PEMBAHASAN

A. Konvolusi

Konvolusi terdapat pada operasi pengolahan citra yang mengalikan sebuah

citra dengan sebuah mask atau kernel. Konvolusi adalah perkalian total dari dua

buah fungsi f dan g. Operasi yang paling mendasar dalam pengolahan citra adalah

operasi konvolusi. Konvolusi dua buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai

berikut :

h x f x g x f a g x a da

Integral dari – tak hingga sampai tak terhingga.

Yang dalam hal ini, tanda * menyatakan operator konvolusi, dan veubah

(variabel) a adalah veubah bantu (dummy variabel).

Untuk fungsi diskrit , konvolusi didefinisikan sebagai

h x f x g x f a g x a

g(x) disebut dengan kernel konvolusi (filter) , kernel g(x) merupakan jendela yang

dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukan f(x) hasil konvolusi dinyatakan

dengan keluaran h(x).

1

1. Ilustrasi proses konvolusi :

2

Konvolusi inilah yang banyak digunakan pengolahan citra digital,

sayangnya rumus diatas sangat sulit diimplementasikan menggunakan komputer,

karena pada dasarnya computer hanya bisa melakukan perhitungan pada data

yang diskrit sehingga tidak dapat digunakan untuk menghitung intregral di atas.

2. Filtering

Filtering merupakan suatu metode pada proses perbaikan citra,

filtering dapat dibagi menjadi 2 bagian yaitu filtering pada domain spasial dan

domain frekuensi. Pengertian filtering domain spasial pada konteks ini adalah

merujuk pada ruang (plane) dari citra, sedangkan metode filtering pada

domain frekuensi didasarkan dari transformasi fourier pada citra. Metode

filtering yang dipakai pada tugas akhir ini adalah merupakan metode filtering

pada domain spasial, karena itu pada tinjauan pustaka ini hanya akan

dijelaskan mengenai filtering pada domain spasial. Metode filtering pada

domain spasial adalah sebuah prosedur yang beroperasi secara langsung pada

piksel-piksel citra, proses filter pada domain spasial dapat dinyatakan sebagai

berikut:

g(x,y) = T[f(x,y)]

Dimana f(x,y) adalah citra awal, dan g(x,y) adalah citra hasil,

sedangkan T adalah operator pada f yang didefinisikan terhadap ketetanggaan

(x, y) . Untuk proses reduksi noise, T dapat berupa operasi penjumlahan antar

piksel pada citra. Prinsip untuk mendefinisikan arti dari ketetanggaan pada

3

titik (x,y) adalah dengan menggunakan sebuah area sub-citra yang berbentuk

persegi dan memiliki titik pusat (x,y).

Titik pusat sub-citra (x, y) akan bergerak dari sudut origin yaitu pada

sudut kiri atas. Dan operator T akan diaplikasikan pada piksel-piksel

ketetanggan (x, y) untuk menghasilkan keluaran g pada lokasi tersebut. Sub-

citra tersebut dapat disebut juga sebagai filter, mask, kernel, ataupun window.

dimana penamaanpenamaan tersebut mempunyai arti yang sama. ketetanggan

3x3 pada titik (x,y) dalam sebuah citra. Cara kerja dari proses filter spasial

adalah dengan menggerakkan mask dari titik ke titik lain dalam citra, dengan

titik pusat mask adalah titik (x, y). Keluaran dari filter adalah tergantung dari

operasi yang dilakukan pada piksel-piksel dalam mask tersebut kemudian

keluarannya akan di letakkan pada posisi (x, y) tersebut.

Filtering spasial sendiri dapat dibagi menjadi 2 jenis yaitu linear

smoothing filtering dan non linear filtering. perbedaan paling utama dari 2

metode tersebut terdapat pada metode penentuan outputnya. Jika linear

filtering outputnya didapat dari hasil konvolusi citra asli dan mask filternya

sedangkan output dari non linear filter didapat berdasarkan rangking pada

suatu deret yang terdapat pada mask filter.

