Integer Programming

Jurusan Teknik Industri - ITS

INTEGER PROGRAMMING

1. Pengantar2. Permodelan3. Branch and Bound method


PengantarInteger Programming


Model Integer Programming Permasalahan integer programming (IP) adalah suatu Program Linear

(LP) yang beberapa atau seluruh variabel yang digunakan merupakan bilangan integer positif

Jenis-jenis permasalahan IP: Pure IP problem: jika semua variabel harus bernilai integer

Maximize z = 3x1 + 4x2subject to 5x1 + 8x2 ≤ 24

x1, x2 ≥ 0, x1 dan x2 integer Mixed IP problem: jika hanya beberapa variabel yang bernilai

integerMaximize z = 3x1 + 4x2subject to 5x1 + 8x2 ≤ 24

x1, x2 ≥ 0, x1 integer 0-1 IP problem: jika semua variabel harus bernilai 0 atau 1


x1, x2 = 0 or 1


Permasalahan IP biasanya lebih sulit untuk diselesaikan dibandingkan dengan permasalahan LP

Hal ini disebabkan banyaknya kombinasi nilai integer yang harus diuji, dan setiap kombinasi membutuhan penyelesaian “normal” LP atau NLP

LP relaxation dari IP adalah LP yang diperoleh dengan menghilangkan pembatas semua bilangan integer atau pembatas Contoh Pure IP problem :


x1, x2 ≥ 0, x1 dan x2 integer Contoh Pure IP problem yang telah di-longgarkan (relax):


x1, x2 ≥ 0

Integer Programming dan LP relaxation


Pendekatan sederhana solusi IPPendekatan 1: Cari seluruh kemungkinan solusiTentukan nilai fungsi tujuannyaPilih nilai maksimum (minimum)

Pendekatan 2: Selesaikan LP relaxation Bulatkan pada solusi integer yang feasibel terdekat

x x xx

xx

xx

x1

x2

1 2 3

1

3

2

7x1 + 4x2= 13


1 2 3 4 5 6 7 8x1

1

2

3

4

5

6

x2

1 2 3 4 5 6 7 8x1

1

2

3

4

5

6

x2

LP Optimalx1 = 5 7/16

x2 = 2 11/16

Contoh Problem:Max 1200 x1 + 2000 x2

ST: 2x1 + 6 x2 27 x2 2 3x1 + x2 19 x1 , x2 0 and Integer

Penyelesaian problem Integer Programming, Apakah solusi LP dibulatkan untuk mendapakan solusi IP…?

Solusi Integer Programming


1 2 3 4 5 6 7 8x1

1

2

3

4

5

6

x2

1 2 3 4 5 6 7 8x1

1

2

3

4

5

6

x2

LP Optimalx1 = 5 7/16

x2 = 2 11/16

Pembulatan ke atas?x1 = 6x2 = 3

Pembulatan?x1 = 5x2 = 3

Pembulatan ke bawah?

x1 = 5x2 = 2

Max 1200 x1 + 2000 x2

ST: 2x1 + 6 x2 27 x2 2 3x1 + x2 19 x1 , x2 0 and Integer

Solusi Integer Programming (2)

LP relaxation, kemudian dibulatkan ?


1 2 3 4 5 6 7 8x1

1

2

3

4

5

6

x2

1 2 3 4 5 6 7 8x1

1

2

3

4

5

6

x2 IP Optimalx1 = 4x2 = 3

Solusi Integer Programming (3)

Untuk MAX problem: nilai optimal dari IP ≤ nilai optimal dari LP relaxation


Permodelan Integer Programming


Contoh 1: Problem investasi Perusahaan Stockco mempertimbangkan empat jenis investasi Modal yang tersedia untuk investasi sebesar $ 14,000 Formulasikan model integer programming ini untuk memaksimumkan

NPV dari investasi-investasi berikut:

Pilihan Investasi 1 2 3 4 Modal $5000 $7000 $4000 $3000 NPV $16000 $22000 $12000 $8000

