INTEGRASI: Integrasi berasal dari bahasa inggris "integration" yang berarti kesempurnaan atau keseluruhan. integrasi sosial dimaknai sebagai proses penyesuaian di antara unsur-unsur yang saling berbeda dalam kehidupan masyarakat sehingga menghasilkan pola kehidupan masyarakat yang memilki keserasian fungsi. Definisi lain mengenai integrasi adalah suatu keadaan di mana kelompok-kelompok etnik beradaptasi dan bersikap komformitas terhadap kebudayaan mayoritas masyarakat, namun masih tetap mempertahankan kebudayaan mereka masing-masing. Integrasi memiliki 2 pengertian, yaitu : Pengendalian terhadap konflik dan penyimpangan sosial dalam suatu sistem sosial tertentu Membuat suatu keseluruhan dan menyatukan unsur-unsur tertentu Sedangkan yang disebut integrasi sosial adalah jika yang dikendalikan, disatukan, atau dikaitkan satu sama lain itu adalah unsur-unsur sosial atau kemasyarakatan. Suatu integrasi sosial di perlukan agar masyarakat tidak bubar meskipun menghadapi berbagai tantangan, baik merupa tantangan fisik maupun konflik yang terjadi secara sosial budaya. Menurut pandangan para penganut fungsionalisme struktur sistem sosial senantiasa terintegrasi di atas dua landasan berikut : Suatu masyarakat senantiasa terintegrasi di atas tumbuhnya konsensus (kesepakatan) di antara sebagian besar anggota masyarakat tentang nilai-nilai kemasyarakatan yang bersifat fundamental (mendasar) Masyarakat terintegrasi karena berbagai anggota masyarakat sekaligus menjadi anggota dari berbagai kesatuan sosial (cross-cutting affiliation). Setiap konflik yang terjadi di antara kesatuan sosial dengan kesatuan sosial lainnya akan segera dinetralkan oleh adanya loyalitas ganda (cross-cutting loyalities) dari anggota masyarakat terhadap berbagai kesatuan sosial. Penganut konflik berpendapat bahwa masyarakat terintegtrasi atas paksaan dan karena adanya saling ketergantungan di antara berbagai kelompok. Integrasi sosial akan terbentuk apabila sebagian besar masyarakat memiliki kesepakatan tentang batas-batas teritorial, nilai-nilai, norma-norma, dan pranata-pranata sosial 1. Pengertian Integral Kalkulus Integrasi merupakan konsep penting dalam matematika dan, bersama dengan inversenya, diferensiasi , adalah salah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus . Mengingat fungsi f dari nyata variabel x dan sebuah selang [a, b] dari garis nyata , integral tertentu didefinisikan secara informal menjadi daerah daerah dalam bidang xy yang dibatasi oleh grafik dari f, sumbu x, dan garis-garis vertikal x = a danx = b, sehingga daerah di atas sumbu menambah total, dan daerah di bawah sumbu x mengurangi dari total. Integral panjang juga dapat merujuk kepada gagasan antiturunan , sebuah fungsi F yang derivatif adalah fungsi f yang diberikan. Dalam hal ini, hal itu disebut integral tak tentu dan ditulis: Integral dibahas dalam artikel ini disebut integral tertentu. Prinsip-prinsip integrasi dirumuskan secara independen oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz di abad ke-17. Melalui teorema dasar kalkulus, yang mereka dikembangkan sendiri, integrasi terhubung dengan diferensiasi : jika f adalah fungsi bernilai real yang kontinu didefinisikan padainterval tertutup [a, b], maka, sekali F antiturunan dari f diketahui, integral tertentu dari f lebih interval yang diberikan oleh Integral dan turunan menjadi alat dasar kalkulus, dengan berbagai aplikasi dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa . Para pendiri kalkulus memikirkan terpisahkan sebagai jumlah tak terbatas persegi panjang dari sangat kecil lebar. Definisi matematis ketat integral diberikan oleh Bernhard Riemann . Hal ini didasarkan pada prosedur yang membatasi yang mendekati luas sebuah lengkung wilayah dengan memecah wilayah tersebut menjadi lembaran tipis vertikal. Dimulai pada abad kesembilan belas, gagasan yang lebih canggih integral mulai muncul, di mana jenis dari fungsi serta domain dimana integrasi dilakukan telah digeneralisir. Sebuah garis integral didefinisikan untuk fungsi dua atau tiga variabel, dan interval integrasi [a, b] digantikan oleh beberapa kurva yang menghubungkan dua titik pada pesawat atau di ruang. Dalam integral permukaan , kurva digantikan oleh sepotong dari permukaandalam ruang tiga dimensi. Integral dari bentuk diferensial memainkan peranan penting dalam modern geometri diferensial . Ini generalisasi integral pertama muncul dari kebutuhan fisika , dan mereka memainkan peran penting dalam perumusan hukum-hukum fisika banyak, terutama yang darielektrodinamika . Ada konsep modern integrasi, antara ini, yang paling umum didasarkan pada teori matematika abstrak yang dikenal sebagai integrasi Lebesgue , yang dikembangkan oleh Henri Lebesgue . 