INTERFERENSI DAN DIFRAKSIMata Kuliah: Gelombang & Optik Dosen: Andhy Setiawan

A. InterferensiInterferensi gelombang superposisisi. Interferensi terjadi bila gelombanggelombang tersebut koheren, yaitu mempunyai perbedaan fase yang tetap. merupakan sebagai perpaduan akibat dua atau lebih prinsip berlakunya

InterferometerInterferometer merupakan alat untuk menghasilkan

gelombang yang koheren sehingga interferensi bisa terjadi. Jenis Interferometer : 1. Pembelah muka Gelombang 2. Pembelah Amplitudo

A.1 Interferometer Pembelah Muka Gelombang Prinsip Kerja : Dua gelombang yang koheren diperoleh dari sumber yang sama dengan intensitas yang tetap. Contoh : Interferometer Young dua celah Interferometer Biprisma Fresnel Interferometer Young banyak celah

A.2 Interferometer Pembelah Amplitudo Prinsip Kerja : Dua gelombang yang koheren diperoleh dengan membagi intensitas semula , misal dengan lapisan pemantul sebagian

Contoh : Interferometer Michelson Interferometer Fabry Perot

A.1. Interferometer Pembelah Muka Gelombang A.1.1. Percobaan Young

P r1 S1 S2 1

y r2

S2

L Gambar Percobaan Young

Persamaan gelombang cahaya dari S1 dan S2 di titik P pada layar :

E1 r , t ! E0e

i ( kr [t N1 ) 1

E2 r , t ! E0 eSuperposisi di titik P :

i ( kr2 [t N 2 )

E ! E1 E2E r , t ! E0 e

i ( kr1 [t N1 )

e

i ( kr2 [t N 2 )

1 ....

Intesitas :

I } E2

2

I } E0 e i ( kr1 [t N1 ) e i ( kr2 [t N 2 ) e i ( kr1 [t N1 ) e i ( kr2 [t N2 ) 12 i k ( r2 r1 ) N 2 N1

0

? I } E ?e 1 I } E ? e 22 02

A ?

A

e i k ( r2 r1 ) N 2 N1

1 e i ( r2 r1 ) k N 2 N1

A

i k ( r2 r1 ) N 2 N1

A

I } E0 ? 2 cos J A 2

dengan J ! k r2 r1 2 N1 N2 } E0 maka

karena I 0 } E0

2

I ! 2 I 0 ? cos(J )A 1

I ! 2 I 0 ? cos(J )A 1

dengan J ! k r2 r1 N 2 N1 ! k(r (N

J 2 J cos 2 ! 2 cos 1 2 2

k(r (N I ! 4 I 0 cos 2 22

Kedua gelombang dari sumber yang sama

(N ! 0

k(r I ! 4 I 0 cos 2 2

P r1 S1 S d2 1

y r2

S2

(r

L Dari gambar (r

! d sinU ,maka

Karena U

maka sin U $ tan U !2

2T mengingat k ! P

y L

Tdy I ! 4 I 0 cos PL

Tdy I ! 4 I 0 cos PL 2

I akan maksimum jika :

Tdy cos !1 PL 2

Jarak terang ke-n dari pusat

Tdy ! nT PL n ! 0,s1,s2 PL y!n d

I akan minimum jika :

Tdy cos !0 PL 2

Tdy 2n 1 ! T PL 2 n ! 0,s1,s2

2 n 1 P L y! 2 d

jarak antara dua terang / dua gelap berurutanJika :

n!0n !1 n!2

y!0PL y! d 2P L y! d

PL y! 2d 3PL y! 2d 5PL y! 2d

(y ! y1 y0 ! y2 y1

PL (y ! d

jarak gelap ke terang berurutan adalah

(y ! y0 g y0t ! y1t y0 g ! y1g y0t ! .PL (y ! 2d

A.1.2. Interferometer Biprisma Fresnel Interferometer Biprisma Fresnel menggunakan prisma sebagai pembelah muka gelombang. Untuk itu sebelumnya kita harus memahami jalannya sinar pada prisma