4

3. Impulse Response

Menurut teori filtering, pada sistem yang ideal, sinyal yang masuk

(impulse) sama dengan sinyal yang keluar (impulse response). Hal tersebut

dapat digambarkan dengan transfer function dalam bentuk fungsi Delta Dirac.

a. Sistem yang ideal

b. Sistem yang tidak ideal

Pada sistem yang tidak ideal, sinyal yang masuk mengalami degradasi

atau penurunan kwalitas.

4. Konvolusi pada fungsi Dwimatra

a. Fungsi malar

5

f(x) d(x) f(x)*d(x)

proses konvolusi

f(x) g(x) f(x)*g(x)

proses konvolusi

h x f x , y g x , y f a ,b g x a , y b da db

b. Fungsi diskrit

h x , y f x , y g x , y

f a ,b g x a , y b

Fungsi penapis g(x,y) disebut juga convolution filter, convolution mask,

convolution kernel atau template. Dalam bentuk diskret kernel konvolusi

dinyatakan dalam bentuk matriks, misal 2x2, 3x3, 2x1 atau 1x.

1. Ilustrasi konvolusi pada fungsi Dwimatra

F(i,j)=Ap1+Bp2+Cp3+Dp4+Ep5+Fp6+Gp7+Hp8+Ip9

6

Contoh: misal citra f(x,y) yang berukuran 5x5 dan sebuah kernel dengan

ukuran 3x3, matriks sebagai berikut :

4 4 3 5 4 0 -1 0

6 6 5 5 2 g(x,y)=-1 4 -1

F(x,y)= 5 6 6 6 2 0 -1 0

6 7 5 5 3

3 5 2 4 4

Operasi konvolusi antara citra f(x,y) dengan kernel g(x,y),

F(x,y)*g(x,y).

Hasil konvolusinya adalah sebagai berikut :

4 4 3 5 4

6 3 0 2 2

5 0 2 6 2

6 6 0 2 3

3 5 2 4 4

2. Cara menghitung hasil konvolusi :

1. Menempatkan kernel pada sudut kiri atas , kemudian hitung nilai pixel

pada posisi (0,0) dari kernel :

7

hasil = 3

2. Geser kernel satu pixel ke kanan ,kemudian hitung nilai pixel pada

posisi (0,0) dari kernel:

hasil = 0

3. Selanjutnya dengan cara yang sama geser ke kanan, dst.

4. Geser kernel satu pixel ke bawah, lakukan perhitungan seperti diatas.

5. Nilai pixel citra tepi tidak berubah.

B. Transformasi Fourier

Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis

menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari

penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus.

Transformasi Fourier merupakan transformasi paling penting di dalam

bidang pengolahan sinyal (singnal processing), khususnya pada bidang

pengolahan citra.

Umumnya sinyal dinyatakan sebagai bentuk plot amplitudo versus waktu

(pada fungsi satu matra) atau plot amplitudo versus posisi spasial (pada fungsi

dwimatra). Pada beberapa aplikasi pengolahan sinyal, terdapat kesukaran

melakukan operasi karena fungsi dalam ranah waktu/spasial, misalnya pada

8

operasi konvolusi di atas. Operasi konvolusi dapat diterapkan sebagai bentuk

perkalian langsung bila fungsi berada dalam ranah frekuensi.

Transformasi fourier adalah kakas (tool) untuk mengubah fungsi dari

ranah waktu/spasial keranah frekuensi. Untuk perubahan sebaliknya digunakan

transformasi Fourier balikan. Intisari dari transformasi Fourier adalah

menguraikan sinyal atau gelombang menjadi sejumlah sinusoida dari berbagi

frekuensi, yang jumlahnya ekivalen dengan gelombang asal.

