integral parsial.pdf

Pengintegralan Parsial

Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Jember

18 Maret 2014

Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

1 Pengintegralan Parsial

2 Pengintegralan Parsial Berulang

3 Rumus Reduksi

Pengintegralan ParsialPengitegralan Parsial Berulang

Rumus Reduksiemail : [email protected]

Misalkan u = u(x) dan v = v(x) merupakan dua fungsi, makaDx [uv ] = u′v + uv ′

uv =∫

u′v dx +∫

uv ′ dx∫uv ′ dx = uv −

∫u′v dx atau∫

u dv = uv −∫

Contoh

Tentukan∫

x cos x dx

Misalkan u = u(x) dan v = v(x) merupakan dua fungsi, makaDx [uv ] = u′v + uv ′

uv =∫

u′v dx +∫

uv ′ dx∫uv ′ dx = uv −

∫u′v dx atau∫

u dv = uv −∫

Contoh

Tentukan∫

x cos x dx

Memilih u dan dv yang tepat∫x cos x dx

Misal:u = x maka du = dxdv = cos x dx maka v = sin x∫

u dv = uv −∫

v du∫x cos x dx = x sin x −

∫sin x dx

= x sin x + cos x + C∫x cos x dx

Misal:u = cos x maka du = − sin x dxdv = x dx maka v = x2

2∫u dv = uv −

∫v du∫

x cos x dx = cos x x2

2 −∫ x2

2 (− sin x dx)

Memilih u dan dv yang tepat∫x cos x dx

Misal:u = x maka du = dxdv = cos x dx maka v = sin x∫

u dv = uv −∫

v du∫x cos x dx = x sin x −

∫sin x dx

= x sin x + cos x + C∫x cos x dx

Misal:u = cos x maka du = − sin x dxdv = x dx maka v = x2

2∫u dv = uv −

∫v du∫

x cos x dx = cos x x2

2 −∫ x2

2 (− sin x dx)

Contoh 1

Tentukan∫

ln x dx

Misal:u = ln x maka du = 1

x dxdv = dx maka v = x∫

u dv = uv −∫

v du∫ln x dx = x ln x −

∫x 1

x dx= x ln x − x= x(ln x − 1)

Contoh 1

Tentukan∫

ln x dx

Misal:u = ln x maka du = 1

x dxdv = dx maka v = x∫

u dv = uv −∫

v du∫ln x dx = x ln x −

∫x 1

x dx= x ln x − x= x(ln x − 1)

Contoh 2

Tentukan∫

arcsin x dx

Misal:u = arcsin x maka du = 1√

1−x2dx

dv = dx maka v = x∫u dv = uv −

∫v du∫

sin−1x dx = xsin−1x −∫

x 1√1−x2

= xsin−1x + 12

∫(1− x2)

− 12 d(1− x2)

= xsin−1x + 12 .2(1− x2)

12 + C

= xsin−1x +√

1− x2 + CAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Contoh 2

Tentukan∫

arcsin x dx

Misal:u = arcsin x maka du = 1√

1−x2dx

dv = dx maka v = x∫u dv = uv −

∫v du∫

sin−1x dx = xsin−1x −∫

x 1√1−x2

= xsin−1x + 12

∫(1− x2)

− 12 d(1− x2)

= xsin−1x + 12 .2(1− x2)

12 + C

= xsin−1x +√

1− x2 + CAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Pengintegralan Parsial Berulang

Hitunglah∫

x2 sin x dxMisal:u = x2 maka du = 2x dxdv = sin x dx maka v = − cos x∫

x2 sin x dx = −x2 cos x + 2∫

x cos x dxlihat perhitungan sebelumnya∫

x cos x dx=x sin x + cos x + Csehingga∫

x2 sin x dx = −x2 cos x + 2[x sin x + cos x + C]= −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K

Lanjutan... memilih u dan dv yang tepat

∫x2 sin x dx = −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K∫

x cos x dx = (cos x)x2

2 −∫ x2

2 (− sin x dx )

= (cos x)x2

2 + 12

∫x2 sin x dx

= (cos x)x2

2 + 12 [−x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + K ]

= x sin x + cos x + C

Contoh 3

Tentukan∫

ex sin x dx

Misal:u = ex maka du = ex dxdv = sin x dx maka v = − cos x∫

ex sin x dx = −ex cos x +∫

ex cos x dxu = ex maka du = ex dxdv = cos x dx maka v = sin x∫

ex cos x dx = ex sin x −∫

ex sin x dxJadi

∫ex sin x dx = −ex cos x + ex sin x −

∫ex sin x dx

= −12ex [cos x − sin x ] + K

Contoh 3

Tentukan∫

ex sin x dx

Misal:u = ex maka du = ex dxdv = sin x dx maka v = − cos x∫

ex sin x dx = −ex cos x +∫

ex cos x dxu = ex maka du = ex dxdv = cos x dx maka v = sin x∫

ex cos x dx = ex sin x −∫

ex sin x dxJadi

∫ex sin x dx = −ex cos x + ex sin x −

∫ex sin x dx

= −12ex [cos x − sin x ] + K

Rumus Reduksi

∫f n(x)dx = g(x) +

∫f k (x)dx

dengan k < n, pangkat dari f berkurang, sehingga bisadiselesaikan menggunakan pengintegralan parsial.

