibn Abi Talib - semoga Allah merahmatinya

menyarankan kepada Umar bahwa pembayaran kas dibuat untuk mereka, dan

bahwa mereka harus mengajar orang-orang, dan Umar menyetujuinya.

Diriwayatkan bahwa Ali-semoga Allah merahmatinya- mereka butuh lima hari

untuk mempelajari aljabar . Setelah itu orang-orang menyebarkan pengetahuan ini

secara lisan tanpa disalin dalam buku apapun sampai khalifah mencapai al-

Makmun dan pengetahuan aljabar cenderung menurun di kalangan masyarakat .

Al-Makmun diberitahu tentang ini dan ia membuat penyelidikan setelah seseorang

yang memiliki pengalaman dalam (aljabar). Satu-satunya orang yang memiliki

pengalaman adalah Syaikh Abu Bakar Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi,

sehingga al- Makmun memintanya untuk menulis sebuah buku tentang aljabar,

untuk mengembalikan apa yang telah hilang dari (mata pelajaran). ( Brentjes

1992, hlm 58-9 )

Cerita di atas diragukan kebenarannya5 terhadap kedatangan aljabar yang

menghubungkan awal mula Islam dengan awal pengetahuan matematika di

kalangan bangsa Arab. Secara signifikan, juga memperkenalkan 'sekelompok

orang dari Fars (Persia) yang bertanggung jawab terhadap pengenalannya, dan itu

menggambarkan ketidaktahuan kita pada abad pertama Islam, khususnya dalam

menarik perhatian pada tradisi lisan dan kurangnya penulisan. Semua bukti lain

yang kita miliki mengisahkan cerita yang berbeda: sementara asal-usul

matematika Yunani dan Cina tidak jelas dan tidak terdokumentasikan, matematika

Islam dimulai 150 tahun kemudian dengan kelimpahan teks tertulis dari abad

kesembilan masehi, banyak yang bertahan.

Seperti sejarah Cina, sejarah Islam dapat disusun oleh rangkaian dinasti;

namun, setelah bertahun-tahun ini menjadi membingungkan dan lebih sederhana

untuk memberikan garis besar. Bahkan, dunia yang cepat ditaklukkan oleh

pasukan Islam itu semakin besar, dan itu hampir tidak pernah berada di bawah

penguasa tunggal tak terbantahkan. Penaklukan oleh mereka yang menerima

agama baru Muhammad dan pesan Islam merupakan salah satu peristiwa paling

spektakuler dalam sejarah, namun ditafsirkan diantara kematian Muhammad tahun

632 M. dan akhir abad ketujuh seluruh Timur Tengah, Mesir, Afrika Utara,

Spanyol, Iran, dan bagian dari India dan Asia Tengah disatukan kedalam negara

bagian yang baru, di bawah kekuasaan Khalif, pertama di Damaskus dan

kemudian di Baghdad. Dalam sejarah Islam ortodoks, periode Umar dan Ali, para

sahabat Muhammad yang disebutkan di atas merupakan zaman keemasan.

Penguasa berikutnya, seperti biasa baik dalam etika pribadi dan dalam catatan hak

asasi manusia mereka dari standar asli, dan para penguasa yang dikenang baik

adalah (seperti di Renaissance Italia) orang-orang yang setidaknya memimpin

selama periode perdamaian dan mempromosikan seni dan ilmu pengetahuan .

Dalam hal ini para penguasa Abbasiyah pada awal abad kesembilan, khususnya

Khalif al- Ma'mun (813-833) , yang terkemuka. Memang, sejarah matematika

Islam, seperti bahasa Cina, tampaknya membagi secara alami dalam dua periode,

satu awal (katakanlah 800-1000) aktivitas cukup terkonsentrasi, dengan sejumlah

besar matematika, sering bekerja sama, dan kemudian sarjana tertentu, sangat

berbakat , yang di zaman itu sering terjadi perang sipil atau serangan eksternal,

bekerja baik dalam isolasi atau di bawah naungan para penguasa. Ada pertanda

bahwa pada awal abad kesebelas al-Biruni dan Khayyam sedang kembali pada

usia sebelumnya dan membandingkan diri mereka sendiri :

Kami telah menderita akan kurangnya para ilmuan, yang jumlahnya hanya

beberapa dan itulah penderitaan yang telah banyak orang alami dimana mereka

memiliki jalan lain yang hanya dapat digunakan dalam waktu singkat untuk

berkonsentrasi pada penelitian dan pembuktian fakta. Sebagian besar pada zaman

kami adalah ilmuwan palsu yang berbaur dengan kepalsuan ... Dalam segala

keadaan kita berlindung kepada Allah, maha penolong. (Khayyam1931,hal.47)

Oleh karena itu, ketika ada kebangkitan kembal, seperti dalam pengadilan

Mongol penakluk Hulaghu Khan ( c.1260 ), atau dari Ulugh Beg, sang cucu

Timur di Samarkand (c.1410), ulama melihat kembali ke masa al- Makmun dan

Tempat Kebijaksanaan'-nya di Baghdad sebagai model.

Apakah ini yang disebut sebagai 'zaman keemasan' , dan dari mana

asalnya? Awal Islam, seperti yang terkenal, toleran khususnya Yahudi dan Kristen

('Ahli Kitab'), dan diperkirakan bahwa banyak penduduk kerajaan ini yang lambat

dalam mempelajari bahasa Arab dan agama Islam, meskipun keduanya memiliki

kelebihan. Demikian pula, dalam 100 tahun pertama para penakluk tampaknya

tidak peduli dengan sisa-sisa pembelajaran Yunani yang dibudidayakan oleh para

sarjana yang sering mengungsi dari penganiayaan Kristen di pusat-pusat kota

seperti Harran di Turkey dan Jundishapur di Iran.

Panggung didirikan untuk mengejutkan serikat budaya-budaya yang

berlangsung di akhir abad kedelapan dan awal abad kesembilan. Ini adalah zaman

di mana agama Islam kemudian mengambil sebagian dari bentuk tradisinya

dengan perintah mereka tentang kehidupan dan perilaku, sistem hukum, dan

banyak lagi. Dinasti Abbasiyah yang baru yang memerintah dari Baghdad tidak

hanya menggemari perdagangan, dan pekerjaan umum (yang seperti biasa,

memerlukan matematika pada tingkat tertentu), namun, khususnya di bawah al-

Makmun, melihat nilai dalam penelitian murni. Dalam konteks, ini berarti

penemuan karya para ahli matematika Yunani dan India, dan terjemahannya ke

dalam bahasa Arab. Para sarjana dari apa yang bisa kita lihat sebagai hasil kerja

Syria, Yunani dan ahli-ahli Arab, Kristen, pagan, dan Muslim dikombinasikan

dalam karya terjemahan, dan kemudian segera mulai membangun apa yang telah

mereka terjemahkan. Bahkan, dengan sumber yang berbeda seperti, gagasan

bahwa karya Islam bisa menjadi pinjaman yang sederhana dan transmisi tidak

berarti, sintesis sangatlah penting. Ini melibatkan penggalangan apa yang

tampaknya menjadi pertanyaan yang belum terjawab, dan menulis buku-buku

baru dalam bentuk yang lebih berguna untuk tujuan praktis (seperti yang

digambarkan pada contoh di atas).

Dalam sebuah artikel yang telah kita dikutip, yang membentuk salah satu

diskusi teoritis paling menarik matematika Islam awal, Høyrup mengklaim bahwa

ini sintesis baru menandai perubahan radikal dalam penggunaan matematika

sebanding dengan karya Yunani dibahas dalam Bab 2.

Perubahan yang menyebabkan pengakuan implikasi praktis dari teori

telah terjadi sebelumnya, pada Abad Pertengahan Islam, yang pertama kali datang

menganggapnya sebagai premis epistemologis mendasar dimana masalah praktek

sosial dan teknologi dapat (dan harus ) melalui penyelidikan ilmiah , dan bahwa

penyelidikan ilmiah dapat (dan harus ) diterapkan dalam praktek . Bersamaan

dengan keajaiban Yunani maka kita harus memperhitungkan sebuah keajaiban

Islam. (Høyrup 1994, hal 92-3)

Anda merujuk pada artikel Høyrup, baik untuk rincian argumennya dalam

membangun sifat dari pendekatan baru maupun usahanya untuk menjelaskan asal-

usulnya. Dia menanggapi dan menolak sejumlah saran, akhirnya dipilihlah

penjelasan sifat Islam yang ia sebut (mungkin sayangnya) 'fundamentalisme

praktis'. Kemudian kita akan kembali pada peranan Islam sebagai suatu agama,

filsafat, dan cara hidup. Sekarang kita akan lihat interaksi antara pengetahuan baik

yang lama maupun yang baru dibuat oleh matematikawan terdahulu.

• Kasus ini diperdebatkan oleh Rashed (1994, Lampiran 2). Titik umum

dapat disangkal, meskipun ada ketidaksetujuan tentang detail.

• Buku berpengaruh Said (1978), meskipun tidak berhubungan dengan ilmu

pengetahuan, memainkan peran kunci dalam membuat akademisi lebih

sadar diri tentang bagaimana mereka memperlakukan hal 'Oriental'.

• Buku Rashed yang berasal dari tahun 1984, meskipun terjemahan bahasa

Inggrisnya 10 tahun kemudian

• Dengan sebuah ironi dalam sejarah sekolah penelitian, sejumlah besar teks

yang sangat menarik yang diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia oleh

Youschkevitch dan kelompoknya pada tahun 1950 dan 1960. Bahkan

untuk para pembaca, siapa pun mereka mungkin, untuk siapa Rusia

merupakan pilihan mudah daripada bahasa Arab, mereka tidak dapat

diakses dalam kebanyakan perpustakaan.

• Dari kemudahan yang Ali belajar aljabar, cerita tampaknya Syiah dalam

asal, namun Brentjes tidak memberikan informasi lebih lanjut tentang ini.

5. Asal-usul Aljabar

Pada buku kedua dari Muhammad Ibnu Musa al-Khwarizmi yang terkenal

dengan judul Aljabr Wa Al Muqabalah. Dan mengatakan bahwa manusia kadang

kala Ibn Barza pada atribusi nya untuk ' Abd al-H. di tengah, yang katanya

adalah kakeknya. (Abu Kamil, dikutip Rashed 1994, ms. 19, nota 3). dia selalu

cemas untuk menyelidiki semua jenis teorema dan membedakan bagian yang

dapat diselesaikan dalam masing-masing spesies, untuk memberikan perbedaan

bukti saya dengan pembuktian yang lain, karena saya tahu cara bagaimana

dalam pemecahan masalah yang harus diselesaikan. (Khayyam 1931, ms. 44).