Formulasi :

xi = banyaknya modal yang diinvestasikan pada jenis ke-iMaximize :

z = 16 x1+ 22 x2 + 12 x3 + 8 x4

Subject to 5 x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 ≤ 14x1, x2, x3, x4 = 0, 1


Pengembangan Problem investasiPerusahaan Stockco mempertimbangkan batasan-batasan “logis” berikut ini :1. Tepat 3 investasi yang terpilih2. Jika investasi ke-2 terpilih, maka investasi ke-1 juga terpilih3. Jika investasi ke-1 terpilih, maka investasi ke-3 tidak terpilih 4. Salah satu dari investasi ke-3 atau ke-4 harus terpilih, tetapi tidak

dapat kedua-duanya

Tambahan pembatas:1. Tepat 3 investasi yang terpilih

x1+ x2+ x3+ x4 =32. Jika investasi ke-2 terpilih, maka investasi ke- 1 juga terpilih

x1 ≥ x23. Jika investasi ke- 1 terpilih, maka investasi ke- 3 tidak terpilih

x1 + x3 ≤ 14. Salah satu dari investasi ke- 3 atau ke-4 harus terpilih, tetapi tidak dapat kedua-

duanyax3 + x4 = 1


Contoh 2: Pemilihan pemain bola basketPerkumpulan bola basket “Pasti Menang” sedang menghadapi kompetisi tingkat nasional. Sang pelatih hendak memilih 5 dari 7 pemain yang akan diturunkan dalam pertandingan malam nanti. Data-data pemain seperti terlihat pada tabel dibawah ini:

Pemain Guard Forward Center Ball-Handling Shooting Rebounding Total1 Yes No No 3 1 2 62 No No Yes 1 2 1 43 Yes Yes No 1 3 1 54 No Yes Yes 1 2 1 45 Yes Yes No 2 1 3 66 No Yes Yes 1 3 1 57 Yes Yes No 1 2 2 5

Posisi Kemampuan


Pemilihan pemain bola basket

Pembatas yang dialami pelatih adalah sebagai berikut:1. Harus ada tepat lima pemain, dengan syarat:

Sedikitnya empat pemain sebagai penjaga. Sedikitnya dua pemain sebagai pemain depan. Sedikitnya satu pemain sebagai pemain tengah.

2. Rata-Rata tingkat ketrampilan pemain paling sedikit 2.3. Salah satu dari pemain ke-2 atau pemain ke-3 harus bermain.4. Jika pemain ke-3 bermain, maka pemain ke-6 tidak bisa bermain.5. Jika pemain ke-1 bermain, maka pemain ke-4 dan ke-5 harus bermain

juga.

Pemain Guard Forward Center Ball-Handling Shooting Rebounding Total1 Yes No No 3 1 2 62 No No Yes 1 2 1 43 Yes Yes No 1 3 1 54 No Yes Yes 1 2 1 45 Yes Yes No 2 1 3 66 No Yes Yes 1 3 1 57 Yes Yes No 1 2 2 5

Posisi Kemampuan


Solusi : Pemilihan pemain bola basket (1)

Variabel KeputusanXi = 1, jika pemain ke-i diturunkan ke lapangan. = 0, jika pemain ke-i tidak diturunkan

Fungsi tujuan:Max 6 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 4 x4 + 6 x5 + 5 x6 + 5 x7

Pembatas :(1a) Harus ada tepat lima pemain turun ke lapangan

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 5(1b) Paling sedikit terdapat empat pemain penjaga (guard).

x1 + x3 + x5 + x7 4(1c) Paling sedikit terdapat dua pemain depan (forward).

x3 + x4 + x5 + x6 + x7 2(1d) Paling sedikit terdapat satu pemain tengah.

x2 + x4 + x6 1


Solusi : Pemilihan pemain bola basket (2)2. Rata-Rata tingkat ketrampilan pemain paling sedikit 2 (a) Rata-rata ketrampilan pemain menggiring bola lebih dari dua.