2. Aturan Trapesium Trapesium adalah persegi panjang yang ditambah segitiga di salah satu sisinya. Segitigainiberfungsisebagaipengisicelahkosongyangdisisakankalaukita memakai persegi panjang saja. Dengan begini, luas yang dicari lebih mendekati lagi. LuastrapesiumsudahkitapelajaridiSDkelasV.Rumusnyatentusajajumlah luaspersegiempatdanluassegitiga.Trapesiumadaduajenis,trapesium denganduasisisegitigadantrapesiumdengansatusisisegitiga.Tentuyang dipakaidalamintegraladalahtrapesiumdengansatusisisaja.Walaubegitu, rumusluasnyasamasaja.Rumusluastrapesiumadalahjumlahpanjangsisi atasditambahpanjangsisibawah,laludibagidua(supayadapatrata-rata)dan kemudiandikalikandengantingginya.Agarlebihjelaslihatgambardanrumus berikut: Luasdaerahdibawahkurvasendirimerupakanluas-luastrapesiumyang didirikanpadasisiyangtidakbersegitiga.Sepertipagarbegitu.Kalaudari gambardiatas,kitaputardia90derajatsehinggabagiantingginya,menjadi bagian alas. Atau h = delta x. Sementara bagian alas dan atas (p dan q) menjadi sisi tegak, yi. Rumusluasdaerahdibawahkurvadenganaturantrapesiummenjadijumlah luas trapesium yang dipakai. Yaitu Jikajumlahtrapesiumnyaadasebanyak n buah,makaluasdaerahdibawah kurva yang lebih praktis adalah: kita coba dengan contoh soal di awal. Kembali soalnya disini Pertamakitaharustentukanberapabanyaktrapesiumyanginginkitapakai. Anggap saja ada lima trapesium. (n=5) Sekarang kita cari deltax.Caranya dengan mengurangibatas atas dan bawah, kemudian membaginya dengan jumlah trapesium. Dalam soal ini, batas atas (b) adalah 1, dan batas bawah (a) adalah nol. Jadi Nah, ini berarti x untuk tiap sisi tegak adalah 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 dan 1.0. Semua melompat 0.2 sesuai delta x yang sudah kita cari. Selanjutnyakitacaritinggitiapsisitegaktrapesium.Karenanyasisitegaknya adaenam.Ingattrapesiumpertamamemerlukanduasisi,yaituy0 dany1. Y0 berartimemakaix=0,y1 berartimemakaix=0.2,y2memakaix=0.4terus sesuaipembagianyangsudahkitalakukan.Mencariysendiriberarti memasukkan nilai x kedalam rumus yang ingin kita cari integralnya, yaitu Jadi luasnya ? Jadi?1.150 3. Aturan Simpson 1/3 ThomasSimpsonmengembangkanmetodeyanglebihbaiklagi,yangdisebut aturanSimpson.Kalaudalam aturantrapesium dansegiempatkita menggunakangarislurusdipuncakpotongankurva,makaaturanSimpson memakai parabola. Dengan menggunakan parabola, luas tiap potongan dalam aturan Simpson adalah : Dalam aturan Simpson, daerah di bawah kurva yang dipotong harus berjumlah genap. Sekarang kita coba menggunakan aturan Simpson untuk mencari integral berikut dengan jumlah potongan n=4 Pertama, cari delta-x yaitu rentang tiap potongan di sumbu x. Caranya sama dengan aturan Trapesium, cari selisih batas atas dan batas bawah, lalu bagi dengan jumlah potongan ?x = (3 2)/4 = 0.25 Sudah ketemu, berarti kita dapat potongannya 2, 2.25, 2.50, 2.75 dan 3. Masukkan ke persamaan fungsi y0 = f(a) = f(2) = 1/(2 + 1) = 0.3333333 y1 = f(a + ?x) = f(2.25) = 1/(2.25+1) = 0.3076923 y2 = f(a + 2?x) = f(2.5) = 1/(2.5+1) = 0.2857142 y3 = f(a + 3?x) = f(2.75) = 1/(2.75+1) = 0.2666667 y4 = f(b) = f(3) = 1/(3+1) = 0.25 ketemu semua nilai y, masukkan ke rumus luas Jawaban sesungguhnya dari soal ini adalah 0.287682 jadi aturan Simpson memiliki kesalahan hanya 0.00036 %. Teliti banget kan? 4. Integrasi Romberg MetodeintegrasiRombergdidasarkanpadaperluasanekstrapolasiRichardson,untuk memperolehnilaiintegralyangsemakinbaik,perludiketahuibahwasetiappenerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan orde galat pada hasil solusinya sebesar dua. (