Dalam kata arab al-jabar berarti pertemuan. Seperti semua asal pertanyaan

lainnya, ini dapat diperdebatkan pada berbagai tempat, kita telah melihat bahwa

orang Babel mengenali cara memecahkan masalah yang setara dengan Persamaan

kuadrat (Bab 1). Jadi apa yang begitu penting dan berpengaruh tentang Islam?

Ada atau tidak adanya tempat yang lebih baik untuk memulainya selain buku teks

asli dari al-Khwarizmi. Hal ini sangat berpengaruh di dunia Islam, dan di abad

pertengahan Eropa, Abu Kamil seperti yang dikutip di atas, menggambarkan

dengan ketentuan tentang prioritas al-Khwarizmi dengan metode dan bahasa

bertahan dan beradaptasi sampai abad ke-16 di Eropa, diperlukan dalam sesuatu

yang lebih seperti notasi modern. Bagian teks dari bukunya (1986) dikembangkan

di Lampiran A. Ini menggambarkan inti dari buku, cara Persamaan kuadrat,

meskipun sebagian besar bahkan diserahkan kepada 'aplikasi' situasi praktis

(misalnya warisan), dan untuk geometri. Ia mendefinisikan 'akar', 'kotak', dan

'angka', ketiga obyek tersebut masuk ke dalam aljabar nya, dalam hal apa yang

akan Anda lakukan dengan mereka; Definisi tidak begitu banyak berhubungan

denagn operasional, dan ini mencerminkan bagaimana dia berpikir.

Akar adalah jumlah yang dikalikan dengan itu sendiri, terdiri dari unit, atau

nomor yang naik, atau pecahan menurun. (Fauvel dan abu-abu 6.B.1, ms. 229).

Ini mungkin tampak kurang jelas kepada kita, tetapi ini memungkinkan

Deskripsi pertama Persamaan kuadrat umum yang ada. Perhatikan bahwa 'akar',

atau solusi, diizinkan untuk menjadi sebagian kecil meskipun tidak buruk. Anda

masih akan menemukan bahasa ini, diperluas hingga batasnya, digunakan dalam

Tartaglia's aturan untuk memecahkan kubik di 1540s (Lihat Bab 6). Ada enam

bentuk Persamaan kuadrat ini ditentukan oleh kebutuhan untuk semua angka

yang digunakan untuk menjadi positif. Satu khas yang berbunyi: 'akar dan kotak

sama dengan angka'; beberapa xs(seperti kita katakan) ditambahkan ke beberapa

s yang sama beberapa angka. Al-Khwarizmi tidak ingin, seperti Babel untuk

daftar kasus-kasus tertentu dan mengasumsikan bahwa Anda dapat menyimpulkan

aturan umum; Dia ingin pernyataan uyang bersifat umum, tetapi ia tidak memiliki

versi bahasa simbolik Umum (yang berasal dari abad ke-17) 'akar a + b sama

dengan jumlah c kuadrat '. (Menariknya, meskipun aritmatika Diophantus,

menggunakan notasi abstrak, yang awalnya relatif diartikan ke dalam bahasa Arab

abad kesembilan, kemudian metode al-Khwarizmi perlahan-lahan tidak diadopsi,

lebih daripada mereka yang berada di dunia Yunani.)

Jika kita mempertimbangkan bagaimana seseorang diajarkan untuk

memecahkan persamaan seperti hari ini, yang paling umum metode untuk

memberikan rumus literal sederhana,apakah itu terbukti atau tidak. Menulis

persamaan ax + = c, kita menyimpulkan:

yang 'selalu menerapkan'. Alasan kami dapat melakukan ini adalah karena kita

bisa menjelaskan bagaimana menangani beberapa masalah yang diangkat oleh

formula. karena kita dapat menjelaskan bagaimana untuk menangani beberapa

masalah yang diangkat dari formula.

Pertama, satu, atau keduanya nilai-nilai yang kita temukan mungkin angka

negatif, yang pertama kali dianggap sebagai kemungkinan solusi di India oleh

Baskhara pada abad kesebelas, dan masih berdebat sekitar 400 tahun kemudian;

seperti yang kita lihat (Bab 4) ini ditemukan mudah oleh Cina, tapi sikap mereka

tampaknya tidak dan telah dikirim ke Barat.

Kedua, kita harus siap untuk mengambil akar kuadrat dari setiap angka

yang kita pilih. Hal ini menimbulkan dua tingkat masalah; masalah 'penamaan'

jika angka positif tetapi tidak persegi (katakanlah 5), yang akan kita lihat

berurusan dengan di bawah ini; dan lebih buruk apa yang kita bicarakan sama

sekali? jika negatif (misalnya -3). Ini telah diatasi pada waktu yang berbeda dalam

cara yang lebih atau kurang memuaskan,sekolah dan kursus matematika juga

sama akan mencoba untuk mengarahkan siswa melalui hal tersebut secara

progresif.

Sampai abad keenambelas atau kemudian, meskipun, tidak ada rumus

dianggap seperti itu, karena bahkan akar negatif harus ditangani secara terpisah

jika hal itu diperbolehkan sama sekali. Oleh karena itu pola al-Khwarizmi yang

ditetapkan untuk menangani persamaan kasus perkasus, sebagai ditetapkan di

atas. Setelah menjelaskan kasus yang berbeda, ia pindah ke 'akar dan kuadrat

sama dengan angka' kasus yang disebutkan di atas, dan berhubungan dengan

masalah abstraksi dengan bergantian pernyataan umum dengan penerapannya

dengan contoh tertentu 'satu persegi dan sepuluh akar sama dengan tiga puluh

sembilan dirham'.Solusi kembali ke Babel ('Anda membagi jumlah akar, yang

menghasilkan lima'), tapi tiba-tiba menjadi umum serta tertentu. Sangat mudah

untuk melihat alasan popularitas panjang teks al-Khwarizmi: ia telah menmahami

gagasan menjelaskan metode melalui contoh, seperti al-Uqlidisi untuk melakukan

dalam aritmatika nya (dan seperti menjadi praktek yang umum dalam teks-teks

Islam, dan Eropa yang berasal dari mereka).

a

b

a

b

Gambar. 3 Al-Khwarizmi untuk Persamaan kuadrat

Hal ini diperlukan, ia melanjutkan, 'bahwa kita harus menunjukkan

geometris kebenaran dari masalah yang sama yang telah kami jelaskan dalam

Bilangan.' Mengapa itu penting? Tampaknya ada tiga persyaratan untuk penulis:

1. untuk menyatakan apa yang harus dilakukan pada umumnya;

2. untuk menggambarkan hal itu secara khusus;

3. untuk membuktikan bahwa ia bekerja.

Itu warisan berat Yunani yang berarti bahwa 'bukti' berarti geometri?

Satu mungkin beranggapan demikian, karena teks-teks Yunani diterjemahkan

ketika al-Khwarizmi menulis. Dalam setiap kasus, geometri tampak tidak seperti

Euclid, atau bahkan pengikutnya lebih mudah berpikiran seperti Heron. Gambar

(gambar. 3) dibandingkan dengan bukti kemudian metode yang sama, benar-benar

c

f

d

e

transparan; ini adalah latihan yang baik untuk menindak lanjuti bukti dan melihat

bagaimana penjelasan secara lisan dan gambar yang terhubung untuk memberikan

dan meyakinkan tentang mengapa solusinya adalah orang yang tepat.

Telah ada banyak diskusi seberapa 'baik' seorang matematikawan adalah

al-Khwarizmi (artikel dalam kamus Biografi Ilmiah meremehkan). Seperti telah

disebutkan, metode yang ia mulai adalah kuno, dimana pun ia berasal dan

penjelasannya, contohnya, dan buktinya (sebagai menunjukkan salinan) pada

matematika tingkat yang cukup rendah. Namun, ini tampaknya ketinggalan titik

penting; argumen tersebut berasumsi bahwa matematikawan layak studi hanya

jauh karena pekerjaan yang mereka lakukan sulit, sementara hal ini sering tidak

sama sekali terjadi. (Sementara Descartes mampu bekerja keras dalam

matematika, dia menyukainya, dan kontribusinya yang luar biasa, representasi

koordinat kurva, sederhana dalam ekstrem). Apa yang al-Khwarizmi lakukan

adalah untuk memperkenalkan cara baru untuk berpikir tentang masalah yang

dibawa bersama solusi dan bukti dalam sintesis utama, melibatkan generalisasi

dan simplifikasi. Bahwa matematika itu tidak sangat sulit adalah alasan penting

untuk kelangsungan hidup metode yang lebih atau kurang tidak berubah selama

600 tahun.

Sekitar 50 tahun kemudian, Thabit bin Qurra yang oleh kesepakatan

umum seorang matematikawan mampu dan menulis teks pada Persamaan kuadrat.

Berbeda dengan risalah al-Khwarizmi,teksnya itu adalah hanya enam halaman. Ini

diterjemahkan ke dalam bahasa Jerman selama Perang Dunia Kedua, dan

kemudian ke dalam bahasa Rusia;

A C B D

K M

L H

E G F

Gambar 4 diagram untuk proposisi Euclid II.6. Garis AB membagi C (AC = CB),

dan BD ditambahkan. Jika sekarang AK = BD, maka ' persegi panjang AD oleh

DB' berarti luas persegi panjang ADMK; dan ini, bersama dengan alun-alun di

CB (yang sama dengan kuadrat LHEG ) dikatakan setara (di daerah) untuk

CEFD persegi pada CD. Buktinya cukup jelas.

kesempatan untuk menemukan terjemahan yang baik di Perpustakaan. Namun, itu

adalah sebuah dokumen yang sangat menarik. Thabit adalah salah satu kelompok

penerjemah-penerjemah Yunani, dan sebagian besar karyanya membawa hasil

diperluas pada teks-teks Yunani, komentar atau berurusan dengan masalah yang

mereka dibesarkan. Di sini ia menggunakan pengetahuan untuk menggambar di

Euclid proposisi II.6 (untuk kasus di atas dijelaskan) dan membuktikan dalam arti

tertentu dengan formula yang tepat. Sayangnya, tidak seperti al-Khwarizmi, ia

tidak memiliki gaya mudah, setidaknya di sini.

Proposisi II.6, dalam bentuk tertentu, mengatakan:

Biarkan garis lurus AB akan membagi di titik C, dan membiarkan garis lurus BD

ditambahkan ke dalam garis lurus (Lihat gambar 4) saya mengatakan bahwa

persegi panjang oleh DB bersama-sama dengan alun-alun di CB sama dengan

alun-alun pada CD.