Contoh 4

Dengan menggunakan rumus reduksi, tentukan∫

sinnx dx

Rumus Reduksi

∫f n(x)dx = g(x) +

∫f k (x)dx

dengan k < n, pangkat dari f berkurang, sehingga bisadiselesaikan menggunakan pengintegralan parsial.

Contoh 4

Dengan menggunakan rumus reduksi, tentukan∫

sinnx dx

Rumus Reduksi

Ubah menjadi∫

sinnx dx=∫

sinn−1x sin x dxMisalkan:u = sinn−1x maka du = (n − 1) sin(n−2) x cos x dxdv = sin x dx maka v = − cos xsehingga∫

sinnx dx = −sinn−1x cos x + (n − 1)∫

sin(n−2) x cos2 x dx= −sinn−1x cos x + (n − 1)

∫sin(n−2) x(1− sin2 x) dx

= −sinn−1x cos x + (n − 1)∫

sin(n−2) x − (n − 1)∫

sinn x dxpindah ruas1 +(n−1)

∫sinn x dx = −sinn−1x cos x +(n−1)

∫sin(n−2) x dx

sehingga diperoleh,∫sinnx dx = − sinn−1 x cos x

n + n−1n

∫sinn−2 x dx

Rumus Reduksi

Contoh 5

Gunakan rumus reduksi untuk menghitung∫ π

20 sin8 x dx

Jawab∫ π2

0 sin8 x dx = (− sinn−1 x cos xn )

π20 + n−1

∫ π2

0 sinn−2 x dx∫ π2

0 sin8 x dx = [− sin7 x cos x8 ]

π20 + 7

∫ π2

0 sin6 x dx

= 0 + 78 [(− sin5 x cos x

6 )π20 + 5

∫ π2

0 sin4 x dx ]

= 78 .5

6 [(− sin3 x cos x4 )

π20 + 3

∫ π2

0 sin2 x dx ]

= 78 .5

6 .34 [(− sin x cos x

2 )π20 + 1

∫ π2

0 sin0 x dx ]

Jadi∫ π

20 sin8 xdx = 7

8 .56 .3

4 .12 [

∫ π2

0 1 dx ]

= 78 .5

6 .34 .1

2 .π2 = 35

Rumus Reduksi

Contoh 5

Gunakan rumus reduksi untuk menghitung∫ π

20 sin8 x dx

Jawab∫ π2

0 sin8 x dx = (− sinn−1 x cos xn )

π20 + n−1

∫ π2

0 sinn−2 x dx∫ π2

0 sin8 x dx = [− sin7 x cos x8 ]

π20 + 7

∫ π2

0 sin6 x dx

= 0 + 78 [(− sin5 x cos x

6 )π20 + 5

∫ π2

0 sin4 x dx ]

= 78 .5

6 [(− sin3 x cos x4 )

π20 + 3

∫ π2

0 sin2 x dx ]

= 78 .5

6 .34 [(− sin x cos x

2 )π20 + 1

∫ π2

0 sin0 x dx ]

Jadi∫ π

20 sin8 xdx = 7

8 .56 .3

4 .12 [

∫ π2

0 1 dx ]

= 78 .5

6 .34 .1

2 .π2 = 35

Latihan Soal

1 Buktikan!∫

cosn xdx = cosn−1 x sin xn + n−1

∫cosn−2 x dx

2 Hitunglah∫

sin7 x dxDengan Pengintegralan parsial, selesaikan integraldibawah ini

x sin 3x dx4

∫ √x ln x dx

x2ex dx

Latihan Soal

1 Buktikan!∫

∫cosn−2 x dx

2 Hitunglah∫

x sin 3x dx4

∫ √x ln x dx

x2ex dx

Latihan Soal

1 Buktikan!∫

∫cosn−2 x dx

2 Hitunglah∫

x sin 3x dx4

∫ √x ln x dx

x2ex dx

Latihan Soal

1 Buktikan!∫

∫cosn−2 x dx

2 Hitunglah∫

x sin 3x dx4

∫ √x ln x dx

x2ex dx

Latihan Soal

1 Buktikan!∫

∫cosn−2 x dx

2 Hitunglah∫

x sin 3x dx4

∫ √x ln x dx

x2ex dx

Latihan Soal

1 Buktikan!∫

∫cosn−2 x dx

2 Hitunglah∫

x sin 3x dx4

∫ √x ln x dx

x2ex dx

integral parsial.pdf

Documents

Transcript of integral parsial.pdf