c ai1 r1

x i2

y

r2

Gambar Jalannya sinar pada prisma

a = 900 c ai1 r1

r1

;

x i2

y

r2

b = 900- i2 + a+ b = 1800 x= y=i1

- r1 ; i2

r2

c +x +y = 1800

c = 1800 - ( = 1800 - ( = 1800 - (

i1 + i1 +i1

r1

) - ( r2 - i2 ) r2) + ( r1 + i2) ..(*) r2) +

= 1800 - c = 1800 - (1800 - ( i1 + r2) + ) = ( i1 + r2) (**) Persamaan (**) menunujukan persamaan umum sudut deviasi.

Sudut Deviasi Minimum Terjadi bilar1

=

i2

dan

i1

=i1

r2

E U r1 ! 2dengan

E ! 2U r1

r2 r1 i2

H ! i1 U r 2 E UU i1 ! U r 2Gamba 4. Prisma dengan sudut deviasi minimum

H ! 2U i1 E H E Ui1 ! 2

Berdasarkan hukum Snellius :

1SinUi1 ! nSinU r1H E E Sin ! nSin 2 2Selanjutnya untuk yang kecil :

H E nE ! 2 2H ! n 1 ..............(* * *) EPersamaan (***) adalah sudut deviasi minimum

Interferometer Biprisma Fresnel

p

S1

q

d

S

2Hr

S2

R

L

s Layar

H

S ! d ! 2H R

S

d R

2H

R = R

R

Gambar 5. Sudut pada Inteferometer Biprisma Fresnel

PL (y ! d

L p ( R L)

d ! 2H R

Maka :

(y !

P ( R L) 2 RHyang minimum :

karena H

H ! n 1 E

P R L (y ! 2 R n 1 E

A.1.3. Interfereometer Young Banyak Celah

r1 r2 r3 S2 S3 S4 S5d sin U

P

S1

r4 r5

Gambar 6. Interferensi dari N celah

Semakin jauh celah maka semakin besar. Beda fase antara dua gelombang yang masuk ke celah secara berurutan menghasilkan = k.r

r2 ! r1 (r

r3 ! r2 (r ! r1 2(r

rn ! r1 n 1(rFungsi gelombang :

E1 ! E0 e

i kr1 [t

E 2 ! E0 e

i kr2 [t

E n ! E0 e

i krn [t

p E n ! E0 eN

i k r1 n 1(r [t

Fungsi gelombang di titik P merupakan perpaduan gelombang cahaya yang melewati celah 1 sd N, maka:

E ! E0 en !1

i k r1 n 1(r [t

E ! E0 ei k r1 n 1(r [t

n !1

N

Dapat ditulis ulang sebagai :

E ! E0 e

i kr1 [t

en !1N n !1

N

i k n 1(r

(N ! k .(ri n 1(N

E (r , t ) ! E 0 e

i kr1 [t

e

........9)

S Selanjutnya bagian S diekspansikan dalam deret :

en !1

N

i n 1(N

!1 e

i(N

e

i 2 (N

e

i 3 (N

...

Merupakan deret ukur dengan rasio

R!e

i(N

Deret ukur dengan rasio R memiliki jumlah Sehingga :

n !1

N

ei n 1(Ni

eiN(N 1 ! i(N e 1

R 1 SN ! R 1N

!

ei

1 2 N(N 1 2 N(N ei 1 (N 1 (N 2 2

e

i

1

2 N(N

1 N(N 2

e

i 1 (N 1 (N 2 2

N i N (N i (N e 2 e 2 e ! (N (N i i i (2N 2 2 e e e N(N (N N i N 1 sin 2 ei n1(N ! e 2 sin (N n !1 2 N (N 2

ei n1(N ! e n !1

N

i

(N N 1 2

sin N(N 2 sin (N 2

maka persamaan 9 menjadi :