Mereka yang percaya bahwa hasil buku II harus ditafsirkan sebagai bentuk aljabar

menjelaskan ini dengan berkata: sebutan AB 'a' dan BD 'b'; kemudian BC = a/2,

dan CD = b (a/2); proposisi mengatakan bahwa:

(1)

Sekarang secara keseluruhan diperkirakan sejarah mengklaim bahwa Euclid

berpikir dalam istilah-istilah tersebut (Lihat kata-kata ini dalam Bab 2). Namun,

ada bukti bahwa para penerjemah Islam Euclid pada tahap tertentu datang

menggunakan semacam aljabar terjemahan seluruhya, mereka sekarang memiliki

aljabar untuk memudahkan mereka. Di awal abad kesepuluh filsuf al-Farabi

menulis bahwa bilangan rasional sesuai dengan jumlah yang rasional, dan angka

irasional untuk jumlah irasional (dikutip Youschkevitch 1976, halaman 169).

Perbedaan antara angka dan panjang, yang kadang-kadang tampaknya sangat

penting bagi orang Yunani, sedang terkikis, dan dalam komentar oleh para penulis

Arab Euclids buku V dan X (yang mereka dilakukan) kita dapat menemukan

banyak contoh-contoh serupa. Thabit mengatakan bahwa dia sedang menyelidiki

kasus ' persegi dan akar sama dengan angka'; Tapi itu ciri khas dari pendekatan

hasil akhir dan lebih abstrak bahwa ia tidak memberi ada angka sebagai contoh.

Anda dapat menemukan argumennya di Lampiran B. Hasil akhir (ekstrak) adalah

bahwa akar yang kami cari 'dikenal' dalam istilah geometris klasik, itu dapat

dibangun.

Apa Thabit berikutnya tidak sama menarik; Dia mulai melalui metode

dan menunjukkan, tahap demi tahap, bahwa itu adalah sama dengan metode yang

digunakan 'dalam aljabar'. 'Aljabar' adalah metode yang dijelaskan oleh al-

Khwarizmi tanpa bukti geometris dan tampaknya wajar pada berbagai tempat

(dalam waktu yang singkat, fakta bahwa mereka rekan, al-Khwarizmi diakui

status sebagai 'pendiri') untuk menganggap bahwa bukunya yang dimaksud.

'Dialog' ini membuka bayangan pada berbagai cara berpikir tentang geometri,

angka, dan aljabar di periode awal matematika Islam. Tampaknya bahwa Thabit

berkata: 'Apa yang bisa Anda lakukan dengan aljabar, saya bisa melakukan

dengan buku II' Euclid. Jika demikian, ada beberapa kesalah pahaman aljabar al-

Khwarizmi (tentang cara angka untuk memecahkan masalah-masalah dengan

mudah) dan Euclid (tentang sesuatu yang lebih abstrak dan cukup berbeda). Lebih

positif, kita bisa melihatnya sebagai upaya untuk menyelaraskan praktek aljabar

dunia dengan teori Yunani. Apakah kesalah pahaman atau kesamaan, seperti

ketegangan antara teori dan praktek ini menjadi nilai yang sangat besar dalam

berkembangnya tradisi Islam.

Telah kita masuki domain (daerah) dugaan tentang apa isi teks , dalam

berbagai cara abad kesepuluh matematikawan berpikir tentang angka dan

geometri. Masalahnya adalah apa yang dimaksud dengan 'dikenal' argumen Thabit

yang mengatakan bahwa sisi (atau persegi) dikenal adalah untuk memecahkan

persamaan kuadrat. Ada dua interpretasi ini. Dalam istilah geometris, itu hanya

berarti bahwa garis yang mewakili sisi yang dapat dibangun,mungkin benar. Tapi

apa telah melewati numerik pertanyaan apa yang terjadi ketika jawaban Anda

tidak bilangan, seperti di versi al-Khwarizmi. Jika persamaan adalah 'persegi dan

dua akar sama dengan satu', maka jawabannya, metode apa pun yang Anda

gunakan untuk tiba di dalamnya, adalah (seperti yang kita katakan) − 1.

Karena Thabit menghindari menggunakan contoh-contoh numerik, ia tidak

menjelaskan tentang apakah nomor tersebut diperbolehkan sebagai angka, bukan

sebagai garis dibangun geometris. Mereka tidak memiliki nama.

Ada kata yang digunakan 'yang tidak memiliki arti' dalam bahasa

Arab,yang digunakan adalah 'as.amm', atau 'tuli'. Ini mulai diaplikasikan untuk

bagian tertentu,Anda dapat mengatakan fraksi untuk sepersepuluh dengan

menggunakan satu kata, tapi setelah itu Anda harus menggabungkan dua kata atau

lebih seperti 'salah satu bagian dari tiga belas', dan fraksi tersebut adalah 'as.amm'.

Tapi di Aritmatika al-Uqlidisi, kata yang sama diaplikasikan pada bagian yang

tidak terhitung yang tidak memiliki akar; perluasan (karena jika Anda berpikir

misalnya, dari luas persegi daerah 5, Anda juga akan berpikir sisinya) itu

dilambangkan akar yang tidak mereka ungkapkan.. Perkataan ini diartikan, ketika

aritmatika Arab diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, kata Latin untuk 'tuli',

adalah 'surdus', digunakan dalam bentuk 'surda' sekitar 50 tahun yang lalu untuk

merujuk ke akar seperti √ 5. Di beberapa titik konsep linguistik tentang angka

Anda dapat berbicara dan diartikan ke dalam cara berbicara mereka. Bagian yang

masih angka, tetapi angka perlu gabungan dua angka atau lebih dari pada satu

kata untuk mengekspresikannya. Al-Uqlidisi dikhususkan pada beberapa deret

untuk menemukan pendekatan seperti akar persegi, dalam bab-bab yang

mengikuti ekstraksi tepat akar yang dikutip di atas. Formulanya tidak baru, tetapi

penggunaan angka India membuat prosedur lebih transparan. (Banyak sekarang

telah ditulis pada subjek ini. Ringkasan rinci dan cermat adalah Karine Chemla

1994.)

6. Selanjutnya Langkah Aljabar

Kami telah mendengar matematikawan besar Timur telah memperpanjang

operasi aljabar luar menjadi enam jenis dan membawa mereka lebih dari dua

puluh. Mereka semua menemukan solusi berdasarkan bukti-bukti geometris yang

padat. Allah 'memberikan kepada mereka makhluk-makhluk apa pun yang ia

inginkan'. (Ibnu Khald¯un 1958, III, ms. 126)

Tidak lama kemudian dari teks Thabit, abu Mesir Kamil menulis aljabar

yang sering dianggap 'generasi kedua' setelah al-Khwarizmi. karya al-Khwarizmi

secara eksplisit disebutkan, dan banyak contoh yang sama, tetapi banyak yang

telah berubah. Diagram geometris sederhana telah digantikan oleh referensi buku

II Euclid (seperti di teks Thabit ), tetapi disertakan dengan angka.Untuk pertama

kalinya, sejauh kita tahu (dan seperti biasa pengetahuan kita terbatas), angka telah

dikenal ke proposisi Euklidean sebagai masalah rutin, dan proposisi II.6 yang

diterjemahkan lebih dalam arti 'aljabar' yang disebut seperti di atas. Jika ini

dilakukan oleh orang Yunani kuno, atau oleh salah satu penerus mereka, mereka

jauh lebih bijaksana tentang hal itu dari abu Kamil.

Namun, apa selanjutnya abu Kamil lebih berani, sebagai sebuah inovasi.

Sekali lagi itu mungkin muncul dari kajian Euclid, dalam hal ini dari buku ke X,

tetapi ini tidak jelas, dan bahasanya benar-benar berbeda. Ia mengembangkan

seperangkat aturan yang tidak lengkap, tapi berguna untuk menghitung dengan

akar, dan banyak menggunakan mereka secara bebas dalam contoh seolah-olah

mereka adalah angka. Hasilnya adalah perluasan besar dari koleksi persamaan

yang Anda dapat selesaikan, dan angka yang Anda dapat bermakna. Anehnya, ini

tampaknya tidak begitu banyak dalam menangani seluruh contoh angka yang

mengarah ke solusi akar kuadrat (seperti sederhana yang diberikan di atas), seperti

contoh di mana akar adalah bagian dari kumpulan masalah. ini adalah tambahan

singkat saja, tapi cukup 'keras' masalah 39:

Jika ada yang mengatakan bahwa sepuluh ditambahkan ke jumlah, dan jumlah

dikalikan dengan akar dari lima, maka salah satu mendapat hasil dari jumlah

dengan sendirinya. Untuk membuat solusi jumlah dengan menambahkan sepuluh

ditambah dengan satu. Kalikan dengan akar lima memberikan akar lima ratus

ditambah akar kuadrat lima sama dengan satu persegi. Pisahkan akar lima dari

persegi untuk memberikan akar satu dan seperempat.Jumlah akar dar akar lima

ratus ditambah satu dan seperempat, ditambah akar satu dan seperempat, sama

dengan jumlah. (Abu Kamil 1966, halaman 148).

Perhatikan bahwa meskipun masalah berkaitan dengan angka seperti

, ini masih dinyatakan dalam kata-kata; ada tidaknya notasi untuk mereka, dan

tidak akan ada waktu yang lama (simbol untuk akar mulai digunakan juga diabad

keenambelas). Bagi kita,masalah abu Kamil membutuhkan jumlah besar

'membongkar'. Dalam istilah modern, pengaturan x untuk jumlah, itu adalah:

=

Abu Kamil ini memecahkan (kira-kira) dengan formula biasa untuk

Persamaan kuadrat lagi. Dengan cara yang sedikit bulat ia berubah sisi kiri ke

+ . Bagian memberikan , dan mendapatkan hasil (benar).

+

Semua angka-angka ini masih dinyatakan dalam kata-kata, seperti yang dilakukan

dalam kutipan di atas. Itu 'Rumus', jika Anda suka, sama persis seperti yang telah

digunakan oleh al-Khwarizmi; tetapi cara yang diterapkan telah jauh diperluas,

tanpa pernah dibuat eksplisit. Penulis sebelumnya tidak pernah mengatakan

bahwa angka tidak bisa akar kuadrat, kemudian tidak pernah mengatakan bahwa

itu bisa, tapi semua ide sama 'Angka' diperbolehkan telah berubah.

