Integral Berulang (Iterated Integral)

Disusun Dalam Rangka Tugas Kuliah

Dengan Dosen Pengasuh

Dr. E. Elvis Napitupulu, MS

Oleh :

1. Rizki Kurniawan Rangkuti (8136171045)

2. Mustika Fitri Larasati Sibuea (8136171036)

Program Pasca Sarjana

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan

hidayahNya berupa ilmu pengetahuan serta limpahan rahmat dan karuniaNya sehingga

penulis dapat menyelesaikan makalah ini sesuai dengan waktu yang telah direncanakan.

Makalah ini berjudul “Integral Berulang (Iterated Integral)” disusun dalam rangka

memenuhi salah satu tugas perkuliahan Program Pasca Sarjana Universitas Negeri Medan.

Penulis telah berupaya dengan semaksimal mungkin dalam penyelesaian makalah ini,

namun penulis menyadari masih banyak kelemahan baik dari segi ilmu maupun tata bahasa,

untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun dari pembaca

demi sempurnanya makalah ini. Kiranya makalah ini bermanfaat dalam memperkaya

khasanah ilmu pengetahuan khususnya bagi dunia pendidikan. Akhir kata penulis ucapkan

terima kasih, semoga Allah SWT senantiasa meridhoi niat baik kita semua. Amin.

Medan, 19 Februari 2014

Tim Penulis

Integral Berulang

Ingat bahwa biasanya sulit untuk mengevaluasi integral lipat satu secara langsung dari

definisi integral itu sendiri, akan tetapi Teorema Dasar Kalkulus menyediakan banyak metode

yang lebih mudah. Evaluasi integral lipat dua dari prinsip-prinsip pertama bahkan lebih sulit

lagi, tetapi pada bagian ini kita melihat bagaimana untuk mengekspresikan integral lipat dua

sebagai integral berulang, yang mana kemudian dapat dievaluasi dengan perhitungan dua

integral lipat satu.

Andaikan bahwa f adalah sebuah fungsi dua variabel yang kontinu pada persegi

panjang R=[a, b] X [c, d]. Kita gunakan notasi untuk mengartikan bahwa x

adalah tetap dan diintegralkan terhadap mulai dari sampai . Prosedur

ini disebut Integral Parsial terhadap y. (Perhatikan kemiripannya dengan differensiasi

parsial). Sekarang adalah suatu bilangan yang tergantung pada nilai x, jadi ini

didefinisikan fungsi x.

Jika kita sekarang mengintegralkan fungsi A terhadap x dari kita

dapatkan

Integral dari sisi kanan Persamaan 1 disebut sebagai Integral Berulang. Biasanya tanda

kurung siku dihilangkan, maka

Berarti pertama-tama kita integralkan terhadap y dari c sampai d dan kemudian terhadap x

dari a sampai b

Sama pula dengan intergral berulang

Berarti pertama-tama kita integralkan terhadap x (dengan membuat nilai y tetap) mulai dari

x=a sampai x=b dan kemudian kita menginteralkan fungsi hasil y terhadap y mulai dari y=c

sampai y=d. Perhatian bahwa dalam persamaan 2 dan 3 kita bekerja dari bagian dalam ke

luar.

1

2

3

Contoh 1 Evaluasi integral-integral berulang berikut:

(a)

(b)

Solusi

(a) Dengan menganggap x konstan, kita mendapatkan

Maka, fungsi A dalam pembahasan pada contoh ini dinyatakan dengan .

Sekarang kita mengintegralkan fungsi x ini dari 0 ke 3

(b) Berikut ini pertama-tama kita integralkan terhadap x

Perhatikan bahwa dalam Contoh 1 kita mendapatkan jawaban yang sama jika kita

mengintegralkannya pertama-tama terhadap y atau x. Pada umumnya, tampak bahwa pada

Teorema Fubini bahwa dua integral berulang pada persamaan 2 dan 3 adalah selalu sama;

tanpa dipengaruhi oleh urutan pengintegralannya. (Ini serupa dengan Teorema Clairaut

mengenai kesamaan turunan parsial campuran).

Teorema berikut memberikan sebuah metode praktis untuk mengevaluasi integral lipat

dua dengan mengekspresikannya sebagai integral berulang (dalam urutan yang bebas).

Teorema Fubini

Jika f kontinu pada persegi panjang , maka

Secara lebih umum, persamaan diatas benar jika kita mengasumsikan bahwa f dibatasi oleh

R, untuk f tidak kontinu hanya untuk jumlah yang terbatas dari kurva halus, dan integral

berulangnya ada.

Pembuktian Teorema Fubini terlalu sulit, tetapi setidaknya kita dapat memberi

indikasi secara intuitif mengapa hal tersebut benar untuk kasus dimana . Ingat

bahwa jika f positif, maka kita dapat menafsirkan integral lipat dua sebagai

volume V dari benda pejal S yang terletak di atas R dan di bawah permukaan .

Tetapi kita memiliki formula lain yang kita gunakan untuk menghitung volume yaitu :

Dengan A(x) adalah luas penampang silang dari S dalam bidang yang melalui x yang

tegaklurus terhadap sumbu x. Dari figur 1 Anda dapat melihat bahwa A(x) adalah luas di

bawah kurva C yang memiliki persamaan , dimana x dijaga tetap konstan dan

. Dengan demikian

dan kita mendapatkan

Sebuah argumen yang sama, dengan menggunakan penampang melintang yang tegaklurus

terhadap sumbu y seperti pada figur 2, menunjukkan bahwa

Contoh 2 Evaluasi integral lipat dua , dengan

.

