INF-104 Matematika Diskrit fileContoh, misalkan pernyataan terbuka: p(n): "Jumlah bilangan bulat...

25
Teori Bilangan INF-104 Matematika Diskrit Teori Bilangan [email protected] Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah March 27, 2014 [email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Transcript of INF-104 Matematika Diskrit fileContoh, misalkan pernyataan terbuka: p(n): "Jumlah bilangan bulat...

Teori Bilangan

INF-104 Matematika DiskritTeori Bilangan

[email protected]

Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah

March 27, 2014

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilanganbulat adalah induksi matematik. Induksi matematikmerupakan teknik pembuktian yang baku di dalammatematika.

Contoh, misalkan pernyataan terbuka:p(n): ”Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai nadalah n(n + 1)/2”.Buktikan p(n) benar.

Melalui induksi matematik kita dapat mengurangilangkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulattermasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran denganhanya sejumlah langkah terbatas

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Prinsip terurut dengan baik (well-ordering principle)

Misalkan Z+ = {x ∈ Z|x > 0} = {x ∈ Z|x ≥ 1}. Setiapsubhimpunan tak kosong dari Z+ memuat sebuah elementerkecil. Kita katakan bahwa Z+ terurut dengan baik.

Prinsip induksi matematik ( principle)

Misalkan S(n) menyatakan pernyataan matematika terbukayang melibatkan satu atau lebih variabel n yang manamenyatakan bilangan bulat positif.a) Jika S(1) benar; danb) Jika bilamana S(k) benar (untuk suatu k tertentu, tetapipemilihannya sebarang, k ∈ Z+),maka S(k + 1) benar;maka S(n) benar untuk semua n ∈ Z+.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

1 Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2dinamakan langkah induksi.

2 Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakanbahwa p(k) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesisinduksi.

3 Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benarmaka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuksemua bilangan bulat positif n.

4 Induksi matematik berlaku seperti efek domino.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 1.

Untuk semua n ∈ Z,∑n

i=1 i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2.

Bukti:Untuk n = 1, pernyataan tebuka

S(n) :n∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2

akan menjadi S(1) :∑1

i=1 i = 1 =1(1 + 1)

2. Jadi S(1) benar

dan kita telah menunjukkan langkah basis.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 1.

Selanjutnya, asumsikan hasilnya benar untuk n = k, kita akanmembangun langkah induksi dengan menunjukkan bahwakebenaran untuk S(k) ”memaksa” kita untuk menerimakebenaran untuk S(k + 1). Untuk menunjukkan kebenaranuntuk S(k + 1), kita harus menunjukkan bahwa∑k+1

i=1 i =(k + 1)(k + 2)

2Kita lakukan sebagai berikut:∑k+1

i=1 i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

= (∑k

i=1 i) + (k + 1)

=k(k + 1)

2+ (k + 1)

=k(k + 1)

2+

2(k + 1)

2

=n(n + 1)

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 2.

Buktikan bahwa untuk n ∈ Z+,∑n

i=1 i2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6Bukti:Di sini kita tuliskan

S(n) :

n∑i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:

1∑i=1

i2 = 12 = 1 =1(1 + 1)(2(1) + 1)

6

Jadi S(1) benar.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 2.

Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu

k∑i=1

i2 =k(k + 1)(2k + 1)

6

Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa

S(k + 1) :

k+1∑i=1

i2 =(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)

6

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 2.

Langkah induksi:∑k+1i=1 i2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ k2 + (k + 1)2

=∑k

i=1 i2 + (k + 1)2

= [k(k + 1)(2k + 1)

6] + (k + 1)2

= (k + 1)[k(2k + 1)

6+ (k + 1)]

= (k + 1)[2k2 + 7k + 6

6]

= (k + 1)[(k + 2)(2k + 3)

6]

=(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)

6

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 3.

Buktikan bahwa untuk n ∈ Z+,∑n

i=1(2i− 1) = n2

Bukti:Di sini kita tuliskan

S(n) :

n∑i=1

(2i− 1) = n2

Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:

1∑i=1

(2i− 1) = 2(1)− 1 = 2− 1 = 1 = 12

Jadi S(1) benar.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 3.

Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu

k∑i=1

(2i− 1) = k2

Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwaS(k + 1) :

∑k+1i=1 (2i− 1) = (k + 1)2

∑k+1i=1 (2i− 1) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + [2(k + 1)− 1]

=∑k

i=1(2i− 1) + [2(k + 1)− 1]= k2 + [(2(k + 1)− 1]= k2 + 2k + 1= (k + 1)2

Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ [email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Perhatikan barisan bilangan bulat b1, b2, b3, · · · , dimana bn = 2nuntuk semua n ∈ N. Disini kita peroleh bahwab1 = 2 · 1 = 2, b2 = 2 · 2 = 4 dan b3 = 2 · 3 = 6. Jika kita inginmengetahui b10, kita dapat menghitungnya secara langsungyaitu b10 = 2 · 10 = 20. Kita dapat menghitung secara langsungkarena kita punya formula eksplisit yaitu bn = 2n.

Selanjutnya perhatikan barisan bilangan a1, a2, a3, · · · dimanaa1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, danan = an−1 + an−2 + an−3, untuk semua n ∈ Z+ dimana n ≥ 3.Disini kita tidak dapat menemukan formula eksplisit untukmendefinisikan suku-suku ke-n untuk semua n ∈ N. Jadi untukmengetahui suku ke-n, sebagai contoh suku a6, kita perlumengetahui nilai untuk suku-suku a5, a4 dan a3. Metodemendapatkan nilai suatu suku dari barisan denganmenggunakan suku-suku sebelumnya disebut rekursi.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Perhatikan barisan bilangan a1, a2, a3, · · · dimanaa0 = 1, a1 = 2, a3 = 3, danan = an−1 + an−2 + an−3, untuk semua n ∈ Z+ dimana n ≤ 3.