Sangat mudah, diskusi dalam suasana terbuka dalam matematika Islam,

untuk menemukan perbedaan pendekatan seperti yang dijelaskan di atas; dan tidak

terbatas untuk aljabar. Ada argumen yang eksplisit, misalnya, tentang manfaat

mereka yang sudah disebut (seperti mereka dengan Pappus) 'orang dahulu' (al-

qudama'):

[Ab ulWafa'] mengatakan betapa dia menghargai buku, yang ia anggap sebagai

nilai yang besar, meskipun ia menyesal bahwa penulis mengikuti cara orang

dahulu dalam menggunakan 'diagram pemotongan' dan rasio majemuk. Dia

mengatakan bahwa ia telah menemukan, untuk menentukan Azimut, metode

elegan yang lebih singkat dan lebih baik. (Al Biruni 1985, halaman 96)

Namun,ini digunakan untuk perbedaan tertentu (siapa orang pertama yang

menemukan rumus trigonometri pada bola), atau apapun yang lain untuk membagi

matematikawan Islam ke 'sekolah' seperti yang terkadang telah dilakukan

tampaknya belum , dan mungkin salah arah. Saidan dalam pengantar al-Uqlidisi

(1978) meminta perhatian terhadap upaya sejarawan untuk membedakan orang

matematikawan yang menggunakan angka India dari orang-orang digunakan

sexagesimals (atau 'para astronom' ‗angka‘ sebagai mereka disebut); dan

menunjukkan bahwa itu adalah umum, terutama dalam mengajar teks, keduanya

digunakan, karena siswa mungkin membutuhkan keduanya. Adapun otoritas

Yunani itu diakui Universal, digunakan dan diperlukan bersama-sama dengan

metode 'modern' yang lain. Kasus Omar Khayyam (abad kesebelas) adalah layak

dipertimbangkan. Dalam aljabar nya, ia menganggap detail kasus persamaan

kubik. Dia adalah 'Matematikawan Timur' yang disebutkan oleh Ibnu Khaldun

yang telah membawa beberapa jenis jumlah lebih dari 20 dengan

memperkenalkan berbagai jenis kubik (kubus dan hal-hal yang sama dengan

angka, dan sebagainya). Selain langkah berikutnya setelah kuadrat dipahami

dengan baik, telah muncul dalam sejumlah masalah khusus yang dia daftar;

masalah Archimedes pada pemotongan lingkup, masalah trigonometri seperti

mencari Sin 10◦ mengingat bahwa salah satu tahu Sin 30◦, dan seterusnya.

Seperti sudah sering dikemukakan, dia mengakui bahwa hal itu akan

dipakai untuk menemukan solusi dalam hal prosedur numerik (yang kita sebut

formula), sebagai telah dilakukan untuk kuadrat dan sebagai Tartaglia dan

Cardano akan dilakukan di abad ke-16.

Ketika objek dari masalah adalah jumlah mutlak, baik kita, maupun dari

mereka yang peduli dengan aljabar, telah mampu membuktikan persamaan

mungkin orang lain yang mengikuti kami akan dapat mengisi kesenjangan kecuali

ketika hanya berisi tiga derajat pertama, yaitu, angka, hal, dan persegi (Khayyam

1931, hal. 49)

mampu mencapai hal ini, ia mengikuti latihan Yunani yang menggambar

berpotongan bagian kerucut, seperti Menaechmus telah dilakukan untuk kasus

sederhana =

Secara keseluruhan,solusi tersebut akan diterima oleh Yunani (seandainya

masalah diajukan di tempat pertama). Omar sangat dekat dalam beberapa hal

dengan geometri Yunani dan menyeganinya; Dia mengkritik ibn al-Nurul dalam

menggunakan gerakan untuk membuktikan dalil paralel, dan aljabar secara umum

untuk menggunakan kekuatan 'tidak geometri' yang tidak diketahui ketiganya.

Namun, hal itu mungkin terjadi kepadanya untuk mengajukan pertanyaan yang

lebih cocok baik ke dalam kerangka aljabar kita telah membahas di atas: yaitu,

jika Anda telah membangun solusi (misalnya = 3) geometris, apa angka

yang Anda temukan, dan apa yang dapat Anda lakukan dengan itu? Ada petunjuk;

Ketika, dalam karya yang berbeda, ia menganggap kesulitan dalam teori rasio

Euklides, Ia datang terkejut dengan kesimpulan pragmatis.Kita harus berpikir,

katanya, dari jumlah.

Bukan sebagai garis, permukaan, volume atau waktu, tetapi sebagai

jumlah yang berpikir abstrak dari segala sesuatu, dan yang miliki angka, tetapi

tidak untuk angka mutlak dan benar, untuk rasio A ke B mungkin tidak secara

numerik terukur, artinya seseorang mungkin tidak dapat menemukan dua

bilangan yang rasio. Ini adalah bagaimana kalkulator dan surveyor melanjutkan

ketika berbicara dari fraksi setengah atau lainnya dari unit seharusnya

terpisahkan, atau dari akar lima atau sepuluh dll (Khayyam tr. Rozenfel'd hlm

105-6, citedYouschkevitch p. 88)

Dengan kata lain, Kalkulator dan surveyor sudah menggunakan angka

pada asumsi ini keduanya tersebut sama dengan 'kuantitas'; Jika Anda dapat

membangun panjang, ada beberapa yang sesuai untuk itu (setidaknya cukup baik).

Apa yang menarik yaitu saran Omar eksplisit bahwa matematikawan bisa belajar

sesuatu dari mereka.

7. Al – Samaw’al dan Al – Kashi

Kalkulator kunci adalah panduan yang sangat baik untuk matematika

dasar, digunakan untuk membantu kebutuhan publik yang besar.Mengingat

kekayaan materi pokok, dan kejelasan dan keanggunan dari presentasi, karya ini

memegang tempat yang unik dalam seluruh literatur dari abad pertengahan.

(Youschkevitch 1976, p. 71)

Hal itu akan memerlukan lebih banyak ruang untuk membahas semua varietas

latihan matematika yang telah dilakukan di dunia Islam, connexions, dan

interrelations; Meskipun kita akan memperhatikan kembali tentang Euclid dalam

Bab 8. Bagaimanapun, untuk menetapkan sebuah tema inovasi, tradisi, dan

kontinuitas, mari kita mempertimbangkan kedua matematikawan yang berbeda

yaitu al-samaw‘al (1125–1180) dan al-Kashi (wafat tahun 1429). Dalam kedua

kasus, ada penghargaan dari pengaruh tertentu, tidak bekerja dalam apa yang kita

sebut tradisi Yunani, dan keduanya menimbulkan masalah yang belum

terpecahkan tentang tujuan dan ruang lingkup karya mereka. Secara khusus, kedua

contoh tersebut tidak benar yaitu tentang perhitungan luar apa yang diperlukan

atau berguna dan di sini akan berbeda dari You schkevitch's tentang pendapat di

atas, dengan referensi 'elementarymathematics' dan 'publik yang besar'. Berbeda

dengan al-Uqlidisi atau abu-al-Wafa, mereka tampaknya terbawa oleh subjek

mereka.Mengapa?

Kasus Al-Samaw'al muncul lebih mudah.Karya utamanya yang bertahan

adalah al-Bahir fi-al-jabr ('the brilian dalam aljabar').Ditulis konon ketika ia

berusia 19 tahun, Ia memperdalam hasil pendahulunya di abad sebelumnya, yaitu

al-Karaji. Bukunya berisi banyak hal antara lain tentang sistem persamaan linear,

tetapi yang paling terkenal adalah tentang polynomial (suku banyak) yang mana:

1. Tujuan utamanya adalah bukan untuk menemukan ‗sesuatu‘ -terutama ini

terlihat dibicarakan sebagai sesuatu yang abstrak untuk dimanipulasi.

2. Pangkat dari sesuatu tidak hanya positif, tetapi juga negatif, yang akan kita

sebut 1

𝑥 ,

1

𝑥2 ,…

Gambar 5. Tabel al-samaw’al

Tujuan al-Samaw‘al adalah bagaimana dengan operasi sesuatu yang tidak

diketahui menggunakan semua alat aritmatika yang digunakan para aritmatikawan

untuk mengoperasikan bilangan yang sudah diketahui. Dengan kata lain, paling

tidak kita bisa menambahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi suatu

bilangan beberapa kali. Ini mengarah pada simbol yang rumit dalam istilah,

apalagi notasi di abad ke-12, dimana ditunjuk oleh 'suatu bagiian' dan

seterusnya.

Al-Samaw‘al membuat tabel perpangkatan sampai pangkat sembilan yang

kita sebut 𝑥9 dan ia sebut ‗pangkat tiga pangkat tiga pangkat tiga‘ untuk positif,

dan untuk 1/𝑥9 (pangkat negatif) dengan ‗per pangkat tiga pangkat tiga pangkat

tiga‘. Baris kedua pada tabel mendeskripsikan pangkat dalam kata-kata,

sedangkan baris pertama menggunakan bilangan, termasuk nol. Pada tabel

tersebut, al-Samaw‘al memberikan beberapa contoh perpangkatan, positif dan

negatif, untuk bilangan 2 dan 3. Dan masalah notational yang lain; sementara

apakah angka India sangat baik untuk menyatakan 2, 4, 8,..., 29 = 512, pecahan

yang sesuai harus ditulis dalam kata-kata yang dimulai dengan 'setengah' dan

berakhir dengan 'kedelapan kedelapan seperdelapan'. (Dalam tanda kurung, satu

catatan denganmengurangi orang Mesir, dan orang-orang Yunani yang mengikuti

mereka dengan menulis satuan pecahan tampaknya telah menghilang; dengan

adanya perubahan dalam notasi yang tidak selalu menjadi lebih baik). kemampuan

nol benar ditugaskan untuk 1.

Satu memiliki arti, Bab polinomial yang berikut bahwa al-Samaw'al yang

bekerja pada batas-batas kemungkinan notational, dan berusaha untuk

memperluas karyanya. Kadang-kadang contoh (seperti

) ditetapkan dan dijelaskan dalam kata-kata;

kadang-kadang formula yang lebih umum (seperti a(b/c) = b(a/c) digambarkan

dengan menggunakan serangkaian huruf Arab, b, c,... untuk menunjukkan hasil

membangi dan mengalikan yang tidak diketahui. Hal ini tidak perlu menggunakan

huruf untuk menunjukkan angka umum atau kuantitas sejajar di Euclidtetapi

dalam kombinasi dengan bahasa algebraic tradisional yang memberikan perasaan

(yang sangat Rashed ungkapkan) bahwa kita memiliki sesuatu yang dekat dengan

aljabar abstrak 'baru'.

Tindakan nyata ketika mencapai kesuksesan, setelah halaman 24, al-

Samaw'al menetapkan untuk membagi dua pernyataan (polinomial) menurut

skema yang ditunjukkan pada gambar 6. Sebelum tabel diatur, masalahnya adalah

ditetapkan dalam kata-kata (dengan beberapa angka yang diselingi).

Diterjemahkan ke dalam notasi jumlah untuk membagi

oleh . Ini adalah sesuatu yang paling sulit seperti

jumlah yang akan ditangani; khususnya:

1. semua tanda-tanda positif;

2. Divisi memiliki hasil yang tepat.

Pada titik ini penilai berpikiran sederhana mungkin cukup bertanya: apa

yang ada di bumi menurut al-Samaw'al ada dalam pikiran? Perhitungan yang

tampaknya bertujuan dalam diri mereka, tampilan keahlian teknis pada tema yang

tidak memiliki aplikasi praktis, dan kepastiandi mana-mana.Contoh yang

ditunjukkan di atas tidak berarti akhir dari cerita; kemudian sebuah divisi oleh

‗kuadrat enam dan duabelas unit memiliki hasil yang tidaktepat.

karena itu mungkin hanya jauh sederhana dengan mencatat akhirnya bahwa setiap

koefisien dapat ditentukan oleh formula. Jelas dalam pemahamannya untuk

memahami bentuk tertentu dari seri terbatas. (Perhitungan dibahas dalam

Berggren 1986, ms. 117–18.) Siapa para penilai dari bukunya dan apa yang

terbuat dari karyanya, tetap menjadi misteri; algebraist berikutnyatidak

menyebutnya. Dan ekspresi itu, seperti keasyikan memberikan kebohongan untuk

karakterisasi setiap mudah Islam matematika sebagai praktis atau membumi.