Jika

(N N 1 sin N (N i 2 E r , t ! E0 e i kr1 [t e 2 sin (N 1 2 J ! kr1 N 1(N [t 2 sin N (N 2 E r , t ! E0 eiJ sin (N 2 N sin (N 2 iJ iJ 2 I } E0 e .e (N sin 2 2

Maka :

I} E

2

N sin (N 2 I ! I0 (N sin 2

2

Untuk kasus celah ganda (dua celah) maka N = 2 :

(N (N 2 sin 2 . cos 2 sin (N I ! I0 ! I0 (N (N sin sin 2 2

2

2

(N I ! 4 I 0 cos 2

2

(N ! k(r (r ! d sin U } d tan U p (r ! d (N ! kd y L y L

(N I ! 4 I 0 cos 22

kdy I ! 4 I 0 cos 2L2

Tdy I ! 4 I 0 cos PL2kasus celah ganda

A.2. inferometer Pembelah Ampliudo (Pemecah Berkas) A.2.1. Interferometer Michelson M1

M2

S

C

Gambar Interferometer Michelson

M1 d M1

M2 S C

Kaca planpararel pada interferometer berfungsi untuk menyamakan lintasan optik Pada awalnya:

CM 1 ! CM 2

dan

r1 ! r2

Selanjutanya ketika M1 digeser sebesar d, maka :

CM 1 ' ! CM 1 d

r1 ' ! r1 2d

karena

r1 ! r2

r1 ' ! r2 2dPersamaan gelombangnya :

E1 ! E0e

i ( k ( r1 2 d ) [t )

dan

E2 ! E0e

i ( kr2 [t )

(r ! r1d r1 ! r1d r2

(r ! r1 2d r1(r ! 2d p r1d r1 2d !

E1 ! E0eSuperposisi :

i ( kr1d[t )

! E0 ei ( k r1 2 d [t )

E 2 ! E0 ( eE ! E1 E2

i ( kr2 [t )

E ! E0 ( e

i ( k ( r1 2 d ) [t )

e

i ( kr2 [t )

)

Intensitas :

I } E2

2

I } E0 e i k r1 2 d [t e i ( kr2 [t ) e i k r1 2 d [t e i ( kr2 [t )

I } E0

2

? ?e 1

A ?

A

i k ( r2 r1 2 d )

e i k ( r2 r1 2 d ) 12

Ai k 2 d

karena r2 ! r1 maka2

I } E0 2 e2

?

i k 2 d

e

A

I } E0 ? 2 cos 2kd A 2

karena I 0 } E0

2 } E0 maka

I ! 2 I 0 ? cos(2kd )A 1

I ! 2 I 0 1 2 cos 2 (kd ) 1 I ! 4 I 0 cos 2 (kd )

?

A

I ! 4 I 0 cos kd 2

I akan maksimum jika :

cos 2 kd ! 1

2T kd ! nT p d ! nT P 2d ! nP n ! 0,s1,s2

terang ke-n diperoleh dengan mengeser M1 sebesar

P 2d d !n pP ! 2 nI akan minimum jika :

cos kd ! 02

2n 1 kd ! T 2 n ! 0,s1,s2

4d 2 n 1 d ! P p P ! 2n 1 4

A.2.2. Interferometer Fabry Perot

r 4 t 2 E 0 e i 2 k(rn

r 4tE0r 3tE0C C A E0 dr 2tE0

r 2t 2 E0 eik(rD r

t 2 E0B B r = perbedaan jarak antara dua lintasan berurutan

rtE0tE0

(r ! AB BC CD AB BBd (r ! 2 AB BBd

Gambar 11. Pemantulan ganda pada Interferometer Fabry Perot

segitiga ABC '

d cosU ! ABAC ' AC ' cos U ! AB d

d AB ! cosU

sin U !

