Irisan Kerucut dan Koordinat Kutub

I Irisan Kerucut (kurva-kurva)• Lingkaran : bidang yang tegak lurus kepada sumbu kerucut.• Elips : bidang yang memiliki sudut tertentu terhadap sumbu

kerucut.• Parabola : bidang yang sejajar dengan sisi kerucut.• Hiperbola : bidang yang sejajar dengan sumbu kerucut.

Definisi: Himpunan titik-titik P dimana rasio antara jarak |PF| dari fokus dengan jarak |PL| dari garis l merupakan sebuah konstanta e positif.

e = eksentrisitas

disebut irisan kerucut

Parabola mempunyai satu titik puncak sedangkan elips dan hiperbola mempunyai dua titik puncak.

PL

PFe

PLePF

Parabola (e = 1)Definisi : himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis l dan fokus F, maka :

sumbu koordinat pada sumbu x dan fokus pada (p,0) dan direktris (garis l ) pada persamaan x=-p maka berdsarkan rumus jarak maka :

PLPF

PLPF

2222 0 yypxypx

Persamaan standar:

dimana p adalah jarak dari fokus ke titik puncak.

Parabola yang lain :

xpy 42

Contoh soal:1. Tentukan fokus dan direktris (garis tetap) dari parabola yang

mempunyai persamaan Peny:

F(p,0) maka fokus di (3,0) dan direktriks (l ) x=-p maka x=-3

2. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris pada parabola dibawah ini:

xy 122

xxpxypxy 124124 22 3p

yx 162

Peny:

Parabolanya vertikal dan terbuka ke bawah pada F(0,-4) dan persamaan direktrisnya y=4.

3. Tentukan persamaan parabola yang verteksnya (titik puncak) di titik asal melalui (-2,4) dan terbuka ke kiri.Peny:Titik puncaknya (0,0), terbuka ke kiri dan melalui (-2,4) maka:

ypyyxpyx 164164 22 4p

2444 22 ppxy

2816 pp

Maka persamaan parabolanya:

4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari parabola dibawah ini Peny:Titik singgung: pada (1,-4)

xypxy 244 22 xy 82

4,1162 xy

xy 162

yyyy

2

16162 ''

2' y

Maka persamaan garis singgungnya:

Garis normal merupakan garis yang tegak lurus pada garis singgung, syaratnya:

22 xy

1. 21 mm

2

12 m 2

9

2

1 xy

Elips ( 0 < e < 1 )Apabila |PF|= e |PL| dimana 0 < e < 1 maka akan membentuk elips.

Fokusnya F(c,0), direktrisnya x=k dan verteksnya A’ (-a,0) dan A (a,0) maka :

eaekakeca

eaekakeca

Dari persamaan sebelumnya didapat nilai c dan k :

Dari gambar diatas dengan syarat |PF|= e |PL| maka:

eac e

ak

22

22 0 yye

axeyaex

11 22

2

2

2

ea

y

a

x

Persamaan standar elips:

maka

Pada elips syarat a > b

2222 11 eabeab

12

2

2

2

b

y

a

x

Contoh soal:1. Sketsalah grafik dan tentukan fokus dan

eksentrisitasnya.Peny:Berdasarkan pers

maka a = 6 dan b =2 maka dari per

fokusnya (±c,0) =

1436

22

yx

1436

122

2

2

2

2

yx

b

y

a

x

222 cba

24c 94,0a

ceaec

0,24

Bentuk grafik dari persamaan diatas:

2. Tentukan fokus dan eksentrisitas dari persamaan berikut:

Peny:

dimana a=5 dan b =4 dan c=3 maka :

fokusnya(0,±3)

12516

22

yx

12

2

2

2

a

y

b

x

6,0 ea

ceeac

Hiperbola (e > 1 )

Seperti yang terlihat pada gambar diatas dimana e > 1 maka:

supaya e2 - 1 bernilai positif maka

11 22

2

2

2

ea

y

a

x

222 1 eab

1222 eab12

2

2

b

y

a

x

maka persamaan hiperbola horizontal menjadi: dimana c=ae maka c2=a2+b2

persamaan disamping untuk hiperbola horizontal.