(3 x1 + x2 + x3 + x4 + 2 x5 + x6 + x7)/5 23 x1 + x2 + x3 + x4 + 2 x5 + x6 + x7 10

(b) Rata-rata ketrampilan pemain menembak bola lebih dari dua.x1 + 2 x2 +3 x3 + 2 x4 + x5 + 3 x6 + 2 x7 10

(c) Rata-rata ketrampilan pemain menghadang lebih dari dua.2 x1 + x2 + x3 + x4 + 3 x5 + x6 + 2 x7 10

3. Salah satu dari pemain ke-2 atau pemain ke-3 harus bermainx2 + x3 1

Variabel kemungkinan yang terjadi:x2 = 1 & x3 = 0 Feasiblex2 = 0 & x3 = 1 Feasiblex2 = 1 & x3 = 1 Feasiblex2 = 0 & x3 = 0 Infeasible



4. Jika pemain ke-3 bermain, maka pemain ke-6 tidak bisa bermainx3 + x6 1

Variabel kemungkinan yang terjadi: Pemain 3 bermain, tetapi pemain 6 tidak bermain.

x3 = 1, x6 = 0 Feasible Pemain 6 bermain, tetapi pemain 3 tidak bermain.

x3 = 0, x6 = 1 Feasible Kedua-duanya bermain

x3 = 1, x6 = 1 Infeasible Kedua-duanya tidak dapat bermain.

x3 = 0, x6 = 0 Feasible



5. Jika pemain ke-1 bermain, maka pemain ke-4 dan ke-5 harus bermain juga

x1 x4x1 x5

Jika x1 = 1, maka x4 = 1 dan x5 =1.Variabel kemungkinan yang terjadi:

x1 x4 x5 Interpretasi1 1 1 ketiga pemain bermain (feasibel).0 0 0 ketiga pemain tidak bermain (feasibel).0 1 0 hanya pemain 4 yang bermain (feasibel).0 0 1 hanya pemain 5 yang bermain (feasibel).0 1 1 pemain 4 dan 5 bermain, sedangkan pemain 1 tidak

(feasibel)


Contoh 3 : Pengeboran Minyak1. Pemilihan paling sedikit 5 lokasi dari 10 lokasi pengeboran minyak

yang telah direncanakan, dengan variabel keputusan X1, X2,…, X10 dan biaya pengeboran C1, C2,…, dan C10.

2. Batasan: Paling banyak dua dari lokasi X5, X6, X7 dan X8 yang dapat

dipilih Memilih lokasi X3 atau lokasi X4 akan mencegah untuk memilih

lokasi X5. Memilih kombinasi lokasi X1 dan X7 akan mencegah untuk

memilih lokasi X8.


Solusi Pengeboran Minyak (1)

Variabel KeputusanXi = 1, jika lokasi ke-i dilakukan pengeboran. = 0, jika lokasi ke-i tidak dilakukan pengeboran.

Fungsi tujuan: Min C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 + C4 x4 +C5 x5 + C6 x6 + C7 x7 + C8 x8 +

C9 x9 + C10 x10

Subject to(1) Pemilihan paling sedikit 5 lokasi dari 10 lokasi pengeboran

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 = 5

(2) Paling banyak dua dari lokasi X5, X6, X7 dan X8 yang dapat dipilih

x5 + x6 + x7 + x8 2



(3) Memilih lokasi X3 atau lokasi X4 akan mencegah untuk memilih lokasi X5

x3 + x5 1x4 + x5 1

x3=1 atau x4=1, maka harus x5=0 (jika memilih lokasi X3 atau lokasi X4, lokasi X5 tidak boleh dipilih)

x5=1, maka nilai x3=0 dan x4=0 (jika memilih lokasi X5, maka lokasi X3 dan lokasi X4 tidak boleh dipilih)



