induksi matematika
-
Upload
muhammad-hanif -
Category
Science
-
view
134 -
download
2
description
Transcript of induksi matematika
Induksi Matematika
MATEMATIKA DISKRIT STMIK AMIKOM Yogyakarta
2
Induksi Matematika Digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi
secara berulang sesuai dengan pola tertentu.
Suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan
Perhatikan kasus berikut:
“Beberapa orang Amerika mengusulkan agar pemerintah menghentikan pengeluaran koin 1 sen (1¢), karena selain nilainya terlalu kecil, harga-harga barang yang sama atau
lebih dari 4 ¢ dapat dibayar dengan koin 2 ¢ atau 5 ¢ (tanpa memerlukan koin 1 ¢)”
3
Secara formal dapat dikatakan:
“Untuk setiap bilangan bulat n≥4, n sen dapat diperoleh dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢”
Induksi Matematika
4
Baris Ke N Cara Mendapatkan
koin 2¢ koin 5¢
1 4¢
2 5¢
3 6¢
4 7¢
5 8¢
6 9¢
Induksi Matematika
Perhatikan tabel berikut:
5
Baris ke-k dalam tabel tersebut adalah untuk mendapatkan (k+3) ¢ dengan menggunakan koin 2 ¢ dan 5 ¢.
Untuk melanjutkan pembuatan tabel berikutnya haruslah dibuat aturan bagaimana mengisi baris ke-(k+1), dengan menggunakan pola baris ke-k.
Ada 2 kemungkinan:
1. Ada koin 5 ¢ yang digunakan untuk menyusun
atau
2. Semua koinnya adalah 2 ¢
Induksi Matematika
6
Jika ada 5 ¢ yang digunakan untuk menyusun k-koin, maka untuk menyusun (k+1) koin:
- gantilah koin 5 ¢ dengan 3 buah koin 2 ¢, sehingga
jumlah seluruhnya (k+1) koin.
atau
- gantilah 2 buah koin 2 ¢ yang nilainya 4 ¢, dengan 5 ¢, sehingga seluruhnya (k+1) koin
Induksi Matematika
7
Induksi Matematika Dari contoh tersebut:
1. Tunjukkan bahwa P(4) benardengan kata lain: 4 ¢ dapat disusun dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢
2. Tunjukkan kebenaran P(k+1) bisa didapatkan dengan diketahuinya kebenaran P(k)
dengan kata lain:
misalkan k ¢ dapat disusun dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢, maka ditunjukkan bagaimana (k+1) ¢ didapatkan dari koin 2 ¢ dan 5 ¢
8
Disimpulkan:Misalkan P(n) adalah pernyataan yang yang didefinisikan dalam bilangan bulat n dan a adalah bilangan bulat tetap, maka:
1. P(a) benar2. Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk k ≥ a
Sehingga: P(n) benar untuk semua n ≥ a1. Langkah 1 disebut Basis2. Langkah 2 disebut Langkah Induksi
Induksi Matematika
9
Induksi Matematika
Contoh Kasus:
Buktikan bahwa:
12
121 ≥+=+++ ,n
)n(nn...
10
Jawab:1. Basis, P(1) benar
n=1, maka * ruas kiri = 1* ruas kanan =
2. Langkah Induksi, P(k) benar P(k+1) benarP(k) benar, berarti
12
111 =+ )(
Induksi Matematika
2
121
)k(kk...
+=+++
11
Induksi Matematika
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) benar, yaitu bahwa:
Menurut hipotesa:
sehingga:
2
)1)1)((1()1(21
+++=+++++ kkkk...
2
121
)k(kk...
+=+++
)1()21()1(21 +++++=+++++ kk...kk...
)1(2
)1( +++= kkk
12
Induksi Matematika
)1(2
)1( +++= kkk
2
)1(2)1( +++= kkk
2
232 ++= kk
2
)2)(1( ++= kk
2
)1)1)((1( +++= kk
Terbukti benar P(k+1)Disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n ≥ 1
13
Latihan
1) Jelaskan dengan induksi matematika, bagaimana seorang penjual beras yang mempunyai takaran 5 liter dan 3 liter dapat menakar beras lebih dari n liter, dimana n ≥ 8
2) Jelaskan pula dengan induksi matematika, sebuah papan catur yang berukuran 2k x 2k, k ≥ 1. dapat diambil satu kotak dan sisanya dapat ditutupi dengan trimino-trimino.
14
Latihan
3) Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:
a).
b).
c).
d).
1,6
)12)(1(.....321 2222 ≥++=++++ n
nnnn
1,3
)2)(1()1(......)4(3)3(2)2(1 ≥++=+++++ n
nnnnn
1,1,1
1.....1
12 ≠≥
−−=++++
+
ana
aaaa
nn
1,1)1(
1...
4.3
1
3.2
1
2.1
1 ≥+
=+
++++ nn
n
nn
15
Latihan
4) Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:
a) n3 + 2n habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n≥1
b) 23n - 1 habis dibagi 7 untuk semua bilangan bulat n≥1
c) 22n - 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n≥1
d) 4n - 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n≥1
e) Jumlah pangkat tiga dari tiga bilangan bulat positif berurutan selalu habis dibagi 9