AC ' ! d tan U ! CC '

segitiga BB' D BB' sin U ! BD

BB' sin U ! 2CC '

BB' ! 2 sin U .d tan U

2d (r ! 2d tan U sin U (r ! 2 AB BB' cosU 2 1 sin 2 U d d sin U (r ! 2d (r ! 2 cosU cosU cosU

cos 2 U (r ! 2 d cosU

(r ! 2d cosU

N ! k .(r

N ! 2kd cos U

Fungsi Gelombang:

E ! E0t 2 r 2t 2 E0 eikN r 4t 2 E0 ei 2 kN .E ! E0 t 1 r e2

?

2 ikN

r e

4 i 2 kN

A

1 E ! E0t . 1 r 2 eikN2

Deret ukur tak hingga dengan rasio V!

r 2 e ikN

1 Sg ! 1 V2 4

1 Sg ! 1 r 2 eikN1 1 ! r 2 eiN r 2 e iN e ! 1 r 2 iN eiN r 4 ! 1 2r 2 cos N r 4

Intensitas:

I}

E0 t 1 r e

1 r e

2 ikN 2

2 ikN 2

Karena reflektansi maka2 ikN 2

R!r2

2

! 1 2r 2 r 4 2r 2 2r 2 cos N 1 ! r2 2

2r 1 cos N 2

1 r e

1 1 ! R 2 R cos N

1 r e

2 ikN 2

1 1 ! R 2 R cos N

2

N cos N ! 1 2 sin 2 2

1 r e1 r e

2 ikN 2

2 ikN 2

2 N ! R 4 R sin 1 2 4R 2 2 N ! R 1 1 R 2 sin 2 1 2

Sehingga intensitas:

I}

E0 t

2 4

1 r e

2 iN 2

menjadi:

I 0t 4 I! 4R 2 2 N 1 R 1 (1 R) 2 sin 2 1

2 (N I ! I maks 1 F sin 2

F dinamakan sebagai koefisisen finess (kehalusan) Fungsi Airy : menentukan pola interferensi

Pola intensitas pada interferometer Fabry Perot

B. Difraksi Difraksi merupakan gejala pembelokan (penyebaran) gelombang ketika menjalar melalui celah sempit atau tepi tajam suatu Benda. Difraksi terjadi bila ukuran celah lebih kecil dari panjang gelombang yang melaluinya.

Teori yang mendasari gejala difraksi

Prinsip Huygens-Fresnel: Dalam proses perambatan gelombang bebas, setiap titik pada suatu muka gelombang berfungsi sebagai sumber sekunder sferis untuk anak gelombang (wavelet), dengan frekuensi yang sama dengan gelombang primernya.

B.1. Difraksi Fresnel dan Difraksi FraunhoferMenurut prinsip Huygens-Fresnel titik A dan B pada tepi celah, merupakan sumber sekunder dengan fase yang sama. Efek difraksi diamati pada sutu titik P pada arah terhadap sumbu celah. Difraksi Fresnel: jika titik P dan sumber gelombang datang tidak begitu jauh dari celah, sehingga gelombang datang tidak dapat dianggap sebagai gelombang datar. Difraksi Fraunhofer: jika titik P dan sumber gelombang datang cukup jauh dari celah, sehingga gelombang datang dapat dianggap sebagai gelombang datar.

Gambar gejala difraksi dari suatu gelombang datar yang menjalar melalui suatu celah.

Difraksi Celah Tunggal: Difraksi Fraunhofer

gelombang datang berupa gelombang datar jartak titik P ke celah, jauh lebih besar dari lebar celah, r >> d .

Difraksi gelombang datang berupa gelombang datar

Titik-titik pada celah antara A dan B, dapat dipandang sebagai sumbersumber gelombang sekunder. Jadi Pola difraksi celah ini, dapat didekati sebagai pola interferensi sistim banyak celah sempit, masing-masing berjarak a.