Petunjuk dapat disediakan oleh sebuah karya yang masih lebih jelas dari

al-Samaw'al tentang aritmatika yang tidak dipublikasikan. Hal ini dibahas oleh

Rashed (1994), dimana ekstrak disediakan (diterjemahkan), dengan janji masa

depan publikasi dari keseluruhan. Dalam teks ini, Menurut Rashed, al-Samaw‘al

memperkenalkan pecahan desimal menggunakan skema, dengan pangkat 10 yang

meningkat dan menurun.mengambil tempat kuasa-kuasa yang tidak diketahui. Hal

Ini tentu memiliki penampilan yang jauh lebih berguna dari sudut pandang kita

sekarang, meskipun Rashed mengakui dengan menulis angka-angka dalam tabel

al-Samaw'al belum tiba di notasi yang sederhana dan efisien.

Ketika istilah ‗pecahan desimal‘ disebutkan, muncul kontroversi tentang

siapa yang pertama kali memperkenalkannya. Istilah itu diklaim ditemukan oleh

Simon Stevin (Belanda, 1574) meskipun fakta bahwa al-Kashi telah

menggunakannya telah diketahui secara luas. Tidak ada pengaruh yang jelas dari

al-Kashi pada Stevin, dan Stevin merupakan penemu pertama dari Eropa.

Di samping Eurosentris yang jelas dari pendapat serupa, dan fakta-fakta

yang memperkuat bahwa al-Kashi mempengaruhi Eropa melalui Konstantinopel

dan Venesia, ini mengilustrasikan seluruh masalah bagaimana hal itu berasal.

Ketertarikan utama dari sebuah buku teks matematika adalah untuk menjelaskan

bagaimana menggunakan suatu teknik, bukan dimana penulis mendapatkannya.

Oleh karena itu, originalitas tidak boleh diklaim. Ini menjadi bahan perdebatan

para sejarawan tentang siapa yang meng-copy dan apakah seorang penulis benar-

benar mengerti metode yang ia jelaskan. Al-Kashi dengan pasti mengetahui apa

itu pecahan desimal. Itu merupakan klaim terhadap penemuannya tersebut. Dalam

bukunya, al-Kashi mengemukakan hasil yang ia peroleh dalam dua bentuk, yaitu

seksagesimal dan desimal. Dia memiliki suatu istilah teknis bagi mereka, dan

menggunakan mereka cukup dengan fasilitas. Dalam arti tertentu, kata

pendahuluan menegaskan untuk penemuan memungkinkan bahwa orang tidak

selalu dapat mendahului.

Kami membagi unit menjadi sepuluh bagian, kami kemudian dibagi

masing-masing kesepuluh menjadi sepuluh bagian, dan kemudian masing-masing

dari mereka ke dalam sepuluh bagian, dan kemudian masing-masing dari mereka

ke dalam sepuluh suku cadang dan sebagainya, Divisi pertama menjadi ke

persepuluh, dan dalam satu cara kedua ke desimal detik dan ketiga ke pertiga

desimal dan sebagainya, sehingga perintah pecahan desimal dan keutuhan

berada dalam hubungan yang sama sebagai prinsip dalam astronomi penomoran

[yaitu sexagesimals]. Kita menyebut ini 'pecahan desimal'. (Al-K¯ash¯i 1967

buku 3, Bab 6)

Dari tahap ini (agak terlambat) dalam bukunya al-Kashi menetapkan

hasilnya baik dalam bentuk seksagesimal dan desimal. Apakah karyanya

'disebarkan' Stevin, notasi yang berbeda dan dalam beberapa hal kurang

penggunaan, ini masih belum jelas meskipun tampaknya semakin memungkinkan.

Namun, sebelum al-Kashi, seperti yang dijelaskan Rashed, menempatkan

al-Samaw‘al yang juga dapat mengklaim sebagai penemunya Rashed berpendapat

klaim atas al-Uqlidisi tidak dapat diterima. Tidak terdapat bukti bahwa ia telah

menggunakannya secara sistematis.Di sisi lain, ia mungkin salah satu dari

sejumlah reckoners yang telah menyadari fakta yang jelas, seperti yang dikatakan

al-Kashi: bahwa dengan angka India sebagai seksagesimal, Anda bisa terus di

sebelah kanan dan di sebelah kiri, dengan nomor (misalnya ' 5') memiliki yang

lebih kecil berarti lebih jauh anda pergi. Tampaknya al-Uqlidisi melakukan di

salah satu bagian penting nya, ia melakukan serangkaian denganmembagi pada

19:

Sebagai contoh, kita ingin membagi 19 lima kali. Kita mengatakan: satu

setengah dari 9 adalah empat setengah; kami menetapkan setengah sebagai 5

sebelum empat; [ingat bahwa, bahasa Arab yang ditulis kanan ke kiri, 'sebelum'

berarti ' kanan '] Selanjutnya, kami membagi sepuluh. Kami menandai tempat

unit.Yang menjadi 95. Sekarang kita membagilima dan sembilan; kita

mendapatkan 475. Kami halve itu dan mendapatkan 2 375, tempat unit menjadi

ribuan untuk apa yang sebelumnya, bagi Anda jika wewant untuk saywhatwe

punya, kita mengatakan bahwa mengurangi separuh telah menyebabkan dua dan

375 dari seribu...

Banyak perjanjian yang dituliskan bahwa satu antara 2 dan 375, itu titik

desimal dan Mengapa tidak ada yang lain; dan menurut al-Uqlidisi yang

memahami kenyataan? Sementara kesimpulan yang mungkin bahwa ia

melakukannya sampai batas tertentu tetapi dia tidak akan bermimpi dari

'kodifikasi' ide seperti al-Kashi lima ratus tahun kemudian; Dia adalah kalkulator,

tidak seorang matematikawan. Memang, ilustrasi menunjukkan bahwa penemuan

sebenarnya pecahan desimal tidak sebanyak sebuah keajaiban seperti satu

mungkin misalnya. Jika dia ingin menunjukkan keterampilan dalam angka india

melalui pengurangan separuh berulang kali, kemudian Anda jatuh ke atas hampir

secara alami.

Al-Kashi secara konsisten memberikan yang terbaik dalam kompetisi ini,

sebagian karena kemampuannya dalam mengombinasikan teori, mengalkulasi

kemampuan, dan pengetahuan tentang konstruksi instrumen. Al-Kashi menulis

The Calculator’s Key, sebuah koleksi tentang aritmatika, aljabar, dan geometri

dengan hasil yang paling bermacam-macam. Tidak seperti buku al-Samaw‘al,

buku ini menjadi buku yang laris. Di dalamnya terdapat tabel-tabel standar

(perkalian, konversi dari desimal ke seksagesimal dan sebaliknya, sinus, dll), tabel

konversi mata uang, tabel luas polygon, dan lainnya.

Meskipun beberapa [metode] ini bisa tidak ditemukan dengan bantuan

enam aljabar [bentuk] (yaitu al-Khawarizmi enam Persamaan kuadrat), namun

dalam karya ini saya menemukan prinsip-prinsip yang banyak dengan bantuan

dasar dari aritmetika yang dikembangkan paling sederhana, dengan jalan yang

termudah, dengan keuntungan yang terbesar dan dengan eksposisi yang jelas.

Saya memutuskan untuk menulis prinsip-prinsip ini dan diinginkan untuk

memperjelas sehingga mereka bisa menjadi instruksi bagi orang lain dan panduan

untuk belajar. Oleh karena itu, saya telah menulis buku ini dan mengumpulkan di

dalamnya semua Kalkulator yang mungkin di perlukan, menghindari kebosanan

dari penemuan panjang dan kelebihan singkatnya.Untuk sebagian besar metode

yang telah disusun dalam tabel, sehingga dapat mempermudah pemeriksaan

geometer. Semua tabel didirikan dalam buku ini telah disusun dan semua

hubungan emosional (manis dan Pahit)ada di dalamnya, kecuali tujuh tabel... (Al-

Kashi tahun 1967, intro).

Memang, tabel adalah kontribusi penting untuk sebuah karya. kita sudah

dapat melihat ketergantungan yang berat di atas meja untuk eksposisi dari

perhitungan yang rumit di al-Samaw'al tetapi di al-Kashi seperti ia mengakui. Ada

tabel standar (perkalian, konversi dari desimal ke sexagesimals dan kembali; sinus

dan seterusnya) Tabel konversi mata uang, sifat dari logam dan zat-zat lainnya;

Tabel daerah poligon, dan lebih berguna (satu mungkin berpikir), berbagai jenis

lengkungan yang digunakan dalam arsitektur (Lihat gambar 1). Hampir selalu

hasil numerik lebih akurat daripada alasan yangmereka punya dan sering mereka

diberikan dalam desimal dan sexagesimals. Seperti dapat dilihat dari kutipan, al-

Kashi merasa bahwa mereka adalah kontribusi penting; beliau menegaskannya

dalam intelektual mereka, serta hubungan emosional (manis dan pahit). Paling

terkenal, melampaui tabel 'statis', kita memiliki 'dinamis' yang menunjukkan

bagaimana Anda melakukan perhitungan.Pembaca ditampilkan bagaimana

membangun mereka, diberitahu secara rinci untuk menggambar garis horisontal

dan vertikal dan membuat entri, sehingga (misalnya) untuk mengekstrak akar dan

sering dikutip contoh di mana ekstrak akar kelima 44, 240, 899, 506, 197 di

desimal dapat berfungsi sebagai model.

Dalam ―Ar-Risalah al-Muhithah‖ ia berhasil menemukan nilai pi ( ) yaitu

perbandingan antara keliling sebarang lingkaran dengan diameternya, hingga 16

tempat desimal. saja yang ingin tahu lebih banyak dapat mengubah buku ini.

Selain itu, kami hadir di sini dengan contoh proses ekstraksi akar pangkat tiga dan

contoh lain dari ekstraksi akar pangkat tiga [6] tetapi, untuk menghindari long-

windedness dalam buku ini, kita di sini tidak akan memberikan penjelasan tentang

proses [seperti pada akar kelima]. Sangat mudah bagi siapa saja yang tahu

bagaimana melakukannya dengan angka India, karena itu dijelaskan dalam buku

1. Pada titik tertentukita lihatndalam tabel yang diberikan adalah pengganti untuk

penjelasan tentang metode.