) (

) Misalnya, bila I(h)dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium yang berorde galat (

), makaekstrapolasiRichardsonmenghasilkankaidahsimpson

yangberorde(

), selanjutnyaI(h)danI(2h)dihitungdengankaidahsimpson

,ekstrapolasiRichardson menghasilkankaidahBoole,yangberordegalat(

),tinjaukembalipersmaanekstrapolasi Richardson: () () ()

Misalkan I adalah nilai integral sejati yang dinyatakan sebagai

Yang dalam hal ini,

=perkiraan nilai integral dengan kaidah trapesium dan jumlah segmen

. Orde galat

adalah (

). Sebagai contoh, selang [a,b] dibagi menjadi 64 segmen:

() k=0 artinya,

segmen

(

) k=1 artinya,

segmen

(

) k=2 artinya,

segmen

(

) k=3artinya,

segmen

(

) : : dst k=6 artinya,

segmen

(

) Arti dari setiap

adalah sebagai berikut:

=adalahtaksirannilaiintegral ()

denganmenggunakankaidahtrapesiumdan pembagian daerah integrasi menjadi

buah segmen

=adalahtaksirannilaiintegral ()

denganmenggunakankaidahtrapesiumdan pembagian daerah integrasi menjadi

buah segmen

=adalahtaksirannilaiintegral ()

denganmenggunakankaidahtrapesiumdan pembagian daerah integrasi menjadi

buah segmen. ....dst

=adalahtaksirannilaiintegral ()

denganmenggunakankaidahtrapesiumdan pembagian daerah integrasi menjadi

buah segmen.Tiga

pertama dilukiskan olrh gambar dibawah ini. Gambar 6.13:Luas daerah A0 , A1, A2 ,., dengan jumlah pias masing masing n = 1, n = 2, n = 4, . Gunakan

padapersamaanekstrapolasiRichardsonuntukmendapatkanruntutan

yaitu:

Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah

dengan orde galat

adalah (

) SelanjutnyaGunakan

padapersamaanekstrapolasiRichardsonuntukmendapatkan runtutan

yaitu:

JadinilaiIyanglebihbaiksekarangadalah

denganordegalat

adalah (

) SelanjutnyaGunakan

padapersamaanekstrapolasiRichardsonuntukmendapatkan runtutan

yaitu:

