Integral Lipat-Dua atas Persegipanjang Disusun oleh:1. Andi Nata (070405002) 2. Ratih Primadony S. (070405042) 3. Evert (110405046) 4. Fransiscus Raymond B. (110405047) 5. Atikah Risyad (110405048) 6. Hermansyah Citra (110405049) 7. Oktris Novali Gusti (110405050) Yang akan dipelajari Penggambaran grafik 3 dimensi dengan menggunakan integral Riemann Menghitung volume dengan menggunakan metode Riemann 2.1Integral Lipat Dua pada Persegi Panjang Telaah Ulang Integral Tentu Misalkan fterdefinisi pada selang [a,b].Bagi [a,b] menjadi n selang bagian[xi-1, xi]dengan lebarAx = (b a)/ndan pilih titik sampel *1[ , ].i i ix x xe Bentuk jumlah Riemann *1( )niif x x=Amaka integral tentu fdari a ke b diberikan oleh *1( ) lim ( ) .nbia nif x dx f x x== A} ( ) 0, f x > Jika jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, dan ( )baf x dx}menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b. 0 a1x2x1 ix ix1 nx bxy*1x*2x*ix*nx*( )if x( ) y f x =Gambar 1 Volume dan Integral Lipat Dua Misalkan ffungsi dua peubah pada segiempat tertutup { }2[ , ] [ , ] ( , ) ; , R a b c d x y a x b c y d = = e s s s sMisal( , ) 0, f x y > grafik f adalah permukaanz = f(x,y).Misalkan S adalah benda padat yang terletak di atas R dan di bawah grafik f Bagaimana mencari volume S ? b a c d x y o z z = f(x,y) R Gambar 2 Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapa segiempat bagian. Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui titik ujung interval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat bagian 1 1[ , ] [ , ]ij i i j jR x x y y = masing-masing dengan luas AA = Ax Ay.ax1 x2 xi-1 xi b Ax 0 c y1 yj-1 yj Ay d y x - - - - ---- - - -- - --- - - -- - - - - -- - - - - - -- --- -- -- -- - -- - --- - - -- -- - - -- - - - - - --- - - - Rij * *( , )ij ijx y( , )i jx yGambar 3 Jika dipilih titik sampel * *( , )ij ijx ydalam setiap Rij, maka bagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh kotak segi- empat dengan alas Rij dan tinggi * *( , )ij ijf x y . Volume kotak ini adalah* *( , ) .ij ijf x y A AJika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat dan menambahkan volume kotak yang berkaitan, diperoleh hampiran terhadap volume total S ;* *1 1( , )m nij iji jV f x y A= == A1 b a c d x y o z Gambar 4 Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m dan n besar, sehinga diharapkan * *,1 1lim ( , )m nij ijm ni jV f x y A= == A2 Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda padat S yang terletak di bawah grafik f dan di atas segiempat R. CONTOH 1 Taksirlah volume benda padat yang terletak di atas bujur dan di bawah paraboloida elipssangkar [0, 2] [0, 2] R = 2 216 2 . z x y = Bagilah R menjadi empat bujur sangkar yang sama dan pilih titik sampel berupa pojok kanan atasdari setiap bujur sangkar Rij. PENYELESAIAN Perhatikan bujur sangkar berikut Gambar 5 R11 R21 R12 R22 012x y 1 2 (3/2,1/2)(1/2,1/2) (3/2,3/2)(1/2,3/2) Paraboloida adalah grafik dari2 2( , ) 16 2 f x y x y = dan luas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan menghampiri volume menggunakan jumlah Riemann untuk m = n = 2, diperoleh 2 21 1( , )i ji jV f x y A= =~ A= 15,25 + 13,25 + 11,25 +9,25 = 49 CONTOH 3 Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m = n = 2 untuk menaksir nilai integral 2( 3 )Rx y dA }}dengan{ }( , ) ; 0 2, 1 2 . R x y x y = s s s sPENYELESAIAN Dengan Aturan Titik-tengah untuk m = n = 2, dihitung2( , ) 3 f x y x y = di pusat-pusat empat segiempat bagian. y 012x 1 2 (2,2) 3/2 11R 21R12R22RGambar 6 Sehingga 3 5 11 2 1 2 2 4, , x x y = = =dan 72 4. y =Luas setiap segiempat bagian adalah AA = .Jadi, ( ) ( )2 221 13 ,i ji jRx y dA f x y A= = ~ A}}1 1 1 2 2 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y A f x y A f x y A f x y A = A + A + A + A5 7 3 5 3 7 1 1 1 1 1 12 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f f f f = + + +958= Jadi, ( )29583 11,875.Rx y dA ~ = }}Sifat Integral Lipat-Dua ( ) ( ) ( ) ( )R R R (a), , , , f x y g x y dA f x y dA g x y dA( + = + }} }} }}( ) ( )R R(b) , , ,konstanta cf x y dA c f x y dA c = =}} }}( ) ( ) ( ) ( ) ( )R R(c) , , , , ,, , f x y g x y x y R f x y dA g x y dA > e >}} }}Jika maka