Untuk melihat al-Kashi dengan gaya eksposisi dalam konteks yang

berbeda, ekstrak dari bagian geometris Kalkulator kunci, pada zat yang biasa

adalah dalam Lampiran C, dengan tabel tak terelakkan yang menetapkan semua

pengukuran yang mungkin Anda perlukan untuk mereka. Jelas dianggap sebagai

matematikawan yang luar biasa oleh lingkaran dan seterusnya, al-Kashi masih

muncul dengan teka-teki. Diberikan informasi lebih lanjut tentang apa yang

mendahului itu dan apa yang diikuti; dan kita bertanya-tanya seberapa jauh

kadang-kadang obsesif akurasi perhitungannya termotivasi oleh tuntutan praktek,

kompetisi, atau kesenangan dalam kegiatan menghitung sendiri.

Latihan 8. (a) melihat tabel untuk Divisi polinomial al-Samaw'al, dan

mencoba untuk menindaklanjuti kemajuan divisi, (b) apakah hasil Divisi

8. penggunaan agama

Islam itu menyajikan rangkaian nilai-nilai pokok. Di antara nilai-nilai

tersebut, seseorang dapat menemukan kebenaran yang unik, ketiadaan kontradiksi

antara wahyu dan akal... Nilai-nilai ini, tanpa keraguan sedikitpun telah

mendukung penelitian dan membantu perkembangan penciptaan komunitas-

komunitas ilmiah terbuka. (Rashed 2003, hal. 153)

Allah adalah pedagang yang ideal. Semua dihitung, segala sesuatu

diperhitungkan... Suatu ‗tubuh agama‘ matematis yang lebih sederhana dibanding

hal ini, sulit untuk dibayangkan. (C.C. Torrey, cited in Rodinson 1074, hal. 81)

Pada masa Abbasiyah, Islam berkembang pesat. Kebanyakan Ilmuan adalah

Muslim dan ilmuan non-Muslim dengan mudah diberhentikan pada saat itu.

Setelah sekitar 1000 Masehi, para matematikawan melakukan lebih dari sekedar

menyesuaikan diri dengan Islam, mereka bekerja dibawah hukum dan fisafat

Islam.

Pada abad ke 9, Islam mengalami fluktuasi. Terjadi adu argumen

mengenai Islam. Dan karakterisasi Rashed tentang Islam sebagai salah satu

argumen yang mendukung Islam. Apakah tidak ada konflik antara Al Qur‘an dan

pendidikan penyembah berhala atau falsafah? Apakah Tuhan memutuskan segala

sesuatu dan mempertimbangkannya dengan baik sejak awal? Para teolog pun

mendiskusikan poin tersebut dan bersaing untuk mendukung khalifanya.

[Misalnya, apa yang dapat diketahui dalam bahasa Arab, bahasa dari

wahyu Islam (Al-Qur’an), yang berbeda dengan ilmu pengetahuan dan filsafat

Yunani sebagian karena kebahasaan asalnya? Atau apakah ada logika pemikiran

universal yang melebihi (dan karena itu lebih unggul) ekspresi yang digunakan

dalam kebudayaan yang ada? Hadits, sebagai satu kategori lagi, juga memuat

banyak peringatan tentang nilai/kedudukan dari ilmu pengetahuan, ganjaran dan

tugas untuk mencarinya, untuk mengumpulkan dan melestarikannya, untuk pergi

ke negeri orang dalam pencariannya. (McAuliffe (2001–), III, hal. 101)

Pertanyaan umum tentang hubungan antara Islam pagan dan/atau praktek

pengetahuan yang besar, dan kami memiliki ruang maupun kemampuan untuk

mengatasinya secara memadai. Namun, dua poinyang harus dilakukan:

1. Islam berbeda dengan Kristen (misalnya) dalam menempatkan nilai dalam

pengetahuan. Dan Al Qur‘an itu sangat berpusat pada seruan/himbauan kepada

akal.

Al-Qur‘an adalah sebuah kitab suci di mana rasionalitas memainkan

bagian besar.Di dalamnya, Allah terus berdebat dan penalaran. (Rodinson 1974,

ms. 78 (Lihat juga Halaman berikut))

(Alasan yang bersangkutan, meskipuntidak boleh disamakan dengan

pengurangan matematika; itu adalah agak pengurangan kewajiban kami kepada

Allah dari kebaikan karya-karyaNya, dan tugas-tugas etis dari prinsip-prinsip

dasar).

2. Islam menjadi sistem praktis, yang mengatur aktivitas manusia. Dimana

kebutuhannya tidak sekedar pengetahuan itu sendiri, tetapi untuk pengetahuan

yang mengiformasikan praktik yang mengikutinya.

Wawancara Rashed's sangat menyediakan beberapa titik awal. Dengan

mengklaim bahwa nilai-nilai Islam secara khusus menguntungkan untuk ilmu

pengetahuan, ia menimbulkan taruhannya dan membuat beberapa pernyataan

yang bahkan orang-orang yang cukup berkomitmen untuk mempromosikan

pemahaman yang lebih baik tentang ilmu mungkin sulit untuk menerima. Seluruh

wawancara bernilai bagi pembaca, karena sebagai seorang sarjana dia hanya

tidak dapatSkor poin debat dengan baik tapi mempertimbangkan pertanyaan yang

sulit seperti 'menurun' matematika Islam setelah abad kelima belas (bagaimana

bisa itu dipahami dan diperhitungkan?). Dan dia membuat yang lebih terbatas

tetapi dengan titik penting, yang memang baik dihargaimisalnya oleh Kennedy

(1983) waktu itu memiliki nilai tertentu dalam Islam yang disebut (satu akan

berpikir) untuk aplikasi sains.

Ilmu adalah dimensi yang penting dikota Islam. Salah satu elemen adalah

menjaga waktu (miqat) kecuali di masjid.Astronomi perlu untuk melihat bulan

sabit untuk kegiatan keagamaan. Itu tidak boleh dilupakan bahwa masing-masing

masjid besar memiliki astronomer terkait dengan itu... (Rashed 2003).

Bahkan beberapa agama telah memberikan praktis matematikawan begitu

banyak untuk berpikir tentang Islam, dengan bulan lunar yang dimulai pada saat

ketika sabit terlihat yang dengan hati-hati didefinisikan doa lima kali sehari, dan

yang cepat berakhir saat senja. Para astronom bekerja tanpa kenal lelah pada

perbaikan table mereka, mengembangkan astronomi Hindu dan Ptolemaios

menjadi instrumen yang jauh lebih efisien; Tapi sedini waktu dari Qurra Ibnu

Thabit, yang menulis pertanyaan sulit pada visibilitas pertama bulan sabit,

mereka datang untuk menyadari bahwa pemahaman mereka terhadap fenomena

atmosfer yang selalu meninggalkan sedikit keraguan tentang kunci pertanyaan

dari apa yang bisa melihat.

Ilmu waktu tentu saja berguna di luar konteks keagamaan, dan begitu juga

matematika adalah penting untuk berkembang dalam masyarakat seluruh dunia

Islam sejauh itu membantu perdagangan, survei, arsitektur, dan berbagai seni

praktis; dan juga di geografi, pemahaman tentang dunia yang dikenal. Dalam hal

ini agama memasuki universitas al-Bir pada abad kesepuluh dan dapat berdiri

sebagai tokoh utama, yang mengkoordinasikan kota dimungkinkan tentang

pemahaman umum bagaimana berbagai luas tersebar pusat yang terkait di dunia,

menggunakan pemahaman yang berkembang dengan baik geometri pada bola.

Universitas al-bir dengan pengulas moden telah mengklaim lebih; pengetahuan

tersebut sangat penting untuk tujuan-tujuan keagamaan karena merancang tata

letak Masjid (katakan di Sevilla) dengan benar itu penting untuk menentukan

kiblat, arahMekkah di mana orang beriman untuk berdoa. Saat ia mengatakan:

Mari kita menunjukkan kebutuhan besar untuk memastikan arah kiblat

untuk menahan doa yang merupakan tiang Islam dan juga tiang nya. Allah, akan

dia ditinggikan, mengatakan: ' dan dari mana saja kamu keluar, maka

palingkanlah wajahmu ke Masjidil Haram. Dan dimana saja kamu sekalian

berad, maka palingkanlah wajahmu kearahnya agar tidak ada hujan bagi

manusia diantara kamu, kecuali orang-orang yang zalim diantara mereka.maka

janganlah kamu takun kepada mereka tapi takultlah kepadaKu. Dan agar

kusempurnakan nikmatKu atasmu dan supaya kamu mendapat petunjuk.' (Al-

Quran, Sura 2:150). (Al-B¯ir ¯un¯i 1967, ms. 11–12).

mungkin matematikawan berpikir pengetahuan mereka penting; tetapi

matematikawan tidak selalu penting karena mereka berpikir, dan George Sarton

menunjukkan pada tahun 1933 bahwa banyak Masjid abad pertengahan di Afrika

Utara dan Spanyol memiliki 'salah' keberpihakan, meskipun negara berkembang

matematika di negara-negara.

Masalah ini baru-baru telah dibersihkan, tampaknya dalam sebuah studi

rinci dari tulisan-tulisan hukum dan Masjid sendiri oleh Mónica Rius.12

jawabannya menarik untuk cahaya itu melempar status MATEMATIKA: pada

kenyataannya pengacara Islam menunjukkanbahwa metode complex

mathematical itu (a) kadang-kadang tidak pasti terutama dalam hal bujur dan (b)

tidak dapat diakses oleh massa yang setia, sebagaimana mestinya. karena itu

diperbolehkan untuk cara definisi sederhana, yang tentu saja memberikan lebih

'perkiraan' arah untuk berdoa. Ini bukan untuk mengatakan bahwa universitas al-

bir dan orang lain yang relevan; harus ada kasus masjid mana kiblat ditentukan

oleh matematika. Namun, di sini seperti di tempat lain, penggunaannya dapat

ditentang dan gagasan bahwa ia 'dikenakan oleh agama' tentu saja mulai tampak

sederhana.

Contoh ini dapat berfungsi sebagai kisah peringatan pada batas kegunaan

matematika, yang pasti cukup penting di dunia Islam abad pertengahan. Seperti

yang akan kita lihat, Marxis cenderung klaim bahwa matematika adalah didorong

oleh tuntutan masyarakat, dan matematikawan ketika mereka mengklaim bahwa

mereka sedang melakukan pekerjaan penting dan berguna. Namun, jika banyak

organisasi Islam menguntungkan untuk ilmu pengetahuan, pasti ada saat-saat dan

tempat ketika ilmu pengetahuan bisa dihilangkan bahkan diperlakukan dengan

kasar.13 untuk membuat paralel, Descartes, Pascal dan Galileo orang Kristen

yang baik dari para pendahulu mereka. Jika mereka menemukan bahwa agama

mereka dapat dipadukan dengan pandangan ilmiah yang rasional dan praktis,

penyebabnya adalah mungkin untuk dapat ditemukan dalam iklim ideologis, atau

apa yang akan memanggil Marxis hubungan-hubungan produksi. Dengan

demikian, kesulitan tertentu dalam pernyataan dengan mana ini membuka bagian

adalah Rashed itu tampaknya akan memperlakukan Islam, sebagai agama dan

filsafat outlook, sebagai homogen di efek positif pada ilmu (setidaknya selama

periode abad pertengahan). Ini akan menarik untuk melihat bagaimana bereaksi

sejarawan spesialis lainnya.