JadinilaiIyanglebihbaiksekarangadalah

denganordegalat

adalah (

). y = f (x) a b x y y = f (x) a b x y y = f (x) a b x y Demikianseterusnya.DariruntunantersebutdiperolehtabelyangdisebuttabelRomberg, sebagai berikut: (

)(

)(

)(

)(

) (

) (

)

Nilai integerasi Yang lebih baik Contoh: Hitung integral

dengan metode Romberg (n=8). Gunakan lima angka penting.Jawab: Jika jarak titik,()

Tabel titik-titik didalam selang [0,1] dengan h=0,125: r

001,0000 10,1250,88889 20,2500,80000 30,3750,72727 40,5000,66667 50,6250,61538 60,7500,57143 70,8750,53333 81,0000,50000

[

]

( )

[

]

()

=

() () () =0,89702

() () ()=0,69412

(

berorde 2, jadi q=2)

(Bk berorde 4, jadi q=4)

(Ck berorde 6, jadi q=6) -Tabel Romberg: K(

)(

)(

)(

) 0 1 2 3 0.75000 0.70833 0.69702 0.69412 0.69445 0.69325 0.69315 0.69317 0.69314 0.69314 Jadi,

Bandingkan dengan solusi sejati

. 5. Aturan Gauss-Quadrature Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik-titik data diskrit,dengan batasan : -H sama ( h = b-a ) -Luas dihitung dari a sampai b Maka mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Misalkan menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang[-1,1] ( )2) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (2) (11= + ~ + ~ = }hf f f fhdx x f I Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) ) ( ) ( ) (2 2 1 111x f c x f c dx x f I + ~ = } Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1menjadi m. trapezoida Karenax1,x2,,c1danc2sembarangmakakitaharusmemilihnilaitersebutsehinggaerror integrasinya min. Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 Bagaimana mencari x1,x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 03202 1113 32 231 1112 22 221 1112 2 1 1112 1= = += = += = += = +}}}}dx x x c x cdx x x c x cdx x x c x cdx c c ) ( ) ( ) (2 2 1 111x f c x f c dx x f I + ~ = } Didapat ) ( ) ( ) (2 2 1 111x f c x f c dx x f I + ~ = } Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik )31( )31( ) (11+ =}f f dx x fTransformasikan Dari Persamaan Satu Ke Persamaan Satunya }=baidx x f L ) (}=11) ( du u g Li Range [a,b] = [-1,1]X = u f(x) = g(u)dx = dudua bdxu a b b axau bu b axa a b u xa b u a xua ba x|.|

\| = + += + +=+ + + =+ + = +=22) ( ) (22 ) )( 1 ( 2) )( 1 ( 2 221 }=11) ( du u g Li ( ) ) ( ) ( ) (21) (2121a b u a b f a b u g + + =duu a b b af a b du u g} } |.|

\| + + =11112) ( ) () (21) (AnalisaperbandinganantarametodeNewton-Cotes(Trapezoida,Simpson1/3,3/8)dengan metodeGauss-Legendre2titiklebihsederhanadanefisiendalamoperasiaritmatika,karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi}11) ( du u gAlgoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik Definisikan fungsi f(x)Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)Hitung nilai konversi variabel :( ) ) (2121a b u a b x + + =Tentukan fungsi g(u) dengan:( ) ) ( ) ( ) (21) (2121a b u a b f a b u g + + =Hitung|.|

\|+ |.|

\| =3131g g LContoh Soal Metode Gauss Legendre 3 Titik ) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 111x f c x f c x f c dx x f I + + ~ = } Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapatdicari dengan membuatpenalaran bahwakuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :5 4 32) ( ; ) ( ; ) () ( ; ) ( ; 1 ) (x x f x x f x x fx x f x x f x f= = == = = Dengan cara yang sama didapat5 3 ; 0 ; 5 395;98;953 2 13 2 1= = == = =x x xc c c ( )||.|

\|+ +||.|

\| =}53950985395) (11g g g du u gAlgoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

6. Integrasi Data Diskrit