Pada barisan ini, a0 = 1, a1 = 2, a3 = 3, disebut basis rekursisedangkan persamaan an = an−1 + an−2 + an−3, untuk semuan ∈ Z+ dimana n ≤ 3 disebut proses rekursi. Proses rekursimengindikasikan bagaimana memperoleh entri baru dalambarisan dari hasil sebelumnya yang telah diketahui ataudihitung.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh.

Bilangan Fibonacci dapat didefinisikan secara rekursif oleh

1 F0 = 0, F1 = 1; dan

2 Fn = Fn−1 + Fn−2, untuk n ∈ Z+ dengan n > 2.

Jadi, menurut bagian rekursif dari definisi maka dapatdiperoleh bahwa

F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1 F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5

Kita juga dapatkan bahwaF6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, F11 = 89 danF12 = 144.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh.

Yang berkaitan dengan bilangan Fibonacci adalah barisan yangdikenal sebagai bilangan Lucas. Barisan ini didefinisikan oleh

1 L0 = 2, L1 = 1; dan

2 Ln = Ln−1 + Ln−2, untuk n ∈ Z+ dengan n > 2.

The first eight Lucas numbers an; given in Table

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Ln 2 1 3 4 7 11 16 27

Hubungan antara bilangan Fibonacci dan Lucas dapatdinyatakan sebagai berikut

∀n ∈ Z+Ln = Fn−1 + Fn+1

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh.

Barisan bilangan bulat a1, a2, a3, · · · , didefinisikan secaraeksplisit oleh formula an = 5n untuk n ∈ Z+, dapat jugadidefinisikan secara rekursif oleh

1 a1 = 5; dan

2 an+1 = an + 5, untuk n ≥ 1.

Barisan bilangan bulat b1, b2, b3, · · · , didefinisikan secaraeksplisit oleh formula bn = n(n + 2) untuk n ∈ Z+, dapat jugadidefinisikan secara rekursif oleh

1 b1 = 3; dan

2 bn+1 = bn + 2n + 3, untuk n ≥ 1.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Soal 1.

Dengan menggunakan prinsip induksi matematik, buktikanbahwa

12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 =n(2n− 1)(2n + 1)

3untuk n ≥ 1

Jawab 1.

Di sini kita tuliskan

S(n) : 12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 =n(2n− 1)(2n + 1)

3

Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh: 12 = 1 = (1)(1)(3)

(3) . Jadi S(1) benar.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Jawab 1.

Asumsikan bahwa formula benar untuk k yaitu S(k) dipenuhi.Perhatikan bahwa S(k + 1) yaitu

12 + 32 + 52 + · · ·+ (2k − 1)2 + (2k + 1)2 =

k(2k − 1)(2k + 1)

3+ (2k + 1)2 =

(2k + 1)

3[k(2k − 1) + 3(2k + 1)] =

(2k + 1)

3[2k2 + 5k + 3] =

(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)

3=

(k + 1)(2(k + 1)− 1)(2(k + 1) + 1)

3

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Soal 2.

Dengan menggunakan prinsip induksi matematik, buktikanbahwa

n∑i=1

1

i(i + 1)=

n

n + 1untuk n ≥ 1

Jawab 2.

Di sini kita tuliskan S(n) :

n∑i=1

1

i(i + 1)=

n

n + 1

Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:

1∑i=1

1

1(1 + 1)=

1

2=

1

1 + 1

Jadi S(1) [email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 2.

Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu

k∑i=1

1

i(i + 1)=

k

k + 1

Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa

S(k + 1) :

k+1∑i=1

1

i(i + 1)=

(k + 1)

(k + 1) + 1

k+1∑i=1

1

i(i + 1)=

k∑i=1

1

i(i + 1)+

1

(k + 1)[(k + 1) + 1]

=k

k + 1+

1

(k + 1)[(k + 1) + 1]

=[k(k + 2) + 1]

[(k + 1)(k + 2)]

Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ [email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 2.

=[k2 + 2k + 1]

(k + 1)(k + 2)

=(k + 1)k + 1)

(k + 1)(k + 2)

=k + 1

k + 2

=k + 1

(k + 1) + 1

Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ 1.

[email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Soal 3.

Dengan menggunakan prinsip induksi matematik, buktikanbahwa

n∑i=1

2i−1 = 2n − 1 untuk n ≥ 1

Jawab 3.

Di sini kita tuliskan S(n) :

n∑i=1

2i−1 = 2n − 1

Langkah basis:Untuk S(1), kita peroleh:

1∑i=1

21−1 = 20 = 1 = 21 − 1

Jadi S(1) [email protected] INF-104 Matematika Diskrit

Teori BilanganInduksi MatematikaDefinisi rekursifLatihan

Contoh 3.

Langkah induksi:Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k ∈ Z+, yaitu

k∑i=1

2i−1 = 2k − 1

Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa

S(k + 1) :

k+1∑i=1

2i−1 = 2k+1 − 1

k+1∑i=1

1

i(i + 1)=

k∑i=1

1

i(i + 1)+

1

(k + 1)[(k + 1) + 1]

=k

k + 1+

1

(k + 1)[(k + 1) + 1]

=[k(k + 2) + 1]

[(k + 1)(k + 2)]

Jadi S(n) benar untuk semua n ≥ [email protected] INF-104 Matematika Diskrit