Importancia de s2 Teorema de Chebyshev Ejemplo

Universidad Tecnologica Nacional

Facultad Regional Concordia

Ingenierıa Civil y Electrica

Mario Alvarez

Teorema de Chebyshev

Ano 2015

Mario Alvarez Teorema de Chebyshev

Universidad Tecnologica Nacional

Importancia de s2 Teorema de Chebyshev Ejemplo

Indice

Importancia de s2

Teorema de Chebyshev

Ejemplo

Mario Alvarez Teorema de Chebyshev

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Importancia de s2 Teorema de Chebyshev Ejemplo

Importancia del desvıo estandar

En lo estudiado hasta ahora se han considerado diferentes medidaspara cuantificar la dispersion de un conjunto de datos.Entre ellas se ha estudiado el desvıo estandar, que para el caso dela muestra es:

s2 =

n∑i=1

(xi − x)2

n− 1

En cierta forma, el calculo del desvıo estandar no es “intuitivo” acomparacion del desvıo medio (por ejemplo).Sin embargo, el d.e.(X) tiene muy buenas propiedades algebraicas,y se vincula a numerosos resultados teoricos de aplicacioninminentemente practica como lo es el Teorema de Chebyshev.

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Regla de ChebyshevTeorema

Sea X una variable aleatoria con esperanza µ y varianza σ2 finitas.Se cumple que la probabilidad de que la variable tome un valordentro de k desviaciones estandar de la media es al menos 1− 1

k2.

Es decir:

P (µ− kσ < X < µ+ kσ) ≥ 1− 1

k2

O equivalentemente:

P (|X − µ| < ε = kσ) ≥ 1− 1

k2

Considerando el evento complementario:

P (|X − µ| ≥ ε = kσ) ≤ 1

k2

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Regla de Chebyshev

El teorema tiene validez para cualquier distribucion deobservaciones y, por esta razon, los resultados son generalamentedebiles. El valor que el teorema proporciona es solo un lımiteinferior. Es decir, sabemos que la probabilidad de una variablealeatoria que cae dentro de dos desviaciones estandar de la mediano puede ser menor que 3/4, pero no se sabe cuanto podrıa ser enrealidad.En general, se lo utiliza cuando se desconoce la forma de ladistribucion.

Observacion: ¿Que relacion existe entre este resultado y la reglaempırica de la distribucion normal?

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Chebyshev Vs. Distribucion normal

Ejemplo

Una empresa electrica fabrica una bombilla de luz de 100 wattsque, de acuerdo con las especificaciones escritas en la caja, tieneuna vida media de 900 horas con una desviacion estandar de 50horas.

a) Se pide realizar un primer estudio para la distribucion.

b) ¿En que hubiese cambiado el ıtema anterior si se tuviese lainformcion extra de que la variable es normal?

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