Di dalam pengolahan citra, transformasi fourier digunakan untuk

menganalisis frekuensi pada operasi seperti perekaman citra, perbaikan kualitas

citra, restorasi citra, pengkodean, dan lain-lain. Dri analisis frekuensi, kita dapat

melakukan perubahan frekuensi pada gambar. Perubahan frekuensi berhubungan

dengan spectrum antara gambar yang kabur kontrasnya sampai gambar yang kaya

akan rincian visualnya. Sebagai contoh, pada proses perekaman citra mungkin

terjadi pengaburan kontras gambar. Pada gambar yang mengalami kekaburan

kontras terjadi perubahan intensitas secara perlahan, yang berarti kehilangan

informasi frekuensi tinggi. Untuk meningkatkan kualitas gambar, kita

menggunakan penapis frekuensi tinggi sehingga pixel yang berkontras kabur

dapat dinaikkan intensitasnya.

Contoh :Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut

(lihat gambar berikut) Fungsi kotak sebagai penjumlahan fungsi-fungsi sinus.

9

Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa fungsi

yang dihasilkan sudah berbentuk fungsi kotak.

function kotak(n)

t = 0:pi/200:8*pi;

kot = sin(t);

for i = 3 : 2: n

kot = kot + (sin(i*t))/i;

end

plot(kot)

10

11

1. Rumus FT – 1 dimensi

a. Rumus FT kontinu 1 dimensi

b. Rumus FT diskret 1 dimensi

12

F (u)=∫−∞

∞f ( x )exp [−2 jπ ux ]dx

f ( x )=∫−∞

∞F (u )exp [2 jπ ux ]du

Euler's formula :exp [−2 jπ ux ]=cos2π ux− jsin 2 πux

F (u)=1N ∑x=0

N−1f ( x )exp [−2 jπ ux /N ]

f ( x )=1N∑x=0

N−1F (u)exp [2 jπ ux /N ]

Contoh berikut diambil dari Polikar

(http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)

Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb:

x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) +

cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)

Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi yaitu 5,10,20,50.

Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus

x(t)= cos(2*pi*5*t) +

cos(2*pi*10*t) +

cos(2*pi*20*t) +

cos(2*pi*50*t)

13

FT dari sinyal tersebut terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi yang

dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilai maksimum F(u) berada pada

angka 5,10, 20, 50).

FT dari sinyal tersebut terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi yang

dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilai maksimum F(u) berada pada

angka 5,10, 20, 50),

14

Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92).

15

F (u)=1N ∑x=0

N−1f ( x )exp [−2 jπ ux /N ]=

1N ∑x=0

N−1f ( x )(cos (2π ux /N )− j sin(2π ux /N )) ]

contoh : f (0 )=2 , f (1 )=3 , f (2)=4 , f (3 )=4

F (0)=1N∑x=0

N−1f ( x )(cos(2 π 0x /N )− j sin(2 π 0x /N )) ]

¿14

[ f (0)+ f (1)+ f (2)+ f (3) ]=3 .25

F (1)=14∑x=0

3f ( x )( cos(2πx /4 )− j sin(2 πx /4 )) ]

¿14

[ 2(1−0 )+3(0− j )+4 (−1−0)+4(0+ j)

¿14

(2−3 j−4+4 j )=14

(−2+ j )=−0 .5+0 .25 j

F (2)=−14

[1 ]=−0 .25 F (3 )=−14

[ 2+ j ]=−0 .5−0 .25 j

Contoh Penghitungan FT

a. Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajiner

b. Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua bilangan tersebut shg

|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2

c. Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai

berikut:

1. |F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590

2. |F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590

2. Rumus FT – 2 dimensi

16

FT :F (u , v )=1MN

∑x=0

M−1

∑y=0

N−1

f ( x , y )exp [−2 jπ (ux /M+vy /N ) ]

InversFT : f ( x , y )=∑u=0

M−1

∑v=0

N−1

F(u , v )exp[ 2 jπ(ux /M+vy /N ) ]

M=tinggi citra ( jumlah baris)N=lebar citra ( jumlah kolom)