Apabila fungsi gelombang yang berasal dari celah sempit pertama (celah sempit paling atas dititk A) adalah: Misalkan:

E1 ! E0 e i[t

En ! E0 e i [t k n 1a sin U Sehingga di titik P akan terjadi superposisi dari

E1 , E 2 , E 3 ,..., E nN n !1

E ! E1 E2 E3 ... En ! Enn !1

n

E ! E0 e i[t eika n 1sin U i [t 2 ka sin U

E ! E0 e

i [t

E0e

i [t ka sin U

E0 e

... E0 e

i [t k N 1a sin U

E ! E0 e i[t 1 eika sin U e 2ia sin U ... eika N 1sin Uderet ukur dengan rasio

r!eika sin U

r 1 e 1 SN ! ! ika sin U r 1 e 1n ikaN sin U

e SN !

ika

N sin U 2

e

ika

N sin U 2

e

ika

N sin U 2

N 2i sin ka 2 sin U ka 2i sin 2 sin U

e

i ka sin U i ka sin U ka e 2 i sin U e 2 2

SN ! e

i

ka N 1sin U 2

N sin ka sin U ka i N 1sin U 2 2 !e ka sin sin U 2

Maka persamaan ..1 berubah menjadi:

i ka N 1sin U E ! E 0 e i[t e 2

N sin ka 2 sin U ka sin sin U 2

1 sin kaN sin U 1 i[t ika N 1sin U 2 2 E ! E0 e 1 sin 2 ka sin U

misalnya

N 1a ! b N 1a $ Na ! b 1 sin kb sin U 1 i[t ikb sin U 2 2 E ! E0 e N 1 N sin 2 ka sin U

Kemudian bila jumlah sempit N diperbanyak sehingga menuju tak hingga, maka

karena

1 1 sin ka sin U } ka sin U 2 2

1 sin kb sin U 1 i[t ikb sin U 2 2 N E ! E0 e 1 kb sin U 2

1 sin kb sin U 1 i[t ikb sin U 2 2 E ! E0 e N 1 kb sin U 2 misal

r!

1 b sin U 2

E ! E0 e

i[t ikr

?sin kr A kr N

Jika

F ! kr ! 1 kb sin U 2

Maka :

E ! E0 e

i [ t F

sin F F N

E ! E0 e

i [t kr

sin F F N

Superposisi gelombang di titik P

Maka pola difraksinya dapat diperoleh melalui Intensitas gelombang dititik P

sin F 2 I ! I0 N F Untuk = 0 diperoleh pucak intensitas maksimum sebesar

2

I0 ,

jadi intensitas maksimum terletak pada arah sumbu celah

Pola difraksi celah tunggal

I0

Untuk bukaan (aperture) yang tidak berbentuk celah, misalnya bebentuk lingkaran dengan jari-jari R, maka :

x P

T TT r ! r0 .R

r0R

NR0

U

z

y

T r0 ! sin U ,0. cos U T R ! R cos N , R sin N ,.0 TT r0 R ! R cos N sin U

E0 i kR cosN sin U [t dE ! e RdRdU 2 TR dS ! RdRdU d 2T 2 E0 i[t 1 ikR sin U cosN E! 2 e dN RdR e 2T 0 0 R Misal :

V ! kR sin UdV ! k sin UdR

V R! k sin U

dV dR ! k sin UVdV RdR ! 2 k sinU

Subtitusikan ke persamaan 1 akan diperoleh persamaand 2T 2 E0 i[t 1 iV cosN E! 2 e e dN RdR R 2T 0 0

2 E 0 i [t 1 E! 2 e R 2T

kd sin U 2T

0

iV cosN VdV kd sin U 2T iV cosN 2 E 0 i[ t 1 1 e dN 2 E! k sin U R 2 e 2T k sin U 2 0 0 e dN VdV 0kd sin U

2 E0 i[t 1 E! 2 e R k sin U 2J 0 V ! 1 2T2T

VJ (V )dV0 0

Dengan menggunakan fungsi Bessel

e iV cos N dN 0

V d ! kd sin U1 J 1 V ! e i N V cos N dN 2T 02T

2 E 0 i[t 1 E! 2 e 2 R k sin U u ! Rk sin Uu d

dk sin U

VJ V dV0 0

1 E ! 2 E0 e i[ t Rk sin U 2 1 E ! 2 E0 2 e i[t u kd sin U

kd sin U

J V VdV0 0

J u !