Sedangkan hiperbola vertikal adalah: verteksnya (0,±a) fokusnya (0,±c)

Dari gambar diatas diagonalnya merupakan asimtotnya :

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

b

x

a

y

xa

by

Contoh soal:1. Sketsalah grafik dan tunjukkan asimtot-asimtotnya,

bagaimana persamaan asimtotnya dan berapa fokusnya dari persamaan berikut:

Peny:

a =3 dan b=4 dimana a kaki horizontal dan b kaki vertikal Asimtot dan

Fokusnya

1169

22

yx

1169

122

2

2

2

2

yx

b

y

a

x

xy3

4 xy

3

4

543 22222 cbac

Fokusnya (±c,0) F (±5,0)

2. Tentukan fokus dari persamaan berikut: dari pers diatas kurvanya merupakan hiperbola vertikal

dimana a =3 dan b =2 maka :

Fokusnya (0,±3,61)

194

22

yx

61,323 22222 cbac

Bentuk grafik dari hiperbola vertikal adalah:

3. Jarak maksimum bumi dari matahari 94,56 juta mil dan jarak minimumnya 91,45 juta mil. Bagaimana eksentrisitas dari orbitnya dan bagaimana diametermayor dan minornya.

Peny:Sesuai gambar diatas maka:

_

Maka

56,94max caca

45,91min caca

56,111,32 cc

01,9356,94 aca

017,001,93

56,1

c

aeaec

Diameter mayor dan minornya dalam juta mil adalah:Mayor = 2 a = 2 (93,01) =186,02Minor =2 b dimana a2 = b2 + c2 maka

= 2

Translasi Sumbu

Definisi: kedudukan dimana sumbu mayor tidak berada di salah satu sumbu koordinat dan pusatnya tidak berada di titik asal.

ex:

22 cab

99,18556,101,93 22

2532 22 yx

Diskusi:1. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris dan

gambar sketsanya: dan 2. Tentukan persamaan standar dari info berikut dan asumsikan

verteksnya berada di titik asal.• Direktrisnya adalah x= 3• Fokusnya adalah

3. Sketsa grafik dan tentukan verteks, fokus dan asimtot apabila hiperbola: dan

032 xy 093 2 yx

9

1,0

100254 22 yx 84 22 yx

Dari pers diatas grafiknya:

Secara umum bentuk grafiknya:

Penggunaan sumbu-sumbu baru tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah kurva.

Dari gambar diatas :(x,y) = koordinat lama(u,v) = koordinat baru(h,k) = titik asal yang baruHubungan dari koordinat yang lama terhadap koordinat yang baru:

Contoh soal:1. Tentukan koordinat baru dari P (-6,5) setelah translasi sumbu-

sumbu ke titik asal baru di (2,-4)Peeny:

huxhxu kvykyv

Titik asal baru (2,-4) ; maka P (-6,5)u = x – h v = y – k = -6-2 = 5 – (-4)u = -8 v = 9Koordinat yang baru (-8,9)

2. Diketehui persamaanTentukan persamaan dari grafiknya setelah proses translasi dengan titik asal baru (-5,1).Peny:

maka didapat :

0972404 22 yxyx

kvyhux 15 vyux

Sesuai persamaan diatas :

Persamaan Elips

Melengkapi kuadratbertujuan menghilangkan suku-suku berderajat satu dalam persamaan :

0972404 22 yxyx

09712540154 22 vuvu

44044 2222 vuvu

14

22 v

u

00022 CAFEyDxCyAx

Contoh: 1. Buatlah sebuah translasi yang akan menghilangkan suku-suku berderajat satu. dan gambar grafiknya.Peny:

Translasi: dan

019390894 22 yxyx

019390894 22 yxyx

1

4

5

9

1 22

yx

1xu 5yv

149

22

vu

Kurva berbentuk elips horizontal.

2. Namailah irisan kerucut yang ditunjukkan oleh persaman berikut:

Peny:

Kurvanya adalah parabola yang terbuka ke kanan.

06452 yxy

252 2 xy

6542 xyy

Maka gambar grafiknya:

3. Tulislah persamaan sebuah hiperbola dengan fokus di (1,1) dan (1,11) dan verteks-verteksnya di (1,3) dan (1,9).Peny:Verteksnya (1,3) dan (1,9) maka titik sumbunya (1,6) Pertengahan dari keduanya.maka a= 3 dan c=5 maka

upuuvpuv 5454 22

4

5p

492522 acb

1

16

1

9

6 22

xy

Ringkasan :1.

2.

3.

hxpky 42

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Tugas:1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal

kemudian sketsalah parabola, garis singgung dan garis normal dari pers berikut: dan

2. Tentukan persamaan dari irisan kerucut dan sketsa grafiknya:a) Elips dengan fokus di (6,0) dan eksentrisnya b) Hiperbola dengan fokus di (5,0) dan verteks (4,0)

3. Namailah irisan kerucut yang dipresentasikan oleh persamaan berikut: dan

4. Sketsa grafik dari persamaan-persamaan berikut: dan

8,4,22 yx 3,1,92 xy

3

2

01128844 22 yxyx 012244 22 yxyx

2543 22 yx 2234 yx