Lampiran A. Dari Aljabar Al- Khwarizmi

(Dari Fauvel dan Gray 6.B.1)

Akar adalah setiap kuantitas yang dikalikan dengan dirinya sendiri, yang

terdiri dari satuan, atau bilangan yang menaik, atau pecahan yang menurun.

Kuadrat adalah jumlah seluruh akar yang dikalikan dengan dirinya sendiri.

Bilangan sederhana adalah setiap bilangan yang dapat dinyatakan dengan

dirinya sendiri tanpa mengacu pada akar atau kuadrat.

Anggota bilangan dari kelompok bilangan yang satu mungkin sama

dengan bilangan dari kelompok yang lain; kita bisa mengatakan,‘kuadrat sama

dengan akar‘, atau ‗kuadrat sama dengan bilangan‘, atau ‗akar sama dengan

bilangan‘.

[Al- Khwarizmi kemudian menguraikan dengan contoh-contoh kasus ini

sebelum melanjutkan sebagai berikut.]

Saya menemukan bahwa tiga jenis, yaitu: akar, kuadrat dan bilangan,

dapat dikombonasikan bersama-sama, dengan begitu akan menghasilkan

persamaan baru; yaitu,‘kuadrat dan akar sama dengan bilangan‘;‘kuadrat dan

bilangan sama dengan akar‘;‘akar dan bilangan sama dengan kuadrat‘.

Akar dan kuadrat sama dengan bilangan : misalnya, ‗ Suatu kuadrat

ditambah Sepuluh akarnya yang sama menghasilkan Tiga Puluh Sembilan

Dirham‘; maksudnya, berapa kuadratnya, ketika suatu kuadrat ditambahkan

Sepuluh kali akarnya sendiri, lalu dijumlahkan dengan Tiga Puluh Sembilan?

Solusinya seperti ini: kita membagi dua bilangan yang di dalam akar , yang mana

dalam contoh ini menghasilkan Lima. Ini kita kalikan dengan bilangan itu sendiri;

hasilnya adalah Dua Puluh Lima. Tambahkan dengan Tiga Puluh Sembilan;

jumlahnya adalah Enam Puluh Empat. Kemudian akarkan hasilnya, diperoleh

Delapan, dan kurangkan dari setengah bilangan di dalam akar, yaitu Lima;

hasilnya adalah Tiga. Inilah akar kuadrat yang kita cari; yang mana kuadrat

bilangan itu sendiri adalah Sembilan.

[...]

[Demonstrasi Geometris]

Kita telah menjelaskan cukup jauh tentang bilangan yang bersangkutan,

tentang Enam macam persamaan. Namun begitu, perlu bagi kita untuk

mendemonstrasikan secara geometris kebenaran dari proposisi yang telah kita

jelaskan dalam bilangan-bilangan. Oleh karena itu, proposisi pertama kita dalam

hal ini, yaitu suatu kuadrat dan Sepuluh kali akarnya menghasilkan Tiga Puluh

Sembilan unit.

Pembuktiannya yaitu jika kita membangun persegi dengan sisi yang tidak

diketahui, dan misalkan gambar ini merepresentasikan persegi itu, bersama

dengan akar-akarnya, yang ingin kita cari. Misalkan terdapat persegi ab [gamb. 3.]

dimana setiap sisi merupakan salah satu akarnya. Dengan begitu, Sepuluh kali

akarnya digambarkan dengan persegi, kita mengambil keempat bagian dari yang

Sepuluh itu dan menggunakannya untuk setiap sisi pada persegi dengan jarak

yang sama, yang mana panjangnya harus sama dengan persegi yang gambar

pertama dan luasnya Dua Setengah, yang mana itu adalah Empat begian dari

Sepuluh. Oleh karena itu, Empat bidang dengan sisi-sisi yang sama diterapkan

pada persegi ab. Masing-masing panjangnya adalah panjang akar satu pada

persegi ab dan juga luas masing-masing persegi adalah Dua Setengah, seperti

yang telah dikatakan sebelumnya. Sebutlah daerah c, d, e, f. Oleh karena itu,

menurut apa yang telah kita bahwa akan ada empat bidang yang memiliki sisi-sisi

yang tidak sama panjang, yang juga dianggap tidak diketahui. Ukuran bidang pada

masing-masing segiempat, yang diperoleh dengan Dua Setengah dengan

Setengah, melengkapi sisi persegi yang paling besar atau seluruh area. Dimana

kita melengkapi gambar yang paling besar dengan penambahan pada empat

produk, masing-masing ditambahkan Dua Setengah; keseluruhan dari perkalian

ini memberikan Dua Puluh Lima.(gamb. 7.).

Dan sekarang jelas bahwa gambar persegi yang pertama, yang merupakan

persegi yang tidak diketahui dan empat bidang di sampingnya menghasilkan Tiga

Puluh Sembilan. Ketika kita menambahkan Dua Puluh Lima pada ini, yaitu,

Empat persegi yang kecil yang sebenarnya bertempat pada Empat sisi pada

persegi ab, gambar persegi yang besar disebut GH, dilengkapi. Dimana

keseluruhan jumlahnya adalah Enam Puluh Empat, yang mana Delapan adalah

akarnya, dan dari sini terbentuk suatu sisi pada gambar yang lengkap. Oleh karena

itu, ketika kita kurangkan dari Delapan kali Empat bagian dari Sepuluh, yang

ditempatkan di ujung-ujung persegi yang besar GH, akan tetap ada namun

berjumlah Tiga. Lima yang dikurangkan dari Delapan, haruslah bersisa Tiga, yang

mana sama dengan suatu sisi pada persegi ab yang pertama.

Gamb.8 gambar untuk pembuktian Thabit. Bandingkan Gamb. 4 (Euclid II.6).

ABCD (cara penulisannya terlihat aneh, tapi perlu untuk acuan kerja) adalah

‗persegi‘ dalam contoh, dan bujur sangkar DE (atau BEGD) adalah ‗akar‘.

Jumlahnya adalah ‗angka‘, dan diketahui AF = FE.

Lampiran B. Thabit ibnu Qurra

Persamaan yang pertama yaitu: kuadrat dan akar menghasilkan bilangan.

Cara membuktikannya dengan menggunakan Enam bentuk standar pada buku

kedua elemen Euclid adalah sebagai berikut. Kita buat persegi ABCD pada

persegi yang telah ada, dimana BE menjadi keseragaman unit yang mengukur

sebuah garis, sama dengan memberikan angka pada akar. [jadi pada contoh di

atas, BE adalah 10 unit.] Kita menggambar segiempat DE [lihat gamb.8]. Maka

jelaslah bahwa akarnya adalah AB, dan perseginya adalah ABCD. Pada daerah

asal aritmatika dan bilangan, itu sama dengan hasil AB dengan unit yang

mengukur sebuah garis. Dalam hal ini, hasil AB dengan unit yang mengukur

sebuah garis sama dengan akar dalam daerah asal aritmatika dan bilangan. Namun

BE seperti sebuah bilangan yang menghasilkan bilangan dalam akar. Dan juga

hasil AB dengan BE sama dengan akar pada kasus dalam daerah asal aritmatika

dan bilangan. Namun, hasil AB dengan BE adalah segiempat DE, seperti AB

sama dengan BD. Jadi segiempat DE adalah dirinya sendiri sama dengan akar

pada kasus. Dengan demikian keseluruhan segiempat CE sama dengan persegi

dan akar.

[inti dari repetisi ini memperlihatkan bahwa Thabit berhati-hati dalam

mengingatkan pembaca bahwa kita bekerja dalam rangka dimana bilangan dapat

digambarkan dengan garis-garis, seperti yang ada dalam buku-buku aritmatika

Euclid; atau dengan bidang, jika kita membuat persegi panjang dari garis tersebut,

seperti yang terjadi dalam buku X. Dia telah menggambarkan sebuah gambar

sama dengan (kuadrat dan akar) yang mana tidak sama dengan gambar al-

Khawarizmi yang merupakan persegi panjang tunggal.]

Namun, kuadrat dan akar sama dengan bilangan yang telah diketahui. Jadi

persegi panjang CE diketahui dan itu sama dengan hasil AE dengan AB, seperti

AB sama dengan AC. Maka hasil EA dengan AB diketahui dan garis BE

diketahui, seperti bilangan unitnya telah diketahui.

Dalam hal ini, pertanyaannya berpusat pada sebuah masalah geometris

yang diketahui, disebut: garis BE diketahui, itu menghasilkan AB, dan hasil EA

dengan AB diketahui. Namun dalam proposisi ke enam pada buku kedua Elemen

itu memperlihatkan bahwa jika garis BE dibagi dua sama besar pada poin F, lalu

hasil EA dengan AB bersama dengan persegi pada BF sama dengan persegi pada

AF. Namun, hasil pada EA dan AB diketahui. Karena itu persegi pada AF

diketahui, dan juga AF diketahui, dan jika dari itu diperkurangkan BF, yang juga

diketahui, ada yang dilupakan dari AB, yaitu akar. Jika kita mengalikannya

dengan yang lain sama dengan dirinya sendiri, kita mendapatkan persegi ABCD

telah diketahui. Inilah apa yang perlu diperlihatkan.

Lampiran C. Dari Al-Kashi, Kunci Kalkulator

Pada ukuran tubuh dengan dengan wajah yang teratur

...

Terdapat tujuh bentuk. [al-Kashi mempertimbagkan bahwa bukan hanya lima

yang biasa itu, tapi juga dua benda padatan semiregular (lihat gamb. 9) yang

menampakkan semua keteraturannya, dan diatur secara teratur, namun tidak

semua sama.]

Yang pertama berisi empat rupa, yaitu segitiga samasisi berbentuk bola,

yaitu bentuk yang bulat dengan empat segitiga samasisi. Penampakannya seperti

piramida dengan sebuah dasar segitiga, dan terbuat dari empat piramida, yang

dasar adalah wajahnya, dan yang puncak adalah pusatnya. Pengukuran ini adalah

sebagai berikut: buat persegi dalam diameter bola yang dibatasi, dan temukan akar

dari dua pertiga dari situ, dan juga akar seperdua persegi dalam diameter, dan

yang pertama akan menjadi sisi dari dasar, dan yang kedua puncak dari sisi

segitiga. Jika kita kalikan salah satunya dengan seperdua yang lain, kita temukan

bidang di satu sisi. Jika kita kalikan ini dengan dua per sembilan dari diameter

bola, kita peroleh volumenya.