J 0 u dV0

J V udV0 0

E ! 2 E0 e

i[t

J u uadalah2

1 i[t E ! 2 E0 e J u u

Intensitas pada arah

2 J u I ! I0 u

Kisi Difraksi Kisi Difraksi merupakan sistem N buah celah, dengan lebar celah yang teratur. Diraksi oleh kisi seferti ini akan menghasilkan pola difraksi tunggal tak sempit dengan pola interferensi N buah sumber yang sinkron. r0 P

b a

r

n 1a sin U Gambar 6.13 Diraksi oleh N buah celah

Gambar 6.13 memperlihatkan difraksi oleh sebuah kisi, lebar celah dan jarak antara celah masing-masing b dan a. Bila kisi ini disinari cahaya monokromatik, osilasi listrik di titik P yang ditimbulkan oleh celah ke nomor ke n adalah:

E n ! E0 eDimana

i kr u [t

sin F F

(r ! r ro r ! (r ro (r ! ( n 1) a sin U r ! ro ( n 1) a sin U ro !Jarak tepi celah pertama sampai ke titik P

E ! E1 E 2 E3 ... E nE !

Yang memberikan hasil:

En !1

N

n

(U )

sin F i ( k ( r ( n1) a sinU u [t ) sin F i ( k ( r a sinU u [t ) sin F i ( kro 0u [t ) E01 E01 E ! E01 e e e F F F o o

sin F i ( u [t ) ikro ika sin U i ( n 1) ka sin U E ! E 01 e 1 e ... e e F

?

A ..

1

Dengan

e ika sin .2

r n 1 e ikaN sin U 1 S! ! ika sin U r 1 e 1

e S!

ika

N sin U 2

N ika sin U ika N sin U e 2 e 2

eE !e

i ka sin U i ka sin U ka e 2 i sin U e 2 2

1 i N 1sin U 2

1 sin kaN sin U 2 1 sin ka sin U 2

Untuk lebar celah sempit a mendekati nol. Maka Maka : a 0 =b kecil

N 1a ! Na ! bE ! E01ei kro u [t

sin F 1 i sin U F e2

1 Nkb sin U sin 2 1 U N sin kb sin 2

Karena

1 1 sin ka sin U } ka sin U 2 2i kro u [t

E ! E01e

sin F 1 i sin U F e2

1 Nkb sin U sin 2 1 kb sin U N sin 2

misal

H ! kb sin U

NH sin sin F 2 i ( kH [t ) E ! E 01 ..2 F e H N sin 2 sehingga2 sin F I ! NE o1 F 2

NH sin 2 H N sin 2 2

2

sin F I ! I0 F

NH sin 2 H N sin 2

2

Intensitas maksimum utama (primer) dicapai bilaH ! mT 2 dengan m bilangan bulat

H ! mT 2 1 kb sin U ! mT 2 2 mT sin U ! kb 2 mT sin U ! 2Tb P mP sin U ! b

Maksimum tambahan (sekunder) dicapai apabila

NH (2m 1) ! T 2 2

dengan

m ! s1,s2

1 (2m 1)T kNb sin U ! 2 2 (2m 1)T sin U ! NbMinimum (titik nol) terjadi bila

NH ! mT 2

dengan

m ! s1,s2

1 kNb sin U ! mT 2 mP sin U ! Nb

Apabila cahaya yang datang terdiri dari dua panjang gelombang yang berbeda, maka kedudukan maksimum utama dari kedua panjang gelombang tersebut pada orde m yang sama akan terpisah bila

(P a cos U P (U ! aN cos U atau (U ! m P (P ! m a cos U aN cos U P ! Nm (PBesaran ini sering dinyatakan dengan daya pisah (DP) jadi

P DP ! ! Nm (P