5

II. TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini akan dijelaskan beberapa tinjauan pustaka yang digunakan penulis

pada penelitian ini, antara lain :

2.1 Distribusi Logistik

Distribusi logistik merupakan distribusi yang memiliki fungsi kepekatan peluang

kontinu. Bentuk kurva distribusi logistik adalah simetri dan uni-modal. Bentuk

kurva ini mirip dengan bentuk kurva distribusi normal. Namun, kedua distribusi

ini tidak dapat dibandingkan antara satu dengan yang lainnya. Fungsi kepekatan

peluang distribusi logistik memiliki bentuk umum sebagai berikut :

Definisi 2.1

Suatu variabel acak X dikatakan mengikuti distribusi logistik jika dan hanya jika

fungsi densitasnya didefinisikan :

( ) *( ) +

, *( ) +-

dengan = parameter lokasi

s = parameter skala

6

Dari fungsi kepekatan peluang dari distribusi logistik umum diperoleh betuk

kurva sebagai berikut :

Gambar 1 Plot Distribusi Logistik Umum

(Stockute et al,2013)

Setelah menjelaskan tentang distribusi logistik, selanjutnya akan dijelaskan

tentang distribusi generalized logistik tipe IV yang menjadi pokok pembahasan

yang akan ditentukan karakteristik dari distribusi ini.

2.2 Distribusi Generalized Logistik Tipe IV

Distribusi generalized logistik tipe IV merupakan generalisasi dari distribusi

logistik standar. Distribusi logistik standar diperoleh dari distribusi logistik umum

dengan nilai µ=0 dan s=1 (standar baku) atau dapat didefinisikan sebagai berikut :

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

prob

abili

ty d

ensi

ty

Prob. Density Fcn

m=0,s=0.5

m=0,s=1

m=0,s=3

m = 0, s = 0.5 m = 0, s = 1 m = 0, s = 3

7

Definisi 2.2:

Suatu variabel acak X merupakan dikatakan mengikuti distribusi logistik standar

jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluangnya adalah

( )

( )

Yang diperoleh dari hasil turunan dari fungsi kumulatif dari distribusi standar

logistik yang dapat didefinisikan sebagai berikut :

( ) ( )

Dari fungsi kepekatan peluang distribusi logistik standar dengan menggunakan

program matlab diperoleh bentuk kurva sebagai berikut:

Gambar 2 Plot Distribusi Logistik Standar

(El-Saidi,Mohammed,et al,1993)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x

pro

babili

ty d

ensity

Prob. Density Fcn

m=0,s=1

m=0,s=1

m=0,s=1

8

Dari distribusi logistik standar ini selanjutnya ditambahkan dua parameter bentuk

(α,β) sehingga menjadi distribusi generalized logistik type IV yang dapat

dituliskan secara sistematis sebagai berikut :

Definisi 2.3

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi generalized logistik tipe IV

dengan parameter (α,β), jika fungsi kepadatannya adalah :

( )

( )

( )

Dengan B(α,β) merupakan fungsi Beta.

Dari fungsi kepekatan peluang distribusi generalized logistik tipe IV dengam

menggunakan program matlab maka diperoleh bentuk kurva sebagai berikut :

Gambar 3 Plot Distribusi Generalized Logistik Type IV

(Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. 1995)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

prob

abili

ty d

ensi

ty

Prob. Density Fcn

9

Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi Gamma yang akan

digunakan untuk menyelesaikan integral khusus,

2.3 Fungsi Gamma

Fungsi Gamma merupakan salah satu dari beberapa fungsi khusus di dalam

matematika. Fungsi Gamma merupakan perluasan dari transformasi laplace yang

sangat penting dalam matematika dan sebagai dasar dalam perkembangan

teknologi dan sains modern.

Definisi 2.4

Fungsi Gamma yang dinotasikan oleh ( ) didefinisikan oleh

( ) ∫

(Satya N Mirsah,Edward J dudewicz,1995)

Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi digamma yang akan

digunakan untuk menyelesaikan persamaan pada persamaan yang nantinya akan

didapat pada saat mencari momen dan kumulan dari distribusi generalized logistik

tipe IV.

10

2.4 Fungsi Digamma

Fungsi digamma merupakan hasil turunan (derivatif) pertama dari fungsi Gamma.

Definisi 2.5

Fungsi Digamma didefinisikan sebagai berikut :

( ) , ( )-

( )

( )

(Abramowitz, M. and Stegun,1972)

Sub-bab berikutnya akan dijelaskan tentang fungsi polygamma yang juga akan

digunakan pada saat mencari momen dan kumulan dari distribusi generalized

logistik tipe IV.

2.5 Fungsi Polygamma

Fungsi polygamma merupakan fungsi yang diperoleh dari turunan ke-n fungsi

Gamma.

Definisi 2.6

Fungsi polygamma didefinisikan sebagai berikut :

( )( )

( )

( )

( ) ( )

(Abramowitz, M. and Stegun,1972)

Selain fungsi Gamma, digamma maupun polygamma pada penelitian ini juga

menggunakan fungsi Beta yang digunakan untuk menyelesaikan integral khusus .

11

2.6 Fungsi Beta

Fungsi Beta juga merupakam salah satu fungsi khusus yang ada di dalam

matematika. Fungsi Beta digunakan untuk mengevaluasi integral tentu.