(4) Memilih kombinasi lokasi X1 dan X7 akan mencegah untuk memilih lokasi X8

x1 + x7 + x8 2 kasus 1: tidak memilih lokasi X8

x8 = 0, maka x1 + x7 2 (dapat memilih lokasi S1, S7, atau kedua-duanya, atau tidak keduanya).

x8 x1 x7 Interpretasi0 0 0 Tidak memilih ketiga lokasi tersebut0 0 1 Hanya memilih lokasi S70 1 0 Hanya memilih lokasi S10 1 1 Memilih lokasi S1 dan S7, tetapi lokasi S8 tidak



(4) Memilih kombinasi lokasi X1 dan X7 akan mencegah untuk memilih lokasi X8

x1 + x7 + x8 2 kasus 2: Menyelidiki lokasi S8

x8 = 1, maka x1 + x7 1 (dapat memilih lokasi x1atau x7, tetapi tidak kedua-duanya)

x8 x1 x7 Interpretasi1 0 0 Hanya memilih lokasi S8 1 1 0 Memilih lokasi S8 dan S1, tetapi S7 tidak1 0 1 Memilih lokasi S8 dan S7, tetapi S1 tidak1 1 1 Memilih ketiga lokasi (infeasible)


Contoh 4: Problem “GANDHI” Perusahaan pakaian Gandhi memproduksi 3 jenis pakaian : kemeja,

celana pendek, dan celana panjang. Mesin harus di sewa tiap minggu untuk memproduksi ketiga jenis

pakaian tersebut dengan biaya sewa : $ 200 per minggu untuk mesin pembuat kemeja $ 150 per minggu untuk mesin pembuat celana pendek $ 100 per minggu untuk mesin pembuat celana panjang

Terdapat 150 jam waktu pekerja dan 160 m² bahan pakaian (kain) yang tersedia per minggunya, dengan data produksi sebagai berikut:

Formulasikan permasalahan diatas untuk memaksimumkan keuntungan per minggunya!

Jam kerja yang dibutuhkan

Kain yang dibutuhkan

Biaya variabel

Keuntungan per unit

kemeja 3 4 $12 $6 celana pendek 2 3 $8 $4 celana panjang 6 4 $15 $8


Solusi Problem Gandhi

Variabel keputusan:xi = jumlah pakaian jenis ke-i yang diproduksi per minggunyayi = 1 jika pakaian jenis ke-i diproduksi, dan 0 jika tidak

Formulasi:Max. z = 6x1 + 4x2 + 7x3 – 200 y1 - 150 y2 - 100y3

subject to3x1 + 2x2 + 6x3 1504x1 + 3x2 + 4x3 160x1 M y1, x2 M y2, x3 M y3 x1, x2, x3 0, dan integer y1, y2, y3 0, dan biner


Contoh 5 : Problem “Western” Penerbangan western memutuskan untuk memiliki beberapa kota transit

di USA Jalur penerbangan yang dimiliki mencakup kota-kota berikut : Atlanta,

Boston, Chicago, denver, Houston, Los angeles, New Orleans, New York, Pittsburgh, Salt Lake city, San Francisco, dan Seattle

Western menginginkan untuk mempunyai kota transit dalam 1000 mil dari tiap kota-kota ini

Hitunglah jumlah minimum dari kota transit

Kota dalam 1000 miles Atlanta (AT) AT, CH, HO, NO, NY, PI Boston (BO) BO, NY, PI Chicago (CH) AT, CH, NY, NO, PI Denver (DE) DE, SL Houston (HO) AT, HO, NO Los Angeles (LA) LA, SL, SF New Orleans (NO) AT, CH, HO, NO New York (NY) AT, BO, CH, NY, PI Pittsburgh (PI) AT, BO, CH, NY, PI Salt Lake City (SL) DE, LA, SL, SF, SE San Francisco (SF) LA, SL, SF, SE Seattle (SE) SL, SF, SE