Di sisi lain. Kita kalikan diameter satu kali dengan 0 48 59 23 15 41 per

lima, dan kita dapatkan sisinya, dan lain kali kita kalikan dengan 0 42 25 35 3 53

per lima, dan kita dapatkan puncak dari segitiga. Dan sisanya lakukan seperti

sebelumnya.

[Hubungan yang utama s = . d, pada sisi tetrahedron pada diameter

bola, telah ditemukan dalam Euclid XIII.13 dan juga ‗pengetahuan biasa‘ diantara

para sarjana Samarkand; yang mana adalah mungkin penyebab mengapa al-Kashi

merasa tidak perlu dibuktikan. Dan telah dikatakan, bukunya menonjolkan

metode, bukan pembuktian, walaupun dari pekerjaan lainnya kita tahu bahwa dia

dapat menghasilkan pembuktian yang serius saat dibutuhkan. Adapun bangun-

bangun yang sebenarnya, dalam sexagesimal pada ‗ seperlima‘ (1/ , atau

sekitar 1.2 x ), mereka mengambil dari metode standar, yang telah tetapkan

sebelumnya, untuk mengekstraksi akar kuadrat; angka pertama adalah dan

yang kedua . Sangat menarik untuk membandingkan yang kedua dengan

versi Babilonia pada Tabel Yale (Bab 1, gamb. 6),

yang memiliki nilai 42 25 35. Apa metode sama yang digunakan?] Di atas (gamb.

10) adalah tabel yang al-Kashi berikan pada padatan yang teratur.

Latihan 10. Gambarlah sebuah tetrahedron dengan puncak

(1, 1, -1), (1, -1, 1), (-1, 1, 1), (-1, -1, -1)

(setengah puncaknya adalah kubus)

(1) Mengapa ini adalah tetrahedron biasa?

(2) Berapa panjang sisinya?

(3) Apakah diameter bola dibatasi? Jelaskan hubungan yang al-Kashi

berikan.

(4) Apa arti pernyataan yang lain? Dapatkah Anda memeriksanya?

Dapatkah Anda melakukan semua ini tanpa menggunakan koordinat?

Solusi untuk latihan di atas

1. Jelaslah ‗is‘ menunjukkan tempat yang ganjil (dihitung dari akhir); dan

intinya bahwa kamu memulai titik melihat bilangan sampai pada tempat

ganjil yang terakhir (misalnya 5 untuk 576, atau 13 untuk 1369). Seluruh

bagian dari akar bilangan ini—yang mana sebuah bentuk tunggal—

memberikan kita bentuk pertama pada jawabanmu.

Sekarang kita punya 2 sebagai akar dari 4, persegi terbesar kurang

dari 5.

Anda kurangkan persegi (4) dari 5, dan menurunkan sisa yang diberikan

176. Sekarang dua kalilipat dari dua (4 lagi) dan taruh itu di bawah 7,

sehingga efektif 40. Ekspresi Al-Uqlidisi berarti bahwa kita mencari x

seperti 40x + = 176 yang tersisa. Dengan kata lain, (40 + x)x = 176.

Nyatanya, ini memenuhi x=4.

Metode ini hanya menggunakan rumus biasa untuk ,

dengan a=20 dan b= x yang tidak diketahui. Jika hal ini sedikit

membingungkan, cobalah tiga atau empat bentuk persegi. Maka lihatlah

penyamarataan untuk yang lebih besar.

2. Seperti di Bab 2, gunakan aljabar untuk menyederhanakannya. Sebutlah

panjang AB ‗a‘. Lalu BC = a, BD = a/2, dan juga CD = (a/2) . Oleh

karena itu dengan konstruksi, DE = CD = (a/2) . Maka AE = a((1 +

)/2). Ini adalah panjang yang benar untuk konstruksi ‗seksi emas‘ pada

Bab 2; segitiga ABG yang perbandingan sisinya 1 : 1 + )/2 : 1 + )/2

yang memiliki sudut , dan konstruksi berlangsung seperti

yang diperlukan.

3. Al-Khawarizmi telah memberikan enam model persamaan dan itu semua

selalu diikuti oleh penerusnya pada periode pertengahan dan awal modern.

Ada tiga yang ‗trivial‘: akar sama dengan bilangan, akar sama dengan

kuadrat, dan kuadrat sama dengan bilangan; dan tiga ‗serius‘ yang lain:

akar dan kuadrat menghasilkan bilangan, akar dan bilangan menghasilkan

kuadrat, dan kuadrat dan bilangan menghasilkan akar. (intinya bahwa

semua koefisien harus positif) dan lagi, karena harus ada solusi positif,

bentuknya (kita harus memikiran keanggotaan yang bernilai) ‗kuadrat dan

akar dan bilangan menghasilkan nol‘ (misalnya + 3x + 2 = 0)

ditiadakan.

4. AD sama dengan AB + BD, atau a + b. ‗Persegi panjang AD oleh DB‘

dalam bahasa Euclid bahwa bidang pada persegi panjang yang sisinya

sama dengan AD dan DB, maka itulah hasil (a + b)b. Karena C adalah titik

tengah AB, CB = a/2; sementara CD = CB + BD = (a/2) + b. Dari

pernyataan ini, diperoleh sebagai berikut.

5. (a) metode Al-Khawarizmi berawal dari membagi dua akar—hasil 1.

Kuadratkan ini, hasil 1; tambahkan pada 1 (‗bilangan‘), hasil 2. Masalah

kita sekarang adalah mengambil akar pangkat. Jika kita dapat (sebut hasil

seperti biasa) kurangkan setengah dari akar, yaitu,1 , dan dapatkan

jawabannya – 1. (b) garis BE sepanjang 2; dan kita harus membangun

AB sehingga persegi pada AB dan persegi panjang AB. BE sama dengan

1, kita bagi BE setengah F, jadi BF = 1. Euclid II.6 mengatakan bahwa EA

. AB bersama dengan persegi pada BF (misal 1 + 1 = 2) menghasilkan

persegi pada AF. Maka kita bangun persegi pada bidang 2

(membandingkan Meno!); sisinya adalah AF. Kurangkan BF (misalnya 1),

dan kita punya hasil AB. Ini tergantung pada fakta bahwa kita dapat

membangun AF, yang panjangnya adalah , secara geometri tanpa

mengatakan berapa panjangnya.

6. Sebutlah ‗jumlahnya‘ x. Jika 10 ditambahkan pada penjumlahan (10 + x),

dan penjumlahan (misalnya jumlahnya) dikalikan dengan , kita peroleh

(10 + x) . Ini dikatakan sama dengan hasil penjumlahan (kata ini

mungkin digunakan berlebihan) dengan dirinya sendiri; yaitu, untuk .

Maka, (10 + x) = seperti yang dinyatakan.

Dengan aturan kuadratik biasa: tuliskan - x - 10 = 0.

Solusinya adalah

x = ( )

Jelasnya untuk solusi positif kita menginginkan akar positif, dan

penyusunan kembali dari menempatkan ekspresi dalam bentuk yang

diberikan abu Kamil.

7. Karena sin = , pengaturan sin = y kita memperoleh persamaan

4 + = 3y.

8. Daripada mencoba untuk mengulangi pembagian (yang merupakan

pembagian panjang langsung dari polinomial- polinomial), berdasarkan

dua tabel yang diperlihatkan pada gambar. Yang pertama memperlihatkan

pembagi sederhana P diatur dalam kolom sesuai dengan kekuasaan,

dengan koefisien (20, 2, 58, 75,....); dan di bawahnya adalah pembagi Q =

2 | 5x | 5 | (10/x), bergeser tiga tempat ke atas (maka dikali ), siap

dikalikan dengan 10 dan diperkurangkan. Tabel kedua memiliki 10 tempat

kubus pada baris atas (hasil); pada baris kedua adalah koefisien P - 10

Q; dan di Q ketiga lagi, kali ini bergeser dua kali ke atas dan siap untuk

diperkurangkan kembali. Proses ini memuat ketika al-Samaw‘al

menemukan bahwa sisa terakhirnya (4 + 10 + 10 + 10 ) tepat

dikalikan 2/ kali Q, dan kita dapat berhenti.

9. Ini adalah latihan yang sedikit keras dalam geometri bola. Kita harus tahu:

(a) lintang kami, sebut . (b) lintang Mekkah, sebut . Dan akhirnya

perbedaan antara lintang kami dan bahwa mekkah, katakanlah .

(pikirkan ini sebagai sudut segitiga.) kita lalu punya segitiga bola ABC

(gamb. 11). Sudut pada kutub adalah C, dan dua sudut berdampingan

adalah a dan d (derajat lintang). Kiblatnya adalah ditetapkan oleh sudut

yang segaris dari kita ke Mekkah dibuat dengan Utara; sudut B pada

gambar. ‗Rumus Sin‘ untuk geometri bola:

=

Akan memberikan kita B jika kita mengetahui c, karena kita tahu b dan C.

Namun kita bisa dapatkan c dari ‗rumus formula‘:

cos c = cos a cos b + sin a sin b C

(lihat Gray 1978, p46)

10. Mudah untuk memeriksa bahwa puncaknya memberikan jarak sejauh 2

satu sama lain; yang ditetapkan (1) karena bentuknya harus segitiga

samasisi, dan juga jawaban (2). Anda dapat menemukan pusat bola baik

dengan melihat bagian lain dari kubus (puncaknya adalah puncak

alternatif pada kubus), atau dengan menemukan pusat gravitasi, jelaslah

(0, 0, 0). Radisunya adalah panjang garis yang menghubungkan ini ke

puncak, yaitu, , diameternya 2 . Jadi s : d = 2 : 2 = : 1.

‗Ketinggian sisi segitiga‘ adalah tinggi dari segitiga samasisi pada

sisi 2 pada mmodel kita, yaitu, (menggunakan sin = /2).

Perbandingan dari ini ke d menjadi : 2 = : 1. Pernyataan tentang

bidang (=setengah kali alas kali tinggi) adalah ‗klasik‘. Volumenya adalah

bidang alas (baru ditemukan) kali sepertiga dari tingginya, dari rumus

volumenya limas. Untuk menemukan tinggi dari limas, catat bahwa tiga

titik yang bukan (-1, -1, -1) memiliki pusat grafitasi ( . Tingginya

adalah panjang garis yang menghubungkan ini ke (-1, -1, -1), dan mudah

untuk melihat bahwa ini adalah .d. Itulah ‗dua per tiga al-Kashi‘.

Untuk membuktikan itu tanpa menggunakan koordinat-koordinat,

lihat pada Euclid XIII.13.