Definisi 2.7

Fungsi Beta adalah suatu fungsi bernilai real dengan dua peubah, didefinisikan

oleh suatu bentuk integral, yaitu :

( ) ∫

( )

( ) ∫

( )

Fungsi Beta dapat dinyatakan melalui fungsi Gamma dengan cara berikut ini :

( ) ( ) ( )

( )

(Andrews, G. E.; Askey, R.; and Roy,1999)

Tahap pertama dalam menentukan karakteristik dari distribusi generalized logistik

tipe IV yaitu dengan menentukan fungsi pembangkit momen yang nantinya dari

fungsi pembangkit momen ini dapat menentukan karakteristik lainnya.

2.7 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen digunakan untuk menghitung momen dari variabel

acak X. Fungsi pembangkit momen disimbolkan dengan ( ) , definisinya

sebagai berikut:

12

Definisi 2.8

Misalkan ada sejumlah angka positif h sehingga untuk ekspektasi

( ) ada. Sehingga

( ) ∫ ( )

Jika X merupakan variabel acak kontinu, atau

( ) ∑ ( )

Jika X merupakan variabel acak diskrit. Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit

momen (FPM) dari x (atau dari distribusi) dan dilambangkan dengan ( ) yaitu

( ) ( )

(Hogg and Craig, 1965)

Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang momen yang juga merupakan

salah satu karakterik dari distribusi generalized logistik tipe IV yang akan dicari

dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.

2.8 Momen

Rataan dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran

lainnya yang disebut momen. Dari momen ini beberapa ukuran lain dapat

diturunkan. Momen itu sendiri didefinisikan sebagai berikut:

13

Definisi 2.9

Momen ke-r tentang asal-usul dari suatu variabel acak X, dilambangkan dengan

, adalah nilai harapan dari Xr dituliskan,

( ) ∑ ( )

Untuk pada saat X diskrit

( ) ∫ ( )

Pada saat X kontinu.

Momen juga dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit momen,

yang dapat dinyatakan dengan

( )

(Irwin Miller, Marrylees Miller, 1999)

Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi pembangkit kumulan

yang akan digunakan untuk menentukan kumulan dari distribusi generalized

logistik tipe IV.

2.9 Fungsi Pembangkit Kumulan

Fungsi pembangkit kumulan merupakan fungsi yang dapat digunakan untuk

mencari kumulan dari peubah acak X. Fungsi pembangkit kumulan disimbolkan

dengan ( ) dan didefinisikan sebagai berikut :

14

Definisi 2.10

Fungsi Pembangkit kumulan dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut :

( ) ( )

Dimana ( ) merupakan fungsi pembangkit momen dari peubah acak X.

(Breno de Andrade P.N & Rio de Janeiro,2005)

Setelah fungsi pembangkit kumulan, pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan

tentang kumulan yang akan diperoleh dengan menggunakan fungsi pembangkit

kumulan.

2.10 Kumulan

Dalam teori probabilitas dan statistik, kumulan dari distribusi probabilitas adalah

seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif untuk momen-momen dari

suatu distribusi. Momen-momen menentukan kumulan dalam arti bahwa setiap

dua distribusi probabilitas yang memiliki momen identik akan memiliki kumulan

identik juga, dan demikian pula kumulan menentukan momen. Dalam beberapa

kasus perlakuan teoritis masalah dalam hal kumulan lebih sederhana

dibandingkan dengan menggunakan momen.

Definisi 2.11 :

Kumulan dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut :

( )

Dimana ( ) merupakan fungsi pembangkit kumulan.

(Breno de Andrade P.N & Rio de Janeiro,2005)

15

Setelah kumulan diketahui, dalam sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang

kemencengan atau skewness yang dapat dicari setelah kumulan ke-2 dan ke-3

diperoleh.

2.11 Kemencengan

Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau

kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan

memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya.

Skewness dari suatu variable random X yang dinotasikan dengan Skew[X]

didefinisikan sebagai:

, - ,( ) -

,( ) -)

( )

Skewness ini juga dinamakan skewness populasi. Skewness merupakan ukuran dari

kesimetrisan atau lebih tepatnya kekurang-simetrisan. Suatu distribusi dikatakan

simetris jika distribusi tersebut nampak sama antara sebelah kanan dan sebelah

kiri titik.pusatnya. Distribusi yang simetris misalnya distribusi normal, distribusi t

dan distribusi seragam. Distribusi yang mempunyai skewness positif misalnya

distribusi eksponensial, distribusi Chi-kuadrat, distribusi Poisson dan distribusi

Binomial dengan p > 0.5 sedangkan distribusi yang mempunyai skewness negatif

misalnya distribusi Binomial dengan p < 0.5.

(deGunst dan van der Vaart, 1993)

16

Selain skewness, pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang kurtosis atau

tingkat keruncingan dari distribusi data yang dapat diperoleh setelah kumulan

ke-2 dan kumulan ke-4 didapatkan.

2.12 Kurtosis

Kurtosis (keruncingan distribusi data) adalah ukuran tinggi rendahnya puncak dari

suatu ditribusi. Kurtosis dilambangkan dengan

Definisi 2.12 :

Momen keempat terhadap rataan, ( ) , bila dibagi dengan ,

disebut dengan kurtosis distribusi X, dan sering dinyatakan dengan

( )

( )

(Satya N Mirsah, Edward J dudewicz, 1995)

Sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi karakteristik yang secara

sistematis memiliki bentuk yang sama dengan fungsi pembangkit momen,

2.13 Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan

pada teori peluang dan statistika.

17

Definisi 2.12

Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai

ekspetasi dari , dimana i adalah unit imaginer dan t dapat dinyatakan

sebagai berikut:

( ) ( ) ∫

( )

Dimana ( ) ( ) ( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

dan merupakan fungsi kepakatan peluang dari distribusi X.

(E.Lukacs & R.G Laha, 1964)