Solusi : Problem “Western”

Variabel keputusan Xi = 1 jika kota i dilokasikan sebagai kota transit Xi = 0 jika kota i tidak dijadikan sebagai kota transit

Minimize XAT + XB0 + XCH + XDE + XHO + XLA + XNO + XNY + XPI + XSL + XSF + XSE

Pembatas:AT BO CH DE HO LA NO NY PI SL SF SE Required

AT 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 xAT >= 1BO 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 xBO >= 1CH 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 xCH >= 1DE 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 xDE >= 1HO 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 xHO >= 1LA 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 xLA >= 1NO 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 xNO >= 1NY 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 xNY >= 1PI 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 xPI >= 1SL 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 xSL >= 1SF 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 xSF >= 1SE 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 xSE >= 1


Contoh 6 : Problem “Alada” Propinsi Alada mempunyai 6 kota Propinsi ini memiliki permasalahan pada kota mana akan dibangun

stasiun pemadam kebakaran Paling sedikit jarak stasiun pemadam kebakaran 15 menit (waktu

tempuh) untuk masing – masing kota Waktu yang dibutuhkan dari kota yang satu ke kota yang lain

dilampirkan pada tabel dibawah ini. Tentukan jumlah minimum dari pemadam kebakaran

Kota ke- 1 2 3 4 5 6

1 0 10 20 30 30 20

2 10 0 25 35 20 10

3 20 25 0 15 30 20

4 30 35 15 0 15 25

5 30 20 30 15 0 14

6 20 10 20 25 14 0


Solusi : Problem “Alada” Sebuah kota dapat dicover oleh stasiun pemadam kebakaran jika jarak

tempuhnya sebesar 15 menit Covering set untuk setiap kota

Kota Covering sets (15 menit)

1 1,2

2 1,2,6

3 3,4

4 3,4,5

5 4,5,6

6 2,5,6


Solusi : Problem “Alada”

Variabel keputusan :xi = 1 jika dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i

= 0 jika kota-i tidak dibangun stasiun pemadam

Fungsi tujuan :Minimum x1+x2+x3+x4+x5+x6

Fungsi pembatas:Kota 1 2 3 4 5 6

1 1 1 0 0 0 0 x1 <= 1

2 1 1 0 0 0 1 x2 <= 1

3 0 0 1 1 0 0 x3 <= 1

4 0 0 1 1 1 0 x4 <= 1

5 0 0 0 1 1 1 x5 <= 1

6 0 1 0 0 1 1 x6 <= 1


Konsep : “Either-Or Constraints” Ada 2 konstrain

diasumsikan bahwa hanya ada satu yang memenuhi Kita dapat menyelesaikan permasalahan ini dengan menambahkan

metode “either-or constrains”

y = 0,1 M adalah besarnya nilai yang dapat menjamin bahwa kedua konstrain

dapat memenuhi nilai dari x1,x2,…,xn yang dapat memenuhi konstrain yang lain pada problem yang ada.

0),...,,(0),...,,(

21

21

n

n

xxxgxxxf

)1(),...,,(),...,,(

21

21

yMxxxgMyxxxf

n

n


Konsep “If-then constraints” Jika kita ingin memastikan bahwa,

f(x1 ,x2,… ,xn)>0 sama g(x1 ,x2 ,… ,xn)≥0

Kemudian kita tambahkan if-then konstrain

y = 0,1 Disini, M adalah nilai positif yang besar, pilih yang terbesar sehingga f

< M and – g < M mencakup semua nilai sehingga memenuhi konstrain lain yang ada pada permasalahan

MyxxxgyMxxxf

n

n

),...,,()1(),...,,(

21

21


Contoh 7 : “Either-Or Constraints”Memenuhi paling tidak satu dari pembatas berikut :

(1) x + y ≤ 4(2) 3x + 4y ≤15

(salah satu dari pembatas ke-1, atau ke-2, atau kedua-duanya)