Solusi 1 Teorema Fubini memberikan

Solusi 2 Kembali gunakan Teorema Fubini, tetapi saat ini pengintegrasiannya yang pertama

terhadap x, sehingga kita dapatkan

Gambar 1. Permukaan bidang

Contoh 3 Evaluasi , dimana .

Solusi 1 Jika pertama-tama kita mengintegralkanya terhadap x, kita dapatkan

Solusi 2 Jika kita balikkan urutan pengintegrasiannya, kita dapatkan

Untuk mengevaluasi integral dalamnya kita gunakan integrasi parsial dengan

sehingga

Jika sekarang kita mengitegralkan suku pertamanya dengan bagian-bagian dan

, kita dapatkan dan

Dengan demikian

Sehingga

Gambar 2. Permukaan bidang

Contoh 4 Temukan volume dari benda pejal S yang dibatasi oleh paraboloid eliptik dengan

persamaan , bidang-bidang dan , dan tiga bidang koordinat.

Solusi Pertama-tama kita meninjau bahwa S adalah benda pejal (padat) yang terletak

dibawah permukaan dan di atas persegi panjang .

Sekarang kita akan mengevaluasi integral lipat dua dengan menggunakan Teorema Fubini.

Oleh karena itu

Gambar 3. Permukaan bidang

Dalam kasus khusus dimana dapat dibagi menjadi fungsi x saja dan fungsi y

saja, integral lipat dua dari f dapat dituliskan dalam bentuk sederhana yang lebih khusus. Agar

menjadi spesifik, anggaplah bahwa dan . Kemudian

Teorema Fubini memberikan

Dalam integral bagian dalam y adalah konstanta, jadi h(y) adalah konstan dan kita dapat

menuliskan

karena adalah konstan. Oleh karena itu, di dalam kasus ini, integral lipat duadari f

dapat dituliskan sebagai hasil kali dari dua integral lipat satu :

dengan

Contoh 5 Jika , maka

Gambar 4. Permukaan bidang

Contoh :

Hitung integral lipat dua berikut yang dinyatakan dalam persegi panjang!

R

dAxy2

6 , R = [2, 4] x [1, 2]

Penyelesaian :

R

dAxy2

6 , R = [2, 4] x [1, 2]

Tanpa melihat variabel yang kita integrasikan terlebih dahulu, kita akan mendapatkan

jawaban yang sama terlepas urutan pengintegrasiannya. Untuk membuktikan hal tersebut,

dapat diselesaikan satu per satu dengan masing-masing variabel yang akan diselesaikan

terlebih dahulu untuk memastikan bahwa kita akan mendapatkan jawaban yang sama.

Artinya, baik kita integrasikan terhadap y terlebih dahulu kemudian terhadap x maupun

sebaliknya kita integrasikan terhadap x terlebih dahulu kemudian terhadap y akan memperoleh

jawaban yang sama.

Penyelesaian 1 :

Dalam hal ini kita akan mengintegrasikan terhadap y terlebih dahulu kemudian terhadap x.

Maka, integral berulang kita butuhkan untuk menghitung permasalahan ini.

4

2

2

1

2266 dydxxydAxy

R

Untuk menyelesaikan permasalahan ini pastikan limit sesuai dengan turunannya. Karena dy

adalah diferensial inti (yaitu kita integralkan terhadap y terlebih dahulu) yang merupakan

integral dalam yang tidak terpisahkan yang mempunyai limit terhadap y kemudian kita

integrasikan terhadap x.

Untuk menghitungnya kita akan integrasikan yang bagian dalam terlebih dahulu dan kita

pisahkan dengan bagian luar sehingga diperoleh sebagai berikut :

4

2

2

1

32

3

66 dxxydAxy

R

4

2

2

1

3226 dxxydAxy

R

4

2

33)1(22)2(2 dxxx

4

2

216 dxxx

4

2

14 dxx

Ingat bahwa kita memperlakukan x sebagai konstan ketika melakukan integrasi terhadap y

terlebih dahulu dan kita tidak melakukan integrasi apapun terhadap x. Sekarang, kita memiliki

integral tunggal normal yang terpisah, jadi mari kita selesaikan integral tersebut dengan

menghitungnya.

4

2

112

11

146 xdAxy

R

4

2

2

2

14x

4

2

27 x

22)2(7)4(7

4.716.7

28112

84

Penyelesaian 2 :

Dalam hal ini kita akan mengintegrasikan terhadap x terlebih dahulu kemudian terhadap y.

Sehingga diperoleh seperti berikut :

2

1

4

2

2266 dxdyxydAxy

R

2

1

4

2

2112

11

66 dyyxdAxy

R

2

1

4

2

222

2

66 dyyxdAxy

R

2

1

4

2

22236 dyyxdAxy

R

2

1

2222)2(3)4(3 dyyy

2

1

221248 dyyy

2

1

236 dyy

2

1

12

12

36y

2

1

3

3

36y

2

1

312 y

33)1(12)2(12

1.128.12

1296

84

Tentu saja diperoleh jawaban yang sama seperti penyelesaian pertama. Jadi, dapat

disimpulkan bahwa kita dapat melakukan integrasi dalam urutan apapun.

Gambar 5. Permukaan bidang

Daftar Pustaka

Spiegel, Wrede., (2006), Kalkulus Lanjut, Erlangga, Jakarta

Stewart, James., (2003), Multivariable Calculus Early Transcendentals fifth edition, Thomson

Learning, McMaster University