Feasibel solusinya adalah ;1) x = 1, y = 3 (memenuhi kedua pembatas)2) x = 0, y = 4 (memenuhi ke-1, tetapi tidak memenuhi ke-2)3) x = 5, y = 0 (memenuhi ke-2, tetapi tidak memenuhi ke-1)4) x = 2, y = 3 (tidak memenuhi kedua-duanya)


Solusi “Either-Or Constraints” Definiskan variabel baru z sebagai variabel binary (biner) Nilai M merupakan bilangan besar, konstan positif

Sehingga pembatas ke-1 atau ke-2, dimodifikasi menjadi

(3) x + y ≤ 4 + M z(4) 3 x + 4 y ≤ 15 + M (1 - z)(5) z bilangan biner

Pembuktian:1. Untuk mendapat solusi x = 5 dan y = 0, maka z dibuat = 1 :

5 + 0 = 5 < 4 + M, pembatas ke-3 memenuhi15 + 0 = 15 + M (1 – 1) = 15, pembatas ke-4 memenuhi

2. Untuk mendapat solusi x = 0 dan y = 4, maka z dibuat = 0:0 + 4 = 4 = 4 + M (0) = 4, pembatas ke-3 memenuhi0 + (4) (4) = 16 ≤ 15 + M (1 – z) = 15 + M, pembatas ke-4

memenuhi


Solusi “Either-Or Constraints”

3. Solusi dengan nilai z dibuat = 1000 :

Kesimpulan: Jika solusi yang memenuhi pembatas (1), (2), atau keduanya, dapat

ditemukan nilai yang tepat untuk z sehingga pembatas (3) dan (4) juga memenuhi

Solusi yang tidak memenuhi pembatas (1) dan (2), maka pembatas (3), (4), atau keduanya juga tidak akan terpenuhi, berapapun nilai z

Solusi x y x + y 3x + 4y OK? z 4+Mz 15 + M(1-z) Feasible1a 1 3 4 15 Ya 0 4 1015 Ya1b 1 3 4 15 Ya 1 1004 15 Ya2a 0 4 4 16 Ya 0 4 1015 Ya2b 0 4 4 16 Ya 1 1004 15 Tidak3a 5 0 5 15 Ya 0 4 1015 Tidak3c 5 0 5 15 Ya 1 1004 15 Ya4a 2 3 5 18 Tidak 0 4 1015 Tidak4b 2 3 5 18 Tidak 1 1004 15 Tidak


Contoh 8: Aplikasi “Dorian” Perusahaan Dorian automotif memproduksi 3 tipe model mobil yaitu ;

compact (kecil), midsize (menengah), dan large (besar). Ada 6 ton baja dan 60,000 jam kerja tersedia Jika suatu tipe mobil diproduksi, maka mobil itu harus diproduksi paling

sedikit 1,000 unit mobil Data produksi seperti terlihat di tabel bawah ini:

Formulasikan permasalahan perencanaan produksi tersebut untuk memaksimumkan profit.

Compact Midsize Large Kebutuhan baja 1.5 ton 3 ton 5 ton Kebutuhan jam tenaga kerja 30 jam 25 jam 40 jam Profit $2000 $3000 $4000


Solusi aplikasi “Dorian”

Variabel keputusan xi = jumlah mobil tipe ke-i yang diproduksi yi = 1 jika mobil tipe ke-i diproduksi, dan yi=0 jika tidak

Formulasi :Maks z = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3Subject to:

x1 ≤ M y1 x2 ≤ M y2 x3 ≤ M y31000 – x1 ≤ M (1 – y1)1000 – x2 ≤ M (1 – y2)1000 – x3 ≤ M (1 – y3)1.5 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 600030 x1 + 25 x2 + 40 x3 ≤ 60000x1, x2, x3 ≥ 0 dan integer y1, y2, y3 = 0 atau 1

Integer Programming

Documents

Transcript of Integer Programming